Команда
Контакти
Про нас

    Головна сторінка


Логіка як наука. Історія розвитку логіки





Скачати 133.57 Kb.
Дата конвертації21.01.2019
Розмір133.57 Kb.
Типреферат

Логіка - як наука. Історія розвитку логіки.

Форми людського мислення

Слово логіка означає як сукупність правил, яким підпорядковується процес мислення, так і науку про правила міркувань. (Логіка - це наука правильно міркувати, наука про закони і формах людського мислення). Логіка, як наука про закони і форми мислення вивчає абстрактне мислення як засіб пізнання об'єктивного світу.

Якщо теорія алгоритмів - в деякому сенсі мати сучасних ЕОМ і програмування, то логіка - їхній батько.

Уміння міркувати, логічно мислити, давати відповіді на поставлені питання грає дуже важливу роль в житті людини. Виділення логічних задач носить до деякої міри умовний характер. Важко визначити, яке завдання слід назвати логічною. Здається, будь-яке завдання є такою, так як для її вирішення потрібні певні логічні міркування. І це вірно, але все ж за традицією для тренування саме логічного мислення людиною придумано безліч завдань, в яких мова йде про об'єкти, взагалі кажучи, довільної природи. Саме такими завданнями і правилами їх вирішення ми і займемося.

Але яке відношення логіка має до обчислювальної техніки та програмування? Виявляється, найбезпосередніше. Саме логіка є теоретичною основою сучасних ЕОМ і складних керуючих систем. Вона набуває важливого прикладного значення - особливо в області розробки спеціальних мов для баз даних і представлення знань. Використовуючи методи і засоби логічної науки, вчені розробляють ефективні мови програмування.

Наприклад, основою так званого доказового програмування є формальна логіка. Загальна ідея тут, як то кажуть, лежить на поверхні: якщо можна конструктивно, використовуючи інтуїцію, довести, що існують об'єкти, що задовольняють деякому даній умові, то, побудувавши доказ, можна побудувати по ньому і програму обчислення відповідного умови (функції).

Знову ж таки, в основі так званого логічного програмування лежать структури логічних доказів.

Але особливе значення логічна наука стала набувати в питаннях, що стосуються проблеми штучного інтелекту. Саме тут розробникам довелося створити нову область логічних досліджень - логічний аналіз.

Аристотель (384 - 322 рр. До н.е.) по праву вважається основоположником логіки. Він проаналізував людське мислення і його форми: поняття, судження, умовивід. У своїх визначеннях Аристотель представляє логіку як науку про виведення одних умовиводів з інших по їх логічній формі, тому логіку Аристотеля називають формальною. (Він розглянув мислення з боку будови, структури, тобто з формального боку). (Формальна логіка - наука про закони і форми мислення).

Протягом багатьох століть логіка допомагала математиці стати суворою, послідовної наукою. Поступово взаємна зв'язок між математикою і логікою привела до того, що логіка виявилася під впливом математики.

Після падіння античної цивілізації розвиток математики, і особливо логіки, сповільнилося, тому що нові логічні ідеї нерідко вступали в протиріччя з формами мислення церкви. Цікаво відзначити: перше, що було відновлено з античної науки, - це саме логіка Аристотеля.

Перші ідеї використання загальноприйнятих математичних методів в логіці з'явилися в XVII ст., В працях французького філософа і математика Рене Декарда (1596-1650), німецького філософа і математика Вільгельма Лейбніца (1646 - 1716). Лейбніц вперше висловив думку про можливість застосування двійкової системи числення в обчислювальної математики. Він вважав, що можна замінити прості міркування діями зі знаками і привів відповідні правила.

Але цим ідеям Лейбніца судилося отримати подальший розвиток лише в середині XIX століття в працях іншого великого математика Джорджа Буля, батька письменниці Е. Войнович - автора роману «Овід». Він вивів для логічних побудов

Особливу алгебру (алгебру логіки). На відміну від звичайної, в ній символами позначають не числа, а висловлювання. Алгебру логіки по іншому називають булевої алгеброю.

Великий внесок у розвиток математичної логіки також внесли Аугустус де Морган (1806-1871), Вільям Стенлі Джевонс (1835-1882), Платон Сергійович Порицький (1846-1907), Чарлз Сандерс Пірс (1839-1914) і ін.

Сьогодні математична логіка знайшла додаток у питаннях конструювання і застосування обчислювальної техніки. У ЕОМ інформація піддається не тільки математичної, але і логічній обробці. Основу роботи логічних схем і пристроїв ЕОМ становить спеціальний математичний апарат - розділ математичної логіки, званої алгеброю логіки.

Перш ніж перейти до вивчення даної теми необхідно повторити наступні теми: інформація, види інформації, способи отримання інформації та т.д.

Однією з форм отримання інформації є мова. Інформацію людина може отримати через питання і відповіді. Кожне питання висловлює потребу в знанні певних відомостей про навколишній світ. Ці знання ми висловлюємо у формі суджень.

Основні форми абстрактного мислення:

- ПОНЯТТЯ,

- СУЖДЕНИЯ,

- Умовиводи.

Поняття - форма мислення, в якій відображаються істотні ознаки окремого предмета або класу однорідних предметів.

Приклади понять: Портфель, трапеція, ураганний вітер.

У поняттях «схоплюються» сутність предметів, їх внутрішній зміст.

Судження - це форма мислення, в якій щось стверджується або заперечується про предмети, їх властивості чи відносинах. (Судженням (висловлюванням) називається будь-яке твердження (або будь-яке пропозицію), про який можна судити, істинно воно або помилково).

Судження виражається у вигляді розповідного речення.

Судження може бути простим або складним.

