«Історія розвитку математики на Землі»
|
Скачати 34.27 Kb.
|
|
| Дата конвертації | 30.12.2017 |
| Розмір | 34.27 Kb. |
| Тип | реферат |
|
|
|
Департамент освіти Володимирській області. Муніципальне загальноосвітній заклад - Середня загальноосвітня школа № 6 реферат на тему «Історія розвитку математики на Землі» Учня 8 класу «Б» Карякіна Павла Керівник - Шубіна І. Н. Муром 2010 Математика - цариця наук, арифметика - цариця математики. Геометрія - це наука добре вимірювати. Натхнення потрібно в геометрії, як і в поезії. зміст: вступ 1. Арифметика кам'яного віку 2. Числа починають отримувати імена 3. Чудова сімка 4. Жива лічильна машина 5. Сорок і шістдесят 6. Операції над числами 7. Дюжини і Гросса 8. Перші цифри 9. Як в давнину виконували арифметичні дії 10. Абак і пальцевий рахунок висновок Додаток. малюнки
Кожен день на уроках математики ми дізнаємося про властивості чисел і фігур, вирішуємо рівняння, завдання, будуємо графіки, вчимося складати десяткові і звичайні дроби і т.д. Але хто і коли придумав цифри, став виконувати над ними арифметичні дії, хто дав їм імена, ким і коли були придумані дробу, де вперше стали вирішувати завдання за допомогою рівнянь, коли виникли негативні числа, - про все це я постараюся дати відповіді в своєму рефераті. 1. АРИФМЕТИКА кам'яного СТОЛІТТЯ Люди навчилися рахувати 25 - 30 тисяч років тому. Кілька десятків років тому вчені - археологи виявили стійбища російських людей. У ньому вони знайшли вовчу кістку, на яку древній мисливець завдав 55 зарубок. Візерунок на кістки складався з одинадцяти груп, по п'ять зарубок в кожній. При цьому перші п'ять груп він відділив від решти круглої рисою. Пізніше в Сибіру та інших місцях були знайдені зроблені в ту ж далеку епоху кам'яні знаряддя і прикраси, на яких, то ж були рисочки і крапки згруповані по 3, по 5, або по 7. Першими поняттями математики, з якими вони зіткнулися, були « менше »,« більше »і« стільки ж ». Якщо одне плем'я змінювало спійманих їм риб на зроблені людьми іншого племені кам'яні ножі, не потрібно було рахувати, скільки принесли риб і скільки ножів. Досить було покласти поруч із кожною рибою один ніж, щоб обмін відбувся. Щоб з успіхом займатися сільським господарством, знадобилися арифметичні знання. Без підрахунку днів важко було визначити, коли треба засівати поля, коли починати полив, коли чекати потомства від тварин. Треба було знати, скільки овець в отарі, скільки мішків зерна покладено в коморі. І ось понад 8 тисяч років тому пастухи стали робити з глини гуртки - по одному на кожну вівцю. Але в його стаді були не тільки вівці - він пас і корів, і кіз, і ослів. Тому довелося робити з глини і інші фігурки. Якщо вівці приносили приплід, пастух додавав до гурткам нові, а якщо частина овець йшла на м'ясо, кілька гуртків доводилося прибирати. Так, ще не вміючи вважати, займалися стародавні люди арифметикою. 2. ЧИСЛА ПОЧИНАЮТЬ ОТРИМУВАТИ ІМЕНА Перекладати кожен раз глиняні фігурки з місця на місце було досить стомлюючим заняттям. Зручніше було спочатку перерахувати товари, а вже потім приступати до обміну. Але пройшло багато тисячоліть, перш ніж люди навчилися перераховувати їх. Для цього їм довелося придумати назви для чисел. Вчені вважають, що спочатку назву придумали числа 1 і 2. Коли римляни придумували ім'я числу 1, вони виходили з того, що сонце на небі завжди одне - «Солюс». А назва для числа 2 пов'язано з предметами, що зустрічаються попарно, - крилами, вухами і т. Д. Але бувало, що числам 1 і 2 давали інші імена. Їх називали «я» і «ти». А все, що йшло після 2, називалося «багато». Але потім знадобилося називати і інші числа. І тут придумали чудовий вихід: числа стали називати, повторюючи кілька разів назви для одиниць і двійок. Наприклад, на мові папуаських племен числівник «один» звучить «урапун», а числівник «два» - «окоза». Число 3 вони назвали «окоза - урапун», а число 4 - «окоза - окоза». Так вони дійшли до числа 6, яке отримало ім'я «окоза - окоза - окоза». А далі у них йшло знайоме для нас слово - «багато». Пізніше інших отримало ім'я числівник 3. А так як до того племена вважали «один», «два», «багато», то це нове числівник стали застосовувати