|
Порівняльна характеристика геометричність Місць точок на площіні и в пространстве
Поняття геометричного місця точок у пространстве (ГМТ) має велике методичне и загальноосвітнє значення. Неможливо переоцініті его роль у розвитку просторової уяви.
Розв'язування задач, в якіх застосовуються геометричні місця точок як на площіні, так и в пространстве, актівізують творчу мнение и фантазію, розвівають логічне мислення, кмітливість, змушують перебирати в пам'яті всі відомі теореми з метою відбору и! Застосування найбільш прідатної з них .
Однако, между ГМТ на площіні и ГМТ у пространстве є принципова різніця.
У планіметрії ГМТ можна побудуваті с помощью креслярськіх ІНСТРУМЕНТІВ. Например, коло побудуваті с помощью циркуля, пряму, промінь, відрізок - с помощью лінійкі.
У стереометрії НЕ існує реального інструмента '' Сферографія ", щоб побудуваті у пространстве сферу або лінію перетин двох сфер, если вона існує.
Звичайно, ЦІ побудова можна здійсніті на проекційному кресленні, но Виконання їх у більшості віпадків громіздке, потребує много годині и неабиякий креслярськіх знань и навичок.
У пространстве доводитися обмежуватісь "уявним" проведення прямої, площини, сфер ТОЩО. Можлівість таких спонукати встановлюється Певна аксіомамі.
Що ж таке геометричність місце точок у пространстве?
На площіні ГМТ візначається так:
Геометричність місцем точок назівається фігура, что складається з усіх точок площини, Які ма ють Певна властівість.
Если на площіні розглядається геометричність місце только точок, то у пространстве можна розглядаті геометричні місця НЕ только точок, но й ліній (як прямих, так и кривих), и тому можна дати таке Означення ГМТ у пространстве:
Геометричність місцем точок у пространстве назівається Деяка фігура, что складається з усіх об'єктів простору, положення якіх задовольняє одній або кільком Певна умів.
У цьом формулюванні вместо слова "точка" застосовується срок "об'єкт", бо це більш Широке Поняття и Включає в собі не только точки, но й Лінії. При цьом часто одну и ту ж геометричність фігуру можна розглядаті як геометричність місце точок и як геометричність місце ліній.
Например, площини α 1, α 2, Паралельні площіні β и віддалені від неї на відстань a, є:
- геометричність місце точок простору, віддаленіх від площини β на відстань a;
- геометричність місце прямих простору, паралельних площіні β и віддаленіх від неї на відстань a;
- геометричність місце кривих, Які лежати у площіні, паралельній даній площіні и віддаленій від неї на відстань a;
- геометричність місце фігур, Які лежати у площіні, паралельній даній площіні и віддаленій від неї на відстань а.
Ціліндрічна поверхня, утворена Обертаном прямої вокруг паралельної їй прямої АВ и віддаленої від неї на відстань a, є:
- геометричність місце точок простору, віддаленіх на відстань a від даної прямої АВ;
- геометричність місце прямих простору, паралельних даній прямій АВ и віддаленіх від неї на відстань a;
- геометричність місце Кіл радіуса a, центри якіх лежати на даній прямій АВ, а їх площини перпендікулярні до АВ;
- геометричність місце рівніх еліпсів, центри якіх знаходится на прямій АВ, а їх площини утворюють з прямою АВ один и тієї ж кут α.
Геометричні місця у пространстве Надзвичайно різноманітні. Деякі з них є природним узагальненням геометричність Місць на площіні, є Ніби їх стереометрічнімі аналогами (например, сфера є стереометрічній аналог кола, площини - аналог прямої ТОЩО).
При переході до Вивчення просторово геометричність Місць точок доцільно прігадаті основні геометричні місця точок на площіні. Причем отрімані результати Зручне подати у виде табліці.
| 1 |
2 |
|
1. геометричність місце точок, шкірні з якіх Віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є коло радіуса a з центром у точці О.
2. геометричність місце точок, відстань якіх від даної точки О не перевіщує довжина a даного відрізка, є коло з центром у точці Про радіуса a.
3. геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від двох Даних точок А і В, є пряма l, яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до него.
4. геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від трьох неколінеарніх точок А, В, С, є точка О - центр кола, описаного вокруг трикутника АВС.
5. геометричність місце точок, віддаленіх від даної прямої l на відстань a, є две Прямі m i n, Паралельні прямій l и віддалені від неї на відстань a.
6. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від двох Даних прямих a, b, є пряма c - вісь сіметрії ціх прямих, если a || b, або две взаємно перпендікулярні Прямі m i n - бісектрісі вертикальних кутів, Утворення при перетіні Даних прямих, если a x b = 0.
Зауваження.
Поверхня гіперболічного параболоїда может буті описана прямою, яка при своєму Русі перетінає две мімобіжні Прямі a, b и залішається весь час паралельно до - площини їх паралелелізму.
7. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від трьох прямих a, b, c, є: точка 0, если a x b x з = 0; две точки M, N, если a || b, з перетінає їх (M, N - точки Перетин бісектріс кутів, Утворення непаралельності прямими); Чотири точки K, L, M, N- центри вписаного и зовні вписаного Кіл трикутника АВС (А = b x c, B = a x c, C = a x b), або Æ, если Прямі a, b, з Паралельні.
|
1. геометричність місце точок, шкірні з якіх Віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є сфера радіуса a з центром у точці О.
2. геометричність місце точок, відстань якіх від даної точки О не перевіщує довжина a даного відрізка, є куля з центром у точці Про радіуса a.
3. геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від двох Даних точок А і В, є площинах, яка проходитиме через середину С відрізка АВ перпендикулярно до него.
4. геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від трьох неколінеарніх точок А, В, С, є пряма, яка проходить через точку О - центр кола, описаного вокруг трикутника АВС, перпендикулярно до площини трикутника АВС.
5. геометричність місце точок, віддаленіх від даної прямої l на відстань a, є Кругова ціліндрічна поверхня радіуса a з віссю сіметрії l.
6. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від двох Даних прямих a, b, є площинах b, если a || b, або две взаємно перпендікулярні щини a, b, Які проходять через бісектрісі вертикальних кутів, Утворення прямими a и b, если a x b = 0, або гіперболічній параболоїд, если a и b мімобіжні.
7. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від трьох прямих a, b, c, Які лежати в одній площіні a, є: пряма m, яка проходитиме через точку 0 = a x b x з і перпендикулярна до площини a, две Прямі m, n, Які перпендікулярні до площини a и проходять черезточкі M, N перетин бісектріс кутів, Утворення непаралельності прямими; если a || b, з перетінає їх; Чотири Прямі k, l, m, n, перпендікулярні до площини a в точках K, L, M, N - центрах вписаного и зовні вписаного Кіл трикутника АВС (А = b x c, B = a x c, C = a x b ), або Æ, если Прямі a, b, з Паралельні.
|
Зауваження. Если три Прямі не лежати в одній площіні, то Можливі випадки, Які на площіні НЕ ма ють аналогів.
а) Прямі перетінаються в одній точці и не лежати в одній площіні.
Геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від трьох прямих a, b, c, что перетінаються в одній точці и не належати одній площіні, є Чотири Прямі, Які проходять через Цю точку.
Для побудова ціх прямих розглянемо геометричність місце точок, рівновіддаленіх від прямих a, b. Це будут две Цілком візначені площини, β (г.м.т. 6). Аналогічно геометричність місце точок, рівновіддаленіх від прямих b, c, будут площини γ, δ (г.м.т. 6); від прямих a, c - площини і (г.м.т.6). Площини α, β перетінаються з площини γ, δ, и по ЧОТИРИ прямим k, l, m i n, Які проходять через точку перетин трьох Даних прямих a, b, c. ЦІ Чотири Прямі є геометричність місцем точок, рівновіддаленіх від прямих а, b, c, Які перетінаються в одній точці и не лежати в одній площіні.
б) Прямі a, b, c Паралельні между собою и не лежати в одній площіні.
Геометричність місце точок, шкірні з якіх рівновіддалена від трьох паралельних прямих, Які не лежати в одній площіні, є пряма m, паралельна до Даних.
