Команда
Контакти
Про нас

    Головна сторінка


Давня і середньовічна Індія





Скачати 47.95 Kb.
Дата конвертації 16.09.2018
Розмір 47.95 Kb.
Тип реферат

Давня і середньовічна Індія

Ще в середині III тисячоліття до н. е. в долині Інду існувала розвинена цивілізація, одним із центрів якої було місто, розкопаний поблизу пагорбів Мохенджо-Даро. Ця цивілізація, заснована початковим населенням Індії, в II тисячолітті до н. е. була зруйнована індо-європейські народи, які прийшли з Гімалаїв. Нащадками початкового населення Індії є дравиди Південної Індії. Завойовники створили рабовласницькі держави в I тисячолітті до н. е. У цих державах велася боротьба за владу, головним чином між воїнами - кшатрії і священиками - брахманами, нерідко спалахували повстання пригноблених станів і каст. У I тисячолітті до н. е. з'являються священні книги брахманів «Веди» ( «Знання»). До VII-V ст. до н. е. відносяться перші індійські письмові математичні пам'ятники.

У V ст. до н. е. в Індії виникає нова релігія - буддизм, що відображала невдоволення пригноблених верств. Чи не пізніше IX ст. до н. е. було встановлено зв'язок Індії з Вавилоном.

У VI ст. до н. е. частина Північної Індії була захоплена персидським царем Дарієм. У 327-325 рр. до н.е. ще більша частина Північної Індії була завойована Олександром Македонським, а згодом увійшла до складу царства Селевкідів. Вождь повстання проти греків Чандрагупта заснував нову династію Мауро в Магадхе (нині Бенгалія) зі столицею в Паталипутре (нині Патна). Онук Чандрагупти Ашока (273-232 рр. До н. Е.) Об'єднав майже всю Північну Індію і значну частину Південної Індії, при ньому буддизм стає державною релігією індійців. Частина Індії, яка входила в царство Селевкідів, разом з півднем Середньої Азії і Афганістаном в III в. до н. е. увійшла до складу Греко-Бактрійського царства, який залишив помітний слід у розвитку культури Індії. У I ст. до н. е. ці землі увійшли в царство Великих Кушан, на чолі якого стояли скіфські завойовники. Держава Кушан встановило торгові відносини з Китаєм і Римом.

У IV ст. н. е. Північну і Центральну Індію об'єднала династія Гунта. У цей час з'являються астрономо-математичні праці «сіддханти» ( «вчення»). У царстві Гупт в V-VI ст. працюють уродженець Паталіпутри Аріабхата і уродженець Удджайна Варахаміхіра, в VII ст. в Удджайне працює Брахмагупта. У VII-VIII ст. «Сіддханти» і праці Аріабхати і Брахмагупти стають відомі в країнах ісламу і переводяться на арабську мову. В цей же час переводяться на перський і арабську мови багато творів індійської літератури, наприклад «Калила і Димна».

У VIII ст. багатовікова боротьба між буддизмом і давньої індійської релігією закінчується перемогою останньої. Буддисти виганяють з Індії і йдуть в інші країни (нині буддизм - основна релігія в Бірмі, Тибеті і Монголії і широко поширена релігія в Японії та Китаї).

В цей же час Північна Індія піддається нападам мусульманських завойовників. В XI ст. Північну Індію захоплює Махмуд Газневі. Заснована ним династія править в Північній Індії і після його вигнання з Ірану.

Після спустошливих воєн в Північній Індії центр науки і культури переноситься до Південної Індії. Тут працюють математики та астрономи Магавіра (IX ст.), Шрідхара (IX-X ст.), Бхаськара (XII ст.), Нарайан (XIV ст.), Нілаканта (XV-XVI ст.).

На початку XIII в. майже вся Індія об'єднується делійський султаном. У XVI ст. значна частина Індії була підкорена Бабуром, нащадком Тимура; заснована ним імперія на ім'я монгольських предків Тимура називається імперією Великих Моголів.

Останнім яскравим подією науковому житті Індії перед її завоюванням європейцями була діяльність правителя Раджпутани (нині Раджастан) Савай Джай Сінгха (1686-1743), який заснував кілька астрономічних обсерваторій в Північній і Центральній Індії і склав астрономічні таблиці.

Більшість наукових трактатів індійців написані на санскриті - мові релігійних книг брахманів. Ця мова об'єднував численні народи Індії, що говорили на різних мовах. Тільки в XVII в. індійці стали писати наукові трактати на розмовних мовах: анонімний південно-індійський трактат «Йукті бхашья» ( «Роз'яснення математики») написаний на мові малаялам, а астрономічні таблиці Савай Джай Сінгха - на поширеному в Північній Індії перською мовою.

