Ейлер, Леонард

план
Вступ
1 Біографія
1.1 Швейцарія (1707-1727)
1.2 Перший приїзд в Росію (1727-1741)
1.3 Пруссія (1741-1766)
1.4 Знову Росія (1766-1783)
1.5 Цікаві факти
1.6 Оцінки
1.7 Адреси в Санкт-Петербурзі

2 Внесок у науку
2.1 Теорія чисел
2.2 Математичний аналіз
2.3 Геометрія
2.4 Комбінаторика
2.5 Інші області математики
2.6 Механіка і математична фізика
2.7 Астрономія
2.8 інженерія

3 Пам'ять
3.1 Математичні олімпіади


Список літератури

Вступ

Леонард Ейлер (нім. Leonhard Euler; 4 (15) квітня 1707 (17070415), Базель, Швейцарія - 7 (18) вересня 1783, Санкт-Петербург, Російська імперія) - швейцарський, німецький і російський математик, що вніс значний вклад в розвиток математики , а також механіки, фізики, астрономії та ряду прикладних наук.

Ейлер - автор більш ніж 800 робіт [L 1] з математичного аналізу, диференціальної геометрії, теорії чисел, наближеним обчисленням, небесної механіки, математичної фізики, оптики, балістики, кораблебудування, теорії музики та ін.

Майже півжиття провів у Росії, де вніс істотний внесок у становлення російської науки. У 1726 році він був запрошений працювати в Санкт-Петербург, куди переїхав роком пізніше. З 1731 по тисячі сімсот сорок один, а також з 1766 був академіком Петербурзької Академії Наук (в 1741-1766 роках працював в Берліні, залишаючись одночасно почесним членом Петербурзької Академії). Добре знав російську мову і частину своїх творів (особливо підручники) публікував російською. Перші російські академіки-математики (С. К. Котельников) і астрономи (С. Я. Румовскій) були учнями Ейлера. Деякі з його нащадків до сих пір живуть в Росії. [L 2]

1. Біографія

Швейцарія (1707-1727)

Леонард Ейлер народився в 1707 році в сім'ї базельського пастора, друга сім'ї Бернуллі. Рано виявив математичні здібності. Початкове навчання здобув удома під керівництвом батька, який навчався колись математики у Якоба Бернуллі. Пастор готував старшого сина до духовної кар'єри, однак займався з ним і математикою - як у якості розваги, так і для розвитку логічного мислення. Одночасно з навчанням в гімназії хлопчик захоплено займався математикою під керівництвом Якоба Бернуллі, а в останні гімназичні роки відвідував університетські лекції молодшого брата Якоба, Йоганн Бернуллі.

20 жовтня 1720 роки 13-річний Леонард Ейлер став студентом факультету мистецтв Базельського університету. Але любов до математики направила Леонарда по іншому шляху. Незабаром здатний хлопчик звернув на себе увагу професора Йоганна Бернуллі. Він передав обдарованій студенту математичні статті для вивчення, а по суботах запросив приходити до нього додому, щоб спільно розбирати незрозуміле. У будинку свого вчителя Ейлер познайомився і потоваришував з синами Бернуллі - Данилом і Миколою, також захоплено займалися математикою.

8 червня 1724 року 17-річний Леонард Ейлер сказав на латині мова про порівняння філософських поглядів Декарта і Ньютона і був удостоєний наукового ступеня магістра.

У наступні два роки юний Ейлер написав кілька наукових робіт. Одна з них, «Дисертація по фізиці про звук», що отримала схвальний відгук, була представлена ​​на конкурс для заміщення несподівано звільнилася в Базельському університеті посаді професора фізики (1725). Але, незважаючи на позитивний відгук, 19-річного Ейлера визнали дуже молодим, щоб включити в число кандидатів на професорську кафедру. Треба відзначити, що число наукових вакансій в Швейцарії було зовсім невелика. Тому брати Данило і Микола Бернуллі виїхали в Росію, де якраз йшла організація Академії наук; вони обіцяли поклопотатися там і про посаду для Ейлера.

На початку зими 1726 Ейлера повідомили з Санкт-Петербурга: за рекомендацією братів Бернуллі він запрошений на посаду ад'юнкта по фізіології з окладом 200 рублів. [L 3] Отримання авансу для компенсації проїзних витрат розтягнулося майже на рік, і лише 5 квітня 1727 року Ейлер назавжди покинув Швейцарію.

Перший приїзд до Росії (1727-1741)

22 січня 1724 Петро I затвердив проект пристрою Петербурзької Академії. 28 січня вийшов указ сенату про створення Академії. З 22 професорів і ад'юнктів, запрошених в перші роки, виявилося 8 математиків, які займалися також механікою, фізикою, астрономією, картографією, теорією кораблебудування, службою мір і ваг.

