|
РЕФЕРАТ
для складання кандидатського іспиту з історії та філософії науки
(Історія математики)
Тема: «Історія виникнення і розвитку методів реконструкції математичних моделей динамічних систем по породжуваному тимчасового ряду»
ЗМІСТ
Введение ................................................................................. ....... 3
§ 1. Виникнення і розвиток теорії динамічних систем .................. ... 5
§ 2. Розвиток методів реконструкції математичних моделей динамічних систем ....................................................................................... .15
Висновок ................................................................................. .23
Список літератури ........................................................................ 24
Вступ
У розвитку різних областей людської діяльності математика чинила і має суттєвий вліяніе.Современное розвиток науки характеризується потребою вивчення всіляких складних процесів і явищ. Відбувається значне збільшення темпів математизації і розширення її області дії. Теорії математики широко застосовуються в інших науках, здавалося б зовсім від неї далеких - лінгвістиці, юриспруденції. Це викликано природним процесом розвитку наукового знання, який зажадав залучення нового і більш досконалого математичного апарату, проявом нових розділів математики, а також кібернетики, обчислювальної техніки і так далі, що значно збільшило можливості її застосування.
Математичне моделювання по часових рядах - бурхливо розвивається напрямок математичної статистики і нелінійної динаміки. Воно виникло з апроксимації безлічі експериментальних точок на площині гладкою лінією. В даний час емпіричні моделі мають вигляд складних диференціальних і різницевих рівнянь і здатні описувати навіть нелінійні коливально-хвильові феномени.
Використання сучасних комп'ютерів з їх великими обсягами пам'яті і швидкостями обробки даних і сучасними математичними пакетами в значній мірі полегшує отримання модельних систем нелінійних рівнянь, обробку складних зашумлених сигналів, типових для реальних об'єктів і ситуацій. Практичне використання емпіричних моделей вельми різноманітні - від прогнозів майбутнього до технічної і медичної діагностики, але процедури їх отримання формалізувати надзвичайно складно [4].
У рефераті зроблено спробу розглянути історичні та філософські аспекти виникнення та розвитку методів реконструкції математичних моделей динамічних систем. У першому параграфі розглянуто виникнення теорії динамічних систем, понять динамічна систем, обчислювальний експеримент, математична модель і хаос. У другому параграфі розглядається розвиток методів реконструкції математичних моделей динамічних систем, застосування комп'ютерів для проведення обчислювальних експериментів.
§ 1. Виникнення і розвиток теорії динамічних систем
Перша лінія розвитку, яка вела до появи теорії динамічних систем, пов'язана з небесною механікою. Засновниками класичної механіки прийнято вважати Ісаака Ньютона, Жозефа Луї Лагранжа, П'єра Симона Лапласа, Вільяма Гамільтона. Результатом їх діяльності стало формування уявлення про те, що зараз називають гамильтоновой або консервативної динамічною системою. Проблема трьох тіл в небесній динаміці, - перше завдання, аналізуючи яку дослідники зіткнулися з виникненням складної динаміки і хаосу. Вперше про це написав Анрі Пуанкаре. Результатом вивчення системи трьох тіл стало розвиток теорії збурень.
З розвитком комп'ютерів можливості вивчення та наочного подання складної динаміки розширилися. Одним з перших прикладів комп'ютерного дослідження складної динаміки стала робота французьких астрофізиків, які розглянули модель руху зірки через галактичний диск.
Значний прогрес в розумінні співвідношення між квазипериодический динамікою і хаосом пов'язаний з теорією, розробленої в 50-60-х роках А.Н. Колмогоровим і В.І. Арнольд, а також американцем Ю. Мозером. У якісному відношенні велике значення отримали роботи Б.В. Чирикова і Г.М. Заславського.
Друга лінія розвитку пов'язана зі статичної фізикою і формуванням ергодичної теорії. Як відомо, заможне опис в статичної фізики досягається тільки в рамках квантової теорії. Однак, багато важливого було зроблено в припущенні, що на фундаментальному рівні закони руху мікрочастинок, з яких побудовані фізичні системи, підкоряються класичної гамильтоновой механіці. Основоположники статистичної фізики Д. У. Гіббс і Л. Больцман розглядали фазовий простір гамільтонових систем, утворених сукупністю великого числа мікрочастинок. В силу закону збереження енергії, надана сама собі система повинна залишатися весь час на деякій гіперповерхні в цьому просторі, що задається умовою сталості енергії. Больцман ввів ергодичного гіпотезу - припущення про те, що є по суті лише одна фазова траєкторія, що проходить через всі точки ергодичної поверхні. У 1913 році було доведено, що таке неможливо. Виправлена версія (П. Еренфест) полягає в тому, що фазова траєкторія з плином часу повинні проходити як завгодно близько від будь-якої точки ергодичної поверхні. Результатом стало формування окремої математичної дисципліни - ергодичної теорії або метричної теорії динамічних систем.
