Команда
Контакти
Про нас

    Головна сторінка


Порівняльна характеристика геометричність Місць точок на площіні и в пространстве





Скачати 35.44 Kb.
Дата конвертації30.11.2018
Розмір35.44 Kb.
Типреферат

Порівняльна характеристика геометричність Місць точок на площіні и в пространстве

Поняття геометричного місця точок у пространстве (ГМТ) має велике методичне и загальноосвітнє значення. Неможливо переоцініті его роль у розвитку просторової уяви.

Розв'язування задач, в якіх застосовуються геометричні місця точок як на площіні, так и в пространстве, актівізують творчу мнение и фантазію, розвівають логічне мислення, кмітливість, змушують перебирати в пам'яті всі відомі теореми з метою відбору и! Застосування найбільш прідатної з них .

Однако, между ГМТ на площіні и ГМТ у пространстве є принципова різніця.

У планіметрії ГМТ можна побудуваті с помощью креслярськіх ІНСТРУМЕНТІВ. Например, коло побудуваті с помощью циркуля, пряму, промінь, відрізок - с помощью лінійкі.

У стереометрії НЕ існує реального інструмента '' Сферографія ", щоб побудуваті у пространстве сферу або лінію перетин двох сфер, если вона існує.

Звичайно, ЦІ побудова можна здійсніті на проекційному кресленні, но Виконання їх у більшості віпадків громіздке, потребує много годині и неабиякий креслярськіх знань и навичок.

У пространстве доводитися обмежуватісь "уявним" проведення прямої, площини, сфер ТОЩО. Можлівість таких спонукати встановлюється Певна аксіомамі.

Що ж таке геометричність місце точок у пространстве?

На площіні ГМТ візначається так:

Геометричність місцем точок назівається фігура, что складається з усіх точок площини, Які ма ють Певна властівість.

Если на площіні розглядається геометричність місце только точок, то у пространстве можна розглядаті геометричні місця НЕ только точок, но й ліній (як прямих, так и кривих), и тому можна дати таке Означення ГМТ у пространстве:

Геометричність місцем точок у пространстве назівається Деяка фігура, что складається з усіх об'єктів простору, положення якіх задовольняє одній або кільком Певна умів.

У цьом формулюванні вместо слова "точка" застосовується срок "об'єкт", бо це більш Широке Поняття и Включає в собі не только точки, но й Лінії. При цьом часто одну и ту ж геометричність фігуру можна розглядаті як геометричність місце точок и як геометричність місце ліній.

Например, площини α 1, α 2, Паралельні площіні β и віддалені від неї на відстань a, є:

- геометричність місце точок простору, віддаленіх від площини β на відстань a;

- геометричність місце прямих простору, паралельних площіні β и віддаленіх від неї на відстань a;

- геометричність місце кривих, Які лежати у площіні, паралельній даній площіні и віддаленій від неї на відстань a;

- геометричність місце фігур, Які лежати у площіні, паралельній даній площіні и віддаленій від неї на відстань а.

Ціліндрічна поверхня, утворена Обертаном прямої вокруг паралельної їй прямої АВ и віддаленої від неї на відстань a, є:

- геометричність місце точок простору, віддаленіх на відстань a від даної прямої АВ;

- геометричність місце прямих простору, паралельних даній прямій АВ и віддаленіх від неї на відстань a;

- геометричність місце Кіл радіуса a, центри якіх лежати на даній прямій АВ, а їх площини перпендікулярні до АВ;

- геометричність місце рівніх еліпсів, центри якіх знаходится на прямій АВ, а їх площини утворюють з прямою АВ один и тієї ж кут α.

Геометричні місця у пространстве Надзвичайно різноманітні. Деякі з них є природним узагальненням геометричність Місць на площіні, є Ніби їх стереометрічнімі аналогами (например, сфера є стереометрічній аналог кола, площини - аналог прямої ТОЩО).

При переході до Вивчення просторово геометричність Місць точок доцільно прігадаті основні геометричні місця точок на площіні. Причем отрімані результати Зручне подати у виде табліці.

