Команда
Контакти
Про нас

    Головна сторінка


з історії математики. Науковий д ф. м н. професор Вінберг Е. Б





Скачати 36.69 Kb.
Дата конвертації30.08.2019
Розмір36.69 Kb.
Типреферат

Московський державний університет ім. М.В.Ломоносова
Механіко-математичний факультет
Кафедра вищої алгебри

Поршнев Євген Андрійович

Альтернативна теорія множин (по книзі Петра Вопенкі)

Реферат з історії математики.

Науковий керівник: д. Ф.-м. н. професор Вінберг Е. Б.

Ведучий семінари: к.ф.н. Катречко С.Л.

Москва

2009


§ 0. Введення.

Одним з найбільш спірних питань в сучасній класичній математиці є питання про абсолютну нескінченності. Нескінченність буває двох сортів: потенційна та актуальна. Поняття потенційної нескінченності природно виникає при побудові натурального числового ряду. Якщо ми побудуємо натуральне число n, то ніщо не заважає нам побудувати число n +1. Якщо ми дійшли до кроку k> n, то можна зробити і крок k +1. Якщо абстрагуватися від ресурсних обмежень, то кількість таких кроків необмежено, і ми отримуємо поняття потенційної нескінченності. Таким чином потенційна нескінченність - це необмежений процес побудови об'єктів по одному і тому ж принципу. На противагу такому процесові можна розглядати актуальну нескінченність: нескінченну сукупність об'єктів, кожен з яких вже здійснено, і всі вони перед нами постають разом, одночасно. Точки зору на те, які з нескінченностей мають право на існування в математиці, розрізняються. Так, наприклад, Генцен говорить «Нескінченну сукупність можна розглядати як щось закінчене, дане саме по собі (актуальна нескінченність), а можна розглядати лише як щось стає, щось таке, що можна все далі і далі надбудовувати над кінцевим (потенційна нескінченність)» ( цитується по [5]). Протилежну точку зору представляють такі математики як Лейбніц «Я в такій мірі стою за актуальну нескінченність, що не тільки не допускаю, що природа боїться її, як звичайно виражаються, але і визнаю, що природа всюди являє саме таку нескінченність, щоб краще відзначити досконалість свого творця », Больцано« щоб уявити ціле, немає необхідності представляти окремо його частини »(цитується по [4]). Підсумувати можна висловлюванням Адамара «Тільки логічне протиріччя може зупинити нашу здатність створювати ідеальні поняття» (цитується по [3]).

У канторовской теорії множин носіями актуальної нескінченності є нескінченні множини. При цьому елементи безлічі завжди чітко задані. Відзначимо ще одне положення: в канторовской теорії ніяких інших об'єктів, крім множин, не існує. Таким чином, будь-який нескінченний об'єкт, який нам зустрінеться, заздалегідь оголошується безліччю. Це положення дозволяє розглянути безліч всіх множин, що в свою чергу призводить до парадоксу Рассела. Уже в цьому місці можна було б виявити, що "безліч всіх множин" є нечітко заданій сукупністю. Але історично виявилося обраним інше радикальне рішення: здійснення безлічі всіх множин і деяких його підмножин було просто заборонено.

У 1963 р П.Коен отримав несподіване рішення першої проблеми Гільберта: він довів незалежність континуум-гіпотези. Трохи пізніше з'являються подібні результати про незалежність ще кількох тверджень від аксіоматики теорії множин і один від одного. Одним з таких тверджень є гіпотеза Суслина:

Лінійно впорядкована множина без кінцевих елементів, щільне в собі, повне по Дедекіндом, будь діз'юнктное сімейство непустих інтервалів в якому лічильно, порядкової ізоморфно безлічі дійсних чисел.

Наявність таких тверджень призводить до так званого другого кризи теорії множин: стає незрозуміло, що є істина. Все це суперечить початкової установці Гільберта: актуальні безлічі суть чіткі і однозначні об'єкти цієї реальності. З цього моменту виникають об'єктивні передумови для переосмислення основних положень канторовской теорії і розвитку альтернативних точок зору.

Одна з таких точок зору реалізована чеським математиком Петром Вопенкой і отримала назву альтернативної теорії множин (AST). У канторовской теорії множин всі наші уявлення засновані на абсолютній чіткості розглянутих понять (наприклад, дійсних чисел), що служить джерел багатьох проблем. Зокрема, в класичній математиці немає місця таким нечітким поняттям, як «купа», «велике число», «маленьке число». Але саме робота з такими не цілком певними, нечіткими поняттями є основою альтернативної теорії множин.