Поява комп'ютерів дозволило на початку 50-х років Фермі, Паста і Уламу спробувати поспостерігати в обчислювальному експерименті процес встановлення термодинамічної рівноваги в ланцюжку пов'язаних нелінійних осциляторів. Результат виявився абсолютно несподіваним: замість релаксації до рівноваги спостерігався квазипериодический процес. Ця робота показала, що проблема значно складніше, ніж бачилася раніше і дала тим самим поштовх дослідженням, який привів згодом до уявлення про розподілених системах, а також до поняття солітону. Як з'ясувалося, властивість ергодичності само по собі не є ні необхідним, ні достатнім для бажаного обгрунтування статистичної фізики. По справжньому істотним є нестійкість фазових траєкторій системи по відношенню до малих збурень початкових умов і пов'язане з цим більш сильне, ніж ергодичність, властивість перемішування. Одним з перших цю ідею розробив Н. С. Крилов (1917-1947).
Кількісна характеристика нестійкості траєкторій відома як ляпуновском характеристичний показник - величина, введена російським математиком А.М. Ляпуновим (1857-1918). У 1968 р радянський математик В.І. Оселедець опублікував найважливіший результат - так звану мультипликативную ергодичної теорії, яка дозволяє говорити про ляпуновском показниках, визначених не для однієї фазової траєкторії, а для безлічі траєкторій.
Були введені й інші характеристики, що дозволяють розрізняти просту і складну динаміку, - динамічна ентропія, відома як ентропія Колмогорова-Сіная (1959) і топологічна ентропія (1965).
(1917 {1947)
Третя лінія розвитку пов'язана з радіотехнікою, електронікою, теорією автоматичного регулювання. Основоположником цього напрямку розвитку теорії динамічних систем був Б. Ван-дер-Поль. З цим ім'ям пов'язаний генератор і осцилятор Ван-дер-Поля - класична модель нелінійної системи, яка демонструє періодичні автоколивання. Близько 1927 р Ван-дер-Поль і Ван-дер-Марк досліджували динаміку такого генератора під періодичним зовнішнім впливом. Режим роботи пристрою контролювався по звуку роботи в навушниках. Дослідники відзначили явище синхронізації при певних раціональних співвідношеннях частоти впливу і власної частоти і шумоподібні коливання при переходах між областями захоплення. Можливо, це перше документально зареєстроване експериментальне спостереження хаосу.
Робота Ван-дер-Поля і Ван-дер-Марка вплинула на роботу Картрайт і Літтвуда (1945). У цій роботі, присвяченій математичному дослідженню рівняння автогенератора під періодичним зовнішнім впливом, була виявлена надзвичайна складність динаміки, зокрема, налічіеу системи (при досить великій амплітуді зовнішньої сили) нескінченного числа нестійких періодичних орбіт. Ця робота згодом вплинула на математиків, які створювали основи математичної теорії складної динаміки і хаосу.
У Росії в 20-і роки в Московському університеті сформувалася сильна наукова школа Л.І.Мандельштама (1879-1944). Інтереси цієї школи охоплювали, зокрема, радіофізику, оптику, коливальні процеси в системах різної природи. Мандельштам першим прийшов до розуміння можливості такої дисципліни, як теорія нелінійних коливань, - до цього вважали, що нелінійні явища повинні вивчатися для кожної конкретної системи окремо. В кінці 20-х років учень Мандельштама А.А. Андронов (1901-1952) встановив, що адекватним математичним чином періодичних автоколивань є граничні цикли, введені Пуанкаре в його якісної теорії диференціальних рівнянь. Мандельштам відразу зрозумів важливість цього досягнення і наполіг на негайній публікації результату. Андронов привернув також для аналізу автоколивальних систем створений А.М.Ляпунова апарат теорії стійкості. Одне з важливих досягнень - дослідження моменту виникнення автоколивань при зміні параметрів, ситуації, яку тепер називають біфуркацією Андронова-Хопфа. З 1931 р Андронов працює в Нижньому Новгороді (Горькому), де навколо нього формується велика наукова школа в області теорії коливань. У 1937 р виходить класична книга А. А. Андронова, А.А.Вітта і С.Е.Хайкіна «Теорія коливань». Один зі співавторів книги - Вітт виявився жертвою репресій і загинув у таборах, у виданні книги 1937 року його ім'я було виключено і відновлено тільки в наступних виданнях.
