Екзаменаційні білети з аналітичної геометрії за перший семестр 2001 года

приблизний перелік екзаменаційних питань

аналітична геометрія

1. Лінія на площині. Її рівняння в декартовій системі координат. Поточні координати довільної точки лінії.

2. Рівняння першого ступеня щодо x, y. Загальне рівняння прямої на площині Oxy.

3. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Умови паралельності і перпендикулярності прямих, заданих рівняннями з кутовими коефіцієнтами.

4. Рівняння прямої, що проходить через задану точку із заданим кутовим коефіцієнтом.

5. Рівняння прямої на площині, що проходить через дві задані точки.

6. Рівняння прямої на площині по точці і направляючої вектору або канонічне рівняння прямої.

7. Рівняння прямої на площині по точці і нормальному вектору.

8. Умова паралельності та перпендикулярності прямих на площині, у яких задані направляючі вектори.

9. Умова паралельності та перпендикулярності прямих на площині, у яких задані нормальні вектори.

10. Кут нахилу між прямими на площині, заданими рівняннями з кутовим коефіцієнтом.

11. Визначення точок перетину прямих на площині за формулами Крамера.

12. Обчислення визначників другого і третього порядків.

13. Яке рівняння називають рівнянням даної поверхні.

14. Загальне рівняння площини.

15. Рівняння площини по нормальному вектору і заданій точці.

16. Рівняння площини у відрізках.

17. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.

18. Права трійка векторів. Векторний добуток двох векторів.

19. Змішане твір трьох векторів.

20. Рівняння площини, що проходить через три дані точки.

21. Пряма в просторі, задана перетином двох площин.

22. Параметричний рівняння прямої в просторі.

23. Канонічне рівняння прямої в просторі.

24. Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві задані точки.

25. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих у просторі.

26. Кут між площиною і прямою в просторі.

27. Умова паралельності прямої і площини в просторі.

28. Умова перпендикулярності прямої і площини в просторі.

29. Перехід від одного способу завдання прямої до іншого (на прикладах).

30. Рівняння другого ступеня на площині. Яку лінію називають кривою другого порядку на площині?

31. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи на площині.

32. Яке рівняння називають рівнянням другого порядку в просторі?

33. Що називається рівнянням поверхні в просторі Охуz?

34. Вироджені поверхні другого порядку.

35. невироджені поверхні другого порядку і їх канонічні рівняння.

36. Метод паралельних перерізів.

37. Еліпсоїд, його півосі. Дослідження його форми.

38. Однопорожнинний гіперболоїд, його півосі. Дослідження його форми.

39. Гіперболічний параболоїд, його параметри і форма.

40. Яка поверхня називається поверхнею обертання?

41. двопорожнинна гіперболоїд обертання, його форма.

42. Еліптичний параболоїд обертання і його форма.

43. Конус обертання і його вигляд.

44. Канонічні рівняння двопорожнинна гіперболоїда, конуса, еліпсоїда і еліптичного параболоїда з віссю обертання Oz; Ox; Oy.

45. Циліндри другого порядку. Їх рівняння. Типи циліндрів. Їх форма.

46. ​​Лінійчаті поверхні другого порядку.

47. Напишіть формули перетворення декартових прямокутних координат в просторі при паралельному зсуві осей.

48. Напишіть формули перетворення декартових прямокутних координат в просторі при повороті навколо осі Оz на кут a.

49. Приведення до канонічного вигляду рівняння поверхні другого порядку з центром на початку координат.

50. Яке рівняння є характеристичним для квадратичної форми?

51. Які числа називаються характеристичними числами квадратичної форми?

52. Приведення до канонічного вигляду загального рівняння поверхні другого порядку.

53. Чи можна встановити тип поверхні, знаючи характеристичні числа?

54. Знайти точку перетину прямих 3х - 4у + 10 = 0 і х + 5у - 3 = 0, використовуючи формули Крамера.

55. Доведіть, що дві прямі на площині паралельні, якщо = (2, 5) і = (-4, -10) - їх направляючі вектори.

56. Доведіть, що дві прямі на площині перпендикулярні, якщо = (-2, 3) і = (3, 4) - їх нормальні вектори.

57. З точки (3, -2, 4) опустити перпендикуляр на площину 5х + 3у - 7z + 1 = 0.

58. Знайти координати підстави перпендикуляра, опущеного з точки С (0,5) на пряму, що проходить через точки A (0, 1) і B (3, 3).