замість слова «багато». І зараз мати, розсердившись на неслухняного сина, каже йому: «Що я, три рази повинна повторювати одне і те ж!» Іноді числом три позначали весь навколишній людини світ - його ділили на земне, підземне і небесне царство. Тому число три стало у багатьох народів священним. Інші народи ділили світ не по вертикалі, а по горизонталі. Вони знали чотири сторони світу - схід, захід, північ, південь, знали чотири головних вітру. У цих народів головну роль відігравало число чотири, а не число три. А ось слово для позначення «тисячі» виникло 5 - 7 тисяч років тому. 3. ВЕЛИКОЛЕПНАЯ СІМКА. Я вже говорив, що папуаси після «окоза - окоза» говорили слово яке на їх мові означало «багато». Так було, ймовірно, і в інших народів. У всякому разі, в російських приказках і прислів'ях слово «сім» часто виступає в ролі слова «багато»: «Семеро одного не чекають», «Сім бід - одна відповідь», «Сім разів відміряй - один раз відріж» і т.д . Те, що 7 - число особливе люди вважали дуже давно. Адже ще древні мисливці, а потім і стародавні землероби і скотарі спостерігали за небом. Їх увагу привертало сузір'я Великої Ведмедиці - зображення семи зірок цього сузір'я часто зустрічаються на найдавніших виробах. Існувало ще більш глибокий зв'язок між небом і «сімкою». Стежачи за змінами форми місячного диска, люди помітили, що через сім днів після молодика на небі видно половина цього диска. А ще через сім днів вся Місяць сяє на північному небі. Проходить ще сім днів - і знову залишається половина диска, а ще через сім днів на нічному небі сяють лише зірки, а Місяця зовсім не видно. Так прийшли вони до поняття про місячному місяці, що складаються з чотирьох сімок днів. Особливо шанували число 7 на Стародавньому Сході. Кілька тисячоліть тому між річками Тигр і Євфрат жив народ Шумери. Вони позначали кількість 7 тим же знаком, що і весь всесвіт. Чому вони так робили? Деякі вчені думають, що вони висловлювали цим числом шість головних напрямків (вгору, вниз, вперед, назад, вліво, вправо) та ще те місце, від якого йде цей відлік. Від шумерів і вавилонян сімки перейшли до інших народів. Стародавні греки налічували, наприклад, сім чудес світу. Та й зараз ми користуємося семиденної тижнем. 4. ЖИВА ЛІЧИЛЬНА МАШИНА. Чим більше зерна збирали з полів люди, чим більшим ставали їх стада, тим більші числа ставали їм потрібні. Потрібні були назви дозволяють називати не одиниці, а десятки і сотні. Якщо спробувати сказати слово «сто», користуючись папуасскими назвами, доведеться п'ятдесят разів повторювати слово окоза. Тому був необхідний абсолютно новий підхід і старий метод рахунку витіснив новий - рахунок на пальцях. Пальці виявилися прекрасної обчислювальною машиною. З їх допомогою можна було вважати до 5, а якщо взяти дві руки то і до десяти. А в країнах де люди ходили босоніж то і до двадцяти. А навчившись вважати по пальцях до десяти, люди зробили наступний крок вперед і стали вважати десятками. І якщо одні папуаські племена вміли рахувати лише до шести, то інші доходили в рахунку до декількох десятків. Тільки для цього доводилося запрошувати відразу багато лічильників. Наприклад, щоб порахувати за все - всього до 30, довелося б працювати трьом папуасів. І зараз є племена, які говорять «дві руки» Ра «десять» і «руки і ноги» замість «двадцять». А в Англії перші десять чисел називають загальним ім'ям - «пальці» 5. СОРОК І ШІСТДЕСЯТ. Стрибок від десятка до сотні був зроблений не відразу. Спочатку наступним за десятьма вузловим числом стало у одних народів число 40, а у інших - 60. Число сорок відігравало важливу роль в старо - російської системі заходів: в пуд вважалося 40 фунтів, в бочці - 40 відер і т.