Одним з важливих досягнень розвивається теорії нелінійних коливань стало формування Андроновим і Понтрягиним уявлення про грубі або структурно-стійких системах. Уявімо собі простір, точки якого зображують динамічні системи. Система груба, якщо близько відповідної їй точки простору систем можна вказати таку околиця, що в ній будуть розташовуватися тільки системи з топологічно еквівалентним пристроєм фазового простору. У просторі параметрів грубі системи займають цілі області. Ці області розмежовані поверхнями, де розташовуються негрубі системи коразмерності один. На цих поверхнях можуть розташовуватися лінії коразмерності два і т. Д.
Дослідницька програма нелінійної теорії коливань по Андронову і Понтрягин і полягає у виділенні і вивченні грубих ситуацій, а потім не грубих в порядку зростання коразмерності. Що стосується грубих ситуацій, то вони становлять предмет теорії біфуркацій - глибокої і добре розвиненою математичної дисципліни, одного з наріжних каменів нелінійної динаміки.
З 1970 р з інтервалом в 2 роки в Горькому організовуються школи-семінари по нелінійним коливань і хвиль, в яких беруть участь провідні радянські вчені. Цих шкіл відбулося 9, і вони багато в чому визначили поширення в нашій країні ідей нелінійної динаміки і динамічного хаосу. Ще одна школа, відновлює перервану традицію, вже міжнародна, відбулася в 1995 р формуванні, поширенні і популяризації в Росії уявлень про хаотичної динаміці велику роль зіграли А. В. Гапонов-Гріхів, Ю.І.Неймарк, М.І.Рабіновіч , Л. П. Шильников. У 1979 р Кияшко, Піковський і Рабинович запропонували, мабуть, перший простий радіотехнічний автогенератор, в якому цілеспрямовано був реалізований режим хаотичних автоколивань.
Четверта лінія розвитку пов'язана з гідродинаміки і проблемою турбулентності.У 1883 р була опублікована робота англійського фізика Осборна Рейнольдса (1842-1912) «Експериментальне дослідження обставин, які визначають, чи буде рух води прямолінійним або хвилястим, і про закон опору в паралельних каналах». Залежно від безрозмірного параметра, відомого тепер як число Рейнольдса), рух води в трубці було ламінарним або турбулентним. Хоча основні рівняння, що описують динаміку в'язкої рідини - рівняння Нав'є-Стокса, вже були відомі, причини виникнення турбулентності залишалися загадкою. З тих пір питання про природу турбулентності стояв перед наукою, набуваючи з часом все більшої гостроти. Близько 1920 року англійський фізик Л.Річардсон розвинув якісні уявлення про те, що в турбулентному плині є перенесення енергії від великих до все більш і більш дрібним завихрень, поки енергія не диссипирует через в'язкості в малих масштабах. У 1941 р була запропонована теорія турбулентності Колмогорова-Обухова. Аналіз грунтувався на припущенні, що при великих числах Рейнольдса турбулентний стан можна вважати локально однорідним і ізотропним в статистичному сенсі, і про те, що має місце каскадна передача енергії від великих просторових масштабів до дрібних в так званому «інерційному інтервалі» - області масштабів, де в'язкість несуттєва. Чудово проста і глибока теорія приводила до цілком певного теоретичного передбачення - розподіл енергії по спектру має бути пропорційно / г ~ 5 '3, де до - хвилеве число ( «закон п'яти третин»). До теперішнього часу отримані експериментальні дані, добре узгоджуються з цим законом, але усвідомлена також необхідність внесення уточнень в теорію.
Інший напрямок в спробах зрозуміти природу турбулентності полягало в пошуках відповіді на питання - як виникає турбулентність, якщо поступово збільшувати число Рейнольдса, почавши від малих значень, коли протягом свідомо ламинарное. У 1944 р була опублікована стаття радянського фізика Л.Д.Ландау (1908- 1968) «До проблеми турбулентності». У цій чудовій для свого часу статті Ландау припустив, що турбулентність виникає в результаті великого числа (каскаду) послідовних біфуркацій, кожна з яких складається в появі коливань з новою частотою. Знову виникають частоти в типовому випадку знаходяться в ірраціональному співвідношенні з раніше виниклими частотами. Аналогічні уявлення розвивав дещо пізніше німецький математик Е.Хопф (1902-1983; робота «Математичне завдання, що демонструє особливості турбулентності» опублікована в 1948). Тому дану картину виникнення турбулентності називають сценарієм Ландау-Хопфа. Підкреслимо, що цим роботам передувало формування уявлень про автоколиваннях, граничних циклах і біфуркації в радіофізики та теорії коливань.
