Команда
Контакти
Про нас

    Головна сторінка


Основні поняття диференціального обчислення і історія їх розвитку (Бакалавр)





Скачати 99.36 Kb.
Дата конвертації 08.10.2018
Розмір 99.36 Kb.
Тип реферат
    Навігація по даній сторінці:
  • DI. EE = RR.

Міністерство загальної та професійної освіти

Астраханський Державний Педагогічний Університет

Бакалаврська робота

Студентки IV курсу фізико-математичного факультету


Ночевнов Світлани Павлівни

Кафедра:

математичного аналізу

Тема:

Основні поняття диференціального обчислення і історія їх розвитку

Науковий керівник

ст. викладач

Пономарьова Н.Г.

Астрахань

1998 р

План.

1. Основні поняття диференціального обчислення функцій однієї змінної.

1.1. Визначення похідної та її геометричний зміст.

1.2. Диференціальні функції. Визначення диференціала.

1.3. Інваріантність форми першого диференціала.

1.4. Диференціал суми, добутку і частки.

1.5. Геометрична інтерпретація диференціала.

2. Основні поняття інтегрального числення функцій однієї змінної.

2.1. Первісна функція і невизначений інтеграл.

2.2. Геометричний сенс невизначеного інтеграла.

2.3. Основні властивості невизначеного інтеграла.

2.4. Метод безпосереднього інтегрування.

2.5. Метод заміни змінної (спосіб підстановки).

2.6. Інтегрування по частинах.

2.7. Певний інтеграл як межа інтегральної суми.

2.8. Основні властивості визначеного інтеграла.

2.9. Геометричний сенс певного інтеграла.

2.10. Теорема Ньютона-Лейбніца.

2.11. Формула Ньютона-Лейбніца.

2.12. Заміни змінних в певних інтеграли.

2.13. Інтегрування по частинах.

3. Історичні відомості про виникнення і розвитку основних понять.

3.1. Походження поняття певного інтеграла і інфінітезимального методи Архімеда.

3.2. Від Архімеда до Кеплеру і Кавальєрі.

3.3. Теорема Паскаля.

3.4. «Про глибоку геометрії» Лейбніца.

3.5. «Метод флюксий» Ньютона.

3.6. Диференціальні методи.


Мета роботи: «Вивчити основні поняття диференціального й інтегрального числення і ознайомитися з історією їх розвитку».


1. Основні поняття диференціального обчислення функцій однієї змінної.

1.1. Визначення похідної та її геометричний зміст.

Нехай функція y = f (х) визначена в околиці точки х о. візьмемо точку х 1 цієї околиці, відмінну від х о.

Визначення. Різниця х 1 - х 0, яку позначають символом D х, будемо називати збільшенням незалежної змінної.

Визначення. Подібним чином відповідна різниця

у 1 - у 0 = f 1) - f 0), позначається символом D у і називається приростом залежною змінною, або збільшенням функції.

Виходять такі співвідношення:

х 1 = х 0 + D х,

у 1 = у 0 + D у,

у 0 + D у = f 0 + D х)

Так як у 0 = f 0),

то D у = f 0 + D х) - f 0).

f 0 + D х) - f 0)

D х D х


Визначення. Приватне будемо називати різницевим відношенням.

Вираз f 0 + D х) - f 0)

D х

(беручи що х 0 має певний постійне значення) можна вважати функцією збільшення D х.

Визначення. Якщо межа цього виразу при D х, яка прагне до нуля, існує, то його ми будемо називати похідної функції у = f (х) по х в точці х 0

d х


lim f 0 + D х) - f 0) lim D у

D х ®0 D х D х ®0 D х

Отже, = = f '(х 0) = у' х = у '=

Приклад. у = х 2. Обчисліть похідну для х = 2.

Маємо: f (х + D х) = (х + D х) 2,

Тому D у = (х + D х) 2 - х 2 = 2 х D х + (D х) 2

D у

D х

Звідси = 2 х + D х

lim D у

D х ®0 D х

lim D х

D х ®0


Переходячи до межі отримаємо: = 2 х + = 2 х.

D у

D х


lim D у = 0

D х ®0

Для того, щоб відношення мало межа, необхідно, щоб, тобто, щоб функція рис.1

була безперервною в точці х 0.

Розглянемо графік функції у = f (х) (рис.1)

D у

D х


Легко помітити, що відношення дорівнює тангенсу кута a, утвореного позитивним напрямком січною, що проходить через точки А і В (відповідні точкам х і х + D х), з позитивним напрямком осі Про х, тобто, від А до В якщо тепер приріст D х буде прагнути до нуля, точка В буде прагнути до а, то кут a буде прагнути до s, освіченій позитивним напрямком дотичної з позитивним напрямком осі Про х, а tg a буде прагнути до tg s.

lim D у

D х ®0 D х

Тому = tg s (позитивним напрямком дотичній вважаємо той напрямок, в якому х зростає).

Таким чином, можна стверджувати наступне:

Похідна в даній точці х дорівнює тангенсу кута, утвореного позитивним напрямком дотичній у відповідній точці (х, f (х)) нашої кривої з позитивним напрямком осі Про х.

1.2 Диференціальні функції. Визначення диференціала.

Визначення. Функція у = f (х) називається диференційованою в точці х, якщо її приріст D у в цій точці можна представити у вигляді

lim

D х ®0

D у = f '(х) D х + a (D х) D х,

де a (D х) = 0

D у

D х

Як видно з з визначення, необхідною умовою дифференцируемости є існування похідної. Виявляється що це умова також і досить. Справді нехай існують у '= f' (х)

a (D х) =

Покладемо - f '(х), D х ¹ 0

0, D х = 0

При такому визначенні a має для всіх D х

D у = f '(х) D х + a (D х) D х.

lim

D х ®0

Залишається, отже, встановити безперервність a (D х) при D х = 0, тобто, рівність a (D х) = a (0) = 0, але, очевидно,

a (D х) = - f '(х) = f' (х) - f '(х) = 0,

що і було потрібно.

Таким чином, для функції однієї змінної дифференцируемость і існування похідної - поняття рівносильні.

lim

D х ®0

Визначення. Якщо функція у = f '(х) диференційовна, тобто, якщо D у = f' (х) D х + a. D х, a = 0,

то головну лінійну частину f '(х) D х, її збільшення будемо позначати d х у, d х f (х) і називати диференціалом змінної у по змінній х в точці х.

Написавши для симетрії d х х замість D х, отримаємо наступну формулу:

d х у

d х х

d х у = f '(х) d х х,

звідки = f '(х).

Зауважимо ще, що диференціали d х у й d х х є функціями змінної х, причому функція d х х приймає постійне значення D х.

1.3 Инвариантность форми першого диференціала.

У разі, коли змінна у = f (х) була функцією незалежної змінної х, ми маємо, за визначенням,

D у = f '(х) D х або d х х = f' (х) d х х (1)

Розглянемо тепер випадок, коли х є в свою чергу функцією іншої змінної,

х = х (t).

Теорема. Якщо функції х = j (t) і у = y (t) мають похідні у відповідних точках t = t 1 і х = х 1 = j (t 1), то диференціал складної функції у = f (j (t)) = y (t) може бути представлений у вигляді

d t у = f '(х 1) d t х.

Доказ: Відповідно до визначення диференціала маємо

d t х = j '(t 1) d t t (1 + 1)

d t у = y '(t 1) d t t (2)

Але на підставі теореми про похідну складної функції ми бачимо, що

y '(t 1) = f' 1) j '(t 1)

Підставивши цей вираз у формулу (2), отримаємо:

d t у = f '(х 1) j' (t 1) d t t,

звідси в силу формули (1 + 1)

d t у = f '(х 1) d t х (3)

Порівнявши формулу (1) з формулою (3), ми зауважимо що їх можна записати символічно у вигляді

= f '(х) (4)

Формулу (1) або (3) ми отримуємо з формули (4), написавши замість d, відповідно d х або d t.