59. При якому значенні a пряма лежатиме на площині 3x - y - z - 3 = 0?

60. Знайти координати вектора, що представляє собою векторний добуток вектора = (1, 6, 0) і вектора (1, -1, -1).

61. Знайти загальне рівняння площини, що проходить через вісь Оу і точку М (3, 0, 2).

62. Знайти загальне рівняння площини, що проходить через вісь Оy і точку М (3, 0, 2).

63. Написати загальне рівняння площини, що проходить через початок координат.

64. Написати загальне рівняння площини, що проходить через вісь Оу.

65. Знайти спрямовує вектор прямої: .

66. Знайдіть рівняння площини, що проходить через три дані точки: М ₁ (0, 0, 0), М ₂ (2, -1, 2), М ₃ (0, -1, 1).

67. За допомогою визначника третього порядку знайти змішане добуток трьох векторів = (1, 2, 3), = (-1, 2, 4), = (1, 1, 0).

68. Меридіан 4x ² - z ² = 4 обертається навколо осі Оz. Яка поверхню другого порядку при цьому виходить?

69. Меридіан 2y = x ² обертається навколо осі Оy. Яка поверхню другого порядку при цьому виходить?

70. Меридіан = -1 обертається навколо осі Оz. Яка поверхню другого порядку при цьому виходить?

71. Меридіан x ² + z ² = 16 обертається навколо осі Оz. Яка поверхню другого порядку при цьому виходить?

72. Доведіть, що пряма лежить на Гіперболоїд .

73. Знайдіть точки перетину прямої: і сфери х ² + у ² + z ² = 100.

74. За допомогою якого перетворення координат приводиться до канонічного вигляду рівняння поверхні другого порядку ? Як називається ця поверхня?

75. Які площині симетрії має гіперболоїд ?

76. За характеристичним числам відповідної квадратичної форми з'ясувати, яку невироджених поверхню другого порядку визначає наступне рівняння: 4x ² - y ² - z ² - 4xz = 2?

77. За характеристичним числам відповідної квадратичної форми з'ясувати, яку невироджених поверхню другого порядку визначає наступне рівняння: 5x ² + 2y ² + z ² + 2xz = 5?

78. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку 5x ² + 2y ² + 7z ² - 4yx = 42. Визначити вид цієї поверхні.

79. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку 8x ² + 2y ² + 5z ² + 4yz = 48. Визначити вид цієї поверхні.

80. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку x ² + y ² + 2z ² - 8xy - 6xz + 24 = 0. Визначити вид цієї поверхні.

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 1

1. Яке число називається змішаним твором трьох векторів , , ?

2. За допомогою визначника третього порядку знайти змішане добуток трьох векторів = (1, 1, 3), = (-1, 0, 4), = (2, 1, 0).

3. Перерахуйте вироджені поверхні другого порядку.

4. Як називається лінія другого порядку, по якій площина
х = 1 перетинає гіперболоїд + У ² - z ² = 1? Напишіть рівняння цього перетину.

5. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку:
х ² + 3у ² - z ² + 6zу - 4 = 0.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 2

1. Як обчислюється визначник третього порядку ?
Обчислити визначник третього порядку .

2. Знайти координати точки перетину прямих у = 5х - 4 і .

3. Яка поверхня називається поверхнею другого порядку?

4. Меридіан = 1 обертається навколо осі Оz. Яка поверхню другого порядку при цьому виходить?

5. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку:
4х ² + 2у ² - 4ху-2yz- 4 = 0.Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 3

6. Напишіть умова паралельності прямих , .

7. Написати загальне рівняння площини, що проходить через вісь Оу.

8. Напишіть канонічне рівняння еліптичного параболоїда обертання.

9. Напишіть канонічне рівняння параболічного циліндра з твірною, паралельною осі Ох.

10. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку:
х ² + 2у ² + 3z ² - 4хz - 3 = 0.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 4

11. Що називається напрямних вектором прямої на площині або в просторі?

12. Знайти мішаний добуток трьох векторів (1, 2, 3), (-1, 1, 0),
(0, 3, 1).

13. Напишіть канонічне рівняння однополостного гіперболоїда обертання.

14. Які площині симетрії має еліпсоїд ?

15. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку
-x ² + 2y ² + 2z ² - 2yz = 6. Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 5

16. Напишіть умова паралельності прямих у = до ₁ х + b _1, y = до ₂ х + b _2.

17. Знайти загальне рівняння площини, що проходить через вісь Оу і точку М (2, 0,1).

18. Дайте визначення прямолінійною твірною поверхні другого порядку.

19. Знайдіть точки перетину прямої
і еліпсоїда х ² + у ² + .

20. За характеристичним числам відповідної квадратичної форми з'ясувати, яку невироджених поверхню другого порядку визначає наступне рівняння: 2x ² - 4y ² + z ² + 6xz = 10?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 6

21. Що називається нормальним вектором прямої на площині?

22. Знайти нормальний вектор площині, в якій лежать вектори
(2, 5, 0) і (3, 0, 2).

23. Який циліндр є циліндром другого порядку?

24. Напишіть канонічне рівняння кругового циліндра з твірною, паралельною осі Оz.

25. Напишіть характеристичне рівняння квадратичної форми:
3х ² + 4у ² + 6z ² -2xz і знайдіть її характеристичні числа.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 7

26. Який кут можуть утворювати нормальні вектори двох паралельних площин?

27. Знайти загальне рівняння площини, що проходить через вісь Ох і точку М (0, -1,1).

28. Напишіть канонічне рівняння параболічного циліндра. Який координатної осі паралельна утворює цього циліндра? Яка лінія другого порядку є направляючої цього циліндра?

29. Які площині симетрії має гіперболоїд ?

30. Напишіть характеристичне рівняння для даної квадратичної форми і знайдіть її характеристичні числа: 9х ² + 3у ² + 6z ² - 12ху.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 8

31. Як знайти нормальний вектор до площини, що проходить через два неколінеарних вектора?

32. Знайти канонічне рівняння прямої

33. Напишіть канонічне рівняння конуса обертання.

34. Напишіть канонічне рівняння кругового циліндра з твірною, паралельною осі Ох.

35. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку:
14х ² + 12У ² + 10z ² - 8ху - 8zу - 17 = 0.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 9

36. Напишіть рівняння прямої на площині по точці і направляючої вектору.

37. Знайти координати вектора, що представляє собою векторний добуток вектора = (1, 0, 1) на вектор (3, 1, -1).

38. Який вигляд має канонічне рівняння еліпсоїда обертання?

39. Які площині симетрії має параболоїд 2у = ?

40. Ось Оz є віссю обертання конуса з вершиною в початку координат, точка М (0, 1, 2) лежить на його поверхні. Скласти рівняння цього конуса.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 10

41. Відомо, що пряма в просторі з напрямних вектором паралельна площині з нормальним вектором . Як розташовані вектори і по відношенню один до одного?

42. Доведіть, що пряма лежить на площині х + у -3z + 17 = 0.

43. Напишіть канонічне рівняння еліптичного параболоїда.

44. Напишіть канонічне рівняння еліптичного циліндра з твірною, паралельною осі Оу.

45. За характеристичним числам відповідної квадратичної форми з'ясувати, яку невироджених поверхню другого порядку може визначати наступне рівняння: х ² + у ² + z ² - 2ху = 10.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 11

46. ​​Дайте визначення векторного добутку векторів і .

47. Точка М ₁ (1, -2, 2) є підставою перпендикуляра, опущеного з точки М ₂ (3, 0, -1) на площину. Знайти рівняння площини.

48. Що називається рівнянням поверхні в просторі Охуz?

49. Напишіть канонічне рівняння гіперболічного циліндра з твірною, паралельною осі Оу.

50. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку
5x ² + 2y ² + 7z ² - 4yx = 42. Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 12

51. Напишіть умова паралельності прямих в просторі.

52. Доведіть, що дві прямі на площині паралельні, якщо = (1, 2) і = (-2, -4) - їх направляючі вектори.

53. Що називається рівнянням другого ступеня відносно х, у?

54. Довести, що двопорожнинна гіперболоїд х ² + у ² - z ² = -1 має одну спільну точку з площиною х + 2z + 1 = 0, і знайти її координати.

55. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку
2x ² + y ² + z ² -8zy = 30. Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 13

56. Що називається кутом між прямою і площиною?

57. Знайти спрямовує вектор прямої .

58. Яка поверхня називається лінійчатої?

59.Меридіан = -1 обертається навколо осі Оz. Яка поверхню другого порядку при цьому виходить?

60. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку
6x ² + 5y ² + 6z ² - 8xz = 20. Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 14

61. Що називають змішаним твором трьох векторів?

62. Доведіть, що пряма лежить на площині
3x - 4y - z - 4 = 0.

63. Напишіть канонічне рівняння еліпсоїда обертання.

64. Довести, що еліптичний параболоїд 2z = + У ² має одну спільну точку з площиною 2х - 2у - z - 10 = 0, і знайти її координати.

65. За допомогою якого перетворення координат приводиться до канонічного вигляду рівняння поверхні другого порядку
2 (z - 1) = ? Як називається ця поверхня?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 15

66. Що називається поточними координатами на лінії F (х, у) = 0?

67. Знайти координати підстави висоти, опущеної з вершини B трикутника ABC, якщо вершини відомі: A (1, 1); B (2, 4); C (0, -1).

68. Напишіть канонічне рівняння двопорожнинна гіперболоїда обертання.

69. Які площині симетрії має конус ?

70. За характеристичним числам відповідної квадратичної форми з'ясувати, яку невироджених поверхню другого порядку може визначати наступне рівняння: х ² + у ² - 2уz = 12.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 16

71. Який кут можуть утворювати направляючі вектори двох паралельних прямих в просторі?

72. Знайти канонічне рівняння прямої

73. Напишіть канонічне рівняння однополостного гіперболоїда. Що називається півосями цього гіперболоїда?

74. Меридіан у ² + z ² = 4 обертається навколо осі Оz. Яка поверхню другого порядку при цьому виходить?

75. За характеристичним числам відповідної квадратичної форми з'ясувати, яку невироджених поверхню другого порядку визначає наступне рівняння: 6x ² + 2y ² - 6z ² - 2xy = 10?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 17

76. Що називається нормальним вектором площини?

77. Знайти координати підстави перпендикуляра, опущеного з точки С (1,1) на пряму, що проходить через точки A (1, 0) і B (2, -1).

78. Напишіть канонічне рівняння гіперболічного параболоїда.

79. Напишіть канонічне рівняння еліптичного циліндра з твірною, паралельною осі Оz.

80. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку:
2х ² + 6У ² + 6z ² + 4zу - 1 = 0.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 18

81. Напишіть умова паралельності двох площин.

82. Доведіть, що дві прямі на площині паралельні, якщо = (2, 7) і = (4, 14) - їх нормальні вектори.

83. Яким перетворенням можна привести до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку: ?

84. Напишіть канонічне рівняння еліптичного циліндра з твірною, паралельною осі Ох.

85. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку:
2х ² + у ² + 3z ² -4yz + 1 = 0. Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 19

86. Як знайти спрямовує вектор прямої в просторі, заданої як перетин двох площин?

87. Знайти координати підстави перпендикуляра, опущеного з точки С (0,1) на пряму, що проходить через точки A (1, 1) і B (2, 1).

88. Якого типу існують циліндри другого порядку?

89. Як називається лінія другого порядку, по якій площина
z = перетинає еліпсоїд х ² + у ² + ? Напишіть рівняння цього перетину.

90. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку
2x ² + 3y ² + 2z ² + 2xz = 9. Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 20

91. Як обчислюється визначник другого порядку ? обчислити .

92. Написати загальне рівняння площини, що проходить через початок координат.

93. Яка поверхня називається циліндричної (циліндром)?

94. Як називається лінія другого порядку, по якій площина
у = 1 перетинає гіперболоїд х ² + ? Напишіть рівняння цього перетину.

95. Напишіть характеристичне рівняння для даної квадратичної форми і знайдіть її характеристичні числа: 2х ² + 2у ² + 6z ² + 12хz.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 21

96. Напишіть умова перпендикулярності прямої і площини.

97. Доведіть, що пряма лежить на площині х + у - z +1 = 0.

98. Який вигляд має канонічне рівняння еліпсоїда? Які величини називають півосями еліпсоїда?

99. Знайдіть точки перетину прямої
і параболоїда 2z = х ² + у ^2.

100. Напишіть характеристичне рівняння для даної квадратичної форми і знайдіть її характеристичні числа: .

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 22

101. Який вигляд має рівняння площини, що проходить через три дані точки.

102. Знайти координати вектора, що представляють собою векторний добуток вектора (1, 1, 3) на вектор (0, 2, 1).