Слід зазначити, що наші відомості про математику стародавньої та середньовічної Індії вельми неповні і про деяких етапах розвитку індійської математики ми можемо судити лише може бути. Деякі відомості про математику давньої Індії ми черпаємо з коментарів до священних книг брахманів «Веди». В одній з таких книг, що відноситься до VII-V ст. до н. е., «Шулва сутра» ( «Правила мотузки») викладаються способи побудови вівтарів і пов'язані з ними обчислення.

Перші «сіддханти», що з'явилися в V ст. н. е., мають явно еллінізму походження. «Пуліса-сіддханта» приписується якомусь Пауліс з Саінтри. Мабуть, її автором був олександрійський астроном Паулос, який втік до Індії після розгрому наукового центру в Олександрії. Про грецьке походження свідчить і назва «Ромака-сид-дханти»: жителів Східної Римської імперії часто називали ромеями (згодом араби називали їх румами). У сіддханти застосовуються деякі грецькі терміни: відстань від центру називається «Кендра» (від грецького - центр), хвилина - «Ліптов». Найважливіша з сиддхант була написана Брахмагупта близько 628 м Вона називалася «Брахма-спхута-сіддханта» ( «Удосконалений вчення Брахми») і складалася з 20 книг, більшість яких була відведена астрономії, але XII книга була спеціально присвячена арифметиці і геометрії, а XVIII книга - алгебри.

Багато трактати були написані у віршах, щоб правила, сформульовані в коротких рядках, можна було завчити напам'ять. Наприклад, «Трішатіка» Шрідхара (IX - X ст.) Отримала свою назву від слова «трішата» - «триста», так як містила триста віршів. Вельми короткий віршований виклад, майже незрозуміле непосвяченим, пояснювалося в коментарях.

Найбільшому індійському математику XII в. Бхаскару належить трактат «Сиддханта-шіромані» ( «Вінець вчення»), переписаний в XIII в. на смужках пальмового листя (рис. 1). Цей трактат складається з чотирьох частин, з яких «Лілаваті» ( «Прекрасна») присвячена арифметиці, а «Біджаганіта» - алгебрі, інші дві частини астрономічні. Назва «Лілаваті» відноситься те чи до дочки вченого, до якої автор звертається до завдань, то чи до самої арифметики.

Мал. 1

Індійська нумерація

Рахунок цілих чисел в Індії з давніх часів носив десятковий характер. Санскрит - індоєвропейські мови, споріднений індоєвропейських мов Європи (для порівняння наведемо числівники 1 - чи й не, 2 - дві, 3 - три). У назвах чисел застосовувався і адитивний і субстрактівний принципи; наприклад, 19 можна було назвати і «навадаша», (дев'ять-десять) і «екауна - вімсаті» (без одного двадцять). На відміну від інших індоєвропейських мов, в санскриті існують назви для 10 n до n> 50.

Однією з перших нумераций, що застосовувалися в Індії, були цифри «карошті» (рис. 2), якими користувалися в Північній Індії з часу перського завоювання до III в. н. е. разом з сирійським листом. Цифри карошті були багато в чому схожі на фінські: числа записувалися справа наліво, знаки для 1 і 10 були дуже близькі до фінікійським, був знак для 20, що представляє собою з'єднання двох знаків для 10, і знак для 100, який, як і в фінікійської нумерації , не повторювався, а праворуч від нього записувалося число сотень. Однак, на відміну від фінських цифр, тут вживався спеціальний знак для 4.

Мал. 2 Цифри карошті

Починаючи з VI ст. до н. е. в Індії були широко поширені цифри «брахми» (рис. 3). На відміну від цифр карошті, цифри брахми записувалися зліва направо, як індійське лист. Однак в обох нумерації було чимало спільного. Не кажучи вже про те, що перші цифри в обох випадках зображували три палички, а четверта - чотири палички (в разі карошті - у вигляді хреста), загальним було те, що до сотні в обох випадках застосовувався чисто адитивний принцип, а починаючи з сотень цей принцип поєднувався з мультиплікативними: в нумерації брахми останній принцип застосовувався не тільки до знаку для 100, але і до знаку на 1000.

Мал. 3 Цифри брахми

Слід зазначити, що перші три знаки в обох нумерації збігаються з китайськими; зустрічалася в Китаї і четвірка у вигляді хреста. Важливою відмінністю цифр брахми від карошті було (як і в китайських цифрах) наявність спеціальних знаків для чисел від 1 до 9; можливо, що цифри карошті представляли собою проміжну стадію між позначеннями чисел від 1 до 9 з допомогою повторення знака для 1, що застосовувалися в Фінікії, Вавилоні і Єгипті, і позначеннями цих чисел за допомогою спеціальних знаків.