Ця пряма Спільна для трьох площинах, Які будують як г.м.т.6 для пар прямих: a, c; b, c; a, b. Зрозуміло, для того, що бере прямої m нема необхідності будуваті три площини, достаточно побудуваті две з них.
Природньо Розглянуто у пространстве геометричні місця точок, віддаленіх на відстань a від даної площини, рівновіддаленіх від двох, від трьох Даних площинах.
8. геометричність місце точок, шкірні з якіх Віддалена від даної площини α на відстань a, є две площини γ и β, Паралельні до α и віддалені від неї на відстань a.
Існують інші Розташування прямих у пространстве: две Прямі перетінаються, а третя мімобіжна до них; две Прямі Паралельні, третя мімобіжна до них; всі три Прямі попарно мімобіжні. В ціх іпадках ГМТ, рівновіддаленіх від трьох прямих є перетин гіперболічніх параболоїдів, Утворення парами мімобіжніх прямих.
9. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від двох Даних площинах α и β, є площинах ζ, если дані площини Паралельні, або две площини γ, δ, если дані площини перетінаються, причому:
- ζ - площини, паралельна до площини α та β и діліть відстань между ними
навпіл.
- γ, δ - перпендікулярні между собою бісекторні площини двогранніх кутів, Утворення площинах α та β.
10. геометричність місце точок, рівновіддаленіх від трьох площинах, є: пряма, або две Прямі, або Чотири Паралельні Прямі, або Чотири Прямі, что перетінаються, або Æ:
- одна пряма буде у випадка, коли три площини α, β, γ ма ють спільну пряму a. Шуканім геометричність місцем точок є пряма a;
- если две площини α, β Паралельні, а третя γ їх перетінає, то шукане геометричність місце точок, рівновіддаленіх від цих площинах, є две Прямі a и b, Паралельні до них, Які утворюються у перетіні бісекторніх площинах двогранніх кутів, Утворення парами площинах: a, g; b, g и належати площіні d, рівновіддаленій від площини a и b;
- если площини α, β, γ попарно перетінаються по паралельні прямі, то геометричність місце точок рівновіддаленіх від цих площинах, є Чотири Прямі a, b, c, d, Паралельні до ліній їх перетин (мал.7), Які є перетин бісекторніх площинах двогранніх кутів, Утворення парами площинах: a, b; a, g; b, g;
- у випадка, коли площини α, β, γ перетінаються в одній точці, шуканім геометричність місцем будут Чотири Прямі, что проходять через точку перетин Даних площинах и належати бісекторнім площинах двогранніх кутів, Утворення попарно данімі площинах;
- порожня множини буде у випадка, коли площини α, β, γ Паралельні между собою.
Розглянемо порівняння кривих іншого порядку и Деяк поверхонь Обертаном як геометричність Місць точок, что ма ють одну и ту ж властівість на площіні и в пространстве.
| на площіні |
У пространстве |
| 1 |
2 |
|
11. геометричність місце точок, з якіх Сейчас відрізок АВ видно під прямим кутом, є коло з діаметром АВ без точок А, В.
12. геометричність місце точок, з якіх Сейчас відрізок АВ видно під кутом a, є два сегменти, що містять Сейчас кут a и спіраються на Данії відрізок АВ без точок А, В.
13. геометричність місце точок площини, для кожної з якіх сума відстаней від двох Даних точок F 1 і F 2 цієї ж площини є величина стала, більша відстані между F 1 і F 2, назівається еліпсом.
14. геометричність місце точок площини, для кожної з якіх абсолютна величина різниці відстаней від двох Даних точок F 1 і F 2 цієї ж площини є величина стала, Менша відстані между F 1 і F 2, назівається гіперболою.
15. геометричність місце точок площини, для кожної з якіх відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної прямої d, яка не проходити через точку F, назівається параболи.
16. геометричність місце точок площини, для кожної з якіх різніця квадратів відстаней від двох Даних точок А та В цієї ж площини є величина стала и дорівнює квадрату довжина m даного відрізка, є перпендикуляр до відрізка АВ в точці D, віддаленій від середини Про відрізка АВ = a на відстань.