У 1963 році американський метеоролог Е.Лоренц опублікував статтю «Детерминированное неперіодичне течія», в якій обговорювалися результати чисельного інтегрування за допомогою комп'ютера системи трьох звичайних диференціальних рівнянь, що моделює динаміку рідини при конвекції підігрівається знизу шарі. Будучи добре освіченим математично, Лоренц піддав отримані результати ретельного і глибокого обговорення, акцентувавши увагу на взаємозв'язку між спостерігається складною динамікою і властивою системі нестійкістю фазових траєкторій. Пізніше це властивість хаотичної динаміки пропагувалося їм під назвою «ефект метелика»: в додатку до метеорології помах крил метелика може через достатній час спричинити істотну зміну погоди десь зовсім в іншому місці. Приблизно в той же самий час А. Н. Ораевскій з співавторами також отримали неперіодичні рішення для аналогічних рівнянь в теорії одномодового лазера. Як робота Лоренца, опублікована в метеорологічному журналі, так і робота Ораевскій не були вчасно помічені і оцінені.
У 1971 р, грунтуючись на досягнутому до цього часу просуванні в математичних дослідженнях, Д.Рюель і Ф. Такенсвиступілі з роботою «Про природу турбулентності». Піддавши критиці теорію Ландау, вони аргументували, що вже після включення в гру відносно невеликого числа частот (трьох або чотирьох в залежності від деяких математичних деталей) динаміка може стати турбулентної і, зокрема, демонструвати характерний для випадкового процесу суцільний спектр. Це пов'язувалося з появою в фазовому просторі «дивного аттрактора» - ключовий термін, введення якого визначило історичне значення роботи Рюеля і Такенса. Підкреслювалося наявність нестійкості фазових траєкторій на дивному аттракторе і його нетривіальна геометрична структура - він представляв собою те, що стали називати фрактальним безліччю або просто фракталом.
З точки зору інтерпретації результатів, робота Рюеля і Такенса також виявилася вразливою для критики. Багато питань, які виникають у зв'язку із запропонованою ними картиною переходу до турбулентності, до сих пір залишаються відкритими. Треба сказати, що аргументація і в роботі Ландау, і в роботі Рюеля і Такенса носила настільки загальний характер, що мала рівне ставлення як до виникнення турбулентності, так і до виникнення складної динаміки в дисипативних системах іншої фізичної природи. Подальше розуміння можливих типів переходу сталося завдяки ще одній лінії розвитку.
Спроби математичного опису біологічних проблем динаміки популяцій сходять до Томасу Мальтусу (1766-1834), автору нашумілої концепції про те, що чисельність людей зростає в геометричній прогресії, а засоби підтримки життя лише в арифметичній. Тому чисельність населення повинна регулюватися війнами, епідеміями та ін. Марксисти, як відомо, затаврували цю теорію як людиноненависницьку. Не входячи в полеміку, зауважимо, що за відсутності факторів, що стримують зростання населення, зміна чисельності популяції з року в рік «по Мальтусу» можна описати як х п + \ = Rx n, де R - параметр, що визначає умови життя популяції. Ввести стримуючий фактор можна, якщо додати в рівняння нелінійний, наприклад, квадратичний член: ж п + 1 = R (x n - x 2 n). Отримане співвідношення називають логістичним відображенням і воно дійсно непогано описує, по крайней мере, з якісної сторони, динаміку деяких біологічних популяцій.
Цікавий результат, який проливає світло на можливість складної динаміки в логістичному відображенні, був отриманий в кінці 40-х років в роботі американських математиків Станіслава Улама (1909-1984) і Джона фон Неймана. Вони показали, що для випадку R = 4 це відображення шляхом заміни змінних зводиться до форми, що допускає тривіальний аналіз, причому виявляється, що вибором початкової точки х можна реалізувати будь-яку наперед задану послідовність знаків величини х - х тах.
У 1975 р американські математики Лі і Йорку опублікували роботу «Період три означає хаос». Йшлося про те, що якщо при приватному значенні параметра логістичне або інше одномірне відображення вигляду х п + \ = f (x n) має цикл періоду три, то воно має безліч циклів всіх інших періодів. Ця робота привернула велику увагу, і варто зазначити, що саме в ній в контексті нелінійної динаміки вперше з'явився термін «хаос», що став згодом загальноприйнятим позначенням всієї області діяльності, про яку ми ведемо мову. Тільки через кілька років на Заході стало широко відомо, що ще в 1964 р радянський математик А. Н. Шарковський опублікував набагато більш змістовну теорему, що встановлює загальні закономірності співіснування циклів різного періоду в одновимірних безперервних відображеннях.
До середини 70-х років було вже добре відомо, що при збільшенні параметра в логістичному відображенні має місце послідовність біфуркацій подвоєння періоду. Відповідні комп'ютерні результати дуже наочно були представлені, наприклад, в роботі Роберта Мея (1976). В цей час, займаючись дослідженням подвоєнь періоду за допомогою кишенькового калькулятора, американський фізик Мітчел Фейгенбаум, який працював в Лос-Аламоської національної лабораторії, виявив, що точки біфуркації подвоєння періоду накопичувалися до певної межі - порогу виникнення хаосу за законом геометричної прогресії з показником 4,669 .. . Цей показник виявився універсальним, тобто. е. виникав і в інших відображеннях, і, як потім з'ясувалося, в нелінійних дисипативних системах самого різного виду.