Здається природним на початку обмежитися спадково-кінцевими множинами (конструюються з пустого за певними правилами), при цьому процес такого побудови поступово йде за горизонт нашого чіткого бачення. Поняття горизонту тим самим набуває центральне значення, по суті замінюючи собою ідею кінцівки в класичному розумінні. Безлічі, що знаходяться перед нашим горизонтом, визнаються кінцевими в сенсі альтернативної теорії множин, а їх сукупність, вже не будучи безліччю, утворює клас. Автором проведена велика робота по математизації цих суджень, втім він не дотримується строго аксіоматичного підходу (що підкреслює парадигмальний характер теорії), вводячи необхідні аксіоми у міру потреби і мотивуючи цю потреба інтуїтивними поглядами. В кінці книги наведено міркування на тему того, які ще аксіоми можна ввести в альтернативну теорію множин для подальшого розвитку в тому чи іншому напрямку.

Мені не відомо математичних застосувань альтернативної теорії множин поза її самої, але не можна заперечувати, що філософське значення AST величезна: адже Вопенка пропонує зміна класичного погляду на поняття нескінченності в математиці. Ухвалення теорії "природної нескінченності" як принципу умовного кордону, зупинки при розгляді математичних процесів, вирішує практично всі проблеми теорії множин і знімає протиріччя в більшості логічних парадоксів.

§ 1. Базові поняття AST. Безліч, клас, збори.

Виділимо той клас сутностей, які ми вважаємо об'єктивно існуючими і назвемо їх об'єктами.

У AST безлічі - це об'єкти особливого роду. Нехай дана якась чітко виділена сукупність об'єктів. Якщо ми визнаємо за цією сукупністю індивідуальність, представляємо її як цілісну і самостійну одиничність, т. Е. Об'єкт, то ми породжуємо безліч; його елементами будуть об'єкти, що знаходяться в цій сукупності. Це означає, що для кожного об'єкта відповідь на питання, чи є він елементом безлічі (тобто, чи лежить він у даній сукупності) повинен бути інтуїтивно зрозумілий.

Однак, багато природно виникають сукупності не є множинами. Наприклад, сукупність всіх нині живих людей не виділена чітко. Адже якби ми мали вирішити, чи належить до неї та чи інша людина, то у нас могли б іноді виникнути чималі сумніви. Аналогічно, не є чітко виділеними сукупності всіх існуючих в даний момент столів, білих суконь, смачних (або просто їстівних) страв і інші. Коротше кажучи, в більшості випадків, коли ми виділяємо сукупність будь-яким природним властивістю (т. Е. Поміщаємо в цю сукупність всі об'єкти з цією властивістю), то дана сукупність виділяється нечітко. Для того, щоб можна було працювати і з сумами такого виду, вводиться поняття класу. Якщо у визначенні множини не вимагати чіткості, то отриманий об'єкт буде класом.

При цьому незважаючи на те, що сукупність елементів класу може бути виділена нечітко, приналежність елементів класу розуміється класично. Це означає, що якщо X - клас, а Y - об'єкт, то Y Î X або Y Ï X, причому обидва випадки одночасно не можуть мати місця. Але це не означає, що завжди можна вирішити, який з двох випадків здійснюється.

Окремим випадком класу є полумножество. Клас називається полумножеством, якщо він є підклас деякого безлічі. Власні полумножества (тобто не є множинами) існують. Деякі приклади нечітких сукупностей, виділених з сукупностей чітких були відомі ще в давнину. Так, наприклад, власним полумножеством буде клас натуральних чисел, що задається властивістю: якщо видалити таке-то число піщинок з даної купи піску, то залишиться все ще купа піску. Подібно до цього, власним полумножеством є клас тих натуральних чисел, для яких має місце властивість: якщо висмикнемо стільки-то волосся з голови волохатого, то він не стане лисим.

Оскільки потрібно, щоб клас існував як об'єкт, в момент його розгляду всі елементи класу повинні бути вже здійснені. Зокрема, нескінченні (в класичному розумінні) класи в альтернативної теорії множин виявляються носіями актуальної нескінченності. Що стосується нескінченності потенційної, то вона постає перед нами у вигляді зборів об'єктів. Збори ми уявляємо собі як якесь «вмістилище», на зразок ями, куди «падають» об'єкти в міру їх здійснення. Найчастіше збори об'єктів задається деяким властивістю. У такі збори потрапляють в точності ті об'єкти, які володіють цією властивістю. Це поняття найближче до класичного безлічі.