17. геометричність місце точок площини, для кожної з якіх сума квадратів відстаней від двох Даних точок А та В цієї ж площини є величина стала и дорівнює квадрату довжина m даного відрізка, є коло з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) i
радіусом r =.
|
11. геометричність місце точок, з якіх Сейчас відрізок АВ видно під прямим кутом, є сфера з діаметром АВ без точок А, В.
12. геометричність місце точок, з якіх Сейчас відрізок АВ видно під кутом a, є торів поверхня, одержані від Обертаном сегмента, что містіть Сейчас кут a и спірається на Данії відрізок АВ, вокруг прямої АВ без точок А, В.
13. геометричність місце точок простору, для кожної з якіх сума відстаней від двох Даних точок F 1 і F 2 простору є величина стала, більша відстані между F 1 і F 2, назівається еліпсоїдом Обертаном.
14. геометричність місце точок простору, для кожної з якіх абсолютна величина різниці відстаней від двох Даних точок F 1 і F 2 простору є величина стала, Менша відстані между F 1 і F 2, назівається двопорожніннім гіперболоїдом Обертаном.
15. геометричність місце точок простору, для кожної з якіх відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної площини a, яка не проходити через точку F, назівається параболоїдом Обертаном.
16. геометричність місце точок простору, для кожної з якіх різніця квадратів відстаней від двох Даних точок А та В простору є величина стала и дорівнює квадрату довжина m даного відрізка, є площинах, перпендикулярна до відрізка АВ в точці D, віддаленій від середини Про відрізка АВ = a на відстань.
17. геометричність місце точок простору, для кожної з якіх сума квадратів відстаней від двох Даних точок А та В простору є величина стала и дорівнює квадрату довжина m даного відрізка, є сфера з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) i
радіусом r =.
|
Слід відмітіті, что между формою геометричного місця точок на площіні и в пространстве у більшості віпадків існує зв'язок, наведень у табліці.
| на площіні |
У пространстве |
|
Крапка
Пряма
Дві Паралельні Прямі
Коло
|
Пряма
площинах
Ціліндрічна поверхня
Сфера
|
Нехай, например, нужно найти геометричність місце точок, рівновіддаленіх від прямих, що містять Сторони трикутника. На площіні таких точок Чотири (центри вписаного и зовні вписаного Кіл).
Таблиця показує, что в пространстве шукане геометричність місце точок є Чотири Прямі, причому ЦІ Прямі проходять через названі центри перпендикулярно до площини трикутника.
Зрозуміло, что ВСТАНОВИВ форму геометричного місця точок на площіні, с помощью табліці можна "прикинути", якові форму має це геометричність місце точок у пространстве. Потім обгрунтувати результати и одночасно уточніті Розташування шуканого геометричного місця точок відносно Даних точок и ліній.
Альо НЕ слід думати, что Зроблено на основе табліці прикидка всегда Вірна. Таблиць не встановлює взаємно однозначної відповідності между формою геометричного місця на площіні и в пространстве, бо такой відповідності, Взагалі Кажучи, що не існує. Є такі геометричні місця точок, Які НЕ змінюють форму в залежності від того, розглядаємо ми їх на площіні чи в пространстве. Например, геометричність місце точок, сума відстаней якіх від двох Даних паралельних прямих Мінімальна. У будь-якому випадка умові відповідають всі точки Смуги площини, обмеженої данімі прямими.
Порівнюючі геометричні місця точок, что відповідають певній умові, на площіні и в пространстве, бачим, что между ними є схожість, но є й много суттєвіх відмінностей.
Геометричні місця точок у пространстве могут мати одну, две чи более властівостей. Если геометричність місце точок візначається однією умів, что віражається рівністю, то воно є Деяка поверхня, а коли ця Умова віражається нерівністю, то маємо геометричність Тіло.
Если геометричність місце візначається двома (трьома) рівностямі, то воно складається з точок ліній, Які є спільнімі для двох (трьох) поверхонь.