д. Але були народи, у яких в найглибшій стародавності рахунок йшов до шести. Коли вони перейшли на рахунок десятками, то особливе ім'я у них отримали не чотири, а шість десятків. Так сталося у шумерів і древніх вавилонян. Від них шанування числа шістдесят перейшло до древнім грекам. У багатьох календарях вважалося, що рік складається з 360, тобто шести шестидесятке, днів. Але найдивніше те, що сліди рахунку шестидесятке збереглися до наших днів. Адже до сих пір ми ділимо годину на 60 хвилин, а хвилину - 60 секунд. Окружність ділимо на 360 градусів, градус - на 60 хвилин, а хвилину - на 60 секунд. Але потреба людей в невеликих кількостях росли і росли. Настав момент, коли вже і 40, і 60, і навіть 100 перестали здаватися занадто великими числами. Тоді для того, щоб сказати «дуже багато», стали говорити «сорок сороків» або «шістдесят шестидесятке». Шумери називали шістдесят шестидесятке словом «куля». Це слово стало втілювати у них ідею Всесвіту. А у народів користуються сотнею, ідею неймовірного безлічі втілювала сотня сотень. У російській мові вона отримала назву «тьма». І зараз, побачивши велику юрбу, ми виголошуємо: «Народу - тьма!» 6. ОПЕРАЦІЯ НАД ЧИСЛАМИ. З операціями додавання і віднімання люди мали справу задовго до того, як числа отримали імена. Коли кілька збирачів коріння або рибалок складали в одне місце свою здобич, вони виконували операцію складання. Правда, при цьому складалися не числа, а сукупності (або, як кажуть математики, безліч) предметів. А коли з зібраних горіхів частина йшла в їжу, люди виконували віднімання - запас горіхів зменшувався. З операцією множення люди познайомилися, коли стали сіяти хліб і побачили, що зібраний урожай в кілька разів більше, ніж кількість посіяних насіння. Нарешті, коли здобуте на полюванні м'ясо тварин або зібрані горіхи ділили порівну між усіма членами племені, виконували операцію ділення. Але повинні були пройти тисячоліття, поки люди зрозуміли, що складати, віднімати, множити і ділити годі й самі сукупності предметів, а числа. Так люди дізналися, що «два плюс два дорівнює чотири». 7.Дюжина І Гросс. Серйозним суперником десятковоїсистеми рахунку виявилася дванадцяткова. Замість десятків застосовували при рахунку дюжини, тобто групи з дванадцяти предметів. У багатьох країнах навіть тепер деякі товари, наприклад вилки, ножі, ложки, продають дюжинами, тобто по дванадцять штук. А ще на початку двадцятого століття в торгівлі застосовували і дюжину дюжин, яку називали «Гроссом», тобто «великий дюжиною». Стародавні люди давно знали шлях, який проходить Сонце за рік по зоряному небу. Коли вони роздягли рік на дванадцять місяців, то кожну частину цього шляху назвали «будинком Сонця». Так виникли сузір'я Зодіаку. Звідки ж узявся цей інтерес до дюжини? Відповісти на це питання допомогли вченим глиняні таблички, на яких було написано найдавніший шумерська рахунок. З подивом виявили, що, хоча шумери потім навчилися рахувати до таких величезних чисел, як 12.960.000 ( «куля куль» - так називали це число), коли - то вони вважали чи не краще, ніж папуаси. Тільки замість «урапун» і «окоза» у них були інші слова: «бе» і «Пеш». І рахунок у них йшов так, «бе» (тобто один), «бе - бе» (тобто два), «Пеш» (тобто три, «Пеш - бе» - чотири, число дванадцять мало ім'я «Пеш - Пеш - ПЕШ- Пеш ». Такий рахунок можна пояснити, припустивши, що шумери вважали в давнину не на пальцях, а по суглобах пальців. Оскільки 12 було шанованим числом, то число, наступне за ним, здавалося ніж - то зайвим, надмірним. Нещасливим вважався у шумерів і 13 місяць, який їм доводилося час від часу вставляти в свій календар, що б узгодити місячні місяці з сонячним роком. Звідси, ймовірно, і пішов забобон, за яким число 13 вважають нещасливим і називають його «чортовою дюжиною». Кілька разів відбувалися спроби ввести Дванадцяткова систему числення, тобто замість десятків і сотень вважати дюжинами і Гросса. Однак далі розмови справа не пішла: непосильним виявилася задача перевчити всіх на нові позначення і правила рахунку. Зрозуміло, перемога десяткової системи числення над усіма суперницями пояснюється тим, що у людини на кожній руці по п'ять пальців. Але дивні повороти робить історія! Саме двійкова система рахунку виявилася найкориснішою для сучасної техніки. На основі двійковій системі працюють сучасні швидкодіючі обчислювальні машини. 