Геометричні місця точок
на площіні У пространстве
1 2

1. геометричність місце точок, шкірні з якіх Віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є коло радіуса a з центром у точці О.

2. геометричність місце точок, відстань якіх від даної точки О не перевіщує довжина a даного відрізка, є коло з центром у точці Про радіуса a.

3. геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від двох Даних точок А і В, є пряма l, яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до него.

4. геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від трьох неколінеарніх точок А, В, С, є точка О - центр кола, описаного вокруг трикутника АВС.

5. геометричність місце точок, віддаленіх від даної прямої l на відстань a, є две Прямі m i n, Паралельні прямій l и віддалені від неї на відстань a.

6. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від двох Даних прямих a, b, є пряма c - вісь сіметрії ціх прямих, если a || b, або две взаємно перпендікулярні Прямі m i n - бісектрісі вертикальних кутів, Утворення при перетіні Даних прямих, если a x b = 0.

Зауваження.

Поверхня гіперболічного параболоїда может буті описана прямою, яка при своєму Русі перетінає две мімобіжні Прямі a, b и залішається весь час паралельно до - площини їх паралелелізму.

7. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від трьох прямих a, b, c, є: точка 0, если a x b x з = 0; две точки M, N, если a || b, з перетінає їх (M, N - точки Перетин бісектріс кутів, Утворення непаралельності прямими); Чотири точки K, L, M, N- центри вписаного и зовні вписаного Кіл трикутника АВС (А = b x c, B = a x c, C = a x b), або Æ, если Прямі a, b, з Паралельні.

1. геометричність місце точок, шкірні з якіх Віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є сфера радіуса a з центром у точці О.

2. геометричність місце точок, відстань якіх від даної точки О не перевіщує довжина a даного відрізка, є куля з центром у точці Про радіуса a.

3. геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від двох Даних точок А і В, є площинах, яка проходитиме через середину С відрізка АВ перпендикулярно до него.

4. геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від трьох неколінеарніх точок А, В, С, є пряма, яка проходить через точку О - центр кола, описаного вокруг трикутника АВС, перпендикулярно до площини трикутника АВС.

5. геометричність місце точок, віддаленіх від даної прямої l на відстань a, є Кругова ціліндрічна поверхня радіуса a з віссю сіметрії l.

6. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від двох Даних прямих a, b, є площинах b, если a || b, або две взаємно перпендікулярні щини a, b, Які проходять через бісектрісі вертикальних кутів, Утворення прямими a и b, если a x b = 0, або гіперболічній параболоїд, если a и b мімобіжні.

7. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від трьох прямих a, b, c, Які лежати в одній площіні a, є: пряма m, яка проходитиме через точку 0 = a x b x з і перпендикулярна до площини a, две Прямі m, n, Які перпендікулярні до площини a и проходять черезточкі M, N перетин бісектріс кутів, Утворення непаралельності прямими; если a || b, з перетінає їх; Чотири Прямі k, l, m, n, перпендікулярні до площини a в точках K, L, M, N - центрах вписаного и зовні вписаного Кіл трикутника АВС (А = b x c, B = a x c, C = a x b ), або Æ, если Прямі a, b, з Паралельні.

Зауваження. Если три Прямі не лежати в одній площіні, то Можливі випадки, Які на площіні НЕ ма ють аналогів.

а) Прямі перетінаються в одній точці и не лежати в одній площіні.

Геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від трьох прямих a, b, c, что перетінаються в одній точці и не належати одній площіні, є Чотири Прямі, Які проходять через Цю точку.

Для побудова ціх прямих розглянемо геометричність місце точок, рівновіддаленіх від прямих a, b. Це будут две Цілком візначені площини, β (г.м.т. 6). Аналогічно геометричність місце точок, рівновіддаленіх від прямих b, c, будут площини γ, δ (г.м.т. 6); від прямих a, c - площини і (г.м.т.6). Площини α, β перетінаються з площини γ, δ, и по ЧОТИРИ прямим k, l, m i n, Які проходять через точку перетин трьох Даних прямих a, b, c. ЦІ Чотири Прямі є геометричність місцем точок, рівновіддаленіх від прямих а, b, c, Які перетінаються в одній точці и не лежати в одній площіні.