Іноді геометричність місце может містіті в Собі всі точки простору. Таким є, например, геометричність місце прямих, шкірні з якіх рівновіддалена від двох Даних точок А та В. Будь-яка пряма, паралельна АВ, або та, что проходити через середину відрізка АВ, рівновіддалена від точок А та В. множини таких прямих Заповнює весь простір.
Ми розглядатімемо геометричні місця точок, Які визначаються рівностямі, тобто смороду будут Певна поверхні.
Порівняльна характеристика геометричність Місць точок на площіні и в пространстве в аналітичному виде
Віберемо прямокутна декартову систему координат на площіні (0, i, j) i в пространстве (0, i, j, k) i розглянемо порівняльну характеристику геометричність Місць точок на площіні и в пространстве в аналітичному виде.
| 18. геометричність місце точок площини, координати якіх задовольняють будь-яке Рівняння 1-го степеня відносно х, у, є пряма. |
18. геометричність місце точок простору, координати якіх задовольняють будь-яке Рівняння 1-го степеня відносно х, у, z, є площинах. |
Наведемо з аналітичної геометрії прикладом аналогічніх рівнянь прямої в (0, i, j) i площини в (0, i, j, k).
|
1). Рівняння прямої, заданої точкою М0 и вектором нормалі n
a (x - x 0) + b (y - y 0) = 0,
де M 0 (x 0; y 0) l, n (a; b) l.
2). Загальне Рівняння прямої
aх + bу + c = 0,
де n (a; b) - вектор нормалі прямої.
3). Рівняння прямої "у відрізках на осях": + = 1, де А (а; 0), В (0; b) - точки Перетин прямої з осями координат.
4). Нормальне Рівняння прямої
x c osα + y si n α- p = 0,
де р - відстань від качана координат до прямої,
n 0 (c osα, Sі n α) - одінічній вектор нормалі прямої.
19. геометричність місце точок площини, координати якіх задовольняють Рівняння + = 1, є ЕЛІПС.
20. геометричність місце точок площини, координати якіх задовольняють Рівняння - = 1, є гіпербола.
21. геометричність місце точок площини, координати якіх задовольняють Рівняння - = - 1, є гіпербола.
22. геометричність місце точок площини, координати якіх задовольняють Рівняння у 2 = 2 рх, є парабола.
|
1). Рівняння площини, заданої точкою М0 и вектором нормалі n
a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0,
де M 0 (x 0; y 0; z 0), n (a; b, c).
2). Загальне Рівняння площини
aх + bу + з z + d = 0,
де n (a; b; c) - вектор нормалі площини.
3). Рівняння площини "у відрізках на осях": + + = 1, де А (а; 0; 0), В (0; b; 0), С (0; 0; с) -точка перетин площини з осями координат.
4). Нормальне Рівняння площини
x c os + y cosβ + z c osγ- p = 0,
де р - відстань від качана координат до площини,
n 0 (c osα, c osβ, c osγ) - одінічній вектор нормалі площини.
19. геометричність місце точок простору, координати якіх задовольняють Рівняння ++ = 1, є еліпсоїд.
20. геометричність місце точок простору, координати якіх задовольняють Рівняння - + = - 1, є двопорожнінній гіперболоїд.
21. геометричність місце точок простору, координати якіх задовольняють Рівняння - + = 1, є однопорожнінній гіперболоїд.
22. геометричність місце точок простору, координати якіх задовольняють Рівняння + = 2 ру, є еліптічній параболоїд.
|
Цікавім є порівняння геометричність фігур на площіні и в пространстве, Рівняння якіх у системах координат (0, i, j), (0, i, j, k) автентічні.
| на площіні |
У пространстве |
| 1 |
2 |
|
23. А х + В у + С = 0. Рівняння прямої Загальні положення, паралельної вектору a (-В; А).
24. + = 1. Рівняння еліпса.
25. х 2 + у 2 = r 2. Рівняння кола радіуса r з центром у точці О (0; 0).
26. х 2 + у 2 = 0.
Рівняння задовольняють координати точки О (0; 0).
27. - = 1. Рівняння гіперболі.
28. х 2 - у 2 = 0, або:
(Х - у) (х + у) = 0, або:
Рівняння двох прямих, что перетінаються в точці О (0; 0). Бісектрісі координатно кутів І і IІІ, ІІ и ІV.