Судження вважається простим, якщо якась його частина не є судженням.

Складні судження характеризуються тим, що утворені з кількох суджень з допомогою певних способів з'єднання суджень.

Наприклад: «Париж - столиця Албанії» - просте судження

А судження: «Невірно, що Париж - столиця Албанії» - складне, тому що його частина є теж судженням.

Море солоне. Сніг біло-блакитний. Земля пласка. У річці вода солона. Океан прісноводний. 5 * 5 = 25.

Якщо настануть канікули, то я поїду або до бабусі або в будинок відпочинку.

Складні судження найчастіше утворюються як складові. Вони виходять з простих або елементарних суджень з використанням зв'язок «І», «АБО», «ЯКЩО ..., ТО», «НЕ».

Судження можуть бути істинними або помилковими. Безпосередньо спостережувані факти ми зазвичай приймаємо за справжні, а прагнення видати бажане за дійсне або через помилку в міркуваннях або припущеннях - за неправдиві.

Судження бувають приватні і загальні. Приватні судження висловлюють конкретні (приватні) факти. Наприклад: «7-2> 3», «Місяць - супутник Землі».

Загальні судження характеризують властивості об'єктів або явищ.

Приклади загальних суджень: Всі фрукти корисні. У кішки чотири ноги, а ззаду її хвіст.

«У будь-якому прямокутному трикутнику є кут в 90 0», «Кожна людина - ссавець». Загальне судження називається тотожно (абсолютно) істинним, якщо воно справедливо для якого об'єкта, про який йдеться в судженні. Друге судження вірно для всіх котячих. Судження «Взимку йде сніг» не тотожне істинно, так як, наприклад. 20 січня 2003 року сніг не йшов.

Якщо з двох суджень виводиться остання причина, можете цей процес називається умовивід.

Умовивід е - прем мислення, за допомогою якого з вихідного знання виходить нове знання.

Візьмемо перше судження:

«Академік Єршов русифікував мову Паскаль»

Друге судження:

«Мова Паскаль - структурний мову».

Тоді висновок з цих суджень:

«Академік Єршов русифікував структурний мову» - буде висновком.

Ланцюжок взаімосвязних суджень, фактів, загальних положень і висновків, одержуваних з інших суджень за певними правилами є міркування.

Головне завдання логіки полягає в тому, щоб виявить, які способи міркування правильні, а які ні.

питання:

  1. Що таке логіка? Якими формами людського мислення вона займається?
  2. Наведіть коротку історію розвитку математичної логіки.
  3. Яка головна задача логіки?
  4. Яку роль відіграють знання логіки в обчислювальній техніці і програмуванні? Де вона має пряме додаток?

Висловлювання в логіці. Прості і складні висловлювання.

Логічні операції. Таблиці істинності.

В основі логічних схем і пристроїв ПК лежить спеціальний математичний апарат, який використовує закони математичної логіки. Математична логіка вивчає питання застосування математичних методів для вирішення логічних завдань і побудови логічних схем. Знання логіки необхідно при розробці алгоритмів і програм, так як в більшості мов програмування є логічні операції.

У математичній логіці судження називають висловлюваннями. Алгебру логіки інакше називають алгеброю висловлювань.

ВИСЛОВЛЮВАННЯ - це оповідної пропозицію, про який можна сказати, істинно воно або помилково.

наприклад:

Земля - планета Сонячної системи - істинно

2 + 8 <5 - хибно

5 * 5 = 25 - істинно

А ось приклади, які не є висловлюваннями:

Йдучи, гасіть світло;

Хай живе мило запашне і рушник пухнасте.

Висловлювання, наведені вище, є простими. Складні висловлювання виходять шляхом об'єднання простих висловлювань зв'язками - союзами І, АБО, і часткою НЕ. Значення істинності складних висловлювань залежить від істинності вхідних висловлювань і від об'єднання їх зв'язок.

Наприклад, дані чотири простих висловлювання:

На вулиці йде дощ;

На вулиці світить сонце;

На вулиці похмура погода;

На вулиці йде сніг.

Складіть два складних висловлювання, одне з яких в будь-якій ситуації буде помилково, а інше - завжди істинно, обов'язково використовуючи всі запропоновані прості висловлювання.

Відповідь: в одному випадку об'єднаємо всі висловлювання союзом АБО і отримаємо справжнє висловлювання, в іншому використовуючи союз І, отримаємо висловлювання завжди помилкове.

Це завдання може грати роль своєрідного тесту - чи правильно зрозумілий матеріал, чи можна переходити до більш складним завданням.

У математичній логіці не розглядається конкретний зміст висловлювання, важливо тільки, істинно воно або помилково. Тому вислів можна уявити деякою змінною величиною, значенням якої може бути тільки 0 або 1. якщо висловлювання істинно, то його значення дорівнює 1, якщо помилково - 0. Прості висловлювання назвали логічними змінними, а складні логічними функціями. Значення логічної функції також тільки 0 або 1. для простоти запису висловлювання позначаються латинськими літерами А, В, С.

наприклад:

У кішки чотири ноги.А = 1

Москва столиця Франції У = 0

Використання 0 і 1 підкреслює деякий відповідність між значеннями логічних змінних і функцій в математичній логіці і цифрами в двійковій системі числення. Це дозволяє описувати роботу логічних схем ПК і проводити їх аналіз і синтез за допомогою математичного апарату алгебри логіки.

Будь-який пристрій ПК, що виконує дії над двійковими числами, можна розглянути як певний функціональний перетворювач.

Х

У F (X, Y, Z)

Z

Причому числа на вході (Х, У, Z) - значення вхідних логічних змінних, а число на виході - значення логічної функції, яке отримано в результаті виконання певних операцій. Таким чином, цей перетворювач реалізує деяку логічну функцію.