б) Прямі a, b, c Паралельні между собою и не лежати в одній площіні.

Геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від трьох паралельних прямих, Які не лежати в одній площіні, є пряма m, паралельна до Даних.

Ця пряма Спільна для трьох площинах, Які будують як г.м.т.6 для пар прямих: a, c; b, c; a, b. Зрозуміло, для того, що бере прямої m нема необхідності будуваті три площини, достаточно побудуваті две з них.

Природньо Розглянуто у пространстве геометричні місця точок, віддаленіх на відстань a від даної площини, рівновіддаленіх від двох, від трьох Даних площинах.

8. геометричність місце точок, шкірні з якіх Віддалена від даної площини α на відстань a, є две площини γ и β, Паралельні до α и віддалені від неї на відстань a.

Існують інші Розташування прямих у пространстве: две Прямі перетінаються, а третя мімобіжна до них; две Прямі Паралельні, третя мімобіжна до них; всі три Прямі попарно мімобіжні. В ціх іпадках ГМТ, рівновіддаленіх від трьох прямих є перетин гіперболічніх параболоїдів, Утворення парами мімобіжніх прямих.

9. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від двох Даних площинах α и β, є площинах ζ, если дані площини Паралельні, або две площини γ, δ, если дані площини перетінаються, причому:

- ζ - площини, паралельна до площини α та β и діліть відстань между ними

навпіл.

- γ, δ - перпендікулярні между собою бісекторні площини двогранніх кутів, Утворення площинах α та β.

10. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від трьох площинах, є: пряма, або две Прямі, або Чотири Паралельні Прямі, або Чотири Прямі, что перетінаються, або Æ:

- одна пряма буде у випадка, коли три площини α, β, γ ма ють спільну пряму a. Шуканім геометричність місцем точок є пряма a;

- если две площини α, β Паралельні, а третя γ їх перетінає, то шукане геометричність місце точок, рівновіддаленіх від цих площинах, є две Прямі a и b, Паралельні до них, Які утворюються у перетіні бісекторніх площинах двогранніх кутів, Утворення парами площинах: a, g; b, g и належати площіні d, рівновіддаленій від площини a и b;

- если площини α, β, γ попарно перетінаються по паралельні прямі, то геометричність місце точок рівновіддаленіх від цих площинах, є Чотири Прямі a, b, c, d, Паралельні до ліній їх перетин (мал.7), Які є перетин бісекторніх площинах двогранніх кутів, Утворення парами площинах: a, b; a, g; b, g;

- у випадка, коли площини α, β, γ перетінаються в одній точці, шуканім геометричність місцем будут Чотири Прямі, что проходять через точку перетин Даних площинах и належати бісекторнім площинах двогранніх кутів, Утворення попарно данімі площинах;

- порожня множини буде у випадка, коли площини α, β, γ Паралельні между собою.

Розглянемо порівняння кривих іншого порядку и Деяк поверхонь Обертаном як геометричність Місць точок, что ма ють одну и ту ж властівість на площіні и в пространстве.

на площіні У пространстве
1 2

11. геометричність місце точок, з якіх Сейчас відрізок АВ видно під прямим кутом, є коло з діаметром АВ без точок А, В.

12. геометричність місце точок, з якіх Сейчас відрізок АВ видно під кутом a, є два сегменти, що містять Сейчас кут a и спіраються на Данії відрізок АВ без точок А, В.

13. геометричність місце точок площини, для кожної з якіх сума відстаней від двох Даних точок F 1 і F 2 цієї ж площини є величина стала, більша відстані между F 1 і F 2, назівається еліпсом.

14. геометричність місце точок площини, для кожної з якіх абсолютна величина різниці відстаней від двох Даних точок F 1 і F 2 цієї ж площини є величина стала, Менша відстані между F 1 і F 2, назівається гіперболою.

15. геометричність місце точок площини, для кожної з якіх відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної прямої d, яка не проходити через точку F, назівається параболи.

16. геометричність місце точок площини, для кожної з якіх різніця квадратів відстаней від двох Даних точок А та В цієї ж площини є величина стала и дорівнює квадрату довжина m даного відрізка, є перпендикуляр до відрізка АВ в точці D, віддаленій від середини Про відрізка АВ = a на відстань.