29. у 2 = 2 рх. Рівняння параболи.
30. у 2 - a 2 = 0, або
(У - a) (у + a) = 0, або:
Рівняння двох прямих, паралельних коордінатній осі x.
|
23. А х + В у + С = 0. Рівняння площини, паралельної осі z.
24. + = 1. Рівняння еліптічного циліндра з твірною, паралельно до осі z, Напрямна которого є ЕЛІПС:
25. х 2 + у 2 = r 2. Рівняння колового циліндра з твірною, паралельно осі z, Напрямна которого є коло:
26. х 2 + у 2 = 0. Рівняння осі z.
27. - = 1. Рівняння гіперболічного циліндра з твірною, паралельно осі z, Напрямна которого є гіпербола:
28. х 2 - у 2 = 0, або:
Рівняння двох площинах, что перетінаються по осі z. Бісекторні площини двогранніх кутів, Утворення координатно площинах (xz) і (yz).
29. у 2 = 2 рх. Рівняння параболічного циліндра з твірною, паралельно осі z, Напрямна которого є парабола:
30. у 2 - a 2 = 0, або:
Рівняння двох площинах, паралельних коордінатній площіні (xz).
|
Порівняльна характеристика задач на знаходження геометричність
Місць на площіні и в пространстве
| на площіні |
У пространстве |
| 1 |
2 |
|
1. Знайте геометричність місце середин відрізків, что сполучають Дану точку А з точками даної
прямої l.
Таким ГМТ є пряма, паралельна даній и Віддалена від неї на відстані r (A, l).
2. Знайте геометричність місце центрів Кіл, Які дотікаються до даної прямої в даній точці.
Таким ГМТ є пряма, перпендикулярна до даної прямої в даній точці.
3. Знайте геометричність місце центрів Кіл, Які дотікаються до даного кола в даній точці.
Таким ГМТ є пряма, яка проходить через центр даного кола и Дану точку.
4. Знайте геометричність місце центрів Кіл радіуса R, что дотікаються до даної прямої.
Таким ГМТ є две Прямі, Паралельні даній и віддалені від неї на відстань R.
5. Знайте геометричність місце центрів Кіл, Які дотікаються до двох Даних паралельних прямих.
Таким ГМТ є вісь сіметрії Даних прямих.
6. Знайте геометричність місце центрів Кіл, Які проходять через дані точки А і В.
Таким ГМТ є серединний перпендикуляр відрізка АВ.
7. Знайте геометричність місце вершин трікутніків, рівновелікіх даного трикутнику АВС, Які ма ють з ним спільну основу АВ.
Таким ГМТ є две Прямі, Паралельні Основі АВ и віддалені від неї на відстань h c, что дорівнює довжіні висоти трикутника АВС.
8. Знайте геометричність місце центрів Кіл радіуса R, что проходять через точку О.
Таким ГМТ є коло з центром О радіуса R.
9. Дано две Різні точки А і В. знайте геометричність місце основ перпендікулярів, опущених з точки А на Прямі, проведені через точку В.
Таким ГМТ є коло, діаметром которого є відрізок АВ.
10. Дано две Різні точки А і В. знайте геометричність місце точок, шкірні з якіх симетрично з точкою А відносно деякої прямої, яка проходить через точку В.
Таким ГМТ є коло з центром у точці В радіуса АВ.
11. Знайте геометричність місце середин хорд кола з центром О, проведених через точку А, розташовану Всередині кола.
Таким ГМТ є коло, діаметром которого є відрізок ОА.
12. Знайте геометричність місце середин хорд даного кола, паралельних даній прямій АВ.
Таким ГМТ є діаметр кола (без его кінців), перпендикулярний до прямої АВ.
13. Дано коло радіуса r. Найти геометричність місце точок, симетричних до его центру відносно кожної точки цього кола.
Таким ГМТ є коло радіуса 2 r, концентрично з данім.
14. Знайте геометричність місце точок, відстань якіх до даного кола радіуса r дорівнює a.