8. ПЕРШІ ЦИФРИ. І так, на папірусі чи, на глині чи, на камені чи, але людям необхідно було зображати числа. І тут був зроблений досить важливий крок: люди здогадалися писати замість групи одиниць один знак. Писати багато разів один і той же знак, зрозуміло, дуже незручно. Тому поступово окремі знаки стали зливатися разом. Так з'явилися особливі позначення для чисел. Ці знаки вже були цифрами. Одна з найдавніших нумераций єгипетська. Для запису чисел стародавні єгиптяни вживали ієрогліфи, які означають (послідовно): одиницю, десять, сто, тисячу, десять тисяч, сто тисяч (жаба), мільйон (людей з піднятими руками), десять мільйонів. У стародавніх греків були дві системи позначення чисел. За старішої з них числа від 1 до 4 позначалися за допомогою вертикальних рисок, а для числа 5 застосовувалася буква Г - перша буква грецького слова «Пента», тобто «п'ять». Далі використовувалися літери: Н - 100, Х -1000, М - 10 000 і т. Д. Але ця система поступилася місцем іншій, в якій числа позначали буквами з рисками над ними. У давньогрецькому алфавіті було 24 літери. До них додали три вийшли з ужитку старовинні літери і розбили отримані 27 букв на 3 групи, по 9 букв в кожній. Першою дев'яткою букв греки позначали числа від 1 до 9. Наприклад, першою літерою свого алфавіту альфа вони позначали кількість 1. Другий бета - число два і т. Д. До букви тета, яка позначала число 9. Друга дев'ятка букв обслуговувала числа від 10 до 90, а третя - числа від ста до дев'ятсот. Числові позначення в Стародавньому Римі нагадували древній спосіб грецької нумерації. У римлян були спеціальні позначення не тільки для чисел 1, 10, 100 і 1000, а й для чисел 5, 50, 500. Наприклад: Х - 10, С - 100, D - 500 і М - 1000. Позначаючи числа, римляни записували стільки цифр, що б їх сума давала потрібне число. Наприклад число 362 представляли так: CCCLXII, як бачимо, спочатку йдуть великі числа потім менші. Але іноді римляни писали меншу цифру пере більшою. Це означало, що потрібно не складати, а віднімати. Наприклад, число 9 позначалося IX (без одного десять). Найбільшим числом, яке вміли позначати римляни, було 100 000. Хоча римська нумерація була не дуже зручною, вона поширилася майже по всій ойкумені - так називали в давнину греки відомий їм населений світ. У давнину на Русі до числа 10 000. Воно в самих старовинних пам'ятках писали числа за допомогою букв слов'янського алфавіту, над якими ставили особливий значок - титло. Це робилося для того, щоб відрізнити їх від звичайних слів. Ось, наприклад, запис числа 444 (див. Малюнок ...). Але алфавітна нумерація мала і великий недолік: з їх допомогою можна позначати як завгодно великі числа. Правда, слов'яни вміли записувати і великі числа, але для цього в алфавітній системі додавали нові позначення. Числа 1000, 2000 і т. Д. Записували темі ж буквами, що 1, 2 і т. Д. Тільки зліва внизу ставили спеціальний знак. У господарському житті задовольнялися порівняно невеликими числами - так званим «малим рахунком», який доходило називається «тьма», тобто темне число, яке не можна ясно уявити. Надалі кордон малого рахунку була відсунута до 10 у восьмому ступені, до числа «тьма тем». Але поряд з цим «малим числом» вживалася друга система, що називалася «великим числом або рахунком». У ньому вживалися більш високі розряди: тьма - 10 в шостого ступеня, легіон - 10 в дванадцятому ступені, леодр - 10 в двадцять четвертого ступеня, ворон - десять в сорок восьмому ступені, колода - десять воронів - 10 в сорок дев'ятому ступені. Для позначення цих великих чисел наші предки вживали оригінальний спосіб: число одиниць будь-якого з перерахованих вищих розрядів позначалося тієї ж буквою, що і прості одиниці, але оточеній для кожного числа відповідним бордюром. У першому друкованому російською підручнику математики Л. Ф. Магницького даються вже зараз терміни для великих чисел (мільйон, мільярд, трильйон, квадрильйон, квінтильйон). Характерним «чіслолюбцем» Стародавньої Русі був монах Кирик. Він написав в 1134 році книгу «Кирика - диякона Новгородського Антонієві монастиря вчення, їм ведати людині числа всіх років». У цій книзі Кирик підраховує, скільки місяців, скільки днів, скільки годин він прожив обчислює в місяцях, тижнях і в днях час, що минув до 1134 роки від «створення світу», виконує різні обчислення днів церковних свят на майбутнє час. При числення часу Кирик вживає «дробові годинник», маючи на увазі під ними п'яті двадцять п'яту, сто двадцять п'яту і т.