Команда
Контакти
Про нас

    Головна сторінка


Теорема Ферма історія і докази





Скачати 17.14 Kb.
Дата конвертації13.06.2019
Розмір17.14 Kb.
Типреферат

МІСЬКИЙ КЛАСИЧНИЙ ЛІЦЕЙ

РЕФЕРАТ

Велика теорема Ферма

підготував:

Петров А. А.,

9Б клас (фіз-мат)

м Кемерово - 1998

зміст

1. Біографія Ферма

2. Історія Великої теореми Ферма

3. Доказ леми 1 (Жермен)

4. Доказ леми 2 (допоміжною)

5. Доказ теореми Ферма для показника 4

6. Примітки до доказів

біографія Ферма

П'єр Ферма жив із 1601 по 1665 рік. Був він сином одного з численних торговців у Франції, отримав юридичну освіту і працював спочатку адвокатом, а згодом став навіть радником парламенту. Службові його обов'язки, далекі за змістом від математичних наук, залишали йому досить дозвілля, який Ферма і присвячував заняттям математичними дослідженнями. Завдяки своїм природним здібностям і наполегливості, необхідної при роботі над питаннями математики, Ферма домігся великих результатів в самих різних її областях. Але не тільки математикою був він сильний: в області фізики, наприклад, їм сформульований основний принцип геометричної оптики, відомий під назвою «Принципу Ферма».

Ферма своїми роботами сприяв розвитку нових галузей в математиці: математичного аналізу, аналітичної геометрії (одночасно з Декартом), теорії ймовірностей.

Головним внеском Ферма в алгебру з'явилася розвинена ним теорія з'єднань або, як її ще називають, комбінаторика. Окремі завдання теорії з'єднань були вирішені вже в давнину греками і індійцями, але наукова постановка цих питань виникла лише в XVII столітті в роботах Ферма і його сучасника, знаменитого французького філософа, математика і фізика Блеза Паскаля. Виходячи з основ комбінаторики, ці два вчених і поклали початок нової математичної науки, званої теорією вірогідності, що отримала в XVIII столітті значну теоретичну базу, при цьому вона стала отримувати все більше поширення і використовуватися в різних областях науки і практичної діяльності. Перш за все, вона була застосовна до питань страхування, а в подальшому область її застосування все розширювалася і розширювалася.

Багато уваги Ферма також приділяв і питанню про магічні квадратах. Ці квадрати спочатку стали відомі індійцям і арабам, і вже тільки в епоху середньовіччя вони з'явилися в Західній Європі. Різні математики зацікавилися дослідженнями їх властивостей, це сприяло розвитку деяких математичних теорій. Ще Мезіріак знайшов способи складання магічних квадратів з непарним числом клітин, а вже Ферма розповсюдив ідею складання магічних квадратів на простір, т. Е. Поставив питання про складання кубів, що володіють властивостями, аналогічними властивостям магічних квадратів.

Хоча Ферма вніс великий вклад в розвиток теорії алгебраїчних чисел, докази його доводів майже ні в одному випадку знайдені не були (доказ Великий теореми Ферма для n = 4 - виключення, т. К. В рукописах воно було). Деякі висновки, зроблені Ферма, були і зовсім помилковими, але теореми, повні докази яких, як стверджував Ферма, у нього були, все згодом були доведені (основний внесок на доказ яких вніс Ейлер). Але було і одне виключення - приємне виключення - це Велика теорема Ферма:

Історія Великої теореми Ферма

Великою популярністю у всьому світі користується «Велика теорема Ферма» (вона ж - «Велика» або «Остання»).

Великою теоремою Ферма називається той висновок, який було зроблено ним при читанні виданої Мезіріаком «Арифметики» Діофанта. На полях цієї книги, проти того місця, де йде мова про рішення рівняння виду x 2 + y 2 = z 2, Ферма написав: «Тим часом, абсолютно неможливо розкласти повний куб на суму кубів, четвертую ступінь - на суму четвертих ступенів, взагалі якусь ступінь - на суму ступенів з тим же показником. Я знайшов справді дивовижний доказ цього припущення, але тут занадто мало місця, щоб його помістити ». Це положення Ферма тепер формулюється як теорема в наступному вигляді: «Рівняння x n + y n = z n не може бути вирішено в раціональних числах відносно x, y і z при цілих значеннях показника n, великих 2» (загальновідомо, що при n = 2 такі числа існують, наприклад, 3, 4, 5 - числа, які, якщо є довжинами сторін, утворюють знаменитий трикутник Піфагора). Справедливість цієї теореми підтверджується для багатьох окремих випадків (при цьому ще не знайдено жодного спростування), проте до цих пір вона не доведена в загальному вигляді, хоча їй цікавилися і її намагалися довести багато крупних математики (в «Історії теорії чисел» Діксона прореферировано більш трьохсот робіт на цю тему). У 1907 році в місті Дармштадті в Німеччині помер математик Вольфскель, який заповідав 100000 марок тому, хто дасть повне доведення теореми. Негайно сотні і тисячі людей, рухомих одним лише прагненням до наживи, стали бомбардувати наукові товариства і журнали своїми рукописами, нібито містять доказ теореми Ферма. Тільки в Геттінгенському математичне товариство за перші три роки після оголошення заповіту Вольфскеля прийшло понад тисячу «рішень». Але премія ця до цих пір нікому не видана за відсутністю справжнього докази Великий теореми Ферма.