Таким ГМТ є коло радіуса r 1 = r + a, концентрично з данім.
15. Знайте геометричність місце середин рівніх хорд даної довжина a, проведених в даного колі радіуса
r (a <2 r).
Таким ГМТ є коло радіуса r 1 =, концентрично з данім.
16. Знайте геометричність місце центрів Кіл радіуса r, что дотікаються до кола з центром Про радіуса R (r
Таким ГМТ є два концентрічніз данім кола радіусів r 1 = R + r, r 2 = R - r.
17. Знайте геометричність місце точок таких, щоб відрізок дотічної, проведеної з ціх точок до даного кола з центром Про радіуса r, МАВ довжина a.
Таким ГМТ є коло радіуса r 1 =, концентрічнез данім.
18. На колі радіуса r взято точку О, вокруг якої обертається пряма, что перетінає коло у змінній точці В. На Цій прямій по обидвоє боки від точки В відкладаються відрізкі ВМ 1 = ВМ 2 = АВ, де А - другий кінець діаметра, Який проходити через точку О.Знайті траєкторію точок М 1 і М 2 при обертанні прямої ОВ.
Таким ГМТ є два кола радіуса r, Які перетінаються у точцах Aі О. Центри їх розміщені у діаметрально протилежних точках даного кола, симетричних відносно прямої ОА.
19. Дано точки А, В. Два кола дотікаються до прямої АВ, ОДНЕ - в точці А, друга - в точці В і дотікаються Одне до одного в точці М. знайте геометричність місце точок М.
Если через М провести спільну дотичність до ціх Кіл, то вона перетне АВ у точці С, причому СА = СВ = СМ. Отже, трикутник АМВ - прямокутний з гіпотенузою АВ, тобто геометричність місцем точок М є коло діаметра АВ без точок А та В.
20. Знайте геометричність місце центрів Кіл, Які проходять через Дану точку А і дотікаються до даної прямої l.
Таким ГМТ є парабола з фокусом А і директриса l.
21. Дано две точки А та В. знайте геометричність місце точок М, для якіх трикутник АМВ прямокутний.
Трикутник прямокутний, тоді віконується одна з умов: Ð АМВ = 90 0, Ð МАВ = 90 0, Ð МВА = 90 0. Звідсі слідує, что шуканім ГМТ є об'єднання трьох фігур (без точок А та В):
- коло з діаметром АВ,
- пряма l A, яка проходитиме через точку А перпендикулярно до АВ;
- пряма l B, яка проходитиме через точку В перпендикулярно до АВ.
22. Дано трикутник АВС. Найти геометричність місце точок М, для якіх площа шкірного з трікутніків АВМ, АСМ, ВСМ Менша площади трикутника АВС.
Таким ГМТ є внутрішня область трикутника АВС.
|
Найти геометричність місце середин відрізків, что сполучають Дану точку А з точками даної площини a.
Таким ГМТ є площинах, паралельна даній и Віддалена від неї на відстані r (A, α).
2. Знайте геометричність місце центрів сфер, Які дотікаються до даної площини в даній точці.
Таким ГМТ є пряма, перпендикулярна до даної площини в даній точці.
3. Знайте геометричність місце центрів сфер, Які дотікаються до даної сфери в даній точці.
Таким ГМТ є пряма, яка проходить через центр даної СФЕРИ и Дану точку.
4. Знайте геометричність місце центрів сфер радіуса R, что дотікаються до даної площини.
Таким ГМТ є две площини, Паралельні даній и віддалені від неї на відстань R.
4 '. Найти геометричність місце центрів сфер (Кіл) радіуса R, что дотікаються до даної прямої.
Таким ГМТ є ціліндрічна поверхня радіуса R, віссю якої є дана пряма.
5. Знайте геометричність місце центрів сфер, Які дотікаються до двох Даних паралельних площинах.
Таким ГМТ є площинах сіметрії Даних площинах.
6. Знайте геометричність місце центрів сфер (або Кіл), Які проходять через дані точки А і В.
Таким ГМТ є площинах сіметрії точок А і В.
7. Знайте геометричність місце вершин тетраедрів, рівновелікіх даного тетраедру ДАВС, Які ма ють з ним спільну основу АВС.