Символи d х і не є досконалими, проте в багатьох випадках, коли можливість помилитися буде виключена, ми будемо ними користуватися замість символів d х х і d х у або, відповідно, d t х і d t у.

Значення формули (4) стає зрозумілим, якщо звернути увагу на те, що при знаходженні похідної доводиться користуватися двома формулами для визначення похідної у по х. А саме, коли змінна у залежить безпосередньо від х, то

у = f' (х);

коли ж залежність змінної у від х дається за допомогою деякої (проміжної) функції і, то

у = f' (і) і 'х.

При знаходженні ж диференціалів одержимо в обох випадках однакові формули:

d х у = f '(х) d х х, d х у = f' (і) d х і

або

= f '(х) dх, dу = f' (і) dи.

1.4 Диференціал суми, добутку і частки.

З теорем про похідні суми, добутку і частки можна отримати аналогічні формули для диференціалів суми, добутку і частки. Нехай і і J - функції від х:

і = f (х), J = j (х),

мають безперервні приватні похідні.

Якщо покласти у = і + J,

то у = і' х + J 'х,

звідки у d х = і' х d х + J d х,

отже dу = dи + d J,

тобто d + J) = + d J.

Аналогічно dсі = сdі,

де с - постійне число;

J dи -і d J

J 2

і

J

d (і J) = иd J + J dи,

d () =.

Зауваження. На практиці часто буває вигідніше оперувати диференціалами, а потім діленням на диференціал незалежної змінної переходити до похідної.

1.5 Геометрична інтерпретація диференціала.

Диференціал можна геометрично представити таким чином:

З рис. 2 видно, що = f '(х) = tg a. d х = СД.

Таким чином, якщо D у - приріст ординати кривої, то - приріст ординати дотичної.

lim

D х ®0

D у - dу

D х

lim

D х ®0

Диференціал dу, взагалі кажучи, відрізняється від D у, але їх різниця дуже мала в порівнянні для дуже малих d х, так як

= A (D х) = 0

На практиці, коли мова йде тільки про наближених значеннях, можна для малих збільшень вважати

D у = = f '(х) dх.


2. Основні поняття інтегрального числення функцій однієї змінної.

2.1. Первісна функція і невизначений інтеграл.

Основним завданням диференціального обчислення є знаходження похідної f '(х) або диференціала f' (х) даної функції f (х).

В інтегральному численні вирішується зворотна задача:

Дана функція f (х); потрібно знайти таку функцію F (х), похідна якої f (х) в області визначення функції f (х), тобто, в цій області функції f (х) і F (х) пов'язані співвідношенням F '(х) = f (х) або dF (х) = F '(х) dх = f (х) dх.

Визначення. Функція F (х) називається первісною функцією для даної функції f (х), якщо для будь-якого х з області визначення f (х) виконується рівність F '(х) = f (х) або dF (х) = f (х) dх .

Приклади. 1) Нехай f (х) = cos х.

Рішення: Тоді F (х) = sin х, так як F '(х) = cos х = f (х) або dF (х) = cos х d х = f (х)

х 3

3

2) Нехай f (х) = х 2.

Рішення: Тоді F (х) =, так як F '(х) = х 2 = f (х) або dF (х) = х 2 d х = f (х) dх.

Відомо, що якщо дві функції f (х) і j (х) відрізняються один від одного на постійну величину, то похідні або диференціали цих функцій рівні, тобто, якщо f (х) = j (х) + С, то f ' (х) = j '(х) або f' (х) = j '(х) dх.

Відомо також, що і навпаки, якщо дві функції f (х) і j (х) мають одну і ту ж похідну або один і той же диференціал, то вони відрізняються один від одного на постійну величину, тобто, якщо

f '(х) = j' (х) або dхf (х) = d j (х), то

f (х) = j (х) + С.

Зауваження. Дійсно, якщо похідна f '(х) звертається в нуль для будь-яких значень х в (а, в), то в цьому інтервалі f (х) = С.

Справді, якщо х 1 Î (а, в) і х 2 Î (а, в), то в силу теореми Лагранжа, маємо f 2) - f 1) = 2 х 1) f '(х 0), де х 1 <�х 0 <�х 2. Але, так як f '(х 0) = 0, то f 2) - f 1) = 0.

Звідси безпосередньо випливає що, якщо у формулі у = F (х) + С ми будемо надавати постійної З усіх можливих значення, то отримаємо всі можливі первісні функції для функції f (х).

ò

Визначення. Безліч F (х) + С всіх первісних функцій для функції f (х), де С вживають усіх можливих числові значення, називається невизначеним інтегралом від функції f (х) і позначається символом

f (х)

ò

Таким чином, за визначенням,

f (х) = F (х) + С, (А)

ò

де F '(х) = f (х) або dF (х) = f (х) dх і С - довільна стала. У формулі (А) f (х) називається підінтегральної функцією, f (х) - підінтегральна виразом, а символ - знаком невизначеного інтеграла.

Невизначеним інтегралом називають не тільки безліч всіх первісних, а й будь-яку функцію цієї множини.

Визначення. Знаходження первісної по даній функції f (х) називається інтегруванням

2.2. Геометричний сенс невизначеного інтеграла.

Нехай заданий невизначений інтеграл F (х) + С для функції f (х) в деякому інтервалі. При фіксованому значенні С = С 1 отримаємо конкретну функцію у 1 = F (х) + С 1, для якої можна побудувати графік; його називають інтегральної кривої. Змінивши значення С і поклавши С = С 2, отримаємо іншу первісну функцію З відповідною новою інтегральною кривою.

Аналогічно можна побудувати графік будь-якої первісної функції. Отже, вираз у = F (х) + С можна розглядати як рівняння сімейства інтегральних кривих невизначеного інтеграла F (х) + С. Величина С є параметром цього сімейства - кожному конкретному значенню С відповідає єдина інтегральна крива в сімействі. Інтегральну криву, що відповідає значенню параметра З 2, можна отримати з інтегральної кривої, що відповідає значенню параметра З 1, паралельним зрушенням в напрямку осі Про у на величину / С 2 - С 1 /. На рис. 3 зображений невизначений інтеграл х 2 + С від функції f (х) = 2 х, тобто, сімейства парабол.

2.3. Основні властивості невизначеного інтеграла.

1) Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, тобто,

ò

[F (х) dх] '= f (х).

ò

Доведення. Згідно з визначенням невизначеного інтеграла,

f (х) = F (х) + С, (V)

де F '(х) = f (х)

ò

Диференціюючи навчання частини рівності (V), маємо

[F (х) dх] '= [F (х) + С]',

ò

звідки

[F (х) dх] '= F' (х) + С 1 = F '(х) = f (х).

2)

ò

Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює подинтегрального висловом, тобто

df (х) dх = f (х) dх

ò

Доведення. Згідно з визначенням невизначеного інтеграла,

ò

f (х) = F (х) + С

df (х) dх = d (F (х) + С) = dF (х) = dС = F '(х) dх = f (х) dх

3)

ò

Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції F (х) дорівнює самій функції з точністю до довільної сталої С, тобто

dF (х) = F (х) + С, (v)

ò

Доведення. Продифференцировав обидва рівності (v), будемо мати

d dF (х) = dF (х) (по властивості 2)

ò

d (F (х) + С) = dF (х)

ò

отже, функції dF (х) і dF (х) відрізняються один від одного на постійну величину, тобто

dF (х) = F (х) + С

4) Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла, тобто

а f (х) dх = а f (х) dх ¹ 0)

ò

Доведення. Продифференцируем навчання частини рівності. тоді отримаємо

ò

ò

d а f (х) dх = а f (х) dх (по властивості 2)

і d [af (х) dx] = ad f (х) dх = а f (х) dх

(В силу властивості диференціала)

Таким чином, диференціали функцій

ò

ò

а f (х) і а f (х) рівні, а тому ці функції відрізняються одна від одної на постійну величину, тобто, а f (х) = = а f (х) * d х + С. Але постійну С можна вважати включеної до складу невизначеного інтеграла, отже,

а f (х) = а f (х) dх.