Ця особливість цифр брахми стала передумовою створення в Індії десяткової позиційної нумерації.

Перша відома нам запис за допомогою цифр брахми, в якій застосовуються тільки перші дев'ять цифр, а десятки і сотні позначаються тими ж цифрами, що і одиниці, відноситься до VI ст. н. е .: це дарчий запис від 595 м н.е., в якій 346-й рік записаний цифрами брахми 346. Нулі не було, замість нього на лічильної дошці оставлялся порожній стовпець.

Поряд з цифровим записом в Індії широко застосовувалася словесна система позначення чисел, цьому сприяв багатий за своїм словниковим запасом санскритський мову, що має багато синонімів. При цьому нуль позначався словами «пусте», «небо», «дірка»; одиниця - предметами, наявними тільки в однині: Місяць, Земля; двійка - словами «близнюки», «очі», «ніздрі», «губи»; четвірка - словами «океани», «сторони світу» і т. д.

Застосування позиційного принципу в словесній нумерації, в якому один і той же слово в залежності від місця має різний числове значення, а назви розрядів опускаються, зафіксовано ще в V ст. Наприклад, число тисяча двадцять один записувалося словами «Місяць - діра - крила - Місяць». Одна з назв нуля - «шунья» (пусте) стало згодом основним. Коли в VIII ст. індійські сіддханти переводили на арабську мову, слово «шупья» перевели арабським словом «сифр», що має те ж значення. Слово «сифр» при перекладі арабських творів на латинь було залишено без перекладу у вигляді ciffra, звідки походить французьке і англійське назва нуля zero, німецьке слово Ziffer і наше слово «цифра», також спочатку означало нуль.

Але в цей же час на долю нумерації значний вплив зробили математики. В області обчислень були потрібні більш зручні системи числення і Аріабхата запропонував записувати цифри санскритськими буквами.

Перше достовірне свідчення про записи нуля відноситься до 876 р, в настінного написи з Гвалиора (Індія) є число 270. Одні дослідники (Г. Фрейденталь) припускають, що нуль був запозичений у греків, які ввели в якості нуля букву о в шестидесятиричную систему числення, вживану ними в астрономії. У V ст. в Індії з'явилася перекладна грецька астрономічна література. Освоєння її індійцями, можливо, вплинуло і на зміну порядку проходження чисел (від старших до молодших, як це було у вавилонян і греків) і на запис дробів, аналогічну їх записи в елліністичному Єгипті.

Інші (Дж. Нідем), навпаки, вважають, що нуль прийшов до Індії зі сходу, він був винайдений на кордоні індійської і китайської культур. Виявлено більш ранні написи від 683 і 686 рр. в нинішніх Камбоджі та Індонезії, де нуль зображено у вигляді точки і малого гуртка. Ті ж доводи, що і у Фрейденталь (порядок проходження розрядів, запис дробів, перекладна література), можуть бути приведені в користь не грецького, а китайського походження нуля.

На основі цифр брахми виробилися сучасні індійські цифри «деванагари» (божественне лист), що застосовуються в десяткової позиційної системі, від якої відбуваються десяткові позиційні системи арабів і європейців.

Першим свідченням про індійську десяткової позиційної системі є слова сирійського християнського єпископа Півночі Себохта, що жив в одному з монастирів в верхів'ях Євфрату в VII ст. В рукописи 662 м Себохт писав: «Я не стану торкатися науки індійців ... їх системи числення, яка перевершує всі описи. Я хочу лише сказати, що рахунок проводиться за допомогою дев'яти знаків ».

Ми називаємо винайдені індійцями цифри 1, 2, .., 9 і нуль арабськими, так як запозичили їх у арабів, але самі араби називали ці цифри індійськими, а арифметику, засновану на десятковій системі - «індійським рахунком» (хісаб ал-Хінд) .

арифметичні дії

Якщо наші геометричні курси в значній мірі сходять до грецької математики, то наша арифметика має, безсумнівно, індійське походження. Саме від індійської позиційної нумерації відбувається наша нумерація, індійці ж перші розробили правила арифметичних дій, засновані на цій нумерації.

До основних арифметичних дій індійці відносили додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення в квадрат і куб і витяг квадратного і кубічного коренів.