Таким ГМТ є две площини, Паралельні площіні АВС и віддалені від неї на відстань h d, что дорівнює довжіні висоти тетраедра DАВС.
8. Знайте геометричність місце центрів Кіл (сфер) радіуса R, что проходять через точку О.
Таким ГМТ є сфера з центром Про радіуса R.
9. Дано две Різні точки А і В. знайте геометричність місце основ перпендікулярів, опущених з точки А на Прямі, проведені через точку В.
Таким ГМТ є сфера, діаметром якої є відрізок АВ.
10. Дано две Різні точки А і В. знайте геометричність місце точок, шкірні з якіх симетрично з точкою А відносно деякої прямої, яка проходить через точку В.
Таким ГМТ є сфера з центром у точці В радіуса АВ.
11. Знайте геометричність місце середин хорд СФЕРИ з центром О, проведених через точку А, розташовану Всередині сфери.
Таким ГМТ є сфера, діаметром якої є відрізок ОА.
12. Знайте геометричність місце середин хорд даної сфери, паралельних даній прямій АВ.
Таким ГМТ є точки, розташовані Всередині великого кола, площини которого перпендикулярна до прямої АВ.
13. Дано сферу радіуса R. Найти геометричність місце точок, симетричних ее центу відносно кожної точки цієї сфери.
Таким ГМТ є сфера радіуса 2 R, концентрично з даною.
14. Знайте геометричність місце точок, відстань якіх до даної СФЕРИ радіуса R дорівнює a.
Таким ГМТ є сфера радіуса R 1 = R + a, концентрично з даною.
15. Знайте геометричність місце середин рівніх хорд даної довжина a, проведених в даній сфері радіуса
r (a <2 r).
Таким ГМТ є сфера радіуса r 1 =, концентрично з даною.
16. Знайте геометричність місце центрів сфер радіуса r, что дотікаються до СФЕРИ з центром Про радіуса R (r
Таким ГМТ є две концентрічні з даною СФЕРИ радіусів r 1 = R + r, r 2 = R - r.
17. Знайте геометричність місце точок таких, щоб відрізок дотічної, проведеної з ціх точок до даної СФЕРИ з центром Про радіуса r, МАВ довжина a.
Таким ГМТ є сфера радіуса r 1 =, концентрічназ даною.
18. На сфере радіуса r взято точку О, вокруг якої обертається пряма, что перетінає сферу у змінній точці В. На Цій прямій по обидвоє боки від точки В відкладаються відрізкі ВМ 1 = ВМ 2 = АВ, де А - другий кінець діаметра, Який проходити через точку О. знайте траєкторію точок М 1 і М 2 при обертанні прямої ОВ.
Таким ГМТ є поверхня тора, что опісується одним Із Кіл радіуса r и центрами, розміщені у діаметрально протилежних точках сфери, симетричних відносно прямої ОА, вокруг прямої ОА.
19. Дано точки А, В. Два кола, розташовані в одній площіні з АВ, дотікаються до прямої АВ, ОДНЕ - в точці А, друга - в точці В і дотікаються Одне до одного в точці М. знайте геометричність місце точок М.
Таким ГМТ є сфера, побудовали на діаметрі АВ без точок А та В.
20. Знайте геометричність місце центрів сфер, Які проходять через Дану точку А і дотікаються до даної площини a.
Таким ГМТ є параболоїд Обертаном з фокусом А і діректоріальною площинах a.
21. Дано две точки А та В. знайте геометричність місце точок М, для якіх трикутник АМВ прямокутний.
Таким ГМТ є об'єднання трьох фігур (без точок А та В):
- сфера з діаметром АВ,
- площини a A, яка проходитиме через точку А перпендикулярно до АВ;
- площини a B, яка проходитиме через точку В перпендикулярно до АВ.
22.Дано тетраедр DАВС. Найти геометричність місце точок М таких, что об'єм шкірного з тетраедрів МАВС, МАСD, МАВD, МВСD менший об'єму тетраедра DАВС.
Таким ГМТ є внутрішня область тетраедра DАВС.
|
|