Значення логічної функції для різних сполучень вхідних змінних або, як це інакше називають, наборів вхідних змінних - зазвичай задаються спеціальною таблицею. Така таблиця називається таблицею істинності. Кількість наборів вхідних змінних (Q) можна визначити за формулою.

Q = 2 n

де n - кількість вхідних змінних.

В алгебрі висловлювань, як і в звичайній алгебрі, вводиться ряд операцій. Зв'язки, І, АБО і Чи не замінюються логічними операціями: конь'юнкція, дизьюнкций і інверсією. Це основні логічні операції, за допомогою яких можна записати будь-яку логічну функцію. Також є додаткові логічні операції імплікація і еквівалентність.

Логічна операція конь'юнкція інакше називається ЛОГІЧНЕ Множення.

- відповідає союзу І,

- в програмуванні AND

- позначається знаком ^

- позначення логічного елемента відповідного логічної операції І, відповідає знак &?

Конь'юнкція двох логічних змінних істинна тоді і тільки тоді, коли обидва висловлювання істинними.

Це визначення можна узагальнити для будь-якої кількості логічних змінних, об'єднаних конь'юнкція.

A ^ B ^ C = 1, тільки якщо А = 1, В = 1, С = 1 ..

Таблиця істинності кон'юнкції має наступний вигляд:


А В А ^ В

0 0 0

0 1 0

1 1 + 1

1 0 0

З таблиці істинності випливає, що операція кон'юнкції (логічна операція «І») - це логічне множення, яке нічим не відрізняється від традиційного множення в звичайній алгебрі.

наприклад:

Нехай є судження А = «Сьогодні гарна погода»

В = «Коля пішов кататися на лижах»

Тоді конь'юнкція А ^ В є судження:

Х = «Сьогодні гарна погода і Коля пішов кататися на лижах»

Якщо хоча б одне з цих суджень помилково, то природно побудоване вище судження Х помилково.

Логічна операція дизьюнкций - інакше називається ЛОГІЧНЕ ДОДАВАННЯ

- відповідає союзу АБО,

- в логічних елементах позначається 1

- в програмуванні відповідає OR

- позначається знаком \ /

Диз'юнкція двох логічних змінних помилкова тоді і тільки тоді, коли обидва висловлювання помилкові.

Це визначення можна узагальнити для будь-якої кількості логічних змінних, об'єднаних дизьюнкций.

A \ / B \ / C = 0, тільки якщо А = 0, В = 0, С = 0

Таблиця істинності дизьюнкций має наступний вигляд:


А В А \ / B

0 0 0

0 1 + 1

1 0 1

1 1 + 1

З таблиці істинності випливає, що операція, дизьюнкций (операція «АБО») - логічне додавання - трохи але відрізняється від звичайного алгебраїчного додавання. А саме: відрізняється лише останнім рядком: 1 + 1 = 1. Результат цей також не збігається зі складанням двійкових чисел (1 + 1 = 10). Це наслідок того, що 1 є не числом «один», а тільки символом сенс якого був пояснений вище. Якщо є дві справжні величини, то результатом їх складання буде справжня величина, але не може бути ні двічі істинно, ні полуістінно! Саме тому 1 + 1 = 0.

Наприклад: нехай дано два судження:

А = «Сніг піде вночі»

В = «Сніг піде вранці»

Тоді судження Х = А + В = «Сніг піде вночі або вранці»

У цьому прикладі зв'язка «АБО» відіграє об'єднуючу роль.

Наведемо ще один приклад. Дано судження:

А = «Він прийде сьогодні»

В = «Він прийде завтра»

Судження Х = А + В = «Він прийде сьогодні або завтра»

В цьому випадку зв'язка «АБО» грає тільки роз'єднувальних роль (її можна замінити розділяє або).

Складений судження зі зв'язкою «АБО» вважається дійсним, якщо істинно хоча б одне з складових суджень, і вважається помилковим, якщо помилкові всі його складові.

Логічна операція інверсії - ЗАПЕРЕЧЕННЯ - операція «НЕ»

- в програмуванні «NOT»

- позначається Неа або вживається символ «-« над А

Маючи судження А, можна утворити нове судження, яке читається як «Неа» або невірно, що А.

Таблиця істинності виглядає наступним чином:

А А


1 0

0 1

так як можливі тільки два значення змінної, то завжди


1 = 0 і 0 = 1

Нехай судження А = «Ми любимо інформатику»

А = «Ми не любимо інформатику»


Заперечення А має значення «істинно», якщо вихідне судження помилкове. І

навпаки, А має значення «ложно», якщо вихідне судження А істинно.

Логічна операція ІПЛІКАЦІЯ (від латинського implication - тісно пов'язувати) - Логічне слідування

Позначається так: А В,

А - умова. В - наслідок.

Якщо А, то В:

Таблиця істинності

А

В

А В

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

Висновок: результат буде хибним тоді і тільки тоді, коли з істинного висловлювання (А) слід помилкове слідство (В)

Логічна операція ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ (від лат. Aequivalens - рівноцінне) - Логічне рівність.

Позначається так: А В

Таблиця істинності

А

В

А В

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Висновок: результат буде істинним тоді і тільки тоді, коли обидва висловлювання одночасно або хибні, або істинні.

В алгебрі висловлювань будь-яку логічну функцію можна виразити через основні логічні операції, записати її у вигляді логічного виразу і спростити, застосовуючи закони логіки і властивості логічних операцій. За формулою логічної функції легко розрахувати її таблицю істинності. Необхідно тільки враховувати порядок виконання логічних операцій (пріоритет) і дужки. Операції в логічному вираженні виконуються зліва направо з урахуванням дужок.