5)

ò

ò

Інтеграл від алгебраїчної суми кінцевого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від доданків функцій, наприклад:

[F 1 (х) + f 2 (х) - f 3 (х)] d х = f 1 (х) + f 3 (х) - f 3 (х) (v)

Доказ: Продифференцируем обидві частини рівності.

ò

Диференціювання будь-якій частині рівності дає:

d [f 1 (х) + f 2 (х) - f 3 (х)] d х = [f 1 (х) + f 2 (х) - f 3 (х)] d х

ò

ò

ò

В результаті диференціювання правій частині рівності (v), виходить диференціал алгебраїчній суми кількох функцій, який як відомо дорівнює сумі алгебри диференціалів доданків функцій. отже,

ò

ò

ò

d [f 1 (х) + f 2 (х) - f 3 (х) dх] =

= D f 1 (х) + f 2 (х) - f 3 (х)

Застосовуючи властивість 1, в правій частині останнього рівності отримуємо

f 1 (х) + f 2 (х) - f 3 (х) = [f 1 (х) + f 2 (х) - f 3 (х)] d х

Отже, після диференціювання обох частин рівності (v) отримані тотожні результати, отже, справедлива формула (v) (див. Доказ властивості 3).

2.4. Метод безпосереднього інтегрування.

Визначення. Безпосереднім інтегруванням називається інтегрування полягає в прямому застосуванні формул таблиці основних інтегралів. Щоб знайти невизначений інтеграл від якої-небудь функції f (х), потрібно перш за все знайти в таблиці інтегралів формулу в лівій частині якої стоїть інтеграл такого ж виду, як даний, і записати відповідь у відповідності з правою частиною цієї формули.

ò

Приклади.

1)

х 8

8

ò

х 7 d х

ò

Рішення. х 7 d х = + С

2)

ò

ò

2 3 х 2 d х

х 5/3

5/38

ò

ò

Рішення. Маємо 2 3 х 2 d х = 2 х 2/3 d х

6

5

ò

Застосовуючи формули, отримуємо 2 х 2/3 d х = 2 х 2/3 d х = 2 + С.

Таким чином, 2 х 2/3 d х = х 3 х 2 + С.

3)

3 d х

cos 2 3 x

ò

Рішення. Відповідно до відомого властивості диференціала, 3 d х = d (3х), а тому

=

Застосовуючи формулу, отримуємо tg 3 х + С

У тих випадках, коли під знаком інтеграла стоїть алгебраїчна сума зазвичай розкладають даний інтеграл на суму декількох інтегралів, з яких кожен можна знайти за відповідною формулою.

3)

ò

ò

(2 х 3 + 9 х 2 - 5 х + 4 / х)

ò вч

ò

ò

ò

Рішення. (2 х 3 + 9 х 2 - 5 х + 4 / х) dх =

= 2 х 3 d х + 9 х 2 d х - 5 х 1/2 + 4 d х / х =

х 3/2

3/2

х 3

3

х 4

4

= 2 + 9 - 5 + 4 * 2 х + С =

= Х 4/2 + 3 х 3 - 10/3 х х + 8 х + С.

2.5. Метод заміни змінної (спосіб підстановки).

ò

Найбільш загальним прийомом інтегрування функцій є спосіб підстановки, який застосовується тоді, коли шуканий інтеграл f (х) не є табличним, але шляхом але шляхом ряду елементарних перетворень він може бути зведений до табличному.

ò

ò

Метод підстановки заснований на застосуванні такої формули:

f (х) = f [j (t)] j '(t) dt, (1)

де х = j (t) - функція, що диференціюється від t, похідна якої j '(t) зберігає знак для розглянутих значень змінних.

ò

Сутність застосування цієї формули полягає в тому, що в даному інтеграл f (х) змінна х замінюється змінною t за формулою х = j (t) і, отже, d х твором j '(t) dt.

ò

Справедливість формули (1) буде доведена якщо після диференціювання обох її частин вийдуть однакові вирази. Продифференцировав ліву частину формули, маємо

d [f (х) dх] = f (х) dх = f [j (t)] j '(t) dt

ò

Продифференцировав праву частину формули, маємо

d f [j (t)] j '(t) dt = f [j (t)] j' (t) dt

Таким чином, формула (1) справедлива. Часто вживається зворотна заміна змінної, тобто, підстановка t = j (t), dt = j '(t) d х.

ò

Приклади.

1) (2 х + 3) 4 d х.

Даний інтеграл можна звести до табличному інтегралу (V). Підстановка вибирається з простого міркування: в подинтегрального вираженні табличного інтеграла (V) в підставі ступеня і під знаком диференціала варте одне і теж вираз і.

ò

ò

ò

Отже, в даному випадку потрібно застосувати підстановку і = 2 х + 3, звідси маємо = 2 d х і d х = / 2, а тому

(2 х + 3) 5

10

(2 х + 3) 4 d х = і 4 (dи / 2) = 1/2 і 4 dи =

= 1/2 * і 5/5 + С = + С.

2.6 Інтегрування по частинах.

Припустимо, що u, v - функції змінної х, безперервні і мають похідні в інтервалі (а, в). маємо тоді

(Uv) '= uv' + vu '

так що uv '= (uv)' - vu '

ò

ò

Беручи невизначені інтеграли від обох частин і враховуючи, що uv'dх = uv - vu'dх, (1)

Якщо обидва інтеграла існують.

ò

ò

Користуючись диференціалами попередню формулу можна написати в наступному вигляді:

udv = uv - vdu. (2)

ò

Формула (2) дає можливість обчислення інтеграла udv звести до обчислення інтеграла vdu, який, можливо, береться легше. Цей метод називається інтегруванням по частинам.

ò

Приклади.

1) J = хе х d х.

ò

Покладемо і = х, dи = d х, dv = е х d х,

v = е х d х = е х

отже,

J = хе хе х d х = хе хе х + С.

ò

2) ln хdх.

Покладемо, u = ln х, dи = d х / х

ò

dv = d х v = d х = х.

ò

отже,

J = х ln х - d х = х ln х - х + С ..

2.7. Певний інтеграл як межа інтегральної суми.

Нехай інтервал [а, в], на якому задана функція у = f (х), розбитий точками ділення х 1 <�х 2 <... <�х п - 1 на п часткових інтервалів D 1 = 0, х 1], D 2 = 1, х 2],..., D n = п-1, х п], де а = х 0, у = х п, причому в кожному частковому інтервалі D i обрана будь-яка точка a i :

х i-1 £ a i £ х i (i = 1, 2, ..., п). Нехай, далі, D х i - довжина інтервалу D i, тобто,

х i - х i-1 = D х i (i = 1, 2, ..., п),

а max D х i - найбільше з чисел D х i.

п

i = 1

Потрібно знайти межу суми

(1) f (a 1) D х 1 + f (a 2) D х 2 + ... + f (a п) D х п = å f (a i) D х i,

коли довжини D х i всіх часткових інтервалів D i прагнуть до нуля (при цьому з необхідністю число п цих інтервалів буде прагнути до нескінченності). Іншими словами, потрібно знайти межа цієї суми при max D х i ® 0, так як умова, що максимальна з довжин часткових інтервалів D i прагне до нуля, рівносильне умові, що всі D х i ® 0.