Чи не кожне зібрання об'єктів можна вважати об'єктом. В іншому випадку виникає парадокс типу парадоксу Рассела. Припустимо, що кожне зібрання об'єктів представлено як об'єкт. Нехай M є збори об'єктів, які є зборами, які не потрапляють самі в себе. Тоді M - теж об'єкт. Цей об'єкт не належить зборам M, оскільки туди потрапляють ті зібрання об'єктів, які не потрапляють самі в себе. Але якщо збори M не влучає у M, воно повинно потрапити в M, оскільки там знаходяться якраз ті зібрання об'єктів, які не потрапляють самі в себе.

§ 2. Горизонт.

Ключовим поняттям альтернативної теорії множин є поняття горизонту. Кожен наш погляд, куди б він не був спрямований, завжди чимось обмежений. Або на його шляху виявляється тверда межа, чітко його присікаються, або він обмежений горизонтом, в напрямку до якого втрачається ясність нашого бачення. Наприклад, наш погляд на навколишній простір, зосереджений на його розмірності, чітко обмежений трьома вимірами. Горизонтом обмежена наше бачення вдалину, а також вглиб, тобто при погляді на все більш дрібні предмети. Однак погляд не є лише бачення очима, але розуміння реальності в найширшому і багатосторонньому сенсі. З цим застереженням потрібний сенс можна висловити так: погляд - це те, що видивляється того, що можливо побачити, і розглядання того, що ми побачили.

Тверді кордону, чітко перегороджують погляд, нам представляються як щось непорушне, як необхідні рамки, в які укладено сам світ. Навпаки, в напрямку до горизонту світ для нас залишається відкритим.

Частина світу, що лежить перед горизонтом, виділена нечітко. Чим ближче до горизонту знаходиться щось, тим гірше ми його бачимо. Саме в напрямку до горизонту ми зустрічаємося з феноменом нечіткості. Чим ближче до горизонту, тим відчутніше цей феномен проявляється. Але все нечітке вказує за себе, триває далі або плавно переходить в щось інше. Тому світ, який лежить перед горизонтом, повинен тривати за горизонт, що, власне, і означає, що світ відкритий в напрямку до горизонту. Інакше кажучи, ми сприймаємо світ таким чином, що він триває і за горизонтом, але там залишається ще не пізнаним.

Горизонт не займає певного положення в світі, він може переміщатися.Існуючий горизонт можна нерідко віддалити або «подолати», і це зміцнює нашу впевненість, що світ триває за горизонтом. Але, строго кажучи, за горизонт потрапити ми не можемо. Подолання існуючого горизонту означає всього лише, що перед горизонтом виявилося щось, що було раніше за горизонтом; вірніше, ми представляємо його собі так, що воно колись було за горизонтом, поки ми горизонт не посунули. Сам по собі горизонт, мабуть, є найбільш непорушною кордоном, в якій ми укладені і яку не можемо перетнути. Але оскільки ми розуміємо світ так, що він триває і за горизонтом, то горизонт є для нас не кордоном світу, а лише межею нашого погляду на світ.

Отже, горизонт теж є по-своєму чіткої і міцної кордоном, але на відміну від кордонів, які чітко переривають наш погляд на світ і які ми сприймаємо як кордони самого світу (наприклад, згадана вище тривимірність простору), горизонт обмежує лише наше бачення світу, але ми не уявляємо його так, що він обмежує світ.

В альтернативній теорії множин вивчається природна нескінченність, т. Е. Та форма нескінченності, яка присутня у феномені нечіткості. Терміни «кінцевий клас» або «кінцеве безліч», так само як «нескінченний клас» або «безліч», набувають іншого змісту, т. Е. Пов'язані з іншими явищами, ніж в класичній математиці.

Під кінцевим класом ми розуміємо такий клас, з яким можна зустрітися так, що при цьому на сукупності його елементів нечіткість буде подолана. Більш формальне визначення таке: клас X кінцевий, якщо кожен його підклас, включаючи сам цей клас, є безліч. З визначення легко виводиться кінцівку порожнього і одноелементні класів і той факт, що об'єднання двох кінцевих класів звичайно. Однак не слід думати, що будь-який класично-кінцевий клас кінцевий. Здавалося б, якщо X - класично кінцеве безліч, то його можна отримати з порожньої множини почерговим додаванням окремих елементів, т. Е. X = Æ È {X 1} È ... È {X n}, де X = {X 1,... , X n}. Однак нечіткість, часто фатальна, може ховатися за використанням крапок. При класичному розумінні вони часто замінюють такі довгі записи, що ми не могли б їх оглянути, а тим більше записати відповідне доказ кінцівки.