Використовуючи апарат, аналогічний розвиненому раніше в теорії фазових переходів, - метод ренормалізаціонной групи, Фейгенбаум побудував чудову теорію, яка пояснює універсальність подвоєнь періоду (1978-1979). Теорія ця виглядала надто формально, з точки зору фізиків, і занадто нестрого, з точки зору математиків, так що Фейгенбаума далеко не відразу вдалося опублікувати статтю з викладом своїх результатів. Ця затримка частково компенсувалася тим, що Фейгенбаум активно розповідав про свою роботу на конференціях і семінарах.
Надалі перехід до хаосу через подвоєння періоду, що демонструє виявлені властивості універсальності, спостерігався у величезній кількості нелінійних систем різної фізичної природи і в їх моделях. Одна з перших дуже охайних робіт - експеримент по конвекції в рідкому гелії (1979). Робота Фейгенбаума стимулювала також вивчення і ренормгрупповое опис [10].
§ 2. Розвиток методів реконструкції
математичних моделей динамічних систем
Математичні моделі є одним з основних інструментів пізнання людиною явищ навколишнього світу. Під математичними моделями розуміють основні закономірності і зв'язки, властиві досліджуваного явища. Це можуть бути формули або рівняння, набори правил або угод, виражені в математичній формі. З давніх-давен в математиці, механіці, фізиці та інших точних науках природознавства для опису досліджуваних ними явищ використовувалися математичні моделі. Так, закони Ньютона повністю визначають закономірності руху планет навколо Сонця. Використовуючи основні закони механіки, щодо неважко скласти рівняння, що описують рух космічного апарату, наприклад, від Землі до Місяця. Однак отримати їх рішення у вигляді простих формул не представляється можливим. Для розрахунку траєкторій космічних апаратів служать комп'ютери.
Створення моделей за експериментальними часових рядах в математичній статистиці та теорії автоматичного управління отримало назву ідентифікації систем а в нелінійної динаміки - реконструкції динамічних систем.
Попередницями сучасних завдань реконструкції були завдання апроксимації і статистичного дослідження залежностей між спостережуваними величинами, які розглядалися вже в середині XVIII століття в роботах І. Ламберта.
Спочатку спостерігаються процеси моделювалися за допомогою явних функцій часу η = f (t), що апроксимують безліч експериментальних точок на площині (t, η). Метою моделювання були прогноз майбутнього розвитку процесу або згладжування спостережуваних зашумлених даних. На початку XX століття серйозний крок у розвитку методів емпіричного моделювання складних процесів був зроблений в математичній статистиці, коли було запропоновано використовувати лінійні стохастичні моделі. Цей підхід був основним протягом півстоліття (20-70-і рр. ХХ ст.) І знайшов численні застосування, особливо для автоматичного управління. Формування концепції динамічного хаосу і розвиток обчислювальної техніки призвели до того, що в останні роки емпіричне моделювання проводиться вже на основі нелінійних різницевих і диференціальних рівнянь, в тому числі багатовимірних. Розглянуті проблеми актуальні як в фундаментальному, так і в прикладному плані. Емпіричні моделі затребувані в різних областях науки і практики в фізиці, метеорології, сейсмології, економіці, медицині, фізіології та інших науках.
Застосування комп'ютерів для математичного моделювання змінило саме поняття "вирішити задачу".До цього дослідник задовольнявся написанням математичної моделі. А якщо йому ще вдавалося довести, що рішення (алгоритм) в принципі існує, то цього було достатньо, якщо апріорі вважати, що модель адекватно описує досліджуване явище. Оскільки, як правило, немає простих формул, що описують поведінку моделі, а отже і об'єкта, який описується моделлю, то єдиний шлях - звести справу до обчислень, застосування чисельних методів розв'язання задач. В такому випадку необхідний конкретний алгоритм, який вказує послідовність обчислювальних і логічних операцій, які повинні бути зроблені для отримання чисельного рішення. З алгоритмами пов'язана вся історія математики. Саме слово "алгоритм" є похідним від імені середньовічного узбецького вченого Аль-Хорезмі. Ще давньогрецьким ученим був відомий алгоритм знаходження числа "пі" з високою точністю. Ньютон запропонував ефективний чисельний метод рішення алгебраїчних рівнянь, а Ейлер - чисельний метод розв'язання звичайних диференціальних рівнянь. Як відомо, модифіковані методи Ньютона і Ейлера до цих пір займають почесне місце в арсеналі обчислювальної математики. Її предметом є вибір розрахункової області і розрахункових точок, в яких обчислюються характеристики модельованого об'єкта, правильна заміна вихідної математичної моделі її аналогом, придатним для розрахунку, т. Е. Деякій дискретної моделлю. Оскільки моделі повинні представляти досліджувані явища в необхідній повноті, зрозуміло, що вони стають дуже складними.