д. частки години. Доходячи в цьому рахунку до сьомого дрібного години, яких в дванадцятигодинний дні виявляється 937 500, він заявляє: «... найбільше не буває». Це, мабуть, означає, що більш дрібних ділень години не вживали. Алфавітна нумерація була мало придатна для оперування з великими числами. В ході розвитку людського суспільства ця система поступилася місцем позиційним системам. Першою відомою нам позиційною системою числення була шістдесяткова система вавилонян. Як же вавилоняни записували свої цифри? Вони надходили так: записували все числа від 1 до 59 за десятковою системою, застосовуючи принцип складання. При цьому вони користувалися двома знаками: прямим клином - для позначення одиниці і лежачим клином - для десяти. Ці знаки служили цифрами в їх системі (див. Рис ...) Таким чином «цифри», тобто все числа від 1 до 59, вавилоняни записували по десятковій системі, а число в цілому - по системі з основою шістдесят. Тому - то ми називаємо їх систему Шістдесяткова. Шістдесяткова система вавилонян зіграла велику роль в розвиток математики і астрономії. Сліди її збереглися до наших днів. Так, ми до сих пір ділимо годину на 60 хвилин, а хвилину на 60 секунд. Точно так же коло ми діли на 360 рівних частин (градусів). На початку нашої ери індіанці племені майя, які жили на півострові Юкотан в Центральній Америці, користувалися інший позиційній системі з основою 20. Свої цифри індіанці майя, як і вавилоняни, записували, користуюся принципом складання. Одиницю вони позначали точкою, а п'ять - горизонтальною лінією (див. Рис. ...), але в цій системі був знак для нуля. Він нагадував за своєю формою напівзакритий очей. Десяткова позиційна система вперше склалася в Індії не пізніше шостого століття нашої ери. Тут же був введений символ для нуля. Отже, позиційна система числення виникли незалежно одна від одної в стародавньому Дворіччя, у племені майя і, нарешті, в Індії. Все це говорить про те, що виникнення позиційного принципу не було випадковістю. У таких системах для запису однакового числа одиниць, десятків, сотень або тисяч застосовуються одні і ті ж символи, але після кожного символу пишеться назва відповідного розряду. Наступною системою до позиційного принципу було опускання розрядів при листі (подібно до того як ми говоримо «три двадцять», а не «три рублі двадцять копійок»). Але під час запису великих чисел по системі з основою 10 дуже часто був необхідний символ для позначення нуля. Як же з'явився нуль? Ми знаємо, що вже вавилоняни вживали межразрядовий знак. Починаючи з другого століття до нашої ери грецькі вчені познайомилися з багатовіковими астрономічними спостереженнями вавилонян. Разом з їх обчислювальними таблицями вони перейняли і вавилонську шістдесяткова систему числення, але тільки числа від 1 до 59 записували не за допомогою клинів, а в своїй, алфавітній нумерації. Але саме чудове було те, що для позначення пропущеного шістдесяткова розряду грецькі астрономи почали вживати символ О (перша буква грецького слова - ніщо). Цей знак, мабуть, і був прообразом нашого нуля. Дійсно, індійці, які володіли вже мультиплікативний принципом запису чисел, якраз між другим і шостим століттями нашої ера познайомилися з грецькою астрономією. Одночасно вони познайомилися з Шістдесяткова нумерацією і грецьким круглим нулем. Індійці і з'єднали принципи нумерації грецьких астрономів зі своєю десяткової системою. Це і був завершальний крок у створенні нашої нумерації. З Індії нова система поширилася по всьому світу. В країни Європи нова індійська нумерація була занесена арабами в десятому - тринадцятому століттях (звідси і назва «арабські цифри»). Поступова зміна написання цифр можна простежити по малюнку ... 9. ЯК У СТАРОЖИТНОСТІ ВИКОНУВАЛИ Арифметичні ДІЇ. Якщо зі складанням і відніманням ні у єгиптян, ні у вавилонян, то гірше було з множенням. І тут єгиптяни придумали цікавий вихід: вони замінили множенням на будь-яке число подвоєнням, тобто складанням числа самим з собою. Наприклад, якщо треба було помножити число 34 на 5, то надходили так: множили 34 спочатку на 2, потім ще раз на 2. Записували стовпчиками (звичайно, в своїх позначеннях чисел) ...