Здійснимість повної індукції для всіх натуральних чисел нами ніяк не доведена, і довести її ми не можемо. Щоб показати всю проблематичність класичних уявлень про натуральні числа, ми повинні пред'явити будь-яке інше можливе подання натуральних чисел, що лежать за горизонтом, а саме, таке, яке не узгоджене з повною індукцією. Дамо волю фантазії і уявімо, що після довгого додавання одиниці ми потрапимо десь далеко за горизонтом в «чорну діру». Це означає, що ми виявимо, що число, до якого ми дійшли, вже не збільшується від додавання одиниці. Коли точно це сталося, нам, звичайно, невідомо, подібно до того, як не можна точно визначити, в який момент посаджене насіннячко перетворюється в розлоге дерево. У цій «чорній дірі» ми можемо залишитися назавжди або ж, при подальшому невпинному збільшенні одиниці, вийдемо з неї і потрапимо в іншу «чорну діру». Нам можуть заперечити, що ніякої «чорної діри» в послідовності натуральних чисел бути не може, так як якщо б для якогось числа n можна говорити про n = n + 1, то було б також 0 = 1. Це, однак, не можна довести простим відніманням числа п з обох частин рівності, оскільки таке правило ґрунтується якраз на тому, що в зборах натуральних чисел «чорної діри» немає. Тоді ми могли б послідовно віднімати по одиниці з обох частин. Про те, що ми врешті-решт прийдемо до результату 0 = 1, ми робимо висновок лише на підставі принципу повної індукції, який при наявності «чорної діри» за горизонтом не виконується. І якби навіть шляхом такого довгого віднімання ми і прийшли до рівності 0 = 1, це зовсім не означало б, що ми дійсно довели, що 0 = 1, і тим самим прийшли до протиріччя. Це означало б лише, що такі довгі докази неприйнятні. Доказ теж має свою довжину, і якщо ця довжина досягає «чорної діри», то міркування втрачає свою доказову силу.

§ 3. Аксіоми альтернативної теорії множин.

Альтернативна теорія множин не є формальною системою, описаною набором аксіом, і причиною цього багато в чому є відсутність суворого визначення, що означає чіткість. Інтуїтивно ми це розуміємо, і цим розумінням поки пропонується обмежитися. Але тим не менш, деякі кроки по формалізації теорії робляться. Починається все з визначення універсуму множин.

Універсум множин V є збори об'єктів, певне в такий спосіб:

1. Порожня множина в нього потрапляє.

2. Якщо в нього потрапили безлічі x, у, то в нього потрапляє і безліч x È {y}.

3. Ніякі інші об'єкти, крім потрапляють в ці збори згідно з пунктами 1 і 2, в нього не потрапляють.

Таким чином, в універсум множин потрапляють безлічі Æ, {Æ} = Æ È {Æ}, {{Æ}} = Æ È {{Æ}}, {Æ, {Æ}} = {Æ} È {{Æ} } і т. д. Також в ньому містяться всі натуральні числа в їх неймановской моделі (в неймановской моделі число 0 кодується порожнім безліччю, а число n кодується безліччю {s 0, s 1,..., s n -1}, де s i - неймановская модель числа i).

З усього універсуму множин можна виділити універсум спадково-кінцевих множин - ті безлічі, які можна побудувати за правилами 1 і 2 за кінцеве (в розумінні альтернативної теорії множин) число кроків. Відповідно ті з натуральних чисел, які в нього потрапляють, називаються кінцевими натуральними числами (ми будемо позначати клас таких чисел через FN). Збори кінцевих натуральних чисел є прямий шлях, по якому можна крок за кроком йти до горизонту (і ні кроку далі).

Оскільки все спадково-кінцеві безлічі розташовуються до горизонту, для виконуються багато природні властивості. Латинськими літерами позначаються спадково-кінцеві безлічі.

Аксіома екстенсіональності.

( "X, y) (x = y Û (" z) (z Î x Û z Î y)).

Це твердження означає, що безліч однозначно задається сукупністю своїх елементів.

Аксіома безлічі-послідовника.

( "X) (" y) ($ z) (z = {u; u Î x Ú u = y}).

Тут стверджується, що універсум спадково-кінцевих множин замкнутий щодо операції, описаної в пункті 2.

Аксіома індукції. Нехай φ (х) - множинне властивість (тобто властивість, яке можна висловити мовою теоретико-множинних операцій). Тоді має місце

(Æ) & ( "x) (" y) (х) Þ φ È {y}))] Þ ( "x) φ (х).

Дана аксіома дозволяє ведення індукції по безлічі кінцевих натуральних чисел. Таким чином, незважаючи на те, що індукція по всім натуральним числам заборонена, в класі кінцевих натуральних чисел доказ по індукції можливо. І це досить природно: адже для будь-якого кінцевого натурального числа ми можемо явно виписати всі індукційні переходи до нього приводять, і доказ все ще буде звичайно.