Пріоритет логічних операцій:

дужки,

інверсія,

конь'юнкція,

Дизьюнкций.

імплікації

ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ

питання:

1. Які бувають висловлювання? Привести приклади різних висловлювань.

2. Дати поняття логічним змінним і логічним функцій. Придумати приклади.

3. Вивчити таблиці істинності і навести приклади.

Використання логіки висловлювання в техніці.

Логічні схеми на контактних елементах.

Логічний елемент - це схема, яка реалізує логічні операції І, АБО, НЕ.

Розглянемо реалізацію логічних елементів через електричні контактні схеми, знайомі зі шкільного курсу фізики. Контакти на схемах будемо позначати латинськими літерами.

1.Послідовне з'єднання контактів а в

а

2. Паралельне з'єднання контактів в

Складемо таблицю залежності стану ланцюгів від всіляких комбінацій стану контактів. Введемо позначення: 1-контакт замкнутий, струм в ланцюзі є; 0-контакт розімкнений, струму в ланцюзі немає.

А

В

Стан ланцюга з послідовним з'єднанням

Стан кола з паралельним з'єднанням

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

Як видно, ланцюг з послідовним з'єднанням відповідає логічній операції І, тому що струм в ланцюзі з'являється тільки при одночасному замиканні контактів А і В. ланцюг з паралельним з'єднанням відповідає логічній операції АБО, тому що струм в ланцюзі з'являється як при замиканні одного з контактів А чи В, так і при одночасному їх замиканні.

Логічна операція НЕ реалізується через контактну схему електромагнітного реле, принцип роботи якого вивчається в шкільному курсі фізики. Контакт Нех називається інверсією контакту Х; коли Х замкнутий, Нех розімкнути, і навпаки.

Таблиця істинності стану інверсних контактів

Х

Нех

0

1

1

0

Будь-яку електричну схему можна розбити на ланцюжки з послідовно і паралельно з'єднаних контактів, які ми назвемо елементарними.

Вправа 1. Розбийте на елементарні ланцюжка схеми на рис. 1 і рис. 1.

Рішення. У схемі рис. 1 можна виділити ланцюга з послідовно з'єднаними контактами C, D, F і дві паралельно з'єднані ланцюга (1-ланцюг з контактами C, D, F, 2-ланцюг з контактом А).

cdfbd

a

acf

Мал. 1 Рис. 2

У схемі рис. 2 два паралельних з'єднання

B d

C І F

Які об'єднуються послідовно з контактом А в одну схему.

завдання

3.1. Визначте вид і кількість елементарних ланцюжків в електричних ланцюгах.

А) Х У б) У a d

Нех ce

в) з d f г) a

abb

c

b d

д) cx

a Нех

Читання електричних схем

Важливо вміти читати електричні схеми, т.е. визначати їх стан (є струм чи ні струму) в залежності від стану контактів при підключеному джерелі струму.

Вправа 2. Дана схема: х

z

У

Стан контактів задаються таблицею, в якій використовуються введені раніше позначення: 0 - контакт розімкнений, 1 - контакт замкнутий. Потрібно заповнити колонку стану схеми.

х

у

z

стан схеми

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Рішення. Перший випадок (0; 1; 1). Замкнуті контакти У і Z, тобто ланцюг для проходження струму створена, стан схеми -1. другий випадок (1; 0; 1) аналогічний першому - струм буде проходити через замкнуті контакти Х і Z, стан схеми -1. Третій випадок (1; 1; 0), незамкнений контакт Z створює обрив в ланцюзі, отже, струм проходити не буде, стан схеми - 0.

Вправа 3. У таблиці задано стан контактів схеми:

B ac


Нев

а

в

Нев

з

стан схеми

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

Потрібно заповнити останній рядок таблиці

Рішення. Перший випадок (1; 1; 0; 1). Ланцюжок замкнутих контактів А, В, С створює шлях для струму, стан схеми - 1. Другий випадок (1; 0; 1; 1). Верхня ланцюжок паралельного з'єднання розірвана, але ланцюг для струму створюється через замкнутий контакт Нев, в ланцюзі буде струм, стан схеми - 1. Третій випадок (1; 1; 0; 0). Незалежно від стану контактів А, В, при розімкнутих контактах С і нев струму в ланцюзі не буде, стан схеми - 0.

завдання

3.2. Уявіть, собі що до наведених нижче схемами підключили джерело живлення і прилад для вимірювання струму., Стан контактів задається таблицею, визначте показання приладу (є струм чи ні).

А)

А

В

З

D

струм

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

А В С

D

Б)

А

В

З

струм

1

0

0

0

1

0

1

1

1

А

В

З


А

Неа

В

З

струм

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

В)

В

А

Чи не А

г)

А

Неа

В

З

D

струм

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

А В

DC

Неа

Складання формул логічних функцій

Кожній контактної схемою, складеною з паралельного або послідовного з'єднання контактів, відповідає логічна функція.При складанні логічної функції слід пам'ятати, що будь-яка схема може бути описана як сукупність елементарних ланцюжків за таким правилом:

А) послідовне з'єднання елементарних ланцюжків представляються як з'єднання описують їх функцій, пов'язаних логічною операцією І.

Б) паралельні з'єднання елементарних ланцюжків виражаються як з'єднання описують їх функцій, пов'язаних логічною операцією АБО.

У D

Для схеми F спочатку записуються логічні формули

A E

елементарних ланцюжків В

А F (A, B) = A або В

D

EF (D, E) = D або E

А потім отримані формули об'єднуються логічною операцією і

F (A, B, F, DE) = (A або B) і F і (D або E)

Для схеми A B C

F

E


Записуються логічні формули кожної з паралелей F (A, B, C) = A і В і С,

F (E, F) = Е або F; які потім об'єднуються логічною функцією або

F (A, B, C, E, F) = (А і В і С) абоабо F).