Однією з найважливіших завдань Академії стала підготовка вітчизняних кадрів. Пізніше при Академії були створені університет і гімназія. В силу гострої нестачі підручників російською мовою Академія звернулася до своїх членів з проханням скласти такі керівництва. Ейлер, хоча і числився фізіологом, склав на німецькій мові дуже добротне «Керівництво до арифметики», яке тут же було переведено на російську і служило не один рік в якості початкового підручника. Переклад першої частини виконав в 1740 році перший російський ад'юнкт Академії, учень Ейлера Василь Адодуров. Це було перший систематичний виклад арифметики російською мовою. На загальний подив, Ейлер вже в наступному після приїзду році став швидко говорити по-російськи. [L 4]

У 1730 році, коли на російський престол вступила Ганна Іванівна, інтерес до Академії впав. За роки свого правління імператриця відвідала Академію всього лише один раз. [L 5] Частина запрошених професорів стала повертатися на батьківщину. Місце, що звільнилося професора фізики було запропоновано Ейлера (тисяча сімсот тридцять один), одночасно він отримав збільшення окладу до 400 рублів. Ще через два роки Данило Бернуллі повернувся в Швейцарію, і Ейлер зайняв його кафедру, ставши академіком і професором чистої математики з окладом 600 рублів (втім, Данило Бернуллі отримував удвічі більше). Микола Бернуллі, талановитий математик, раптово помер від хвороби незабаром після приїзду в Росію, в 1726 році.

В один з останніх днів 1733 року 26-річний Леонард Ейлер одружився на своїй ровесниці Катаріні (нім. Katharina Gsell), дочки живописця (петербурзького швейцарця) Георга Гзеля. Молодята придбали будинок на набережній Неви, де й оселилися. У родині Ейлера народилися 13 дітей, але вижили 3 сина і 2 дочки. [1]

Ейлер відрізнявся феноменальною працездатністю. За відгуками сучасників, для нього жити означало займатися математикою. А роботи у молодого професора було багато: картографія, всілякі експертизи, консультації для кораблебудівників і артилеристів, складання навчальних посібників, проектування пожежних насосів і т. Д. Від нього навіть вимагають складання гороскопів, якою замовлення Ейлер з усім можливим тактом переадресував штатним астроному. Але все це не заважає йому активно проводити власні дослідження.

За перший період перебування в Росії він написав понад 90 великих наукових робіт. Значна частина академічних «Записок» заповнена працями Ейлера. Він робив доповіді на наукових семінарах, читав публічні лекції, брав участь у виконанні різних технічних замовлень урядових відомств.

У 1735 році Академія отримала завдання виконати термінове і дуже громіздке астрономічне (за іншими даними, картографічне) обчислення. Група академіків просила на цю роботу три місяці, а Ейлер узявся виконати роботу за 3 дні - і впорався самостійно. Однак перенапруження не минуло безслідно: він захворів і втратив зір на праве око.

У 1730-і роки Ейлер стає відомий і в Європі. Двотомне твір «Механіка, або наука про рух, в аналітичному викладі», видане в 1736 році, принесло йому світову славу. У цій монографії Ейлер блискуче застосував методи математичного аналізу до вирішення проблем руху в просторі і в чинять опір середовищі. «Той, хто має достатні навички в аналізі, зможе все побачити з надзвичайною легкістю і без будь-якої допомоги прочитає роботу повністю», - закінчує Ейлер своє передмову до книги. Починаючи з цього моменту, теоретична механіка стає прикладною частиною математики.

Обставини погіршилися, коли в 1740 році померла імператриця Анна Іванівна, і царем був оголошений малолітній Іоанн VI. «Передбачалося щось небезпечне, - писав пізніше Ейлер в автобіографії. - Після смерті славетної імператриці Анни при що відбувся тоді регентстве ... становище почало представлятися невпевненим ». Справді, в регентство Анни Леопольдівни Петербурзька Академія остаточно перетворюється на пустку. Ейлер обмірковує повернення на батьківщину. Врешті-решт він приймає пропозицію прусського короля Фрідріха, який запрошував його в Берлінську Академію на досить вигідних умовах, на посаду директора її Математичного департаменту. Академія створювалася на базі прусського королівського товариства, заснованого ще Лейбніцем, але в ті роки знаходився в жалюгідному стані.