17. геометричність місце точок площини, для кожної з якіх сума квадратів відстаней від двох Даних точок А та В цієї ж площини є величина стала и дорівнює квадрату довжина m даного відрізка, є коло з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) i

радіусом r =.

11. геометричність місце точок, з якіх Сейчас відрізок АВ видно під прямим кутом, є сфера з діаметром АВ без точок А, В.

12. геометричність місце точок, з якіх Сейчас відрізок АВ видно під кутом a, є торів поверхня, одержані від Обертаном сегмента, что містіть Сейчас кут a и спірається на Данії відрізок АВ, вокруг прямої АВ без точок А, В.

13. геометричність місце точок простору, для кожної з якіх сума відстаней від двох Даних точок F 1 і F 2 простору є величина стала, більша відстані между F 1 і F 2, назівається еліпсоїдом Обертаном.

14. геометричність місце точок простору, для кожної з якіх абсолютна величина різниці відстаней від двох Даних точок F 1 і F 2 простору є величина стала, Менша відстані между F 1 і F 2, назівається двопорожніннім гіперболоїдом Обертаном.

15. геометричність місце точок простору, для кожної з якіх відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної площини a, яка не проходити через точку F, назівається параболоїдом Обертаном.

16. геометричність місце точок простору, для кожної з якіх різніця квадратів відстаней від двох Даних точок А та В простору є величина стала и дорівнює квадрату довжина m даного відрізка, є площинах, перпендикулярна до відрізка АВ в точці D, віддаленій від середини Про відрізка АВ = a на відстань.

17. геометричність місце точок простору, для кожної з якіх сума квадратів відстаней від двох Даних точок А та В простору є величина стала и дорівнює квадрату довжина m даного відрізка, є сфера з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) i

радіусом r =.

Слід відмітіті, что между формою геометричного місця точок на площіні и в пространстве у більшості віпадків існує зв'язок, наведень у табліці.

на площіні У пространстве

Крапка

Пряма

Дві Паралельні Прямі

Коло

Пряма

площинах

Ціліндрічна поверхня

Сфера

Нехай, например, нужно найти геометричність місце точок, рівновіддаленіх від прямих, що містять Сторони трикутника. На площіні таких точок Чотири (центри вписаного и зовні вписаного Кіл).

Таблиця показує, что в пространстве шукане геометричність місце точок є Чотири Прямі, причому ЦІ Прямі проходять через названі центри перпендикулярно до площини трикутника.

Зрозуміло, что ВСТАНОВИВ форму геометричного місця точок на площіні, с помощью табліці можна "прикинути", якові форму має це геометричність місце точок у пространстве. Потім обгрунтувати результати и одночасно уточніті Розташування шуканого геометричного місця точок відносно Даних точок и ліній.

Альо НЕ слід думати, что Зроблено на основе табліці прикидка всегда Вірна. Таблиць не встановлює взаємно однозначної відповідності между формою геометричного місця на площіні и в пространстве, бо такой відповідності, Взагалі Кажучи, що не існує. Є такі геометричні місця точок, Які НЕ змінюють форму в залежності від того, розглядаємо ми їх на площіні чи в пространстве. Например, геометричність місце точок, сума відстаней якіх від двох Даних паралельних прямих Мінімальна. У будь-якому випадка умові відповідають всі точки Смуги площини, обмеженої данімі прямими.

Порівнюючі геометричні місця точок, что відповідають певній умові, на площіні и в пространстве, бачим, что между ними є схожість, но є й много суттєвіх відмінностей.

Геометричні місця точок у пространстве могут мати одну, две чи более властівостей. Если геометричність місце точок візначається однією умів, что віражається рівністю, то воно є Деяка поверхня, а коли ця Умова віражається нерівністю, то маємо геометричність Тіло.

Если геометричність місце візначається двома (трьома) рівностямі, то воно складається з точок ліній, Які є спільнімі для двох (трьох) поверхонь.