Елементарного докази Великої теореми Ферма немає ні для одного показника n ¹ 4.

Випадок, коли n = 3, був доведений Ейлером ще в 1768 році. І той зажадав ще багато років, щоб теорія, якою необгрунтовано користувався Ейлер при своєму доказі, була доведена Гауссом.

Доказ теореми Ферма для випадку, коли n = 5, запропонували в 1825 році майже одночасно Лежен Дирихле і Лежандр. Своє доказ Дирихле опублікував в 1828 році, але воно було дуже складним, і в 1912 році його спростив Племель.

Для наступного простого показника n = 7 теорема Ферма була доведена лише в 1839 році Ламі. Доказ Ламі було майже відразу ж вдосконалено Лебегом.

У 1847 році Ламі оголосив, що йому вдалося знайти доведення теореми Ферма для всіх простих показників n ³ 3. Метод Ламі був вельми далеке розвиток ідей Ейлера і грунтувався на арифметичних властивостях чисел. Однак відразу ж Лиувилль виявив в міркуваннях Ламі серйозний пробіл, чим спростував цей доказ. Ламі був змушений визнати свою помилку.

На ЕОМ, користуючись ідеями Куммера і Вандівер довели справедливість теореми Ферма для всіх простих показників n <100000.

Доказ леми 1 (Жермен)

Якщо твір двох взаємно простих натуральних чисел є n - ой ступенем, то кожен із співмножників також буде n - ой ступенем:

ab = c n; НСД (a; b) = 1; a, b Î N

Довести: a = x n; b = y n

Доказ: Якщо розкласти c n на прості множники, то: c n = d 1 * ... * d 1 * d 2 * ... * d 2 * ... * d m * ... * d m, де кожного множника по n. Якщо ж розкласти на прості множники числа a і b, то якісь з чисел d 1 ... d m підуть до a, якісь - до b, причому однакові піти і туди, і туди не можуть в силу того, що НОД ( a; b) = 1, т. е. a є твір n-х ступенів якихось простих чисел, і b також - твір n-х ступенів якихось чисел, отже: a = x n; b = y n.

Доказ леми 2 (допоміжною)

x 2 + y 2 = z 2 (1)

Якщо (x; y; z) - рішення, то (y; x; z) також буде рішенням, тому що x і y симетричні в даному рівнянні. Припустимо, що z = 2k, тоді z 2 = 4k, якщо ж z = 2k - 1, то z 2 = (2k - 1) 2 = 4k 2 - 4k + 1 = 4 (k 2k) + 1, отже , хоча б одне з чисел x і y парно, т. к. якби обидва вони були непарними, то x 2 + y 2 = (2k - 1) 2 + (2d - 1) 2 = 4k 2 - 4k + 1 + 4d 2 - 4d + 1 = 4 (k 2 + d 2 - k - d) + 2, чого бути не може, т. к. x 2 + y 2 = z 2. Крім того x; ± y; ± z) також є рішенням рівняння, т. К. X 2 = (-x) 2; y 2 = (-y) 2; z 2 = (-z) 2.

З цих зауважень безпосередньо виходить, що нам досить знайти з примітивні вирішення (x; y; z) рівняння (1), т. Е. Виключимо всі наступні рішення: x; ± y; ± z), крім (x; y; z), (y, x, z), для яких x = 2a.

Лемма 2: «Будь-яке складається з позитивних чисел примітивне рішення (x, y, z) рівняння (1), для якого x = 2a, виражається формулами:

x = 2mn; y = m 2 - n 2; z = m 2 + n 2,

де n НСД (m; n) = 1, m і n - числа різної парності ».

Доказ: Нехай (x; y; z) - довільна, що складається з позитивних чисел примітивне рішення рівняння (1), де x = 2 a.З рівняння 4a 2 + y 2 = z 2 слід (z - y) (z + y) = 4k 2. Парність чисел z - y і z + y збігаються і твір їх рівне 4k 2, отже, z - y і z + y парні. Нехай z + y = 2b; z - y = 2c, де b і c позитивні, т. к. y виходячи з рівняння (1). Кожен загальний дільник l чисел b і c є також загальним дільником z = b + c і y = b - c.