Отже, потрібно знайти

lim å f i) D х i.

Визначення. Суму (1) називають інтегральною сумою.

Визначення. Функція f (х) називається інтегрованою на інтервалі [а, в], якщо є кінцевий межа

lim å f (a i) D х i, (2)

що не залежить від того, яким чином інтервал [а, в] ділиться на часткові інтервали і яким чином вибираються точки a i на цих часткових інтервалах, аби довжина максимального з них наближалася до нуля. Ця межа називається певним інтегралом від функції f (х) на інтервалі [а, в] і позначається символом

f (х) = lim å f (a i) D х i.

Для того щоб не залишалося неясностей, сформулюємо точно, як слід розуміти межа (2).

п

i = 1

Визначення. Число J називається межею інтегральної суми å f (a i) D х i при max D х i ® 0, якщо для будь-якого заданого e> 0 знайдеться таке d> 0, що виконується нерівність:

| å f (a i) D х i - J |

при будь-якому виборі приватних інтервалів, D 1, D 2,..., D п і точок a 1, a 2,..., a п на цих інтервалах, аби тільки виконувалося вимога max D х i ® 0, тобто аби довжина найбільшого (а значить, і всіх) з часткових інтервалів була менше d.

З визначення певного інтеграла аж ніяк не випливає, що будь-яка функція інтегровна на будь-якому інтервалі. Можна підібрати такі функції, для яких визначений інтеграл не існує, тобто для яких інтегральна сума не прагне до певного межі. Існування певного інтеграла від функції, заданої на інтервалі [а, в], забезпечує безперервність цієї функції на [а, в], тому безперервність функції на [а, в] є достатньою умовою її інтегрованості на цьому інтервалі, тобто

Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на замкненому інтервалі [а, в], то вона інтегровна на цьому інтервалі, тобто має певний інтеграл

f (х) dх.

Іноді на практиці доводиться інтегрувати і розривні функції. Наведемо кілька більш широке достатня умова існування інтеграла.

Теорема 2. Якщо на інтервалі [а, в] функція обмежена і має лише кінцеве число точок розриву, то вона інтегровна на [а, в].

2.8. Основні властивості визначеного інтеграла.

Теорема 1. Нехай с - проміжна точка інтервалу [а, в] <�з <�в). Тоді має місце рівність

f (х) dх = f (х) dх + f (х) dх,

якщо всі ці три інтеграла існують.

п

i = 1

Доказ: Розіб'ємо [а, в] на п часткових інтервалів [а, х 1], 1, х 2],..., п-1, в] довжиною відповідно D х 1, D х 2,..., D х п так, щоб точка с була точкою поділу.Нехай, наприклад, х т = з <�п). Тоді інтегральна сума

å f (a i) D х i

п

i = т

т

i = 1

п

i = 1

відповідна інтервалу [а, в], розіб'ється на дві суми:

å f (a i) D х i = å f (a i) D х i = å f (a i) D х i

відповідні інтервалах [а, з] і [с, в].

Переходячи до межі при невизначеному зменшенні довжини максимального приватного інтервалу D х i, тобто, при max D х i ® 0, матимемо

f (х) dх = f (х) dх + f (х) dх,

Теорема 2. Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто

kf (х) dх = kf (х) dх.

Доказ: За визначенням:

п

i = 1

max D х i ® 0

kf (х) dх = lim [kf (a 1) D х 1 + kf (a 2) D х 2 + ... + kf (a п) D х п] =

max D х i ® 0

= Lim å kf (a i) D х i.

п

i = 1

п

i = 1

Але так як, відповідно до одного з властивостей межі,

п

i = 1

max D х i ® 0

max D х i ® 0

lim å kf (a i) D х i = k lim å f (a i) D х i,

п

i = 1

max D х i ® 0

і так як, за визначенням, lim å f (a i) D х i = f (х) dх

max D х i ® 0

то kf (х) dх = k lim å f (a i) D х i = kf (х) dх

Теорема 3. Певний інтеграл від алгебраїчної суми декількох безперервних функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від цих функцій.

Доказ: Доведемо, наприклад, що

[F 1 (х) + f 2 (х) - f 3 (х)] d х = f 1 (х) + f 2 (х) - f 3 (х)

п

i = 1

справді маємо:

п

i = 1

п

i = 1

п

i = 1

max D х i ® 0

[F 1 (х) + f 2 (х) - f 3 (х)] d х = lim å [f 1 (a i) d х + f 2 (a i) d х - f 3 (a i)] D х i =

max D х i ® 0

max D х i ® 0

max D х i ® 0

= Lim å f 1 (a i) D х i + lim å f 2 (a i) D х i - lim å f 3 (a i) D х i =

= F 1 (х) + f 2 (х) - f 3 (х)

Теорема 3. (про середнє значення визначеного інтеграла)

Якщо функція f (х) неперервна на [а, в], то всередині нього знайдеться така точка С.

f (х) = (в-а) f (с)

Доказ: Так як функція f (х) неперервна на [а, в], то вона досягає свого найбільшого і найменшого значень М і т на [а, в]. зробимо звичайне розбиття інтервалу [а, в], на п часткових інтервалів D i довжиною D х i = х f (a i) ³ т - х i-1 (i = 1, ..., п).

Так як f (a i) ³ т при будь-якому a i, то

п

i = 1

п

i = 1

f (a i) D х i ³ т D х i

п

i = 1

звідки å f (a i) D х i ³ т å D х i

п

i = 1

або å f (a i) D х i ³ т (в - а)

так як å D х i = D х 1 + D х 2 + ... + D х п = в - а.

Так як, далі, f (a i) £ т, при будь-якому a i, то

п

i = 1

п

f (a i) D х i £ М D х i

п

i = 1

а тому å f (a i) D х i £ М åD х i,

тобто, å f (a i) D х i £ М (в - а).

п

i = 1

Таким чином, маємо

т (в - а) £ å f (a i) D х i £ М (в - а).

Переходячи до межі при max D х i ® 0, отримаємо нерівності

т (в - а) £ f (х) £ М (в - а)

т £ £ М

f (х)

(В - а)

З цих нерівностей і теоремі про неперервної функції на [а, в], що приймає в цьому [а, в] всі проміжні значення між своїми найбільшими і найменшими значеннями, слід, що ставлення

f (х)

(В - а)

можна прийняти за значення f (с) функції f (х) в деякій проміжній точці з інтервалу [а, в] £ f (с) £ М).

Таким чином,

(F (х) dх) / (у - а) = f (с)

або

f (х) = (в - а) f (с)

2.9. Геометричний сенс певного інтеграла.

п

i = 1

Відомо, що площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху безперервної кривої у = f (х), знизу - інтервалом [а, в] осі Про х £ х £ в) і з бічних сторін - прямими х = а, х = в, дорівнює

max D х i ® 0

S = lim å f (a i) D х i

п

i = 1

Але, за визначенням,

max D х i ® 0

f (х) = lim å f (a i) D х i

отже,

S = f (х)

Таким чином, в разі, коли f (х) ³ 0, тобто, коли графік функції у = f (х) розташовується над віссю Про х, певний інтеграл чисельно дорівнює площі S криволінійної трапеції.