завдання

3.3. Складіть формули логічних функцій до схем:

У нев Нев

а) б) А В

А С ніс

В) А неD Г) а bc

D f

Z

F

d) ab

c неC

z

x

ж) Неу

неZ

У Нех

питання:

1.Дати визначення логічного елементу.

2. Паралельні і послідовні з'єднання. Таблиці істинності.

3. Чи навчиться читати електричні схеми.

4. навчиться складати формули логічних функцій.

Логічні елементи ПК. Побудова логічних схем.

Побудова логічних формул на основі логічних схем.

Математична логіка з розвитком ВТ виявилася в тісному взаємозв'язку з питаннями конструювання та програмування ОТ. Алгебра логіки знайшла широке застосування спочатку при розробці релейно-контактних схем. Першим фундаментальним дослідженням, які звернули увагу інженерів, які займалися проектуванням ЕОМ, на можливість аналізу електричних ланцюгів за допомогою булевої алгебри була опублікована в грудні 1938 року стаття американця Клода Шенона «Символічний аналіз релейно-контактних схем» Після цієї статті проектування ЕОМ не обходилося без застосування булевої алгебри . Роль ключа в схемах спочатку грали електромеханічне реле, потім використовувалися електронні лампи і транзистори.

Використання контактних елементів для побудови логічних схем ЕОМ не виправдав себе з огляду на низьку надійності, великих габаритів, великого енергоспоживання і низької швидкодії.

Розвиток технології дозволило об'єднати кілька логічних елементів на одній інтегральній схемі. Поява електронних приладів (вакуумних і напівпровідникових) створило можливість побудови логічних елементів з швидкодією від 1 мільйона перемикань в секунду і вище.

Логічна схема будується на основі об'єднання електронних елементів. Ці елементи реалізують конкретні логічні операції і звуться ЛОГІЧНІ ЕЛЕМЕНТИ. На вхід кожного елемента подаються сигнали, звані вхідними. На виході отримуємо вихідний сигнал. Якщо є сигнал - значить 1, якщо немає сигналу - 0. кожна логічна схема реалізує певну логічну функцію, а при подачі на її вхід суворо певної комбінації вхідних сигналів ми повинні отримати на виході цілком певний результат - 0 або 1.

Логічний елемент - це схема реалізує логічні операції І, АБО, НЕ.

Розглянемо логічні елементи, що реалізують основні логічні операції.

ИНВЕРТОР - реалізує операцію заперечення, або інверсію. У схемах зображується наступним чином:

Х Х

У інвертора один вхід і один вихід. Сигнал на виході з'являється тоді, коли на вході його немає, і навпаки.

КОНЬЮНКТОР - реалізує операцію кон'юнкції. У схемах зображується наступним чином:

&

Х1

Х2 Х1 ^ X2 ^ X3 ...

Х3

У коньюнктора один вихід і не менше двох входів. Сигнал на виході з'являється тоді і тільки тоді, коли на всі входи подано сигнали.

ДІЗЬЮНКТОР - реалізує операцію дизьюнкций. У схемах зображується наступним чином:

1

Х1

Х2 Х1 \ / Х2 \ / Х3 ....

Х3

У дізьюнктора один вихід і не менше двох входів. Сигнал на виході не з'являється тоді і тільки тоді, коли на всі входи не подані сигнали.

Логічні елементи, що реалізують операції І, АБО, НЕ, називаються основними логічними елементами, та як з їх допомогою можна реалізувати у вигляді логічної схеми будь-яку логічну функцію.

F (X, Y, Z) = X ^ (Y \ / Z)

Х У Z

&

1

Х Х

F

У Y \ / Z

Z

Отже, процес побудови функціональних схем для розробки пристроїв ПК можна описати таким чином:

1. На основі аналізу функції, яке реалізує пристрій, складається таблиця істинності.

2. З цієї таблиці за допомогою описаного нижче методу знаходять логічну функцію.

3. Проводиться мінімізація логічної функції.

4. За спрощеною логічної функції будується функціональна логічна схема пристрою.

Вправа 1. Побудуйте схему на логічних напівпровідникових елементах, відповідних логічної формули F (X, Y, Z) = (X і Y) або Z.

Рішення.

1

&

Х

X і У S = (X і Y) або Z = F (X, Y, Z)

У

Z

Вхідні сигнали Х, У, Z. Сигнали Х, У надходять на вхід елемента і, з виходу і сигнал надходить спільно з сигналом Z на вхід елемента або.

Вихідний сигнал S = (Х і У) або Z відповідає заданій логічної функції.

Вправа 2. Побудуйте схему, робота якої описується логічною формулою F (X, Y, Z) = (X і Y і Z) або НЕ Z.

Рішення.

&

1


у Х X і Y і Z S = (X і Y і Z) або неZ = F (X, Y, Z)


z неZ

Вхідні сигнали Х, У, Z подаються на вхід схеми і. Сигнал Z надходить на вхід інвертора, на виході не Z. Сигнали з виходу схем і та не подаються на схему або. Вихідний сигнал S = (X і Y і Z) або неZ.

завдання

  1. Запишіть логічну формулу, яка описує стан схеми:

Х


У

Z

  1. Побудуйте схеми, робота яких описується логічними формулами:

а) F (A, B, C) = (A і B) або (В і С);

б) F (Х, У) = (X або Y) і Неу;

завдання

1. Запишіть логічну формулу описує стан схем:

а) б)

1

&

1

А

Х В

&

1

У З

ZD

2.Побудуйте схеми робота яких описується логічними формулами.