НСД (y; z) = 1, т. К. (X; y; z) - примітивне рішення рівняння (1), отже, НОД (b; c) = 1. З іншого боку 4a 2 = x 2 = z 2 - y 2 = (z - y) (z + y) = 4bc, т. Е. A 2 = bc. Отже, відповідно до леми 1, застосованою до випадку, коли n = 2, існують такі взаємно прості позитивні числа різної парності m і n, що b = m 2; c = n 2. Тоді a 2 = (mn) 2, т. Е. A = mn і

x = 2a = 2mn; y = b - c = m 2 - n 2; z = b + c = m 2 + n 2.

Для завершення доказу залишається лише додати, що n т. К. X, y> 0.

Доказ теореми Ферма для показника 4

x 4 + y 4 = z 4

Доведемо ще більш загальний випадок:

«Рівняння

x 4 + y 4 = z 2 (2)

не має рішень в цілих відмінних від нуля числах ».

Доказ: Припустимо, що існує рішення рівняння (2) в цілих відмінних від нуля числах. Ясно, що, не втрачаючи спільності, ми можемо вважати, що воно складається з попарно взаємно простих позитивних чисел (якщо (x; y; z) є рішенням рівняння (2), то, відразу ж видно, що (l x; l y ; l z) також є його рішенням). Так як в будь-якому безлічі натуральних чисел існує найменше з них, то серед всіх таких рішень знайдеться рішення (x; y; z) з найменшим z. Розглянемо саме це рішення:

Так само, як і при доказі леми 2 негайно доводиться, що одне з чисел x і y має бути парним. Припустимо, що парне число x. Це припущення також спільності не обмежує.

Так як числа x 2, y 2 і z позитивні і взаємно прості, а число x 2 парно, то, відповідно до леми 2, існують такі взаємно прості числа m і n різної парності, що x 2 = 2mn; y 2 = m 2 - n 2; z 2 = m 2 + n 2. Якщо m = 2k і n = 2f +1, то y = 4 (k 2f 2f - 1) + 3, що неможливо, бо, як вище було вже зазначено, будь-який квадрат повинен мати вигляд 4k + 1, або 4k. Отже, m - непарній, а n - парне.

Нехай n = 2q. Тоді x 2 = 4mq і тому mq = (x / 2) 2. Оскільки НОД (m; q) = 1, а x парно, то, виходячи з леми 1, m = z 1 2, q = t 2, де z 1 і t - деякі цілі взаємно прості позитивні числа. Зокрема, рівняння y 2 = m 2 - n 2 те ж саме, що і y 2 = (z 1 2) 2 - (2t 2) 2, т. Е. (2t 2) 2 + y 2 = (z 1 2) 2.

Так як НСД (t; z 1) = 1, то до цієї нерівності знову застосовна лема 2. Отже, існують такі позитивні взаємно прості числа a і b різної парності, що 2t 2 = 2ab, т. Е. T 2 = ab; y 2 = a 2 - b 2; z 1 2 = a 2 + b 2. Так як НСД (a; b) = 1, з рівності t 2 = ab по лемі 1 витікає, що суті цілі числа x 1 і y 1, для яких a = x 1 2; b = y 1 2. Тому z 1 2 = a 2 + b 2 той же, що і x 1 4+ y 1 4 = z 1 2. Це означає, що числа x 1, y 1, z 1 складають примітивне вирішення рівняння (2), що складається з позитивних чисел. Тому в силу вибору рішення (x; y; z), повинно мати місце нерівність z 1 ³ z, а тому і нерівність z 1 2 ³ z, т. Е., З огляду на, що z = m 2 + n 2, m ³ m 2 + n 2, чого бути не може, т. к. m, n> 0.

Таким чином, припущення про існування у записаного вище рівняння (2) цілочисельних рішень приводить до суперечності. Отже, це рівняння не має рішень в цілих відмінних від нуля числах.

Примітки до доказів

Доказ леми 1 тут дано не те, яке було відомо ще з середньовіччя, а то, що придумав я сам, засноване більшою мірою на логічних висновках. Теорема Ферма для показника 4 (та всі додаткові для її підтвердження леми) - це єдина теорема, доведена тут, т. К. Доказ її вважається елементарним, т. Е. Заснованим на простих алгебраїчних перетвореннях чисел, відомим ще індусам. Доказ же це було тут необхідно, т. К. Ще навіть у Ферма воно було, тільки в дещо іншій формі.

У Франції не так давно з'явилася книга, що є, з одного боку, повним доказом Великої теореми Ферма, але в ній використано стільки нових в математиці абстрактних понять, що перевірити ці праці, крім автора, ніхто не може.

Список літератури

1.) М. М. Постніков «Теорема Ферма», М., 1978

2.) Б. В. Болгарський «Нариси з історії математики», Мінськ, 1979

3.) М. Я. Вигодський «Довідник з елементарної математики», М., 1974.

4.) Мережа Internet