Якщо ж f (х) = 0 при а £ х £ в, тобто якщо крива розташовується під віссю Про х, то сума

п

i = 1

å f (a i) D х i

дорівнює сумі площ криволінійної трапеції аавв, взятої зі знаком мінус (рис. 4)

Тоді з геометричної точки зору певний інтеграл від f (х) чисельно дорівнює площі S криволінійної трапеції, обмеженою інтервалом [а, в] осі Про х £ х £ в), безперервної кривої у = f (х) і відрізками прямих х = а, х = в, рівними f (а) і f (в).

2.10. Теорема Ньютона-Лейбніца.

Нехай функція f неперервна на [а, в]. тоді вона інтегрована на будь-якому відрізку, [а, х], де а £ х £ в, тобто, для будь-якого х Î [а, в], існує інтеграл

F (х) = f (t) dt (V)

Якщо f (t) ³0 "tÎ [а, в], то F (х) = S (х), де S (х) - площа криволінійної трапеції а АL (х) (рис. 5)


Визначення. Функція F певна співвідношенням (V) на [а, в] називається інтегралом із змінною верхньою межею.

Ця функція неперервна і диференційовна на [а, в]. А саме має місце наступна теорема.

Теорема. (Ньютона-Лейбніца)

I

х

Похідна певного інтеграла від неперервної на [а, в] функції f, що розглядається як функція його верхньої межі, існує і дорівнює значенню підінтегральної функції в точці диференціювання.

F '(х) = (f (t) dt) = f (х) 1, х Î [а, в].

Доказ: Нехай х Î [а, в], х + D х Î [а, в]; тоді в силу теореми 1 пункту 2.12. отримаємо

F (х + D х) = f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt

Знайдемо відповідне прирощення DF функції F. Використовуючи рівності (V) і теорему 4 пункту 2.12. маємо

DF = F (х + D х) - F (х) = f (t) dt = f (с) D х, де

з Î [х, х + D х]

f (с) D х

D х

D F

D х

Обчислимо похідну функції (V):

D х ® 0

D х ® 0

D х ® 0

F '(х) = lim = lim = lim f (с)

Якщо D х ® 0, то х + D х ® 0 і з ® х, так як з Î [х, х + D х]. Тоді в силу безперервності f отримаємо

з ® х

F '(х) = lim f (с) = f (х)

Що й треба було встановити.

Легко випливає наступне твердження: будь-яка безперервна на [а, в] функція має на цьому відрізку первісну при цьому однією з первісних є інтеграл (V).

ò

Дійсно, нехай функція f неперервна на [а, в]; тоді вона інтегрована на будь-якому на [а, х], де х Î [а, в], тобто, існує інтеграл (V), який і є первісною функцією для f. Отже, невизначений інтеграл від безперервної на [а, в] функції f можна записати у вигляді

f (х) = f (t) dt + С, х Î [а, в]

де С - довільна стала.

2.11. Формула Ньютона-Лейбніца.

Теорема. Якщо Ф - первісна для безперервної на [а, в] функції f, то визначений інтеграл від функції f обчислюється за формулою

f (х) = Ф (в) - Ф (а).

Доказ: Нехай Ф деяка первісна для функції f. В силу попередньої теореми функція (V) також є первісною для функції f. Оскільки дві первісні Ф і F відрізняються один від одного на деяку постійну, маємо

f (х) = Ф (х) + С (1)

Покладемо в останній рівності х = а. Так як

f (х) = 0,

то Ф (а) + С = 0, звідки С = - Ф (а)

Підставляючи знайдене значення С в співвідношення (1), маємо

f (х) = Ф (х) - Ф (а).

Вважаючи в останньому співвідношенні х = в і позначаючи змінну t через х, остаточно отримаємо рівність вказане в теоремі.

в

а

Формулу Ньютона-Лейбніца в скороченому вигляді прийнято записувати так:

f (х) = Ф (х) | = Ф (в) - Ф (а)

2 p

0

Приклади.

1)

1

0

d х

х 2 +1

sin хdх = - cos х | = - cos 2 p + cos 0 = 0.

2) = Ln | x + x 2 +1 | = Ln (1 + Ö2) - ln 1 = ln (1 + Ö2)

2.12. Заміни змінних в певних інтеграли.

Нехай потрібно в певному інтегралі

f (х)

застосувати підстановку х = j (t). Тоді має місце наступна формула заміни змінних в певному інтегралі:

f (х) = f [j (t)] j '(t) dt,

де j (a) = а, j (b) = в.

Цю формулу ми доведемо за умов:

1. Функції j (t) і j '(t) неперервні в [a, b].

2. Функція f (х) визначена і неперервна для всіх значень, які функція х = j (t) приймає в [a, b].

3. j (a) = а, j (b) = в.

4.

ò

Доказ: Позначимо через М і т найбільше і найменше значення функції х = j (t) в [a, b]. нехай

F (х) = f (х) dх, т £ х £ М.

ò

По теоремі про підстановці в невизначених інтеграли для всіх t з [a, b] справедливо рівність

F [j (t)] = f [j (t)] j '(t) dt.

Звідси f [j (t)] j '(t) dt = F [j (b)] - F [j (a)] = F (в) - F (а)

Так як f (х) = F (в) - F (а)

то з порівняння останніх двох рівностей отримаємо доводить формулу.

Приклад. обчислити інтеграл

J = х 1 + х 2 d х

Ö 2

1

Підставами 1+ х 2 = t, тобто, х = t 2 -1. Маємо: t = 1, при х = 0, t = Ö2, при х = 1. Так як d х = tdt / t 2 -1, то

J = t 2 dt = t 3/3 | = (2Ö2 - 1) / 3.

2.13. Інтегрування по частинах.

Нехай функції f (х) і j (х) неперервні разом зі своїми похідними в інтервалі [а, в]. Нехай, далі,

F (х) = f (х) j (х).

Тоді F '(х) = f (х) j' (х) f '(х) j (х).

в

а

в

а

Так як F '(х) = F (х) | ,

в

а

то [f (х) j '(х) f' (х) j (х)] d х = f (х) j (х) | ,

звідки f (х) j '(х) = f (х) j (х) | - f '(х) j (х)

Приклади.

1) Обчислити інтеграл.

х cos х d х

в

а

Поклавши f (х) = х, j (х) = sin х отримаємо:

х cos х d х = х sin х | - sin х d х = - 2

2) обчислити інтеграл

ln х d х.

21

Поклавши f (х) = ln х, j (х) = х отримаємо:

21

21

ln х d х = [х ln х] - х (d х / х) =

= [Х ln х] - [х] = 2 ln 2 - 1 = ln 4 - 1


3. Історичні відомості про виникнення і розвитку основних понять.

В математиці XVII в. найбільшим досягненням справедливо вважається винахід диференціального й інтегрального числення. Сформувалося воно в ряді творів Ньютона і Лейбніца і їх найближчих співробітників і учнів. Введення в математику методів аналізу нескінченно малих стало початком великих перетворень, швидко змінили все обличчя математики і підняли її роль в системі природно наукових знань людства.

Однак поява аналізу нескінченно малих не було справою рук одного або декількох вчених, їх геніальної здогадки. Воно насправді було завершенням тривалого процесу, внутріматематіческіе суть якого полягала в накопиченні і виділенні елементів диференціального й інтегрального числення і теорії рядів.

Для створення обчислення нескінченно малих всередині математики XVII в. склалися достатні передумови. Це були: наявність сформованої алгебри та обчислювальної техніки; введення в математику змінної величини і координатного методу; засвоєння інфінітезімальних ідей древніх, особливо Архімеда; накопичення методів вирішення завдань на обчислення квадратур, кубатури, визначення центрів ваги, знаходження дотичних, екстремалів і т.д.

3.1. Походження поняття певного інтеграла і інфінітезимального методи Архімеда.