Пруссія (1741-1766)

Ейлер подав керівництву Петербурзької Академії прохання про відставку:

29 травня 1741 року дозвіл Академії було отримано. [L 6] Ейлер був «відпущений» і затверджений почесним членом Академії з окладом 200 рублів. Натомість він обіцяв у міру своїх сил допомагати Петербурзької Академії - і дійсно, все проведені в Пруссії роки Ейлер брав участь в публікаціях Академії, редагував математичні відділи російських журналів, набував для Петербурга книги і інструменти. На квартирі Ейлера, на повному пансіоні, роками жили молоді російські вчені, відряджені на стажування. Відомо про жвавої листуванні Ейлера з Ломоносовим, в творчості якого він високо цінував «щасливе поєднання теорії з експериментом» [2]. У 1747 році він дав схвальний відгук президенту Академії наук графу К. Г. Розумовському про статті Ломоносова з фізики і хімії, стверджуючи [3]:

Цієї високої оцінки не завадило навіть те, що Ломоносов математичних робіт не писав і вищою математикою не володіла. [4]

У червні 1741 року Леонард Ейлер з дружиною, двома синами і чотирма племінниками прибув до Берліна. Він провів тут 25 років і видав близько 260 робіт.

Перший час Ейлера зустрічають в Берліні доброзичливо, його запрошують навіть на придворні бали. [L 6] Король постійно в отлучке через безперервних війн, але роботи у Ейлера чимало. Крім математики, він займається багатьма практичними справами, включаючи лотереї, карбування монет, прокладку нового водопроводу і організацію пенсійного забезпечення.

У 1742 році вийшло чотиритомне зібрання творів Йоганна Бернуллі. Посилаючи його з Базеля Ейлера в Берлін, старий учений писав своєму учневі: «Я присвятив себе дитинству вищої математики. Ти, мій друг, продовжиш її становлення в зрілості ». В берлінський період, одна за одною, виходять роботи Ейлера: «Введення в аналіз нескінченно малих» (1748), «Морська наука» (1749), «Теорія руху Місяця» (1753), «Повчання по диференціального числення» (лат. Institutiones calculi differentialis, 1755). Численні статті з окремих питань друкуються у виданнях Берлінської та Петербурзької Академій. У 1744 році Ейлер відкриває варіаційне числення. У його роботах використовуються продумана термінологія і математична символіка, в значній мірі збереглися до наших днів, виклад доводиться до рівня практичних алгоритмів.

1753 року Ейлер купив маєток в Шарлоттенбурге (передмістя Берліна) з садом і ділянкою. Мати сповістила Ейлера про смерть в Швейцарії його батька; незабаром вона переїхала до Ейлера.

Величезну популярність придбали в XVIII столітті, а почасти й у XIX-му, ейлеровскіе «Листи про різних фізичних і філософічних матерії, написані до деякої німецької принцесі ...», які витримали понад 40 видань на 10 мовах (в тому числі 4 видання російською) . Це науково-популярна енциклопедія широкого охоплення, написана яскраво і доступно. [L 7]

За відгуками сучасників, Ейлер все життя залишався скромним, життєрадісним, надзвичайно чуйною людиною, завжди готовим допомогти іншому. Однак відносини з королем не складаються: Фрідріх знаходить нового математика нестерпно нудним, абсолютно не світським, і звертається з ним зневажливо. У 1759 році: помер Мопертюї, президент Берлінської Академії наук. Пост президента Академії король Фрідріх II запропонував Даламберу, але той відмовився. Фрідріх, недолюблювали Ейлера, все ж доручив йому керівництво Академією, проте без титулу президента.

Під час Семирічної війни російська артилерія зруйнувала будинок Ейлера; дізнавшись про це, фельдмаршал Салтиков негайно відшкодував втрати, а пізніше імператриця Єлизавета прислала від себе ще 4000 рублів.[L 8]

1765: новий шедевр Ейлера, «Теорія руху твердих тіл». У 1766 р опубліковані «Елементи варіаційного числення». Саме тут вперше з'явилася назва нового розділу математики, створеного Ейлером і Лагранжем.

У 1762 році на російський престол зійшла Катерина II, яка здійснювала політику освіченого абсолютизму. Добре розуміючи значення науки як для прогресу держави, так і для власного престижу, вона провела ряд важливих, сприятливих для науки, перетворень в системі народної освіти і культури. Імператриця запропонувала Ейлера управління математичним класом (відділенням), звання конференц-секретаря Академії та оклад 1800 рублів в рік. «А якщо не сподобається, - говорилося в листі її представнику, - благоволить повідомити свої умови, аби не барився приїздом до Петербурга».

Ейлер повідомив у відповідь свої умови:

· Оклад 3000 рублів в рік і пост віце-президента Академії;

· Щорічна пенсія 1000 рублів дружині після його смерті;

· Оплачувані посади для трьох його синів, у тому числі пост секретаря Академії для старшого.

Всі ці умови були прийняті. У листі від 6 січня 1766 року Єкатерина пише канцлеру графу Воронцову:

Ейлер подав королю прохання про звільнення зі служби, але жодної відповіді не отримав. Подав повторно - але Фрідріх не бажав навіть обговорювати питання про його від'їзд. У відповідь на це Ейлер припинив працювати для Берлінської Академії.