Обчислення індійці виробляли на лічильної дошці, покритій піском або дрібні частинки, а то і просто на землі. Тому арифметичні обчислення іноді називалися «Дхулія-карма» - робота з пилом. Числа записувалися загостреною паличкою. Щоб добре розрізняти цифри, їх писали досить крупно, тому проміжні викладки стиралися. Це наклало відбиток на індійські способи обчислення.

Додавання і віднімання проводилися як справа наліво, т. Е. Від нижчих розрядів до вищих, так і зліва направо, від вищих розрядів до нижчих.

Для множення існувало близько десятка способів. При основному способі множення операцію можна було починати як з нижчого, так і з вищого розряду. В процесі множення цифри множимо поступово стиралися, а на їх місці записувалися цифри твори. Наприклад, щоб помножити 135 на 12 спочатку писали

12

135

Перемножая 5 * 12 і стираючи 5, отримували

12

1360

і, зрушуючи множник

12

1360.

Перемножая 3 * 2 і додаючи 6 до 6, прали 6 і записували на її місці 2, а одиницю тримали в розумі чи записували в стороні. Цю одиницю додавали до твору 3 * 1 і суму 4 писали внизу замість стертою трійки

12

1460.

Далі перемножуємо 1 * 2 і додавали 2 до 4 внизу, т. Е. Стирали 4 і на її місці писали 6. І, нарешті, 1 * 1 = 1, тому 1 внизу не прали. На закінчення стирали множник, і на дошці залишалося твір 1620.

Індійці застосовували і більш зручні прийоми множення. Наприклад, розкреслювали лічильну дошку на сітку прямокутників, кожен з яких розділений навпіл діагоналлю, по сторонам сітки записували співмножники, а проміжні твори писали в трикутниках і складали їх по діагоналях.

При розподілі дільник підписувався під діленим так, щоб перші їх цифри перебували одна під інший, і з цифр діленого, написаних над дільником, віднімалося максимальне кратне подільника, що не перевершує числа, утвореного цими цифрами. Потім дільник пересувався на один розряд вправо і таким же чином вираховувався з цифр залишку.

Існує кілька способів зведення в квадрат і куб. Шрідхара в своїй «Патіганіте» ( «Мистецтво обчислення на дошці») викладає методи, які в наших позначеннях можна висловити формулами

Перший опис процесу вилучення квадратного і кубічного коренів зустрічається в Індії ще в V-VI ст. у Аріабхати.

Індійці називали корінь «пада» - підстава, сторона і «мула» - підстава; обидва ці слова, мабуть, переклад грецьких слів, які застосовувались для позначення квадратного кореня. Так як слово «мула» має також значення «корінь рослини», арабські перекладачі індійських сиддхант перевели в VIII ст. цей термін арабським словом «Джізре», також позначає корінь рослини. Тому латинські перекладачі в XII в. перевели арабська назва кореня латинським словом radix, звідки і відбуваються наші терміни «корінь» і «радикал».

Витяг квадратного кореня в Індії, як і в Китаї, засноване на розкладанні квадрата двочлена, але при цьому (як і при добуванні кубічного кореня) не застосовувався метод Горнера.

Так як при виконанні арифметичних дій доводилося прати проміжні викладки, перевірити безпосередньо, чи правильні остаточні результати, було неможливо. Для перевірки множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня індійці не рекомендували зворотні операції, а так звану перевірку за допомогою дев'ятки, засновану на тому, що залишок при діленні цілого числа на 9 дорівнює залишку при діленні на 9 суми цифр цього числа. Перший опис цього правила стосовно до множення, ділення із залишком і вилучення квадратного і кубічного коренів зустрічається у Аріабхати II (X ст.). Якщо ми назвемо пробою залишок від ділення на 9 суми цифр даного числа, то, наприклад, при множенні двох чисел проба твору повинна бути дорівнює пробі твори проб множників. Рівність проб є тільки необхідним, але не достатньою умовою правильності дії, чого індійці не відзначають. Перевірка за допомогою дев'ятки застосовувалася математиками країн ісламу, познайомилися з нею по індійським джерел, а від арабів це правило потрапило до європейців. Недостатність цього правила відзначалася Н. Шюке і Л. Пачолі тільки в кінці XV ст.

дробу

В Індії дробу відомі дуже давно. Ще в середині II тисячоліття до н. е. згадуються такі дроби ардха (1/2), пада (1/4), три-пада (3/4) і калу (1/16).

Індійці записували дроби так, як це робиться в даний час: чисельник над знаменником, тільки без дробової риси. Один від одного дробу відділялися вертикальними і горизонтальними лініями. Так, дріб записувалася , Де (як і в подальшому) букви а, b стоять замість конкретних цифр. Саме про цей запис дробів ми говорили вище, коли згадували про вплив на індійську математику олександрійських астрономів перших століть нашої ери і вчених Китаю, так як цей запис зустрічалася і в позднегреческого папірусах і в китайських книгах.