Іноді геометричність місце может містіті в Собі всі точки простору. Таким є, например, геометричність місце прямих, шкірні з якіх рівновіддалена від двох Даних точок А та В. Будь-яка пряма, паралельна АВ, або та, что проходити через середину відрізка АВ, рівновіддалена від точок А та В. множини таких прямих Заповнює весь простір.

Ми розглядатімемо геометричні місця точок, Які визначаються рівностямі, тобто смороду будут Певна поверхні.

Порівняльна характеристика геометричність Місць точок на площіні и в пространстве в аналітичному виде

Віберемо прямокутна декартову систему координат на площіні (0, i, j) i в пространстве (0, i, j, k) i розглянемо порівняльну характеристику геометричність Місць точок на площіні и в пространстве в аналітичному виде.

18. геометричність місце точок площини, координати якіх задовольняють будь-яке Рівняння 1-го степеня відносно х, у, є пряма. 18. геометричність місце точок простору, координати якіх задовольняють будь-яке Рівняння 1-го степеня відносно х, у, z, є площинах.

Наведемо з аналітичної геометрії прикладом аналогічніх рівнянь прямої в (0, i, j) i площини в (0, i, j, k).

1). Рівняння прямої, заданої точкою М0 и вектором нормалі n

a (x - x 0) + b (y - y 0) = 0,

де M 0 (x 0; y 0) l, n (a; b) l.

2). Загальне Рівняння прямої

+ + c = 0,

де n (a; b) - вектор нормалі прямої.

3). Рівняння прямої "у відрізках на осях": + = 1, де А (а; 0), В (0; b) - точки Перетин прямої з осями координат.

4). Нормальне Рівняння прямої

x c osα + y si n α- p = 0,

де р - відстань від качана координат до прямої,

n 0 (c osα, Sі n α) - одінічній вектор нормалі прямої.

19. геометричність місце точок площини, координати якіх задовольняють Рівняння + = 1, є ЕЛІПС.

20. геометричність місце точок площини, координати якіх задовольняють Рівняння - = 1, є гіпербола.

21. геометричність місце точок площини, координати якіх задовольняють Рівняння - = - 1, є гіпербола.

22. геометричність місце точок площини, координати якіх задовольняють Рівняння у 2 = 2 рх, є парабола.

1). Рівняння площини, заданої точкою М0 и вектором нормалі n

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0,

де M 0 (x 0; y 0; z 0), n (a; b, c).

2). Загальне Рівняння площини

+ + з z + d = 0,

де n (a; b; c) - вектор нормалі площини.

3). Рівняння площини "у відрізках на осях": + + = 1, де А (а; 0; 0), В (0; b; 0), С (0; 0; с) -точка перетин площини з осями координат.

4). Нормальне Рівняння площини

x c os + y cosβ + z c osγ- p = 0,

де р - відстань від качана координат до площини,

n 0 (c osα, c osβ, c osγ) - одінічній вектор нормалі площини.

19. геометричність місце точок простору, координати якіх задовольняють Рівняння ++ = 1, є еліпсоїд.

20. геометричність місце точок простору, координати якіх задовольняють Рівняння - + = - 1, є двопорожнінній гіперболоїд.

21. геометричність місце точок простору, координати якіх задовольняють Рівняння - + = 1, є однопорожнінній гіперболоїд.

22. геометричність місце точок простору, координати якіх задовольняють Рівняння + = 2 ру, є еліптічній параболоїд.

Цікавім є порівняння геометричність фігур на площіні и в пространстве, Рівняння якіх у системах координат (0, i, j), (0, i, j, k) автентічні.

на площіні У пространстве
1 2

23. А х + В у + С = 0. Рівняння прямої Загальні положення, паралельної вектору a (-В; А).

24. + = 1. Рівняння еліпса.

25. х 2 + у 2 = r 2. Рівняння кола радіуса r з центром у точці О (0; 0).

26. х 2 + у 2 = 0.

Рівняння задовольняють координати точки О (0; 0).

27. - = 1. Рівняння гіперболі.

28. х 2 - у 2 = 0, або:

- у) + у) = 0, або:

Рівняння двох прямих, что перетінаються в точці О (0; 0). Бісектрісі координатно кутів І і IІІ, ІІ и ІV.