Схожий спосіб множення застосовувався через кілька тисяч років російськими селянами.Нехай потрібно помножити 37 на 32. Складали два стовпці чисел - один подвоєнням, починаючи з числа 37, інше роздвоєнням (тобто поділом на два), починаючи з числа 32:
Іншим шляхом пішли в Вавилоні. Вони порахували раз назавжди за допомогою повторного складання твору і отримані результати занесли в таблицю. Вавилоняни любили складати таблиці. У них були таблиці квадратів і кубів, зворотних чисел і навіть сум квадратів і кубів. 10. АБАК І ПАЛЬЦЕВИЙ РАХУНОК. Греки і римляни виробляли обчислення за допомогою спеціальної лічильної дошки - абака. Дошка абака була розділена на смужки. Кожна смужка призначалася для відкладання тих чи інших розрядів чисел: в першу смужку ставили стільки камінчиків або бобів, скільки в числі одиниць, в другу смужку - скільки в ньому десятків, в третю - скільки сотень, і так далі. На малюнку показано число 510 742. Так як у римлян камінчик називали калькулюс (порівняйте з російським словом "галька"), то рахунок на абаці отримав назву калькуляція. І зараз підрахунок витрат називають калькуляцією, а людини, що виконує цей підрахунок - калькулятором. Але після того як два десятки років тому були зроблені маленькі прилади, які виконують за лічені секунди складні розрахунки, назва "калькулятор" перейшло до них.
Виникнення чисел дозволило вирішувати складні завдання, що зустрічалися в практичній діяльності, довелося, окрім натуральних чисел, придумати інші числа - звичайні, десяткові дроби, негативні числа, навчитися використовувати пропорції, а потім створити нову науку - алгебру, яка дозволяла вирішувати будь-які завдання з допомогою рівнянь. Коли - то числа служили тільки для вирішення практичних завдань. А потім їх стали вивчати - дізнаватися їх властивості. За допомогою чисел висловлювали і такі поняття, як справедливість, досконалість, дружба. Вчені встановили, як по запису числа дізнатися, на які інші числа вони діляться. Вони навчилися знаходити прості числа і стали вивчати їх властивості. Багато століть мріяли люди створити машини, які б самі виконували доручені їм роботи - ткали і пряли, кували і виточували. Щоб створити такі автомати, знадобилися машини, які вміють виконувати арифметичні операції, розуміти і переробляти різні відомості. Зараз машини - математики застосовуються у всіх областях людської діяльності.
додаток
Малюнок 1
Клинописна запис чисел в стародавньому Вавилоні
малюнок 2
Цифри в стародавньому Єгипті малюнок 3
Малюнок 6 Алфавітне зображення чисел у Стародавній Греції.
Малюнок 7 Позначення чисел в Стародавньому Римі.
Легіон
ворон КОЛОДА Найбільше число - колода. Буква полягала в квадратні дужки, але не справа і зліва, як у звичайних букв, а зверху і знизу. Плюс справа і зліва ставилися два ромбика. Запис в слов'янської нумерації числа 444 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Малюнок 5 Цифри індіанців племені майя 
Малюнок 8 Позначення чисел в Стародавній Русі
темрява
Леодр