Додавання позначалося записом дробів поруч. Для позначення віднімання вживалися точка або зпак + справа, і, наприклад, вираз

зображували у вигляді

У змішаній дроби ціла частина містилася над дробом:

Іноді ціле число зображували дробом зі знаменником 1. Тому змішану дріб можна було уявити у вигляді

При множенні дробу записували поруч:

а при розподілі - одну під інший:

Як видно, додавання і множення дробів зображувалися однаково. Те ж відноситься до поділу цілого числа а на дріб , Яке записували так само, як змішану дріб. Про сенсі подібного роду записів можна було судити по контексту. Правила дій над дробами майже не відрізнялися від сучасних. Так, Шрідхара призводить правила: «[Після приведення дробів] до спільного знаменника склади числители», «Твір дробів дорівнює добутку числівників, поділеній на добуток знаменників», «Квадратний корінь [дробу] дорівнює квадратному кореню чисельника, поділеному на квадратний корінь знаменника».

Для приведення до спільного знаменника індійські вчені спочатку складали твір знаменників усіх сомножителей, а починаючи з IX ст.користувалися вже їх найменшим кратним. Так надходив, папрімер, Шрідхара.

Завдання на пропорції

В індійських творах зустрічаються численні завдання па просте і складне потрійне правило, пропорційний поділ, правило товариства, правило змішання, прості і складні відсотки, прогресії. Одні завдання мали безпосереднє практичне значення, інші складалися для вправи і розваги.

При вирішенні завдань, які виражаються рівнянням ах = с, велике місце займало вже знайоме правило одного помилкового положення (правило полягало в заміні невідомого довільно взятим числом і в наступному за тим визначенні істинної величини невідомого на підставі пропорційності, що існує між ним, його довільним значенням і відповідними результатами згаданих умовами завдання обчислень.).

У анонімної рукописи VI-VIII ст., Знайденої біля селища Бахшалі в Північно-Західній Індії (так звана «Бахшалійская рукопис»), це правило застосовується також до завдань, що приводиться до рівняння ax + b = c. Рішення має вигляд

де c 1 = ax 1 + b.

Ще більш широке застосування мало потрійне правило ( «трай-рашіка» - буквально «три місця»), що складається в знаходженні числа х, що становить з трьома даними числами а, b, з пропорцію

Це правило було відомо ще єгиптянам і грекам, але індійці виділили його як спеціальний арифметичний прийом і розробили схеми, що дозволяють застосовувати його до завдань, що містить кілька величин, пов'язаних пропорціями. На потрійному правилі були засновані індійські правила 5, 7, 9 і т. Д. Величин (Панча-рашіка, САПТ-рашіка, нава-рашіка і т. Д.). Наприклад, в правилі 5 величин потрібно знайти величину х по пропорціям

і відповідь дається у вигляді

Індійці користувалися також «зворотним потрійним правилом» (вьяста трай-рашіка), коли в завданні замість прямої пропорційності вказується зворотна. Ці правила також були запозичені у індійців вченими країн ісламу, а через них - європейцями. У країнах ісламу правила 5,7, і т.д. величин були узагальнені на будь-непарне число. У Європі ці правила, що отримали назву ланцюгових правил, перебували в центрі уваги авторів арифметичних посібників.

алгебра

Як і в Вавилоні та Китаї, в Індії високого розквіту досягли алгебраїчні обчислення. Алгебру, разом з рішенням цілочисельних невизначених рівнянь, індійці називали «біджаганіта» - «мистецтво обчислення з елементами» або «авьяктаганіта» - «мистецтво обчислення з невідомими».

Визначним досягненням індійських математиків було створення розвиненої символіки алгебри. Ця символіка була навіть багатшими, ніж у Діофанта. Вперше з'явилися особливі знаки для багатьох невідомих величин, вільного члена рівняння, ступенів. Більшість символів являє собою перші склади відповідних санскритських термінів.

Невідому величину індійці називали «йават-Тават» (стільки, скільки), для позначення невідомої служила буква, що означає склад «йа». Якщо невідомих було кілька, то їх називали словами, що виражають різні кольори: Калака (чорний), нілака (блакитний), питака (жовтий), панду (білий), лохіта (червоний), а позначали першими складами відповідних слів: ка, ні, пі, па, ло. Вільний член в рівняннях супроводжувався першим складом слова «руна» (цілий). Іноді невідома позначалася знаком нуля, так як спочатку в таблицях, наприклад, пропорційних величин, для неї залишалася порожня клітка.