29. у 2 = 2 рх. Рівняння параболи.

30. у 2 - a 2 = 0, або

- a) + a) = 0, або:

Рівняння двох прямих, паралельних коордінатній осі x.

23. А х + В у + С = 0. Рівняння площини, паралельної осі z.

24. + = 1. Рівняння еліптічного циліндра з твірною, паралельно до осі z, Напрямна которого є ЕЛІПС:

25. х 2 + у 2 = r 2. Рівняння колового циліндра з твірною, паралельно осі z, Напрямна которого є коло:

26. х 2 + у 2 = 0. Рівняння осі z.

27. - = 1. Рівняння гіперболічного циліндра з твірною, паралельно осі z, Напрямна которого є гіпербола:

28. х 2 - у 2 = 0, або:

Рівняння двох площинах, что перетінаються по осі z. Бісекторні площини двогранніх кутів, Утворення координатно площинах (xz) і (yz).

29. у 2 = 2 рх. Рівняння параболічного циліндра з твірною, паралельно осі z, Напрямна которого є парабола:

30. у 2 - a 2 = 0, або:

Рівняння двох площинах, паралельних коордінатній площіні (xz).

Порівняльна характеристика задач на знаходження геометричність

Місць на площіні и в пространстве

на площіні У пространстве
1 2

1. Знайте геометричність місце середин відрізків, что сполучають Дану точку А з точками даної

прямої l.

Таким ГМТ є пряма, паралельна даній и Віддалена від неї на відстані r (A, l).

2. Знайте геометричність місце центрів Кіл, Які дотікаються до даної прямої в даній точці.

Таким ГМТ є пряма, перпендикулярна до даної прямої в даній точці.

3. Знайте геометричність місце центрів Кіл, Які дотікаються до даного кола в даній точці.

Таким ГМТ є пряма, яка проходить через центр даного кола и Дану точку.

4. Знайте геометричність місце центрів Кіл радіуса R, что дотікаються до даної прямої.

Таким ГМТ є две Прямі, Паралельні даній и віддалені від неї на відстань R.

5. Знайте геометричність місце центрів Кіл, Які дотікаються до двох Даних паралельних прямих.

Таким ГМТ є вісь сіметрії Даних прямих.

6. Знайте геометричність місце центрів Кіл, Які проходять через дані точки А і В.

Таким ГМТ є серединний перпендикуляр відрізка АВ.

7. Знайте геометричність місце вершин трікутніків, рівновелікіх даного трикутнику АВС, Які ма ють з ним спільну основу АВ.

Таким ГМТ є две Прямі, Паралельні Основі АВ и віддалені від неї на відстань h c, что дорівнює довжіні висоти трикутника АВС.

8. Знайте геометричність місце центрів Кіл радіуса R, что проходять через точку О.

Таким ГМТ є коло з центром О радіуса R.

9. Дано две Різні точки А і В. знайте геометричність місце основ перпендікулярів, опущених з точки А на Прямі, проведені через точку В.

Таким ГМТ є коло, діаметром которого є відрізок АВ.

10. Дано две Різні точки А і В. знайте геометричність місце точок, шкірні з якіх симетрично з точкою А відносно деякої прямої, яка проходить через точку В.

Таким ГМТ є коло з центром у точці В радіуса АВ.

11. Знайте геометричність місце середин хорд кола з центром О, проведених через точку А, розташовану Всередині кола.

Таким ГМТ є коло, діаметром которого є відрізок ОА.

12. Знайте геометричність місце середин хорд даного кола, паралельних даній прямій АВ.

Таким ГМТ є діаметр кола (без его кінців), перпендикулярний до прямої АВ.

13. Дано коло радіуса r. Найти геометричність місце точок, симетричних до его центру відносно кожної точки цього кола.

Таким ГМТ є коло радіуса 2 r, концентрично з данім.

14. Знайте геометричність місце точок, відстань якіх до даного кола радіуса r дорівнює a.

Таким ГМТ є коло радіуса r 1 = r + a, концентрично з данім.

15. Знайте геометричність місце середин рівніх хорд даної довжина a, проведених в даного колі радіуса

r (a <2 r).