Вирішальну підтримку Ейлера надали наполегливі клопотання російського представництва від імені імператриці. 30 квітня 1766 Фрідріх нарешті дозволив великому вченому покинути Пруссію, відпустивши навздогін (в листах того періоду) кілька злісних дотепів. Правда, Крістофа, молодшого сина Ейлера, який служив підполковником артилерії (нім. Oberstleutnant), король навідріз відмовився відпустити з армії. Пізніше завдяки заступництву Катерини II він все ж зміг приєднатися до батька; в російській армії він дослужився до генерал-лейтенанта. [L 10]

Ейлер повертається в Росію, тепер уже назавжди.

Знову Росія (1766-1783)

У липні 1766 року 60-річний Ейлер, його сім'я і домочадці (всього 18 осіб) прибули до російської столиці. Відразу ж після прибуття він був прийнятий імператрицею. Катерина, тепер уже Друга, зустріла його як августійшу особу і обсипала милостями: завітала 8000 рублів на покупку будинку на Васильєвському острові і на придбання обстановки, надала на перший час одного зі своїх кухарів і доручила підготувати міркування про реорганізацію Академії.

На жаль, після повернення в Петербург у Ейлера утворилася катаракта лівого ока - він перестав бачити. Ймовірно, з цієї причини обіцяний пост віце-президента Академії він так і не отримав. Однак сліпота не позначилася на його працездатності. Ейлер диктував свої праці хлопчикові-кравця, який все записував по-німецьки. Число опублікованих їм робіт навіть зросла; за півтора десятка років другого перебування в Росії він продиктував більше 400 статей і 10 книг.

1767-1770: робота над двотомній класичної монографією «Універсальна арифметика» (видавалася також під назвами «Почала алгебри» і «Повний курс алгебри»). Російською мовою цей чудовий працю виходить відразу ж (перший том: 1768), німецькою - два роки по тому. Книга була переведена на багато мов і перевидавалася близько 30 раз (тричі - на російській). Усі наступні підручники алгебри створювалися під найсильнішим впливом книги Ейлера.

У ці ж роки виходить тритомник «Оптика» (лат. Dioptrica, 1769-1771) і фундаментальне «Інтегральне числення» (лат. Institutiones calculi integralis), теж в 3 томах.

У 1771 році в житті Ейлера сталися два серйозних події. У травні в Петербурзі сталася велика пожежа, яка знищила сотні будинків, в тому числі будинок і майже все майно Ейлера. Самого вченого з працею врятували. Всі рукописи вдалося вберегти від вогню; згоріла лише частина «Нової теорії руху місяця», але вона швидко була відновлена ​​за допомогою самого Ейлера, який зберіг до глибокої старості феноменальну пам'ять. Ейлера довелося тимчасово переселитися в інший будинок.

У вересні того ж року, за особливим запрошенням імператриці, в Санкт-Петербург прибув для лікування Ейлера відомий німецький окуліст барон Вентцель. Після огляду він погодився зробити Ейлера операцію і видалив з лівого ока катаракту. Ейлер знову став бачити. Лікар наказав берегти очей від яскравого світла, не писати, не читати - лише поступово звикати до нового стану. Однак уже через кілька днів після операції Ейлер зняв пов'язку, і незабаром втратив зір знову. На цей раз - остаточно.

Тисячі сімсот сімдесят дві: «Нова теорія руху Місяця». Ейлер нарешті завершив свою багаторічну працю, приблизно вирішивши завдання трьох тіл.

У 1773 році за рекомендацією Данила Бернуллі до Петербурга приїхав з Базеля учень Бернуллі, Ніклаус Фусс. Це було великою удачею для Ейлера. Фусс володів рідкісним поєднанням математичного таланту та вміння вести практичні справи, що і дало йому можливість відразу ж після приїзду взяти на себе турботи про математичних працях Ейлера. Незабаром Фусс одружився на внучці Ейлера. У наступні десять років - до самої своєї смерті - Ейлер переважно йому диктував свої праці, хоча іноді користувався «очима старшого сина» та інших своїх учнів.

У 1773 році померла дружина Ейлера, з якою він прожив майже 40 років; у них було три сини (молодший син Христофор згодом був генерал-лейтенантом російської армії і командиром Сестрорецкого збройового заводу). Це було великою втратою для вченого, щиро прив'язаного до родини. Незабаром Ейлер одружився на її зведеної сестри Соломії.

1779: виходить «Загальна сферична тригонометрія», перше повне виклад всієї системи сферичної тригонометрії.

Ейлер активно працював до останніх днів. У вересні 1783 року 76-річний учений став відчувати головні болі і слабкість. 7 (18) вересня після обіду, проведеного в колі сім'ї, розмовляючи з академіком А. І. Лекселем про недавно відкритої планети Уран і її орбіті, він раптово відчув себе погано. Ейлер встиг вимовити: «Я вмираю», - і втратив свідомість. Через кілька годин, так і не прийшовши до тями, він помер від крововиливу в мозок.