Аксіома регулярності. Нехай φ (х) - множинне властивість таке, що ($ z) φ (z). Тоді ($ y) (y) & ( "u Î y) Ø φ (u)).

Тут стверджується, що для будь-якого множинного властивості, якому задовольняє хоча б одне безліч, знайдеться мінімальне по включенню безліч, йому задовольняє.

Крім тут перерахованих, автором вводиться ще кілька аксіом, але їх важко тут сформулювати, не вводячи численні і малозрозумілі без контексту визначення. Найбільш примітною з них здається аксіома потужності, яка по суті стверджує, що будь-які два неперечіслімих класу (тобто не кінцевих і не рівнопотужних класу FN) рівнопотужні.

Незважаючи на те, що всі перераховані вище твердження названі аксіомами, в даній роботі вони доводяться (виводяться з визначення спадково-кінцевих множин). Таку назву, мабуть, обумовлено тим, що при доказі подальших теорем автор вже не апелює безпосередньо до поняття чіткості, використовуючи замість цього дані аксіоми. Це дозволяє взагалі відмовитися від усіх не цілком формальних міркувань, ввівши деяку систему аксіом (хоча і досить громіздку), якщо раптом виникне таке бажання.

§ 4. Світ за обрієм.

Поки що все сказане відноситься до того що, щонайбільше, йде до горизонту або хоча б допускає таке уявлення, що воно дозволяє себе так розмістити перед горизонтом. Однак, головна мета лежить за горизонтом. Там теж є мир, і нас цікавить, який він там. Про те, що є за горизонтом, нічого точно не відомо, про те можна лише фантазувати; за горизонтом може бути все, що завгодно. Правда, світ за обрієм не відокремлений різко від світу перед горизонтом. До світу за горизонтом ведуть шляхи, по яких туди можна рухатися, ми не потрапляємо в цей світ за помахом чарівної палички. Світ перед горизонтом плавно переходить в світ за обрієм. Значить, за горизонтом не може бути зовсім вже що завгодно, а тільки те, що «стикується» з миром перед горизонтом, доповнює його хоча б якимось дивним чином, т. Е. Радше підтверджує, а не спростовує його. Коротше кажучи, за горизонтом може бути лише те, що там може бути, т. Е. Що можливо; але з того, що можливо, там може бути що завгодно.

Припущення, за яким світ триває за горизонт, залишаючись таким же, як перед горизонтом, не позбавлене підстав. Принаймні на деякому протязі за горизонтом так повинно бути. За горизонтом може зустрітися і щось непередбачене, але воно не може лежати на самому горизонті. Горизонт не є риса, проведена в самому світі. Ми не уявляємо його собі як феномен світу, а лише як феномен, який супроводжує наш погляд на світ. Якби якесь явище, що належить світу, знаходилося прямо на горизонті або стосувалося його з невидимого боку, то це явище і було б цілком певної кордоном, що присікає наше бачення і фіксує положення горизонту. Коротше кажучи, за горизонтом світ триває плавно, і до того ж настільки далеко, поки на шляху не встане якась перешкода, що належить самому світові.

Так як горизонт не займає певного положення в світі, ми можемо його віддалити, збільшуючи нашу пильність. Якщо при такому посиленні пильність, т. Е. Видаленні горизонту, ми натолкнёмся на несподіване явище, то воно або не дозволить нам проникнути далі, або саме виявиться перед горизонтом. Але якщо ми горизонт віддалимо лише трохи, т. Е. Не так далеко, щоб зустрітися з таким явищем, то світ, що лежить перед горизонтом, хоча і розшириться, але не зміниться. Таким чином, зі збільшенням пильність при погляді на безлічі з універсуму множин ми приходимо до якогось більш великому зібранню спадково-кінцевих множин. При цьому посилення пильності само по собі є нечітким феноменом, тому можливо, що наша пильність може бути якимось чином посилена ще раз, або навіть кілька. Нехай V - досить великий клас спадково-кінцевих множин, який міг би вийти в результаті такого посилення, і для нього все ще виконані перераховані вище аксіоми.Збори всіх його підкласів ми назвемо розширеним універсумом. По суті від V хочеться лише, щоб це був досить великий клас, який можна описати за допомогою розроблюваної аксіоматичної теорії.

Оскільки таке твердження виконано в класі спадково-кінцевих множин, природно накласти таку аксіому і на V. Отже:

Аксіома елементів і підмножин. Для будь-якого об'єкта X має місце X Î V Û X Í V & (X - безліч).