Таким ГМТ є коло радіуса r 1 =, концентрично з данім.

16. Знайте геометричність місце центрів Кіл радіуса r, что дотікаються до кола з центром Про радіуса R (r

Таким ГМТ є два концентрічніз данім кола радіусів r 1 = R + r, r 2 = R - r.

17. Знайте геометричність місце точок таких, щоб відрізок дотічної, проведеної з ціх точок до даного кола з центром Про радіуса r, МАВ довжина a.

Таким ГМТ є коло радіуса r 1 =, концентрічнез данім.

18. На колі радіуса r взято точку О, вокруг якої обертається пряма, что перетінає коло у змінній точці В. На Цій прямій по обидвоє боки від точки В відкладаються відрізкі ВМ 1 = ВМ 2 = АВ, де А - другий кінець діаметра, Який проходити через точку О.Знайті траєкторію точок М 1 і М 2 при обертанні прямої ОВ.

Таким ГМТ є два кола радіуса r, Які перетінаються у точцах Aі О. Центри їх розміщені у діаметрально протилежних точках даного кола, симетричних відносно прямої ОА.

19. Дано точки А, В. Два кола дотікаються до прямої АВ, ОДНЕ - в точці А, друга - в точці В і дотікаються Одне до одного в точці М. знайте геометричність місце точок М.

Если через М провести спільну дотичність до ціх Кіл, то вона перетне АВ у точці С, причому СА = СВ = СМ. Отже, трикутник АМВ - прямокутний з гіпотенузою АВ, тобто геометричність місцем точок М є коло діаметра АВ без точок А та В.

20. Знайте геометричність місце центрів Кіл, Які проходять через Дану точку А і дотікаються до даної прямої l.

Таким ГМТ є парабола з фокусом А і директриса l.

21. Дано две точки А та В. знайте геометричність місце точок М, для якіх трикутник АМВ прямокутний.

Трикутник прямокутний, тоді віконується одна з умов: Ð АМВ = 90 0, Ð МАВ = 90 0, Ð МВА = 90 0. Звідсі слідує, что шуканім ГМТ є об'єднання трьох фігур (без точок А та В):

- коло з діаметром АВ,

- пряма l A, яка проходитиме через точку А перпендикулярно до АВ;

- пряма l B, яка проходитиме через точку В перпендикулярно до АВ.

22. Дано трикутник АВС. Найти геометричність місце точок М, для якіх площа шкірного з трікутніків АВМ, АСМ, ВСМ Менша площади трикутника АВС.

Таким ГМТ є внутрішня область трикутника АВС.

Найти геометричність місце середин відрізків, что сполучають Дану точку А з точками даної площини a.

Таким ГМТ є площинах, паралельна даній и Віддалена від неї на відстані r (A, α).

2. Знайте геометричність місце центрів сфер, Які дотікаються до даної площини в даній точці.

Таким ГМТ є пряма, перпендикулярна до даної площини в даній точці.

3. Знайте геометричність місце центрів сфер, Які дотікаються до даної сфери в даній точці.

Таким ГМТ є пряма, яка проходить через центр даної СФЕРИ и Дану точку.

4. Знайте геометричність місце центрів сфер радіуса R, что дотікаються до даної площини.

Таким ГМТ є две площини, Паралельні даній и віддалені від неї на відстань R.

4 '. Найти геометричність місце центрів сфер (Кіл) радіуса R, что дотікаються до даної прямої.

Таким ГМТ є ціліндрічна поверхня радіуса R, віссю якої є дана пряма.

5. Знайте геометричність місце центрів сфер, Які дотікаються до двох Даних паралельних площинах.

Таким ГМТ є площинах сіметрії Даних площинах.

6. Знайте геометричність місце центрів сфер (або Кіл), Які проходять через дані точки А і В.

Таким ГМТ є площинах сіметрії точок А і В.

7. Знайте геометричність місце вершин тетраедрів, рівновелікіх даного тетраедру ДАВС, Які ма ють з ним спільну основу АВС.