«Він перестав обчислювати і жити», - сказав Кондорсе на траурному засіданні Паризької Академії наук (фр. Il cessa de calculer et de vivre).

Його поховали на Смоленському лютеранському кладовищі в Петербурзі. Напис на пам'ятнику був: «Тут спочивають тлінні останки мудрого, справедливого, знаменитого Леонарда Ейлера».

У 1955 році прах великого математика був перенесений в «Некрополь XVIII століття» на Лазаревському цвинтарі Олександро-Невської лаври. Погано зберігся надгробний пам'ятник при цьому замінили.

1.5. Цікаві факти

А. С. Пушкін призводить романтичне оповідання: нібито Ейлер склав гороскоп для новонародженого Іоанна Антоновича (1740), але результат його настільки налякав, що він нікому не став його показувати, і лише після смерті нещасного царевича розповів про нього графу К. Г. Розумовському . Достовірність цього історичного анекдоту вкрай сумнівна. [L 11]

Маркіз Кондорсе повідомляє, що незабаром після переїзду в Берлін Ейлера запросили на придворний бал. На питання королеви-матері, від чого він так небагатослівний, Ейлер відповів: «Прошу мене вибачити, але я тільки що з країни, де за зайве слово можуть повісити». [L 12]

Інший розповідь Кондорсе: одного разу два студента, виконуючи незалежно складні астрономічні обчислення, отримали трохи розрізняються результати в 50-м знаку, і звернулися до Ейлера за допомогою. Ейлер зробив ті ж обчислення в розумі і вказав правильний результат. [L 13]

Розповідають, що Ейлер не любив театру, і якщо потрапляв туди, піддавшись умовлянням дружини, то щоб не нудьгувати, виконував в розумі складні обчислення, підібравши їх обсяг так, щоб вистачило якраз до кінця вистави.

У 1739 році вийшла робота Ейлера «Tentamen novae theoriae musicae» з математичної теорії музики. З приводу цієї роботи ходив жарт, що в ній занадто багато музики для математиків і занадто багато математики для музикантів. [L 14]

1.6. оцінки

За відгуками сучасників, за характером Ейлер був добродушний, незлобивий, практично ні з ким не сварився. До нього незмінно тепло ставився навіть Йоганн Бернуллі, важкий характер якого зазнали на собі його брат Якоб і син Данило. Для повноти життя Ейлера було потрібно тільки одне - можливість регулярного математичного творчості. У той же час він був життєрадісний, товариський, любив музику, філософські бесіди. [L 15]

Ейлер був турботливим сім'янином, охоче допомагав колегам і молоді, щедро ділився з ними своїми ідеями. Відомий випадок, коли Ейлер затримав свої публікації з варіаційного числення, щоб молодий і нікому тоді не відомий Лагранж, незалежно прийшов до тих же відкриттям, зміг опублікувати їх першим. [L 16] Лагранж завжди із захопленням ставився до Ейлера і як до математику, і як до людини; він говорив: «Якщо ви дійсно любите математику, читайте Ейлера».

Академік С. І. Вавилов писав: «Разом з Петром I і Ломоносовим, Ейлер став добрим генієм нашої Академії, що визначив її славу, її фортецю, її продуктивність».

«Читайте, читайте Ейлера, він - наш загальний учитель», - любив повторювати і Лаплас (фр. Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.). [L 17] Праці Ейлера з великою користю для себе вивчали і «король математиків» Карл Фрідріх Гаус, і практично всі знамениті вчені XVIII-XIX століть.

1.7. Адреси в Санкт-Петербурзі

З 1766 Ейлер проживав в прибутковому будинку за адресою: Миколаївська набережна, 15 (з перервою, викликаним сильною пожежею). За радянських часів вулиця була перейменована в «Набережну лейтенанта Шмідта». На будинку встановлено меморіальну дошку, зараз в ньому розташовується середня школа. [5]

2. Вклад в науку

Ейлер залишив найважливіші праці з найрізноманітніших галузей математики, механіки, фізики, астрономії та по ряду прикладних наук. З точки зору математики, XVIII століття - це століття Ейлера. Якщо до нього досягнення в галузі математики були розрізнені і не завжди узгоджені, то Ейлер вперше пов'язав аналіз, алгебру, тригонометрію, теорію чисел і ін. Дисципліни в єдину систему, і додав чимало власних відкриттів. Значна частина математики викладається з тих пір «по Ейлера».

Завдяки Ейлера в математику увійшли загальна теорія рядів, дивовижна за красою «формула Ейлера», операція порівняння з цілого модулю, повна теорія безперервних дробів, аналітичний фундамент механіки, численні прийоми інтегрування і рішення диференціальних рівнянь, число e, позначення i для уявної одиниці, гамма -функція з її оточенням і багато іншого.