У моделі входять безліч величин, що підлягають визначенню, а самі ці величини залежать від великого числа змінних і постійних параметрів.
Нарешті, моделі реальних процесів виявляються нелінійними. Апарат класичної математичної фізики пристосований для роботи з лінійними моделями. В цьому випадку сума (суперпозиція) приватних рішень рівняння є також його рішення. Знайшовши приватне рішення рівняння для лінійної моделі, за допомогою принципу суперпозиції можна отримати рішення в загальному випадку. На цьому шляху в традиційній математичної фізики були отримані чудові результати. Однак вона стає безсилою, якщо зустрічається з нелінійними моделями. Принцип суперпозиції тут непридатний, і алгоритмів для побудови спільного рішення не існує. Тому для нелінійних моделей закінчених теоретичних результатів отримано небагато.
Методологія математичного моделювання в стислому вигляді виражена знаменитої тріадою "модель - алгоритм - програма", сформульованої академіком А. А. Самарським, основоположником вітчизняного математичного моделювання. Ця методологія отримала свій розвиток у вигляді технології "обчислювального експерименту", розробленої школою А. А. Самарського, - однієї з інформаційних технологій, призначеної для вивчення явищ навколишнього світу, коли натурний експеримент виявляється занадто дорогим і складним.
У багатьох важливих галузях досліджень натурний експеримент неможливий, тому що він або заборонений (наприклад, при вивченні здоров'я людини), або занадто небезпечний (наприклад, при вивченні екологічних явищ), або просто неможливий (наприклад, при вивченні астрофізичних явищ).
Обчислювальний експеримент на відміну від натурних експериментальних установок дозволяє накопичувати результати, отримані при дослідженні будь-якого кола завдань, а потім швидко і гнучко застосовувати їх до вирішення завдань в абсолютно інших областях. Цією властивістю володіють використовувані універсальні математичні моделі. Наприклад, рівняння нелінійної теплопровідності придатне для опису не тільки теплових процесів, але і дифузії речовини, руху грунтових вод, фільтрації газу в пористих середовищах. Змінюється тільки фізичний зміст величин, що входять в це рівняння. Проведення обчислювального експерименту можна умовно розділити на два етапи. Після першого етапу обчислювального експерименту, якщо треба, модель уточнюється як у напрямі її ускладнення (облік додаткових ефектів і зв'язків у досліджуваному явищі), так і спрощення (з'ясування, якими закономірностями і зв'язками в досліджуваному явищі можна знехтувати). На наступних етапах цикл обчислювального експерименту повторюється до тих пір, поки дослідник не переконається, що модель адекватна тому об'єкту, для якого вона складена.
Інформаційні технології, що підтримують обчислювальний експеримент, включають в себе методи побудови математичних моделей силами кінцевих користувачів інформаційних систем (фахівців у своїй предметній області, а не професійних математиків і програмістів), інформаційну підтримку їх діяльності для пошуку і вибору алгоритмів і програм чисельного рішення задач, методи і засоби контролю точності вироблених обчислень і правильності роботи застосовуваних програм. При проведенні обчислювального експерименту дослідник може за допомогою призначеного для користувача інтерфейсу "грати" на моделі, ставлячи питання, що цікавлять його питання і отримуючи відповіді. Таким чином, дослідник отримує потужний інструмент для аналізу і прогнозу поведінки складних нелінійних багатопараметричних об'єктів і явищ, вивчення яких традиційними методами утруднене або взагалі неможливо. Пора "дитинства" технології обчислювального експерименту припадає на 50-ті роки XX століття. Дата появи перших серйозних результатів обчислювального експерименту в СРСР зафіксована цілком офіційно - 1968 рік, коли Держкомітет СРСР у справах відкриттів і винаходів засвідчив відкриття явища, якого насправді ніхто не спостерігав. Це було відкриття, так званого, ефекту Т-шару (температурного струмового шару в плазмі, яка утворюється в МГД-генераторах). Свідоцтво на це відкриття було видано академікам А. Н. Тихонову і А. А. Самарському, члену-кореспонденту АН СРСР С. П. Курдюмову, докторам фізико-математичних наук П. П. Волосевич, Л. М. Дегтярьова, Л. А . Заклязьмінскому, Ю. П. Попову (нині директору ІПМ ім. М. В. Келдиша РАН), В. С. Соколову і А. П. Фаворскому. В даному випадку обчислювальний експеримент передував натурному. Натурні експерименти "замовлялися" за результатами математичного моделювання. Через кілька років в трьох фізичних лабораторіях на різних експериментальних установках практично одночасно був надійно зареєстрований Т-шар, після чого технологам і інженерам став остаточно ясний принцип