а) F (A, B, C, F) = (A або В) і С і (В або F);

б) F (A, B, C, F) = (A або В) або (С і (В або F));

Завдання 1. У запропонованих схемах запишіть формули вихідних сигналів кожного логічного елемента:

1


&

1

1

1

а) Х б) Х

У

У

Z

&

1

Х

&

1

Х г) У

в)

У

Z

Z

1

&

1


ж) Х

У

Z

Завдання 2. Побудуйте схему робота якої описується логічною формулою

F (A, B, C, D, F) = (C і D і А) або (В і F);

&

1

Завдання 3. Запишіть логічну формулу, яка описує стан схеми, складіть таблиці істинності: Х

1

&

Х б)

А)


У У

Z Z

&

1

1

&

в) Х г) Х

У


У


Z

Z

&

1

Завдання 4.Складіть логічну формулу і таблицю стану схему:

Використовуючи закони логіки, спростите її. Правильність перетворення перевірте таблицею істинності.

Завдання 5. Двоє друзів зібрали схему. В результаті тестування (перевірки вихідного сигналу від всіляких комбінацій вхідних) виявилося, що вихідний сигнал D в точності повторює один з трьох вхідних. Вкажіть який.

1

A

&

B

1

&

C


Складання логічних схем по заданих таблиць.

Правило складання залишається таким же, як при роботі з контактними схемами.

Вправа 1. За заданим таблицями істинності запишіть функцію, складіть логічні схеми.

а) б)

а

в

F (а, в)

А

В

F (А, В)

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

Рішення.

А) Беремо рядки, в яких F (A, B) = 1. Це друга і треті рядки.

F (A, B) = (A і не В) або (НЕ А і В)

Спростити формулу не можна. Перевіримо правильність отриманої формули по таблиці істинності, в яку записуються значення проміжних сигналів.

А

В

Неа

Нев

А та нев

Неа і В

F (A, B)

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

Значення F (A, B) в отриманій та вихідної таблицях збігаються при одних і тих же значеннях вхідних сигналів, отже, формула вірна. Будуємо схему:

1

&

&

А Неа Неа і В

А та нев

У нев

Б) Для запису формули вихідний функції f (A, B) беремо першу, другу, четверту рядки таблиці, в якій F (A, B) = 1. F (A, B) = (А і В) або (Неа і В ) або (Неа і нев). Використовуючи закони логіки, спростимо вираз: F (А, В) = (А і В) або (Неа і (В або нев) = (А і В) або Неа і 1 = (А і в) або Неа = (А або Неа) і (В або Неа) = 1 і (В або Неа) В або Неа. Формула вихідний функції по заданій таблиці F (А, В) = В або Неа. Перевіримо її таблицею істинності:

А

В

Неа

F (А, В)

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

Отримана таблиця збігається з вихідною за значеннями вхідних сигналів А, В і відповідним їм вихідних. Будуємо схему:

1

А Неа В або Неа

Завдання 1.У кімнаті три вимикача - А, В, С:

А - при вході

В - над письмовим столом;

З - над диваном.

Побудуйте схеми, які дозволяють включати світло в такий спосіб:

будь-яким з наступних вмикачів

одночасно включенням А і В або тільки С;

одночасно включенням всіх трьох.

Завдання 2.У формулі, яка описує схему, допущені помилки, виправте їх, спростите схему:

Х Z

У Нех

Z не Z

Неу

F (X, Y, Z) = ((X або У) або (Z або Нех)) і (У і (неZ і Неу)).

Завдання 4 Уявіть, що до наведеної схемою підключили джерело живлення і прилад для вимірювання струму, стан контактів задається таблицею, визначте показання приладу (є струм чи ні):


А В С А

1 0 0 В

0 1 0 С

1 1 + 1

завдання

а) б)

&

1


X

&

x ch

1


У Y

Z Z

в)

1


X

Y

Завдання 2. Суддівська колегія складається з трьох членів, виносить рішення більшістю голосів при таємному голосуванні. Побудуйте таку схему, щоб голосування кожного члена «за» вироблялося натисканням кнопки (включенням вимикача) і в разі прийняття рішення спалахувала сигнальна лампа.

Завдання 3. Уявіть, що до наведеної схемою підключили джерело живлення і прилад для вимірювання струму, стан контактів задається таблицею, визначте показання приладу (є струм чи ні):

А Неа В С

1 0 1 0

0 1 0 0

1 0 1 1

закони логіки

Якщо логічний вираз містить велику кількість операцій, то складати для нього таблицю істинності досить складно, так як доводиться перебирати велику кількість варіантів. У таких випадках формули зручно привести до нормального короткою і зрозумілій формі.

Формула має нормальну форму, якщо в ній відсутні знаки еквівалентності, імплікації, подвійного заперечення.

Для приведення формули до нормальної формі використовують закони логіки і правила логічних перетворень.