По суті саме він створив кілька нових математичних дисциплін - теорію чисел, варіаційне числення, теорію комплексних функцій, диференціальну геометрію поверхонь, спеціальні функції. Інші області його праць: Діофантом аналіз, астрономія, оптика, акустика, статистика і т. Д. Пізнання Ейлера були енциклопедичні; крім математики, він глибоко вивчав ботаніку, медицину, хімію, теорію музики, безліч європейських і стародавніх мов.

Біографи відзначають [L 18], що Ейлер був віртуозним алгоритмісти. Він незмінно намагався довести свої відкриття до рівня конкретних обчислювальних методів.

Ейлер охоче брав участь у наукових дискусіях, з яких найбільшу популярність здобули [L 19]:

· Суперечка про струні.

· Суперечка з Д'Аламбером про властивості комплексного логарифма.

· Суперечка з англійським оптиком Джоном Доллонд (англ.) Про те, чи можливо створити ахроматичну лінзу.

У всіх згаданих випадках Ейлер відстоював правильну позицію.

2.1. теорія чисел

П. Л. Чебишев писав: «Ейлером було покладено початок всіх досліджень, що становлять загальну теорію чисел». Більшість математиків XVIII століття займалися розвитком аналізу, але Ейлер проніс захоплення древньої арифметикою через все своє життя. Завдяки його працям інтерес до теорії чисел до кінця століття відродився.

Ейлер продовжив дослідження Ферма, раніше який висловив (під впливом Діофанта) ряд розрізнених гіпотез про натуральні числа.Ейлер строго довів ці гіпотези, значно узагальнив їх і об'єднав їх в змістовну теорію чисел. Він ввів в математику виключно важливу «функцію Ейлера» і сформулював з її допомогою «теорему Ейлера». Ейлер створив теорію порівнянь і квадратичних відрахувань, вказавши для останніх критерій Ейлера.

Він спростував гіпотезу Ферма про те, що все числа виду - прості; виявилося, що F 5 ділиться на 641.

Довів твердження Ферма про подання непарного простого числа у вигляді суми двох квадратів.

Дав одне з рішень задачі про чотирьох кубах.

Ейлер довів Велику теорему Ферма для n = 3 і n = 4, створив повну теорію неперервних дробів, досліджував різні класи діофантових рівнянь, теорію розбиття чисел на складові.

Він відкрив, що в теорії чисел можливе застосування методів математичного аналізу, поклавши початок аналітичної теорії чисел. В основі її лежать тотожність Ейлера і загальний метод виробляють функцій.

Ейлер ввів поняття первісної кореня і висунув гіпотезу, що для будь-якого простого числа p існує первісний корінь по модулю p; довести це він не зумів, пізніше теорему довели Лежандр і Гаус. Велике значення в теорії мала інша гіпотеза Ейлера - квадратичний закон взаємності, також доведений Гауссом.

2.2. Математичний аналіз

Одна з головних заслуг Ейлера перед наукою - монографія «Введення в аналіз нескінченно малих» (1748). У 1755 році виходить доповнене «Диференціальне числення», а в 1768-1770 роках - три томи «Інтегрального обчислення». У сукупності це фундаментальний, добре ілюстрований прикладами курс, з продуманою термінологією і символікою, звідки багато перейшло і в сучасні підручники. Власне сучасні методи диференціювання і інтегрування були опубліковані в даних працях.

Підстава натуральних логарифмів було відомо ще з часів Непера і Якоба Бернуллі, однак Ейлер дав настільки глибоке дослідження цієї найважливішої константи, що з тих пір вона носить його ім'я. Інша досліджена їм константа: постійна Ейлера - Маськероні.

Він ділить з Лагранжем честь відкриття варіаційного обчислення, виписавши рівняння Ейлера - Лагранжа для загальної варіаційної задачі. У 1744 році Ейлер опублікував першу книгу з варіаційного числення ( «Метод знаходження кривих, що володіють властивостями максимуму або мінімуму»).

Ейлер значно просунув теорію рядів і розповсюдив її на комплексну область, отримавши при цьому знамениту формулу Ейлера. Велике враження на математичний світ справили ряди, вперше підсумовані Ейлером, в тому числі не піддавайся до нього нікому ряд зворотних квадратів:

Сучасне визначення показовою, логарифмічною і тригонометричних функцій - теж його заслуга, так само як їх символіка і узагальнення на комплексний випадок. [L 20] Формули, що їх називають в підручниках «умови Коші - Рімана», більш правильно було б назвати «умовами Даламбера - Ейлера ».