Таким ГМТ є две площини, Паралельні площіні АВС и віддалені від неї на відстань h d, что дорівнює довжіні висоти тетраедра DАВС.

8. Знайте геометричність місце центрів Кіл (сфер) радіуса R, что проходять через точку О.

Таким ГМТ є сфера з центром Про радіуса R.

9. Дано две Різні точки А і В. знайте геометричність місце основ перпендікулярів, опущених з точки А на Прямі, проведені через точку В.

Таким ГМТ є сфера, діаметром якої є відрізок АВ.

10. Дано две Різні точки А і В. знайте геометричність місце точок, шкірні з якіх симетрично з точкою А відносно деякої прямої, яка проходить через точку В.

Таким ГМТ є сфера з центром у точці В радіуса АВ.

11. Знайте геометричність місце середин хорд СФЕРИ з центром О, проведених через точку А, розташовану Всередині сфери.

Таким ГМТ є сфера, діаметром якої є відрізок ОА.

12. Знайте геометричність місце середин хорд даної сфери, паралельних даній прямій АВ.

Таким ГМТ є точки, розташовані Всередині великого кола, площини которого перпендикулярна до прямої АВ.

13. Дано сферу радіуса R. Найти геометричність місце точок, симетричних ее центу відносно кожної точки цієї сфери.

Таким ГМТ є сфера радіуса 2 R, концентрично з даною.

14. Знайте геометричність місце точок, відстань якіх до даної СФЕРИ радіуса R дорівнює a.

Таким ГМТ є сфера радіуса R 1 = R + a, концентрично з даною.

15. Знайте геометричність місце середин рівніх хорд даної довжина a, проведених в даній сфері радіуса

r (a <2 r).

Таким ГМТ є сфера радіуса r 1 =, концентрично з даною.

16. Знайте геометричність місце центрів сфер радіуса r, что дотікаються до СФЕРИ з центром Про радіуса R (r

Таким ГМТ є две концентрічні з даною СФЕРИ радіусів r 1 = R + r, r 2 = R - r.

17. Знайте геометричність місце точок таких, щоб відрізок дотічної, проведеної з ціх точок до даної СФЕРИ з центром Про радіуса r, МАВ довжина a.

Таким ГМТ є сфера радіуса r 1 =, концентрічназ даною.

18. На сфере радіуса r взято точку О, вокруг якої обертається пряма, что перетінає сферу у змінній точці В. На Цій прямій по обидвоє боки від точки В відкладаються відрізкі ВМ 1 = ВМ 2 = АВ, де А - другий кінець діаметра, Який проходити через точку О. знайте траєкторію точок М 1 і М 2 при обертанні прямої ОВ.

Таким ГМТ є поверхня тора, что опісується одним Із Кіл радіуса r и центрами, розміщені у діаметрально протилежних точках сфери, симетричних відносно прямої ОА, вокруг прямої ОА.

19. Дано точки А, В. Два кола, розташовані в одній площіні з АВ, дотікаються до прямої АВ, ОДНЕ - в точці А, друга - в точці В і дотікаються Одне до одного в точці М. знайте геометричність місце точок М.

Таким ГМТ є сфера, побудовали на діаметрі АВ без точок А та В.

20. Знайте геометричність місце центрів сфер, Які проходять через Дану точку А і дотікаються до даної площини a.

Таким ГМТ є параболоїд Обертаном з фокусом А і діректоріальною площинах a.

21. Дано две точки А та В. знайте геометричність місце точок М, для якіх трикутник АМВ прямокутний.

Таким ГМТ є об'єднання трьох фігур (без точок А та В):

- сфера з діаметром АВ,

- площини a A, яка проходитиме через точку А перпендикулярно до АВ;

- площини a B, яка проходитиме через точку В перпендикулярно до АВ.

22.Дано тетраедр DАВС. Найти геометричність місце точок М таких, что об'єм шкірного з тетраедрів МАВС, МАСD, МАВD, МВСD менший об'єму тетраедра DАВС.

Таким ГМТ є внутрішня область тетраедра DАВС.


  • Порівняльна характеристика геометричність Місць точок на площіні и в пространстве в аналітичному виде
  • Порівняльна характеристика задач на знаходження геометричність