Знаки, що представляють собою позначення перших складів слів, застосовувалися для основних дій. Додавання позначалося знаком «йу» ( «йта» - складений), множення - «гу» ( «гуніта» - помножений), розподіл - «БХА» ( «Бхага» - поділений).

Віднімання позначалося точкою над від'ємником або знаком + праворуч від нього (наприклад, віднімання 5 позначалося 5 або 5 +; вище це позначення зустрічалося нам при відніманні дробів). Знаки додавання і множення часто опускалися. Як приклади

для

для

для

Позначення ступенів представляли собою поєднання складів «ва» ( «Варга» - квадрат), «гха» ( «Гхана» - куб) і слова «Гхата» - твір, т. Е. Ступеня невідомих позначалися:

Х 2 = ва,

Х 3 = гха,

Х 4 = ва ва,

Х 5 = ва гха Гхата,

Х 6 = ва гха,

Х 7 = ва ва гха Гхата,

Х 8 = ва ва ва,

Х 9 = гха гха.

Ми бачимо, що для ступенів, показники яких мають вигляд 2 α, З β, позначення складаються з складу «ва», повтореного α раз, і складу «гха», повтореного β раз. Таким чином, ступінь цього виду утворюються за мультиплікативного принципом. Навпаки, позначення ступенів, показник яких неможливо в такому вигляді, утворюються по аддитивному принципом, причому слово «Гхата» (твір) означає, що ступінь такого типу являє собою твір ступенів, сумою показників яких є показник цього ступеня (наприклад, х 5 = х 2 + 3 = x 2 x 3). Отже, індійська символіка принципово відрізняється від символіки Діофанта, де назви ступенів були засновані на чисто аддитивном принципі.

Квадратний корінь позначався складом «му» - від слова «мула» Для прикладу наведемо записи

означає

Знакарівності не було: обидві частини рівняння писали в 2 рядки так, щоб однакові ступеня стояли один під одним. Якщо невідома була відсутня, то записували її знак з коефіцієнтом нуль. рівняння

записується у вигляді

йа ва 0 йа 10 ру 8

йа ва 1 йа 0 ру 1;

рівняння

записується у вигляді

йа гха 8 йа ва 4 ка ва йа 10

йа гха 4 йа ва 0 ка ва йа 12.

Символи застосовувалися і в навчанні про прогресіях. Перший член позначається «а» від «ади» - (перший член), різниця арифметичної прогресії - «ча» або «у» від «чайа» або «Уттара» (різниця прогресії), число членів-«па» або «га» від «пада» або «гачха» (число членів), сума прогрессіі- «сан» або «ган» від «санкаліта» або «Ганіта» (сума). Наприклад, в анонімному коментарі до «Патіганіте» наводиться запис

Тобто

Отже, індійські вчені зробили великий крок у створенні символічної алгебри, хоча їх позначення були громіздкі, а самі знаки, т. Е. Санскритські літери, мали складне накреслення.

Негативні та ірраціональні числа

Індійські математики, починаючи з Брахмагупти (VII ст. Н. Е.), Систематично користувалися негативними числами і трактували позитивне число як майно, а негативне - як борг. Брахмагупта призводить все правила арифметичних дій над негативними числами. Йому ще не була відома двозначність квадратного кореня, але вже в 850 р Магавіра в своїй книзі «Ганіта-сара-санграха» ( «Короткий курс математики») пише: «Квадрат позитивного або негативного - числа позитивні, їх квадратні корені будуть відповідно позитивними і негативними. Так як негативне число за своєю природою не є квадратом, то воно не має квадратного кореня ». Останні слова Магавіра показують, що він ставив питання і про добуванні кореня з негативного числа, але прийшов до висновку, що ця операція неможлива. Не виключено, що про негативні числах індійські вчені дізналися в результаті контактів з китайською наукою. Прямих свідчень на користь такого припущення ми не маємо. У всякому разі, в Індії негативні числа не застосовувалися при вирішенні систем лінійних рівнянь (ми не знаходимо тут нічого подібного методу фан-Чен). Індійці називали позитивні числа «Дхана» або «сва» (майно), а негативні - «рина» або «кшайа» (борг).

Індійці застосовували символ квадратного кореня «му» не тільки до повних квадратах, а й до отриманих квадратичним ірраціонального. Бхаськара за допомогою правил

і

запозичених, можливо, у греків, виробляв перетворення квадратичних числових иррациональностей і таким чином спрощував досить складні вирази, як, наприклад,

Можливо, що вихідними тут були перетворення правій частині.Деякі перетворення, наприклад,

могли використовуватися для більш зручного наближеного вилучення коренів.