Він перший дав систематичну теорію інтегрування і використовуваних там технічних прийомів, знайшов важливі класи інтегрованих диференціальних рівнянь. Він відкрив ейлерови інтеграли - цінні класи спеціальних функцій, що виникають при інтегруванні: бета-функція і гамма-функція Ейлера. Одночасно з Клеро вивів умови інтегрованості лінійних диференціальних форм від двох або трьох змінних (1739). Перший ввів подвійні інтеграли. Зазнав серйозних результати в теорії еліптичних функцій, в тому числі перші теореми додавання.

З більш пізньої точки зору, дії Ейлера з нескінченними рядами не завжди можуть вважатися коректними (обгрунтування аналізу було проведено лише через півстоліття), але феноменальна математична інтуїція практично завжди підказувала йому правильний результат. Втім, справа була не тільки в інтуїції, Ейлер діяв тут досить свідомо, у багатьох важливих відносинах його розуміння сенсу розбіжних рядів і операцій з ними перевершувало стандартне розуміння XIX століття і послужило основою сучасної теорії розходяться рядів, розвиненою в кінці XIX - початку XX століття. [L 21]

2.3. геометрія

У елементарної геометрії Ейлер виявив кілька фактів, не помічених Евклидом:

· Три висоти трикутника перетинаються в одній точці (ортоцентром).

· У трикутнику Ортоцентр, центр описаного кола і центр тяжкості лежать на одній прямій - «прямий Ейлера».

· Підстави трьох висот довільного трикутника, середини трьох його сторін і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром, лежать все на одному колі (окружності Ейлера).

· Число вершин (В), граней (Г) і ребер (Р) у будь-якого опуклого багатогранника пов'язані простою формулою: В + Г = Р + 2.

Другий том «Введення в аналіз нескінченно малих» (1748) - це перший в світі підручник з аналітичної геометрії та основам диференціальної геометрії. Термін аффінниє перетворення вперше введений в цій книзі разом з теорією таких перетворень.

У 1760 році вийшли фундаментальні «Дослідження про кривизну поверхонь». Ейлер виявив, що в кожній точці гладкої поверхні є два нормальних перетину з мінімальним і максимальним радіусами кривизни, і площині їх взаємно перпендикулярні. Вивів формулу зв'язку кривизни перетину поверхні з головними кривизнами.

1771 рік: опубліковано твір «Про тілах, поверхня яких можна розгорнути на площину». У цій роботі введено поняття розгортається поверхні, тобто поверхні, яка може бути накладена на площину без складок і розривів. Ейлер, однак, дає тут цілком загальну теорію метрики, від якої залежить вся внутрішня геометрія поверхні. Пізніше дослідження метрики стає у нього основним інструментом теорії поверхонь.

2.4. комбінаторика

Ейлер багато уваги приділяв поданням натуральних чисел у вигляді сум спеціального виду і сформулював ряд теорем для обчислення числа розбиття.

Він досліджував алгоритми побудови магічних квадратів методом обходу шаховим конем.

При вирішенні комбінаторних завдань він глибоко вивчив властивості поєднань і перестановок, ввів в розгляд числа Ейлера.

2.5. Інші області математики

· Теорія графів почалася з рішення Ейлером задачі про сім мостах Кенігсберга.

· Метод ламаних Ейлера,

2.6. Механіка і математична фізика

Безліч робіт Ейлера присвячені математичній фізиці: механіці, гідродинаміці, акустиці і ін. У 1736 році вийшов трактат «Механіка, або наука про рух, в аналітичному викладі», що знаменує новий етап у розвитку цієї стародавньої науки. 29-річний Ейлер відмовився від традиційного геометричного підходу до механіки і підвів під неї строгий аналітичний фундамент. По суті, з цього моменту механіка стає прикладної математичної дисципліною.

У 1755 році публікуються «Загальні принципи руху рідин», в яких започатковано теоретичної гідродинаміки. Виведено основні рівняння гідродинаміки (рівняння Ейлера) для рідини без в'язкості. Розібрані рішення системи для різних окремих випадків.

У 1765 році в книзі «Теорія руху твердих тіл» Ейлер математично описав кинематику твердого тіла кінцевих розмірів (до нього досліджувався в основному рух точки). Він ввів в математику кути Ейлера і теорему обертання. Його ім'я також носять кінематична формула розподілу швидкостей в твердому тілі, рівняння (Ейлера - Пуассона) динаміки твердого тіла, важливий випадок інтегрованості в динаміці твердого тіла.

Ейлер узагальнив принцип найменшої дії, досить плутано викладений Мопертюи, і вказав на його основне значення в механіці. На жаль, він не розкрив варіаційний характер цього принципу, але все ж привернув до нього увагу фізиків, які пізніше з'ясували його фундаментальну роль в природі.