Розширений універсум є власним предметом вивчення альтернативної теорії множин. Таким чином, її придатність заснована на вірі в те, що класи не знаходяться в розширеному универсуме можна вивчати так, як якщо б вони в ньому знаходилися, тобто їх можна відповідним чином закодувати. Наприклад, в V повинен бути клас, що дозволяє закодувати клас всіх атомів в Сонячній системі. У канторовской универсуме таке кодування свідомо можна. Можна заперечити, що клас V може виявитися занадто малим для того, щоб закодувати будь-який клас. Але це насправді означало б? Якби, наприклад, клас всіх атомів Сонячної системи виявився занадто великий для кодування, то причиною цього було б те, що число таких атомів (якщо взагалі можна говорити про їх числі) поводиться якось не так, як числа з класу V. Але в такому випадку, як видно, їх не можна було б занумерувати і числами з канторівської натурального ряду. Значить, різниця лише в тому, що при додатках чистої альтернативної теорії множин нам заздалегідь відомі їхні кордони, так само як і ті припущення, на яких ці додатки засновані, тоді як в класичній математиці ми цього не знаємо і не втомлюємося дивуватися, що світ поводиться не так, як, на нашу думку, він повинен себе вести.

Ми говоримо, що заданий напрямок до горизонту, якщо задана деяка функція на класі кінцевих натуральних чисел (під функцією f: X ® Y ми розуміємо безліч пар {á x, f (x) ñ}). Якби наша пильність збільшилася, то ця послідовність як ціле, звичайно, зникла б, але її окремі члени, а також заданий нею напрямок залишилися б. Те, що ми бачимо зараз в зазначеному напрямку, ми бачитимемо і тоді, але ми лише будемо не в змозі побачити в точності те, що бачимо зараз. Це означає, що ми побачимо більше, але не зможемо відновити те, що ми бачили раніше. Іншими словами, дана послідовність, хоча б на деякому протягом за горизонтом, буде плавно продовжуватися. Або десь за теперішнім горизонтом вона сама чітко перерветься, або буде йти до нового горизонту. Формалізацією цього розмірковування служить ще одна аксіома:

Аксіома продовження. Нехай G: FN ® V є функція. Тоді існує функція g такая, що G Í g.

Клас спадково-кінцевих множин ми здійснили за допомогою його визначення. Це означає, що спочатку ми визначили, нехай нечітко, збори всіх спадково-кінцевих множин, актуалізовані його, і вже потім здійснили відповідний клас. Навпаки, клас V ми постулювали. Це означає, що на підставі деяких доводів ми проголосили його існуючим, не визначаючи попередньо сукупність його елементів. Ця сукупність визначається як би заднім числом, тобто. Е. Самим цим класом.

Оскільки клас V ми розглядаємо як здійснений, а значить, всі його елементи також вважаємо здійсненими раз і назавжди, то при здійсненні класів розширеного універсуму у нас відпадає турбота про те, щоб всі об'єкти, що належать цим класам, вже були здійснені.

Таким чином, здійснення класів розширеного універсуму (за допомогою їх визначення) відбувається наступним чином. Спочатку маємо якесь визначальне властивість, що виокремлює певну сукупність об'єктів, і це сукупність ми представляємо як клас.

§ 5. Феномен нерозрізненості.

Другим після горизонту феноменом, якому не знайшлося місця в європейській науці, стала непомітність. Для світорозуміння, властивого класичній науці, це було правомірно. Розрізнення, а отже, і непомітність суть нечіткі явища. Більш того, непомітність сприймається як прояв недосконалості, так як нерідко те, що тепер невиразно, після вдосконалення наших здібностей (т. Е. При достатній відстані горизонту) стає помітним. Значить, завдання науки не в тому, щоб дослідити непомітність, а в тому, щоб її долати.

З іншого боку, хоча нам іноді буде подолано той чи інший вид нерозрізненості, так само як нам іноді вдається віддалити в тому чи іншому напрямку горизонт, але подолати непомітність як таку ми навряд чи в змозі. Більш того, якщо ми припустимо, що світ - це всього лише структура на множині елементарних частинок, то якби ми повністю подолали непомітність (т. Е. Якби ясно розрізняли кожні два об'єкти), світ став би нам лише як безліч відокремлених об'єктів, внаслідок чого зник би феномен безперервності в тому вигляді, як ми його знаємо. Точніше кажучи, якщо ми виключимо непомітність з предмета нашого вивчення, а попри це будемо наполягати на теоретико-множині поданні безперервності, то нам залишиться лише представляти її так, як це робить класична математика - за допомогою абсолютної нескінченності. Ми не будемо пускатися в подібні умогляду, а просто візьмемо до уваги, що феномен нерозрізненості є і усунути його ми не можемо. Разом з тим вищезгадана можливість подолання нерозрізненості підказує, що саме за допомогою нерозрізненості ми могли б уявити безперервність і що взагалі саме на цьому феномені заснована, мабуть, сама пізнаваність світу. І справді, за допомогою нерозрізненості можна уявити безперервність в просторі і в часі.