Поняття інтеграла та інтегральне числення виникли з потреби обчислювати площі будь-яких фігур і поверхонь і об'єми довільних тем. Передісторія інтегрального числення сягає глибокої давнини. Ідея інтегрального числення була древніми вченими предвосхищена в більшій мірі, ніж ідея диференціального обчислення.

Слід особливо згадати про один інтегральному методі Архімеда, застосований в наступних його творах:

«Про кулі і циліндрі», «Про спіралі» і «Про коноїд і сфероидах». В останньому творі розглянуті обсяги сегментів, одержуваних при перетині площиною тіл, утворених обертанням навколо осі еліпса, параболи або гіперболи.

У термінології Архімеда «прямокутний коноїд» - це параболоїд обертання, «тупоугольние коноїд» - одна порожнину двуполостного гіперболоїда обертання, «сфероид» - еліпсоіда обертання.

У XIX пропозиції свого твору «Про коноїд і сфероидах» Архімед доводить наступну лему: «Якщо дан сегмент якогось із коноїд, відсічені перпендикулярної до осі площиною, або ж сегмент якогось із сфероидов, не більший половини цього сфероида і точно також відсічені , то можна вписати в нього тілесну фігуру і описати біля нього іншу, що складаються з яких має однакову висоту циліндрів, і до того ж так, що описана фігура більше вписаною на величину, меншу будь-якою наперед заданою фізичної величини. »

Ця лема є яскравим прикладом методу інтегральних сум, істота якого полягає в наступному: тіло обертання розбивається на частини і кожна частина апроксимується описаним і вписаним тілами, обсяги яких можна обчислити. Сума обсягів описаних тел буде більше, а сума вписаних тел - менше обсягу тіла обертання. Тепер залишається вибрати апроксимує зверху і знизу тіла таким чином, щоб різниця їх обсягів могла бути зроблена як завгодно малою. Це досягається вибором в якості зазначених тел відповідних циліндриків.

Архімед фактично вводить поняття інтегральних сум, верхніх V п і нижніх v п і знаходить обсяг V полуелліпсоіда, як загальний межа цих сум при п ® ¥. Так само він визначає обсяг сегментів параболоїда і гіперболоїда обертання. Висловлюючись сучасною мовою Архімед визначив інтеграли:

хdх = а 2/2, х 2 d х = а 3/3, 2 + вх) d х = а 3/3 + а 2 в / 2

У своєму творі «Про кулі і циліндрі» він визначив інтеграли:

1/2 sin j d j = 1, sin j d j = - cos a + 1.

Звичайно у Архімеда немає ще загальних понять межі і інтеграла, немає і загального алгоритму інтегрального числення. Наведені та інші його викладки завжди пов'язані з вирішенням конкретних геометричних задач без вказівок на те, що в основі всіх їх лежить один і той же загальний прийом арифметичного підсумовування як завгодно малих частин фігури. Незважаючи на те, що квадратура параболи і кубатура сфероида зводяться до визначення одного і того ж інтеграла, Архімед користувався для вирішення цих завдань різними методами.

У вигляді прикладу методу інтегральних сум наведемо рішення Архімедом завдання обчислення обсягу еліпсоїда обертання в творі «Про коноїд і сфероидах».

Отже, дано тіло обертання АВС і тілесна (об'ємна) величина Е> 0. Ділимо ВО на п рівних частин і будуємо описані і вписані циліндри, суми обсягів яких, відповідно позначимо, V on і V Вn. Їх різниця дорівнює обсягу циліндрика АА 1, тобто, p а 2 (в / п), який підбором досить більшого п може бути зроблений як завгодно малим.

Тепер припустимо, що на даному малюнку зображений сегмент еліпсоїда обертання і поставлено завдання обчислити його обсяг. В такому випадку

п-1

k = 0

V оп = p 2 + p h (х 1) 2 + p h (х 2) 2 + p h (х п-1) 2 =

= P h å k) 2,0 = 0)

Задача зведена до підсумовування квадратів чисел. Далі Архімед виробляє геометричні перетворення, еквівалентні наступним аналітичним перетворенням:

Так як х 2 / а 2 + у 2 / в 2 = 1, то х 2 = а 2 / в 2 2 - у 2) і далі кожного перетину: 1) 2 = а 2 / в 2 2 - h 2),

2) 2 = а 2 / в 2 2 - (2h) 2),

..............................,

п-1

k = 0

п-1

k = 0

п-1) 2 = а 2 / в 2 2 - [(п -1) h] 2),

звідки V оп = åp h (х k) 2 = (p 2) / в 2 [пв 2 - h 2 åJ 2], де

п

J = 1

J - послідовні натуральні числа.Для знаходження сум квадратів останніх Архімед застосував геометричні оцінки виду (п 3 h 2) / 3 <�å (J h) 2 <((п +1) 3 h 3) / 3

п

J = 1

звідки (так як пh = в)

в

а

3) / 3 <�å (J h) 2 h <�в 3/3 + в 3 / п + в 3 / п 2 + в 3/3 п 3

що до певної міри еквівалентно оцінці для ò х 2 d х

з цих оцінок виходить

V оп = p 2 / в 2) h [пв 2 - h 2 (п 3/3)] = p а 2 в (1-1 / 3) = 2 / 3p а 2 в

Аналогічно V вп <2 / 3p а 2 ст.

Але так як відповідно до леми, V оп - V вп <�Е, то шуканий обсяг сегмента

V <2 / 3p а 2 в,

тобто, дорівнює подвоєному об'єму конуса з тим же підставою і висотою, що і сегмент.

Единственность межі доводиться, як і у всіх інших випадках, приведенням до протиріччя.

Наведений приклад показує, що в античній математиці склався ряд елементів певного інтегрування, в першу чергу побудова верхніх і нижніх інтегральних сум, аналогічних до певної міри сумам Дарбу.

3.2. Від Архімеда до Кеплеру і Кавальєрі.

Перші значні спроби розвитку інтеграційних методів Архімеда були зроблені в XVII в. одним з перших видатних вчених, які прагнули до відродження і розвитку інтеграційних методів, був Йоганн Кеплер.

1612 був для жителів австрійського міста Лінца, в якому жив тоді Кеплер, виключно врожайним, особливо ряснів виноград. Люди заготовляли винні бочки і хотіли знати, як практично визначати їх обсяги. Це питання якраз і входив до кола ідей, якими цікавився Кеплер. Так народилася його «Нова стереометрія винних бочок», що вийшла у світ 1615 р

Кеплер вирахував площі плоских фігур і поверхонь і об'єми тіл, грунтуючись на ідеї розкладання фігур і тіл на нескінченне число нескінченно малих частин, які він називав «найтоншими кружальцями» або «частинами вкрай малу ширину»; з цих найдрібніших частинок, підсумованих їм, він становить фігуру, еквівалентну первісної, але площа або об'єм якої йому відомий.

Методи Кеплера у визначенні обсягів тіл обертання, були нестрогими. Багато вчених присвятили свої роботи удосконалення оперативної боку цього підприємства. Найбільшу популярність придбала геометрія неподільних, винайдена Кавальєрі. Справою його життя, які мали найбільше значення для розвитку математики, був метод неподільних.

Метод неподільних винайдений для визначення розмірів плоских фігур і тіл.

Як фігури, так і тіла представляються складеними їх елементів, що мають розмірність на одиницю менше. Так, фігури складаються з відрізків прямих, проведених паралельно якоїсь направляючої прямий, званої регула. Цих уявних відрізків нескінченно багато. Вони укладені між двома дотичними, паралельними Регул. У геометричних тілах неподільними є площині, паралельні деякій площині. Їх теж нескінченно багато; межами їх сукупності служать дві дотичні площини, паралельні Регул.