закони логіки

№ п / п

закон логіки

математична запис

Назва закону

1

А = А (А = А)

закон тотожності

2

__

А & А = 0

__

А * А = 0

закон несуперечливий

3

__

А v A = 1

__

A + A = 1

Закон виключає третього

4

==

А = А

Закон подвійного заперечення

5

А & 0 = 0; A v 0 = A

А * 0 = 0; А + 1 = А

6

A & 1 = A; A v 1 = 1

A * 1 = A; A + 1 = 1

7

A & A = A; A v A = A

A * A = A; A + A = A

8

__

A v A = 1

__

A + A = 1

закони Моргана

9

________ __

(AB) = A & B

10

__

AB = A v B

11

A & (A v B) = A

A * (A + B) = A

закон поглинання

12

A v A & B = A

A + A * B = A

закон поглинання

13

__ __

A & (A v B) = A & B

__ __

A * (A + B) = A * B

14

__

A v A & = A v B

__

A + A * B = A + B

15

(A v B) v C = A v (B v C)

(A & B) & C = A & (B & C)

(A + B) + C = A + (B + C)

(A * B) * C = A * (B * C)

правило асоціативності

16

(A & B) v (A & C) = A & (B v C)

(A v B) & (A v C) = A v (B & C)

(A * B) + (A * C) = A * (B + C)

(A + B) * (A + C) = A + (B * C)

правило дистрибутивности

17

A v A = A

A & A = A

A + A = A

A * A = A

правило іденпотентності

18

A v B = B v A

A & B = B & A

A + B = B + A

A * B = B * A

правило коммутативности

19

____ __ __

A = B = A & BvA & B = (A + B) & (A + B)

приклад:

________________

Спростіть логічне вираз _____

F = (A v B) (B v C)

Це логічне вираз необхідно привести до нормальної форми, тому що в ньому присутня імплікація і заперечення логічної операції.

  1. Позбудемося імплікації і заперечення.

Скористаємося формулою (9). вийде:

_________________

______ ========

(A v B) (B v C) = (A v B) & (B v C))

  1. Застосуємо закон подвійного заперечення (4). отримаємо:

=======

(A v B) & (B v C) = (A v B) & (B v C)

  1. Застосуємо правило дистрибутивности (16). отримаємо:

(A v B) & (B v C) = (A v B) & B v (A v B) & C

  1. Застосуємо закон коммутативности (18) і дистрибутивности (16). отримаємо:

(A v B) & B v (A v B) & C = A & B v B & B v A & C v B v C

5. Застосуємо (7). отримаємо:

A & B v B & B v A & C v B & C = A & B v B v A & C v B & C

6.Пріменім (16), тобто винесемо за дужки В. Отримаємо:

A & B v B v A & C v B & C = B & (A v 1) v A & C v B & C

7.Застосуємо (6). отримаємо:

B & (A v 1) v A & C v B & C = B v A & C v B & C

8. Переставимо місцями доданки, згрупуємо і винесемо В за дужки. отримаємо:

B v A & C v B & C = B & (1 v C) v A & C

9. Застосуємо (6). і отримаємо відповідь:

B & (1 v C) v A & C = B v A & C.

Відповідь: F = B v A & C

Закріплення вивченого матеріалу:

Спростіть вирази:

_____ _____

  1. F = A & B v B v C;
  2. F = (AB) v (BA);

__

  1. F = A & C v A & C;

відповіді:

_____ _____ __ _ _ __ __ __ _ _ _

1) F = A & B v B v C = A v B v B & C = B (1v C) v A = A v B;

2) F = ((AB) v (BA) = A v B v B v A = (A v A) v (B v B) = 1 v 1 = 1;

3) F = A & C v A & C = C & (A v A) = C;

завдання

Спростіть логічні вирази:

1) F = A v (НЕ A & B);

2) F = A & (НЕ A v B);

Використання логічних пристроїв в обчислювальній техніці

Логічні схеми мають практичне застосування в обчислювальній техніці. Вони використовуються:

  1. Для реалізації виконання математичних операцій. Що це означає? А значить це таке. Свою назву ( «комп'ютер») комп'ютер отримав не відразу. Спочатку даний пристрій називалося електронно-обчислювальна машина, т. Е. Одним з головних призначень ЕОМ було виконання обчислювальних операцій. Займалося цим спеціальний пристрій, який називається процесор. Процесор можна порівняти з розумом людини і саме процесор (так же, як і людина в «розумі») виконував (і виконує) все математичні операції. Як він це робить? Розглянемо нижче.
  2. Для зберігання інформації. Як він це робить? Також розглянемо нижче.

Отже, як процесор виконує математичні операції?

Перш за все, зверніть увагу на наступні компоненти:

· Яким чином повинна бути представлена ​​інформація, щоб з нею міг працювати комп'ютер? (В двійковому коді, тобто у вигляді 0 і 1).

· Щоб комп'ютер міг виконувати математичні операції з числами, в якій системі числення вони повинні бути представлені? (В двійковій).

· Чому? (Тому що двійкову систему числення найбільш просто реалізувати в технічних пристроях)

· Які сигнали подаються на входи логічних вентилів? (0 і 1)

Висновок: таким чином в двійковій системі числення і в алгебрі логіки інформація представлена у вигляді двійкових кодів.

І другий момент. Для того щоб максимально спростити роботу комп'ютера, все математичні операції (віднімання, ділення, множення і т. Д.) Зводяться до складання.

Згадає таблицю додавання двійкових чисел. Запишемо її в дещо іншій формі.

А

В

S

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

Зверніть увагу на додатковий стовпець. Його ми ввели тому, що при додаванні відбувається перенесення в старший розряд. Позначимо його Р і закінчимо заповнення таблиці.

А

В

Р

S

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

Проаналізуємо отриманий результат:

  • Таблиці істинності якій логічній функції аналогічний стовпець Р? (Логічне множення).
  • Таблиці істинності якій логічній функції аналогічний стовпець S? (Логічне додавання, крім випадку, коли на виходи подаються дві одиниці).

Логічний вираз, за ​​яким можна визначити суму S, записується таким чином: _______

S = (A v B) & (A & B)

Побудуємо до цього логічного виразу логічну схему:

Простежимо за проходженням сигналу через Схему:


З якого елемента можна знімати сигнал Р, якщо ми з'ясували, що результат Р відповідає логічному множенню? (З першого вентиля, що реалізує операцію кон'юнкції)

Отримана нами схема може додавати довічних однорозрядних чисел і називається полусумматора, т. К. Не враховує перенесення з молодшого розряду в старший (вихід Р).