Таке вільне користування ірраціональні також було сприйнято в країнах ісламу, де Омар Хайям в XI ст. запропонував розширити поняття числа до того, що ми називаємо позитивним ірраціональним числом.

лінійні рівняння

Завдання, що призводять до вирішення лінійного рівняння з одним невідомим, є у Аріабхати. До лінійного рівняння, зокрема, призводить його завдання, що обійшла в подальшому під назвою «завдання про кур'єрів» світову алгебраїчну літературу, - вона наводиться і в нинішніх шкільних посібниках. У цьому завданні потрібно визначити час зустрічі двох небесних світил але даними швидкостям v 1, v 2 і відстані a »між ними. Аріабхата повідомляє рішення

при русі в одну сторону; якщо v 1 2, то зустріч відбулася в минулому. При русі назустріч необхідно відстань розділити на суму швидкостей. Про випадок, коли зустріч відбулася в минулому, Аріабхата не згадує, і ми не знаємо, чи розглядає він цей випадок чи ні, так само як не знаємо, чи були йому відомі негативні числа. Втім, навряд чи він вмів тлумачити від'ємне значення t, відповідне v 1 2. Індійські математики і пізніше не приймали до уваги негативні рішення рівнянь і для цього змінювали відповідним чином умови задач.

Зауважимо, що «завдання про кур'єрів» в деяких більш складних варіантах (наприклад, рух зі змінною швидкістю, що росте в арифметичній прогресії) призводять і до квадратного рівняння, - такий приклад є вже в «Бахшалійской рукописи».

У Магавіра, Бхаскару та інших авторів є завдання, що призводять до систем лінійних рівнянь з декількома невідомими. Так, одне із завдань Магавіра призводить до системи

Метод рішення, викладений Магавіра, не відрізняється від сучасного способу розв'язання за допомогою зрівнювання коефіцієнтів.

Однак справа не обмежувалася настільки простими завданнями. Були вироблені правила вирішення систем виду

(Складаючи всі рівняння почленно, знаходили ) Інших, кілька більш загальних, наприклад:

Зрозуміло, мова йшла завжди про завдання з чисельними умовами, але правила формулювалися в загальному вигляді. Такі завдання зустрічаються, поступово ускладнюючи, у Аріабхати, Брахмагупти, Магавіра, Нарайан. Але, як ми вже сказали, загального алгоритму на кшталт методу фан-Чен індійські математики не створили.

Квадратні рівняння

Завдання на квадратні рівняння є в «Ведах» і «Шулва-сутри», але з рішенням їх ми вперше зустрічаємося, мабуть, у Аріабхати. Так, завдання на складні відсотки призводить до рівняння

Рішення цього рівняння, наведене Аріабхати словесно, можна записати у вигляді

Подібного роду завдання, так само як «завдання про кур'єрів», наводилися потім багатьма авторами як в Індії, так і в інших країнах. З такого завдання починав розділ квадратних рівнянь в своєму широко відомому підручнику алгебри А. Клеро (+1746). До квадратного рівняння призводить також завдання на визначення числа членів арифметичної прогресії за даними сумі, першому члену і різниці.

Трохи згодом квадратні рівняння з'являються в «Бахшалійской рукописи». Приблизно в цей же час великий внесок у вирішення квадратних рівнянь вніс Брахмагупта, який сформулював загальне правило рішення квадратних рівнянь, приведених до канонічної формі

де коефіцієнт при невідомої першого ступеня b і вільний член з можуть приймати і негативні значення.

Рішення Брахмагупти таке ж, як у Аріабхати. Шрідхара словесно формулює рішення в дещо іншому вигляді:

Брахмагупта ще не говорить про двох коренях квадратного рівняння, але Магавіра вже знає про це, що видно з його завдання, в якій потрібно знайти число павичів в зграї, 1/16 якої, помножена на себе, сидить на мангові дерева, а квадрат залишку разом з 14 іншими павичами - на дереві Тамала. Магавіра призводить цю задачу до рівняння

і формулює рішення квадратного рівняння виду

за допомогою правила

кажучи, що «квадратний корінь можна як додавати, так і віднімати». У нашому випадку умовам завдання задовольняє лише корінь 48, так як корінь дробовий.

БХА скара вже формулює умову існування двох позитивних коренів.