Сукупність усіх неподільних, що вводиться Кавальєрі, по суті вводить поняття певного інтеграла. Сукупність геометрії неподільних можна сформулювати так: плоскі фігури і тіла ставляться один до одного, як все їх неподільні, взяті разом; якщо неподільні знаходяться в одному і тому ж відношенні один до одного, то ставлення площ відповідних фігур (або обсягів тіл) одно цього відношення.

Ці твердження практично еквівалентні сучасним умовиводів типу: дано дві фігури, обмежені віссю х, прямими х = а і х = в і відповідно у 1 = f 1 (х) і у 2 = f 2 (х). (Рис 7).

¥

k = 1

¥

k = 1

відношення площ

S 1 / S 2 = å у 1k / å у 2k = f 1 (х) / f 2 (х) dх

Якщо у 1k / у 2k = а = const, для будь-якого k, то і S 1 / S 2 = k.


Кавальєрі довів теорему: Сума квадратів неподільних паралелограма втричі більше суми квадратів неподільних трикутника, утвореного в результаті проведення діагоналі (рис. 8).

Введемо для стислості позначення: АС = а, RT = x, TV = y, RS = а / 2 = в, ST = z. Тоді х = в + z, у = у - z і сума квадратів частин неподільних х 2 + у 2 = 2 в 2 + 2 z 2.

Підсумовуємо всі неподільні, позначивши суму квадратів неподільних символом []:

[AEC] + [CGE] = 2 [ABFE] + 2 [BCM] + 2 [FEM].

Зауважимо, що

[AEC] = [CGE]; [ABFE] = 1/4 [ACGE];

[BCM] = [FEM] = 1/8 [ACE],

що неважко зрозуміти, уявивши над кожним лінійним елементом квадрат і розглядаючи їх сукупності. Отже, [ACE] = 1/4 [ACGE] + 1/8 [ACE] + 1/8 [ACE]; [ACE] = 1/3 [ACGE].

У перекладі на мову інтегрального числення Кавальєрі довів, що

х 2 d х = 1/3 а 2 d х

або інакше:

п

k = 1

п ® ¥

lim [(а / п) 2 (1 2 + 2 2 + ... + п 2)] / па 2 =

п ® ¥

= Lim å k 2 / п 3 = 1/3.

Цю теорему Кавальєрі зумів узагальнити на випадок підсумовування більш високих ступенів неподільних, аж до дев'ятої, вирішивши таким чином групу завдань, еквівалентних обчислення певних інтегралів виду:

х п d х, для п = 1, ..., 9.

3.3. Теорема Паскаля.

Серед послідовників Кавальєрі самими видатними вченими, підготовлюваного створення інтегрального та диференціального числення, були Дж.Валлік, П.Ферма, Б. Паскаль.

п

i = 1

Методи Валліка, викладені в його «Арифметиці нескінченних» (1655), розвивалися слідом за методом неподільних Кавальєрі. Валліка просунувся значно далі Кавальєрі. При вирішенні цілого ряду геометричних задач Валліка по суті обчислював певні інтеграли від деяких інших алгебраїчних функцій; у Валліка також вперше зустрічається в чіткому вигляді аріфметізірованний граничний перехід. При цьому Валліка виходить вже не з примітивного поняття всіх ліній, а з суми å f (х) i D х i. Він розглядає площа (певний інтеграл) як загальний межа верхніх і нижніх інтегральних сум при описі і вписання східчастих фігур.

Обчисленням інтегралів від ступенів х r, або, як говорили в той час, квадратурою «парабол» у = х r, де r - раціональне число, П.Ферма займався ще в 1644 р пізніше Ферма виклав загальну теорію всіх різних випадків.

Ще більш чітко поняття визначеного інтеграла виступає в працях Б. Паскаля. всі його зусилля були спрямовані на уточнення методу неподільних. Спроба уточнення полягає в тому, що він суму всіх неподільних розумів як суму елементарних майданчиків, утворених нескінченно близькими, однаково віддаленими одна від одної координатами, обмеженими відрізком осі абсцис і кривою (тобто суму виду å уdх). У ряді завдань він вводив суму всіх синусів, визначаючи її як суму добутків ординат на елементи дуги (å уds), яка в разі окружності одиничного радіуса виправдовує свою назву (å sin jd j).

Для прикладу розглянемо наступну теорему з «Трактату про синусі чверті кола» (1658) Паскаля:


Сума синусів який-небудь дуги (BF) чверті кола (рис. 9) дорівнює відрізку підстави (АТ) між крайніми синусами, помноженому на радіус (АВ).

Дуга BF ділиться на рівні частини, відмічені точками з яких з яких проводяться синуси DI. Точки перетину дотичних до дуги окружності в точках D позначені точками Е; з останніх потім опускаються перпендикуляри ER.

Попередньо Паскаль вказує, що

DI. EE = RR. AB (1)

Дійсно (рис. 10), з подібних прямокутників DIA і EKE (ÐЕЕК = ÐDAI) слід:

AD / DI = EE / EK

З огляду на те, що AB = AD, отримуємо рівність (1).

«Я стверджую, - пише після цього Паскаль, - що сума синусів DI кожного помноженого на одну з рівних дуг DD, дорівнює прямий АТ помноженої на радіус АВ». Замінюючи кожну дотичну ЇЇ дугою DD, Паскаль отримує в лівій частині рівності (1) «суму синусів», а в правій твір АВ на суму відрізків RR, тобто, на АТ. Отже, теорема доведена. Ототожнення дуги DD з відрізком дотичної Паскаль тільки має на увазі.

Щоб перевести доказ Паскаля на сучасну мову введемо відповідну систему декартових координат, позначимо «синус DI» через у, елемент дуги DD - через ds, диференціал незалежної змінної - через d х, радіус АВ - через r. Тоді рівність (1) можна записати так:

уds = rdх

Інтегруючи відповідно до змісту теореми Паскаля, отримаємо:

уds = rdх.(2)

Більш складний інтеграл, що стоїть в лівій частині цієї рівності, зводиться таким чином до більш простому інтегралу правій частині, рівному rx, а для цілої чверті r 2.

Покладемо r = 1 і введемо кут DAB = Ð ADI = j. Тоді (рис. 10)

S = rj = j, у = DI = AD cos j = cos j, х = sin j.

Рівність (2) дає:

cos j d j = х = sin j.

На розглянутому вище DЕЕК Лейбніц побудував своє диференціальне числення і назвав його характеристичним.

3.4. «Про глибоку геометрії» Лейбніца.

ò

ò

ò

ò

З основними досягненнями математики XVII в. Лейбніц познайомився на початку 70-х рр. цього століття, коли під увагою голландського вченого Х.Гюйгенса вивчив, крім його робіт, праці Кавальєрі, Валліса, Паскаля і ін. два роки після опублікування мемуара 1684 р 1-го друкованого праці Лейбніца по диференціальному підрахунку, з'явився його новий мемуари «Про глибоку геометрії і аналізі неподільних, а також нескінченних». Це була перша друкована праця з інтегрального числення. Основним поняттям для Лейбніца була сума актуально нескінченних малих трикутників уdх, на які розбивається криволинейная фігура, тобто, певний інтеграл. У цьому ж мемуаре вперше з'являється не тільки знак, але і запис уdх, причому Лейбніц попереджає, що не слід забувати писати під знаком інтеграла множник d х.

Лейбніц, виходячи з «характеристичного» трикутника З катетами d х і (різниці абсцис і ординат двох близьких точок лінії) і гіпотенузою ds (нескінченно малої дуги кривої або нескінченно малого відрізка дотичної до дуги), приходить до рівності (диференціальних рівнянь)

рdу = хdх, де р - поднормаль (відрізок IA, рис. 10)

«Якщо, - пише він, - звернути це разностное (диференціальне) рівняння в підсумовує, то буде

рdу = хdх.