Для обліку перенесення з молодшого розряду необхідні два полусумматора.

Більш «розумним» є пристрій, який при додаванні враховує перенесення з молодшого розряду. Називається воно повний однорозрядних суматор.

Суматор - це логічна електронна схема, що виконує додавання двійкових чисел. Суматор є головною частиною процесора.

Розглянемо принц роботи однорозрядного довічного суматора.

Однорозрядних суматор повинен мати три входи: А, В - складові і Р 0 перенос з попереднього розряду і виходи: S - сума і Р - перенесення.

Намалюємо однорозрядних суматор у вигляді єдиного функціонального вузла:

Побудуємо таблицю додавання:

А

В

Р 0

Р

S

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

Логічні вирази для Р і S будуть мати наступний вигляд:

__

S = (A v B v P 0) & P 0 v (A & B & P 0)

P = (A & B) v (A & P 0) v (B & P 0)

Але процесор, як правило, складає багаторозрядні двійкові числа. Наприклад, 101 2 + 110 2 = 1011 2. Для того щоб обчислити суму n - розрядних двійкових чисел, необхідно використовувати багаторозрядних суматор, в якому на кожен розряд ставиться однорозрядних суматор і вихід - перенесення суматора молодшого розряду підключається до виходу суматора старшого розряду.

приклад:

Скласти числа 101 2 + 110 2 = 1011 2

Відповідь записується з кінця:

101 2 +110 2 = 1011 2

Тригер (trigger - засувка, спусковий гачок). - це пристрій, що дозволяє, запам'ятовувати, зберігати і зчитувати інформацію. Для позначення цієї схеми в англійській мові частіше вживається термін «flip- flop», що в перекладі означає «ляскання». Це звукоподражательное назву електронної схеми вказує на її здатність майже миттєво переходити (перекидатися) з одного електричного стану в інше і навпаки.

Кожен тригер зберігає 1 біт інформації, т. Е. Він може знаходиться в одному з двох стійких станів - логічний «0» або логічна «1».

Тригер здатний майже миттєво переходити з одного електричного стану в інше і навпаки.

Логічна схема тригера виглядає наступним чином:

1

1

Звичайна схема тригера виглядає так:

Входи тригера розшифровуються таким чином - S (від англійського Set - установка) і R - (Reset - скидання). Вони використовуються для установки тригера в одиничне стан і скидання в нульове. У зв'язку з цим такий тригер називається RS -тригер.

Вихід Q називається прямим, а протилежний - інверсний.Сигнали на прямому і інверсному виходах, звичайно ж, повинні бути протилежні.

Розглянемо як працює ця схема.

Нехай для визначеності на вхід S поданий одиничний сигнал, а R = 0.

Тоді незалежно від стану іншого входу, який приєднаний до виходу Q (інакше кажучи, незалежно від попереднього стану тригера), верхній за схемою елемент АБО - Чи не отримає на виході 0 (результат АБО, природно, дорівнює 1, але його інверсія - 0) . Цей нульовий сигнал подається на вхід іншого логічного елемента, де на другому вході R теж встановлений 0. в результаті після виконання логічних операцій АБО - НЕ над двома вхідними нулями цей елемент отримує на виході 1, яку повертає першому елементу на відповідний вхід. Остання обставина дуже важливо: тепер, коли на цьому вході встановилася 1, стан іншого входу, (S) більше не грає ролі. Іншими словами, якщо навіть тепер прибрати вхідний сигнал S, внутрішньо розподіл рівнів збережеться без змін. Оскільки згідно нашим міркуванням Q = 1, тригер перейшов в одиничний стан, і, поки не прийдуть нові зовнішні сигнали, зберігає його. Отже, при подачі сигналу на вхід S тригер тригер переходить в стійке одиничне стан.

При протилежної комбінації сигналів R = 1 і S = 0 внаслідок повної симетрії схеми все відбувається абсолютно аналогічно, але тепер на виході Q вже вийде 0. Іншими словами, при подачі сигналу на вхід R - тригер скидається в стійке нульове стан.

Особливо відзначимо, що закінчення дії сигналу в обох випадках призводить до того, що R = 0 і S = 0. ми бачили, що при цьому тригер зберігає на виході Q той сигнал, який був встановлений вхідним імпульсом (S або R). Звідси такий режим часто називають режимом зберігання інформації. Отже, за відсутності вхідних сигналів тригер зберігає останнім занесене в нього значення як завгодно довго.

Що залишився режим S = 1 і R = 1, коли сигнал подається на обидва входи одночасно, вважається забороненим, оскільки в цьому випадку після зняття вхідних сигналів (особливо одночасно!) Результат непередбачуваний.

Можна заповнити наступну таблицю:

Вхід S

Вхід R

вихід Q

___

вихід Q

режим регістра

1

0

1

0

установка 1

0

1

0

1

установка 0

0

0

останні значення

зберігання інформації

1

1

заборонено

Отже, ми з'ясували, як працює тригер.

Без перебільшення тригер є одним з істотних вузлів при проектуванні ЕОМ. Так як тригер може зберігати тільки 1 біт інформації, то кілька тригерів об'єднують разом.

Отримане пристрій називається регістром. Регістри містяться у всіх обчислювальних вузлах комп'ютера - починаючи з центрального процесора, пам'яті і закінчуючи периферійними пристроями, і дозволяють також обробляти інформацію. У регістрі може бути 8, 16, 32 або 64 тригера.

питання:

1. Призначення суматора і тригера

2. Області використання суматора і тригера