роботи МГД-генератора з Т-шаром. Плазма з її нелінійними властивостями стала одним з найважливіших об'єктів математичного моделювання та обчислювального експерименту. Приваблива перспектива вирішення енергетичної проблеми пов'язана з керованим термоядерним синтезом ізотопів водню, дейтерію і тритію. Енергетична проблема для людства полягає в тому, що нафти і газу при нинішньому темпі їх споживання вистачить лише на кілька десятків років. А спалювати настільки цінна хімічна сировина в топках електростанцій і двигунах внутрішнього згоряння - це, по образним висловом Д. І. Менделєєва, "майже все одно, що топити піч асигнаціями". З запасами вугілля все набагато краще, але його видобуток з кожним роком стає все важче. Виходом може бути лазерний термоядерний керований синтез, дослідження якого здійснюється за допомогою обчислювального експерименту. У 1974 р колектив співробітників ФІАН і ІПМ АН СРСР під керівництвом академіків Н. Г. Басова, А. Н. Тихонова і А. А. Самарського запропонував принципово нову концепцію лазерного термоядерного синтезу на основі результатів обчислювального експерименту. Ще одна область використання обчислювального експерименту - це "обчислювальна технологія" - застосування математичного моделювання за допомогою комп'ютерів не тільки для вирішення фундаментальних наукових проблем, але і для розробки технологічних процесів в промисловості. Для тих випадків, коли технологічні процеси описуються добре відомими математичними моделями, для розрахунку яких запропоновані ефективні обчислювальні алгоритми, розроблені пакети прикладних програм, технологія обчислювального експерименту дозволяє створювати нові програми та удосконалювати засоби спілкування людини з комп'ютером. У технологів є потреба у вивченні нових промислових технологій, наприклад лазерно-плазмової обробки матеріалів (плазмової термохімії).
Засновник нобелівських премій Альфред Нобель, як відомо, виключив математику з числа наук, за досягнення в яких присуджується ця вища наукова нагорода. Разом з тим, сучасне математичне моделювання охоплює галузі досліджень, до недавнього часу недоступні математики. В останні роки ряд Нобелівських премій по хімії, медицині, економіці, фізиці елементарних частинок були присуджені робіт, методологічну основу яких складало математичне моделювання. Наприклад, для подальшого дослідження нелінійних процесів в мікросвіті були розроблені відповідні чисельні методи із застосуванням комп'ютерів і комп'ютерних мереж (мережевих grid-технологій), орієнтовані на рішення задач фізики елементарних частинок. Алгоритми квантово-механічних розрахунків прогресують не менше швидкими темпами, ніж в інших областях обчислювальної математики.
Біологія багато в чому залишається експериментальної і описової дисципліною, а історія математичного моделювання біологічних процесів навряд чи налічує більше 20 років. І все-таки вже можна назвати біологічні завдання, для яких обчислювальний експеримент стає визначальною методологією. Математичне моделювання та обчислювальний експеримент - провідні методології вивчення глобальних моделей процесів і явищ на Землі, наприклад клімату Землі. Проведення робіт по глобальному моделювання стимулювалося діяльністю Римського клубу, неурядової організації. Першу з таких моделей опублікував в 1971 р американський фахівець з теорії управління Д. Форрестер. Комп'ютерні ігри, проведені Д. Форрестер з глобальною моделлю, показали, що в середині ХХI століття людство чекає криза, пов'язана перш за все з виснаженням природних ресурсів, падінням чисельності населення і виробництва продуктів, зростанням забруднення навколишнього середовища. Відомі результати глобального моделювання явища "ядерної зими", виконані в ОЦ АН СРСР В. В. Александровим і Г. Л. Стенчіковим під керівництвом академіка Н. Н. Моісеєва. Ці результати дали людству, в тому числі політикам, неспростовні аргументи проти ядерної війни, навіть так званої "обмеженої ядерної війни".
Для математичного моделювання та обчислювального експерименту використовувалися, головним чином, універсальні цифрові обчислювальні машини, доступні колективам дослідників. В СРСР в 70-80-х роках минулого століття це були БЕСМ-6 і моделі ЄС ЕОМ, для яких розроблялися бібліотеки і пакети прикладних програм обчислювальної математики. З появою персональних комп'ютерів стало можливо розвиток інформаційної технології обчислювального експерименту, яка передбачає підтримку призначеного для користувача інтерфейсу і пошуку потрібних алгоритмів і програм за допомогою персональних комп'ютерів (вітчизняного виробництва або імпортних), а проведення розрахунків на математичних моделях - за допомогою високопродуктивних комп'ютерів БЕСМ-6, ЄС ЕОМ або суперкомп'ютерів "Ельбрус".