Але з того, що я виклав у своєму методі дотичних, виявляється, що

1/2 d х 2 = хdх;

ò

отже, і назад:

1/2 х 2 = хdх,

ò

бо у нас суми і різниці або і d взаємно протилежні, як в звичайному обчисленні ступеня і коріння ».

Таким чином, виходячи з поняття певного інтеграла, Лейбніц приходить до поняття функції F (х) первісної (або примітивної) для даної функції f (х) так, що

F '(х) = f (х), або dF (х) = f (х) dх.

Звідси і висновок про те, що диференціювання та інтегрування є двома взаємно зворотними операціями.

3.5. «Метод флюксий» Ньютона.

Незалежно від Лейбніца і ще до нього ці результати були отримані Ньютоном. Останній, проте, знайшов їх, йдучи по іншому шляху. Ньютону належать в областях науки першокласні досягнення, в тому числі і розробка диференціального й інтегрального числення в формі методу флюксий.

У своєму «Методі флюксій» автор формулює дві основні проблеми. перша:

«По даному співвідношенню між флюектамі визначити співвідношення між флюксіями».

Вирішення цієї проблеми призводить Ньютона до обчислення флюксии (похідною) від даної флюенти (функції) і до своєрідного обгрунтуванню розвиненого або диференціального обчислення. Він вводить поняття «моментів» поточних величин, відповідних поняттю диференціалів функцій. Необмежено малу величину, що розуміється актуально нескінченно малий приріст незалежної змінної (часу), Ньютон позначає через знак O, що нагадує нуль, але не є нулем. Момент флюенти і, наприклад він позначає так ио, де і - флюксія. По суті момент флюенти це її диференціал.

Другу проблему Ньютон формулює так.

«За даним рівнянням містить флюксии, знайти співвідношення між флюектамі». Це загальна проблема обсяг інтегруванні звичайних диференціальних рівнянь, яку Ньютон вирішує головним чином за допомогою нескінченних рядів, містить зокрема задачу визначення функції F (звану первісної), знаючи її похідну F '= f. Саме це завдання призводить до поняття невизначеного інтеграла.

Багато задач з механіки і фізики ведуть до поняття первісної функції невизначеного інтеграла, проте історично, зокрема у Ньютона, це поняття виникло з геометрії як завдання квадратури кривої.

Нехай маємо криволинейную трапецію (рис. 11), обмежену зверху кривою у = f (х), і нехай ця функція неперервна на [а, в] і приймає лише позитивне значення.

Для знаходження площі Р нашої трапеції розглянемо спочатку площа Р (х) фігури АDLK, що відповідає проміжку [а, х], де х - довільно взяте на [а, в] значення. Для знаходження функції Р (х) побудуємо приріст D х і відповідне йому прирощення D Р, якщо т і М надають мінімум, відповідно, максимум f (х) в проміжку [х, х + D х], то, очевидно, буде мати місце нерівність

т D х Р <�М D Р,

звідки т Р / D х <�М.

Внаслідок безперервності функції м і М будуть прагнути до f (х) при прагненні D х до нуля, і ми отримаємо:

D х ® 0

lim / D х = Р '(х) = f (х),

тобто, похідна від змінної Р (х) по кінцевої абсциссе х дорівнює кінцевої ординате у = f (х), або, теж, площа Р (х) криволінійної трапеції є первісна функція для функції у = f (х), що представляє собою криву обмежує трапецію.

Можна тепер записати:

Р (х) = F (х) + С. (V)

Але так як при х = АР (х) = 0, отримаємо для значення постійної С нашому випадку:

0 = F (а) + С, або С = - F (а),

підставивши це значення С в (V), будемо мати:

Р (х) = F (х) - F (а), (W)

Для визначення площі Р всій криволінійної трапеції ABCD слід покласти х = в.

тоді

Р = F (в) - F (а).

Таким шляхом виходячи з поняття похідної, Ньютон прийшов до поняття первісної або невизначеного інтеграла. Останній був для Ньютона початковим поняттям при побудові інтегрального числення.

Рівність (W), користуючись сучасними символами, можна переписати так:

f (х) = F (х) - F (а).

Це і є так звана формула Ньютона-Лейбніца. У ній певний інтеграл, що розглядається як функція верхнього змінного межі інтегрування представлений у вигляді однієї з первісних F (х) + С підінтегральної функції f (х).

Отже, завдання обчислення площі фігур, тобто, квадратура, веде до понять як певного, так і невизначеного інтеграла.

Тому обчислення інтегралів стали називати квадратурою.

3.6. Диференціальні методи.

В математиці XVII в. поряд з інтегральними методами складалися і методи диференціальні. До диференціальним методам ми віднесемо ті, в яких містяться елементи майбутнього диференціального обчислення. Вироблялися ці елементи при вирішенні завдань, які в даний час вирішуються за допомогою диференціювання. Такі завдання були в той час трьох видів: визначення дотичних до кривих, знаходження максимумів і мінімумів функцій і відшукування умов існування алгебраїчних рівнянь кратних коренів.

Накопичення елементів диференціального обчислення найбільш явну форму прийняло у Ферма. У 1638 р він повідомив в листі Декарту, що вирішив задачу визначення екстремальних значень f (х).


Ферма склав рівняння [f (х + h) - f (х)] / h = 0 і після перетворень в лівій частині вважав h = 0. Всупереч думці пізніших дослідників, які бачили в цьому ідеї обчислення нескінченно малих, в дійсності Ферма знайшов це умова і аналогічне

[F (у) - f (х)] / -х] = 0

Так само близький до диференціального числення метод Ферма відшукання дотичних до алгебраїчних кривим.

На малій дузі MN кривій алгебри f (х) = 0 шляхом проведення січною SMN будується «характеристичний» D MNP.

D MNP подібний D MRS.

Звідси SR = (MR. MP) / PN, або в більш звичних нам символах SP = [f (х) h] / f (х + h) - f (х).

Потім Ферма переходить від січної до дотичній, вважаючи х = 0, отримуючи тим самим S t = у / у 1. Пізніше він поширив цей метод визначення дотичних на випадок неявної функції f (х, у) = 0. Отримане їм вираз легко переводиться в звичне нам

Дf / дх + у 1 (Дf / дх) = 0.

Перший в світі друкований курс диференціального обчислення опублікував в 1696 р Лопиталь. Цей курс складається з передмови і 10 розділів. У передмові дається короткий історичний огляд розвитку нового обчислення.

У 10 главах книги викладаються визначення постійних і змінних величин і диференціала ( «Нескінченно мала, частина на яку безперервно збільшується або зменшується змінна величина, називається її диференціалом».), Пояснюються їх вживають позначення d х, dу і ін., Виводяться правила диференціювання виразів алгебри, визначається диференціальне числення до знаходження дотичних до кривих, до знаходження максимумів і мінімумів і т.п.

Великими достоїнствами книги Лопіталя є простота і сувора послідовність викладу, велика кількість прикладів легких, середніх і більш важких.

Поява аналізу нескінченно малих революціонувати всю математику, перетворивши її в математику змінних величин.


Література.

1. Стефан бонах

«Диференціальні та інтегральні обчислення».

2. Глаголєв А.А., Солнцева Т.В. «Курс вищої математики».

3. Глейзер Г.І. «Історія математики в школі».

4.Рибников К.А. «Історія математики».

5. Стройк Д.Я. «Короткий нарис історії математики».

6. Шестаков А.А. Малишева І.А. «Курс вищої математики».

7. Хрестоматія з історії математики.