У розширеному универсуме основою поняття нерозрізненості є двомісний предикат (в термінах альтернативної теорії множин - двомісне відношення) який по парі об`єктів визначає, помітні вони. Даний предикат на своїй області визначення симетричний і рефлексивний.

Однією з найбільш актуальних проблем теоретико-множинної математики є розробка уявлення континууму. Наприклад, уявлення прямий як безлічі лежать на ній точок багато століть розглядалося як абсолютно неприпустиме. І в якомусь сенсі це правомірно. Коли ми представляємо якийсь континуум як безліч або клас точок, в ньому лежать, ми цей континуум роздрібнюють на окремі точки і тим самим знищуємо його, відбираючи в нього найістотніше - безперервність і топологічну форму. Само по собі багато або класс не може бути безперервним і немає топологічної форми. Згідно звичним уявленням, безперервність і форму надає безлічі точок лише простір, в якому воно розташоване. Однак теоретико-множинна математика не може йти цим шляхом, оскільки простір - теж континуум, що вимагає теоретико-множинного уявлення. Класична математика в цьому випадку знову «склеює» континуум з точок, явно описуючи структуру цього склеювання. Таким чином не відбувається усвідомлення поняття континууму, а тільки його моделювання. З іншого боку, з точки зору вузьких цілей самої теорії множин, таке рішення в деякому роді досить.

Однак альтернативна теорія множин дозволяє розробити інше уявлення континууму. Вихідним моментом є поява континууму замість класу, що зник за горизонтом. Елементи такого зник класу вступають в якесь відношення нерозрізненості, на якому і засновано уявлення континууму. Та структура, за допомогою якої класична теорія множин описує безперервність і топологічні форми, виводиться з цього відносини нерозрізненості. Іншими словами, топологія в класичному сенсі виявляється вже чимось вторинним.

Наприклад, якщо подивитися на купу піску з відстані десяти сантиметрів, ми побачимо окремі піщинки, але не купу в загалом. Якщо подивитися на ту ж купу з відстані десяти метрів, то окремі піщинки вже будуть невиразні і ми побачимо саму купу - безперервне тіло певної форми, тобто континуум (такий погляд називається медіальний). Таким чином окремі елементи класу вже не перебувають перед горизонтом; континуум, який ми бачимо, є лише слід, залишений класом на горизонті. Цей континуум дозволяє нам зробити висновок, що даний клас і всі його елементи все ще є хоча б десь за горизонтом; т. е. цей клас всього-на-всього пішов за горизонт. Більш того, збереглося також напрямок, в якому на нього треба дивитися. Тому ми можемо представляти континуум як феномен, що знаходиться на самому горизонті.

При медіальному погляді на деякий клас ми не бачимо його окремих елементів: вони пішли за обрій. Тому немає сенсу прямо говорити про їх розрізнення або нерозрізненості, але ми можемо ці поховалися за обрієм елементи розрізняти і непрямо, т. Е. Без того, щоб ми їх безпосередньо бачили, а саме, за допомогою сліду, залишеного ними на горизонті. Наприклад, якщо ми дивимось на стіл, що стоїть перед нами, то не бачимо складових його молекул. Однак дві молекули, з яких одна перебуває посередині столу, а інша в кутку, вже непрямо помітні, оскільки середину столу ми добре відрізняємо від його кута. Навпаки, молекули, що для нас, так би мовити, зливаються в одну точку, невиразні навіть і так непрямо.

Кожному погляду властива деяка непомітність, яку ми можемо уявляти собі як еквіваленцію, і по суті завдання цій еквіваленціі описує топологічний пристрій класу. Якщо ми скажемо, які з молекул столу невиразні (бо знаходяться "близько" один до одного), ми поставимо на ньому структуру, аналогічну класичного поняття топології. При цьому топологічний образ континууму залежить і від погляду. Адже якщо ми подивимося на той же стіл у мікроскоп, цілком ймовірно, що ми помітимо на ньому всілякі горбки і наскрізні отвори. Це означає, що континуум змінює свою форму при зміні погляду на нього.

Відповідно виникає питання про об'єктивність поняття форми. Якби дійсно існувало об'єктивне простір, в якому розміщені всі частинки, з яких цей стіл складається, то інакше не могло б бути; але тоді об'єктивної формою цього столу навряд чи була б та форма, яку ми бачимо тепер або навіть та, яку б ми бачили, дивлячись на нього через сильний мікроскоп. І не ясно, дісталися б ми до цієї форми, посилюючи пильність.