Потреби обчислювального експерименту при вивченні явищ в найбільш складних галузях науки, таких, як проблеми фізики елементарних частинок, молекулярної біології (наприклад, геном людини), геофізики (зокрема, фізики атмосфери) і ін., Виявилися пов'язаними з необхідністю забезпечити максимально можливі обчислювальні потужності . Вихід був знайдений в колективному використанні обчислювальних потужностей, доступних дослідникам через комп'ютерні мережі. У розвитку так званих grid-технологій, що розробляються світовим співтовариством в даний час, беруть участь і провідні наукові інститути Росії: Об'єднаний інститут ядерних досліджень (м Дубна), Науково-дослідний інститут ядерної фізики МДУ, Інститут фізики високих енергій РАН (м Протвино) , Інститут біофізики РАН (м Пущино), Інститут прикладної математики ім. М. В. Келдиша РАН та ін. Ідея організації розподілених обчислень в гетерогенному мережевому середовищі, звана метакомп'ютингу, образно виражається метафорою "grid (мережа)". Подібно до того, як ми підключаємо до електромережі побутові прилади, не замислюючись про пристрій цієї електромережі, мережеві grid-технології покликані надати дослідникам необхідні обчислювальні потужності як колективні ресурси. В Європі такий мережею повинна стати Data Grid, до якої буде підключений і російський сегмент.
висновок
Математичне моделювання - один з основних методів наукового дослідження.Цей напрямок досліджень, розпочавшись з завдань апроксимації експериментальних залежностей гладкими функціями, переживало злети і падіння інтересу з боку наукової громадськості. Так, зліт 1980-х - початку 1990-х був пов'язаний з надіями на концепцію динамічного хаосу, з доказом відомих теорем Такенса, з появою потужної обчислювальної техніки. Здавалося, що ось-ось - і конструювання моделей по рядах даних буде поставлено «на потік».
Але потім настало розчарування, викликане частими практичними невдачами розроблених універсальних підходів. Завдання математичного моделювання складних процесів в загальному випадку не можуть бути вирішені за допомогою готової технічної процедури.
Вони залишаються, і, по всій видимості, завжди залишаться в значній мірі мистецтвом. Тут навряд чи можливі загальні механізми, придатні на всі випадки життя. Але для певних класів об'єктів вдається розробити рецепти вирішення таких завдань, і це представляється перспективним напрямком досліджень.
Не всі фахівці поділяють таку оптимістичне ставлення до проблеми. Але, які б не були перспективи, вже те, що досягнуто в цій області, гідно вивчення і застосування в практиці.
Список літератури
1. Аніщенко В.С. Динамічні системи // Соросівський освітній журнал. 1997. № 11. С. 77-84.
2. Аніщенко В.С. Знайомство з нелінійної динамікою: Лекції соросівського професора: Учеб. допомога. - Москва-Іжевськ: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002.
3. Афанасьєва В.В. До філософського обгрунтування феномена детермінованого хаосу. - М .: Наука, 2001..
4. Безручко Б.П., Смирнов Д.О. Математичне моделювання та хаотичні тимчасові ряди. Саратов: ГосУНЦ «Коледж», 2005.
5. В'ячеслав С.С., Горохів В.Г., Розов М.А. Філософія науки і техніки. Електронний підручник.
6. Динамічні системи (Сучасні проблеми математики, фундаментальні напрямки). - Т. 1, 2. - М .: ВІНІТІ, 1985.
7. Заславський А. Власні світи динамічних систем. - М .: Наука, 1986.
8. Кириленко Г.Г., Шевцов Є.В. Філософія. Вища освіта / Кириленко Г.Г., Шевцов Є.В. - М .: Филол. т-во СЛОВО: ТОВ Вид-во ЕКСМО, 2003.
9. Кохановський В.П., Золотухіна О.В., Лешкевич Т.Г., Фатхі Т.Б. Філософія для аспірантів: Навчальний посібник. Вид. 2-е - Ростов н / Д: "Фенікс", 2003.
10. Кузнєцов С.П. Динамічний хаос (курс лекцій). М .: Видавництво Фізико-математичної літератури, 2001..
11. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структури. Обчислювальний експеримент (введення в нелінійну динаміку). - М .: едітор УРСС, 2000..
12. Месарович М., Такахара Я .. Загальна теорія систем. Математичні основи. - М .: Мир, 1978.
13. Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Аніщенко В.С. Реконструкція динамічних систем // Радіотехніка та електроніка. 1999. Т. 44, № 9. С. 1075-1092.
14. Самарський А. А., Михайлов А. П. Комп'ютери та життя. - М .: Педагогіка, 1987.
15. Трубецькой Д. І. та ін. Введення в теорію самоорганізації відкритих систем М .: Физматлит, 2000..
|