2.7. Астрономія

Ейлер багато працював в області небесної механіки. Він заклав основу теорії збурень, пізніше завершеною Лапласом, і розробив дуже точну теорію руху Місяця. Ця теорія виявилася придатною для вирішення нагальної задачі визначення довготи на морі, і англійське Адміралтейство виплатило за неї Ейлера спеціальну премію.

Основні праці Ейлера в цій області:

· «Теорія руху Місяця», 1753.

· «Теорія руху планет і комет» (лат. Theoria motus planetarum et cometarum) 1774.

· «Нова теорія руху Місяця», 1772.

Ейлер досліджував поле тяжіння не тільки сферичних, а й еліпсоїдальних тел, що представляло собою істотний крок вперед. [L 14]

2.8. Інженерна справа

У 1757 році Ейлер вперше в історії знайшов формули для визначення критичного навантаження при стисненні пружного стрижня. Однак в ті роки ці формули не могли знайти практичного застосування.

Майже сто років по тому, коли в багатьох країнах - і перш за все в Англії - стали будувати залізні дороги, треба було розрахувати міцність залізничних мостів. Модель Ейлера принесла практичну користь в проведенні експериментів.

3. Пам'ять

На честь Ейлера названі:

· Кратер Euler на Місяці.

· Астероїд 2002 Ейлер.

· Міжнародний математичний інститут ім. Леонарда Ейлера Російської Академії наук, заснований в 1988 році в Петербурзі.

· Благодійний фонд підтримки вітчизняних вчених. [6]

· Медаль (англ. Euler Medal), з 1993 року щорічно присуджується канадським Інститутом комбінаторики і її додатків (англ. Institute of Combinatorics and its Applications) за досягнення в цій галузі математики.

· Золота медаль імені Леонарда Ейлера Академії наук СРСР і Російської академії наук.

· Безліч понять в математиці та інших науках, див .: список об'єктів, названих на честь Леонарда Ейлера.

Повне зібрання творів Ейлера, що видається з 1909 року Швейцарським товариством дослідників природи, до сих пір не завершено; планується випуск 75 томів, з них вийшло 72. 8 додаткових томів будуть присвячені науковій листуванні Ейлера (понад 3000 листів [L 22]).

У 1907 році російські і багато інших вчених відзначили 200-річчя великого математика. Напередодні його 300-річчя (2007) в Петербурзі відбувся міжнародний ювілейний форум і був знятий фільм про життя Ейлера. [7] Центробанк РФ випустив пам'ятну монету [8] в ознаменування цієї події. Портрет Ейлера містився на швейцарську 10-франкову банкноту (6-я серія) і на поштові марки Швейцарії, Росії та Німеччини.

3.1. математичні олімпіади

Дуже багато фактів в геометрії, алгебри і комбінаторики, доведені Ейлером, повсюдно використовуються в олімпіадної математики.

15 квітня 2007 року була проведена інтернет-олімпіада для школярів з математики, присвячена 300-річчю від дня народження Леонарда Ейлера, що відбувалася за підтримки ряду організацій. [9] У грудні 2008 - березні 2009 року проводиться математична олімпіада імені Леонарда Ейлера для восьмикласників, покликана частково замінити їм втрату регіонального та заключного етапів Всеросійської математичної олімпіади для 8 класів. [10]

Список літератури:

1. Nicolas Fuss. Eulogy of Euler by Fuss (англ.). - Read at the Imperial Academy of Sciences of Saint Petersburg 23 October 1783.

2. Лист М.В. Ломоносова Л. Ейлера.

3. Історія Імператорської Академії Наук в Петербурзі Петра Пекарского. Том другий. Видання відділення російської мови і словесності Імператорської Академії Наук. Санкт-Петербург. Друкарня Імператорської Академії Наук. тисяча вісімсот сімдесят три

4. Володимир Захаров. «Олігархам вигідно, щоб населення Росії зменшилася». Известия-Наука (12 вересня 2003). - Ломоносов - це трагічна фігура в науці.

5.Див .: Будинок Л. Ейлера (А. Гітшова) (наб. Лейтенанта Шмідта, 15). Енциклопедія Санкт-Петербурга.

6. Див .: Ігор Макаров. Інвестиції в «чисту науку» // Санкт-Петербурзький університет: журнал. - 7 березня 2006 року - № 4 (3726).

7. Див .: Жителі Санкт-Петербурга першими побачили кінокартину «Про Ейлера». Радіостанція «Голос Росії» (18 квітня 2007).

8. 300-річчя від дня народження Л. Ейлера. Серія: Видатні особистості Росії. Центральний банк Російської Федерації (2 квітня 2007).

9. Інтернет-олімпіада для школярів, присвячена 300-річчю від дня народження Леонарда Ейлера.

10. Олімпіада ім. Леонарда Ейлера.

Джерело: http://ru.wikipedia.org/wiki/Эйлер,_Леонард