Якщо ж прийняти позиції, що об'єктивного простору не існує, а є лише різні форми континууму, відповідні завжди певним погляду, то ми ні в чому не обмежимо наше уявлення миру. Те, що ми сприймаємо як простір, є не що інше, як абстраговані форми континууму, явлені нам при певному погляді (або при деякій сукупності таких поглядів). Вопенка показує, що в рамках цього підходу можна розвинути топологію по суті аналогічну класичної.

Інше застосування концепції нерозрізненості - це конструкція дійсних чисел. На початку необхідно ввести раціональні числа (як відносини натуральних чисел). На їх безлічі є природне відношення нерозрізненості: x і y невиразні, якщо для всіх кінцевих натуральних чисел n маємо | x - y | <1 / n. Це означає, що занадто близькі раціональні числа зливаються для нас в одне, відстань між ними знаходиться за горизонтом. Аналогічно занадто великі раціональні числа (переважаючі всі кінцеві раціональні числа) теж лежать за горизонтом. Числами будемо називати класи еквівалентності (по вищеописаному відношенню нерозрізненості) обмежених (не "занадто великих» в вищевказаному сенсі) раціональних чисел.Показується, що для так певних дійсних чисел виконана аксіома про існування точної верхньої межі. І взагалі, такі речові числа задовольняють всьому тому, що від них очікується. Техніка роботи з самими числами в альтернативної теорії множин нічим істотним не відрізняється від того, як з числами працюють в класичній математиці.

§ 6. Висновок. Динамічна альтернативна теорія множин.

На закінчення треба сказати кілька слів про динамічної альтернативної теорії множин. Це поки ще не цілком розроблене напрямок в AST, в якому вивчаються проблеми, пов'язані перш за все з динамікою зміни наших поглядів на світ, що, в першу чергу, змінює місце розташування горизонту. Горизонт можна віддалити загостренням уваги, але тут наші можливості дуже обмежені. Якщо хочеться більшого, то можна намагатися віддалити горизонт мислення, спираючись на принцип, згідно з яким за горизонтом світ триває так само, як і до горизонту. Але чим далі ми так йдемо, тим менш надійним стає цей принцип. І хоча при достатній відстані уявних горизонтів ми позбавляємося від невпевненості і страху, що супроводжують близький горизонт, але лише ціною навіювання собі чогось, що не є істиною. Адже ми думаємо, що щось можна бачити так, як ми це бачити не вміємо, а може бути, так бачити це і неможливо. Невпевненість, що супроводжує близькі горизонти, для далеких горизонтів замінюється страхом руйнування світу або хоча б наших достовірних знань.

Всі наші мислимі погляди на розширений універсум будемо тлумачити як об'єкти; кожному погляду відповідає своя гілка універсуму - універсум множин, збори натуральних чисел, їх частини, що лежать перед горизонтом. Простіше кажучи, для кожного погляду є своя статична альтернативна теорія множин. При цьому сам універсум множин V ми вважаємо об'єктивним, не залежних від погляду. Так само як і ставлення приналежності об'єкта безлічі. При різних поглядах ми отримуємо перед горизонтом його більшу чи меншу частину, т. Е. Ту його частину, яку при такому погляді ми можемо спостерігати безпосередньо; проте все безлічі з універсуму множин існують об'єктивно, незалежно від того, бачимо ми їх чи ні. Основним змістом цього напряму є вивчення плавного «загострення» поглядів - процесу зміни погляду, при якому відбувається віддалення горизонту. Проте це питання докладно в цій книзі не розглядається.


Список літератури

1. Вопенка П., Альтернативна теорія множин: Новий погляд на нескінченність. Пер. зі словац. - Новосибірськ: Изд-во Інституту математики, 2004.

2. Малихін В.І., Гіпотеза Суслина і eё значення для теоретико-множинної математики.

http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=rm&paperid=969&what=fullt&option_lang=rus

3. Лузін Н.Н., Зібрання творів, том 2. - М .: Изд-во АН СРСР, 1958 - с. 29

4. Рузавин Г.І., Філософські проблеми підстав математики. - М., 1983. - с. 85

5. Логічний словник. http://slovarchik.ru/875/

6. Коен П.Дж. Теорія множин і континуум-гіпотеза.

http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/9e4261b9d145d3cdf72febad03fd7953.djvu

7. Альтернативна філософія математики.

http://altera-pars.narod.ru/Qadra/alterMah.htm


  • Аксіома екстенсіональності.
  • Аксіома безлічі-послідовника.
  • Аксіома індукції.
  • Аксіома регулярності.
  • Аксіома продовження.