Індійці вирішували і системи рівнянь; наприклад, Бхаськара вирішував завдання про визначення катетів xіyі гіпотенузи z прямокутного трикутника по його периметру і площі, яка зводиться до системи

Бхаськара розглядав також спеціально підібрані рівняння третього і четвертого ступенів, цілочисельні корені яких він знаходив шляхом нескладних перетворень. Так, рівняння

Бхаськара вирішує таким чином: додаючи до обох частин , він отримує

Витяг кореня з обох частин дає

звідки

Площі і обсяги

Відомості з геометрії є також в трактатах Брахмагупти, Магавіра, Шрідхара, Бхаскару.

Брахмагупта призводить наближене правило для обчислення площі довільного чотирикутника як твори напівсумі протилежних сторін, з яким ми зустрічалися в математиці єгиптян і вавилонян.

Шрідхара вказував, що це правило не можна застосовувати до всіх чотирикутник. Він повідомляє точне правило обчислення площі трапеції.

Брахмагупта для знаходження площі чотирикутника користувався правилом, аналогічним правилом Архімеда - Герона для площі трикутника:

де а, b, с і d - сторони чотирикутника, а p - напівпериметр. Це правило вірно лише для чотирикутників, вписаних в коло. Брахмагупта не обумовлює цього, але фактично розглядає лише два типи чотирикутників - рівнобедрений трапеції і чотирикутники з пересічними під прямим кутом діагоналями, для яких правило справедливо.

Геометричні докази вкрай лаконічні, але нерідко вельми наочні. Так, для обгрунтування правила обчислення площі трикутника наводиться малюнок, в якому висота прямокутника дорівнює половині висоти трикутника (рис. 4). Для обгрунтування пропозиції «Площа круга дорівнює площі прямокутника,

рис.4 рис.5

боку якого відповідно рівні півкола і радіусу ». Ганеша (XVI ст.) Ділить коло на 12 рівних секторів, а потім розгортає кожен півколо, що складається з 6 секторів, в пилкоподібну фігуру, основа якої дорівнює півкола, а висота - радіусу (рис. 5). Прямокутник, про який йдеться в умові, вийде при вставлянні зубів однієї з «пив» в зазори між зубами іншого. Мабуть, читач повинен був представити себе, що коло розділений нема на 12, а на таку велику кількість секторів, що ці сектори стануть не відрізняються від трикутників, що становлять «пили».

Наближені вирази відношення довжини кола до діаметра ми знаходимо вже в сіддханти. У «Пулісом-сіддханти» (V ст. Н. Е.) Говориться, що довжина кола відноситься до діаметру, як 3927 до 1250, що відповідає значенню π = 3,1416. Те ж значення π у вигляді

ми знаходимо у Аріабхати. Брахмагупта користувався наближенням , Можливо, китайського походження. Зустрічається у індійців і наближення π = 22/7. У сіддханти, як і у олександрійських астрономів, окружність ділиться на 360 градусів, кожен градус - на 60 хвилин, але радіус поділяється не на 60 частин, а на 3438 хвилин. Це пояснюється тим, що, якщо вважати окружність дорівнює 360 60 = 21 600 хвилинам, а π = 3,1416, то зі співвідношення С = 2πr, ми знайдемо, що r = 3437,7 хвилин. Як ми бачимо, індійці вимірювали радіус в частках окружності вже в V ст., Тому можливо, що наведена вище «теорема Ганеші» була відома індійцям задовго до Ганеші. Можливо також, що в кресленні Ганеші передбачалося, що коло розділений на 3438 секторів.

Шрідхара призводить правила обчислення обсягу призми V = SH, обсягу усіченого кругового конуса

і обсягу кругового конуса .

Бхаськара дає правило обчислення обсягу кулі

де π = 3,1416.

Значення математики Індії

Індійська математика справила величезний вплив на розвиток математики як на Сході, так і на Заході. Саме в Індії була розроблена наша арифметика, заснована на десятковій позиційній нумерації, а також такі арифметичні правила, як потрійне правило і його узагальнення. Наші терміни «корінь» і «синус» постійно нагадують нам про роль індійських вчених в розробці алгебри і тригонометрії. Вплинули на Європу і їх теоретико-числові дослідження. В значній мірі індійцям зобов'язані ми і введенням негативних і ірраціональних чисел. На жаль, математичні і астрономічні праці індійців, написані в XV-XVII ст., І зокрема таке чудове відкриття, як нескінченні ряди для арктангенса, синуса і косинуса, залишилися свого часу невідомими за межами Індії і були отримані знову європейцями.

Безсумнівно, що внесок індійців у розвиток світової математики був би у багато разів більше, якби Індія не потрапила на кілька століть під колоніальне ярмо.Про це свідчить діяльність чудового індійського математика Срініваса Рамануджана (1887 - 1920), який в дуже важких умовах зміг стати одним з найбільших фахівців з теорії чисел.