103. Який вигляд має канонічне рівняння однополостного гіперболоїда? Які величини називають півосями однополостного гіперболоїда?

104. Напишіть канонічне рівняння параболічного циліндра з твірною, паралельною осі Оz.

105. По характеристичним числам відповідної квадратичної форми з'ясувати, яку невироджених поверхню другого порядку визначає наступне рівняння: 2x ² + 2y ² + z ² + 8zy = 3?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 23

106. Напишіть умова перпендикулярності прямих у = до ₁ х + b _1, y = до ₂ х + b _2.

107. Знайдіть рівняння площини, що проходить через три дані точки:
М ₁ (1, 0, 0), М ₂ (0, 1, 0), М ₃ (0, 0, 2).

108. Напишіть формули перетворення декартових прямокутних координат в просторі при паралельному зсуві осей.

109. Доведіть, що пряма , Лежить на конусі .

110. За допомогою якого перетворення координат приводиться до канонічного вигляду рівняння поверхні другого порядку ? Як називається ця поверхня?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 24

111. Який кут утворюють нормальні вектори двох перпендикулярних площин?

112.Написати загальне рівняння площини, що проходить через вісь Оz.

113. Напишіть канонічне рівняння кругового циліндра.

114. Які площині симетрії має однопорожнинний гіперболоїд ?

115. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку
-x ² + 4y ² - z ² + 4xz = 24. Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 25

116. Що називається кутом між прямими на площині?

117. Знайти нормальний вектор площині, в якій лежать вектори
(2, -1, 2) і (0, 3, 1).

118. Напишіть формули перетворення декартових прямокутних координат в просторі при повороті навколо осі Оz на кут a.

119. Напишіть канонічне рівняння параболічного циліндра з твірною, паралельною осі Оу.

120. По характеристичним числам відповідної квадратичної форми з'ясувати, яку невироджених поверхню другого порядку визначає наступне рівняння: 4x ² - y ² - z ² - 4xz = 2?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 26

121. Напишіть умова паралельності прямих на площині, заданих рівняннями з кутовими коефіцієнтами.

122. Знайдіть рівняння площини, що проходить через три дані точки:
М ₁ (3, 0, 0), М ₂ (0, 1, 0), М ₃ (0, 0, 1).

123. Напишіть канонічне рівняння гіперболічного циліндра. Який координатної осі паралельна утворює цього циліндра? Яка лінія другого порядку є направляючої цього циліндра?

124. Знайдіть точки перетину прямої
і сфери х ² + у ² + z ² = 16.

125. По характеристичним числам відповідної квадратичної форми з'ясувати, яку невироджених поверхню другого порядку визначає наступне рівняння: 5x ² + 2y ² + z ² + 2xz = 5?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 27

126. Напишіть умова паралельності прямої і площини.

127. Знайдіть рівняння площини, що проходить через три дані точки:
М ₁ (3, 1, 0), М ₂ (1, 2, 0), М ₃ (0, 0, 0).

128. Напишіть канонічне рівняння двопорожнинна гіперболоїда. Що називається півосями цього гіперболоїда?

129. Які площині симетрії має параболоїд 2z = ?

130. Напишіть характеристичне рівняння квадратичної форми:
х ² -5у ² -z ² -10xz і знайдіть її характеристичні числа.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 28

131. Що називається рівнянням лінії на площині Оху?

132. З точки (3, -2, 4) опустити перпендикуляр на площину
5х + 3у - 7z + 1 = 0.

133. Які перетину називають конічними?

134. Доведіть, що пряма лежить на Гіперболоїд .

135. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку
x ² + y ² + z ² - 6yz = 4. Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 29

136. Який вигляд має рівняння прямої, що проходить через дві дані точки в просторі.

137. Знайти координати вектора, що представляє собою векторний добуток вектора = (2, -1, 1) на вектор (1, 1, 0).

138. Яка поверхня називається поверхнею обертання?

139. Напишіть канонічне рівняння гіперболічного циліндра з твірною, паралельною осі Оz.

140. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку
8x ² + 2y ² + 5z ² + 4yz = 48. Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 30

141. Напишіть умова перпендикулярності прямих в просторі.

142. Знайти координати підстави висоти, опущеної з вершини B трикутника ABC, якщо вершини відомі: A (0, 5); B (1, 3); C (3, 0).

143. Дайте визначення конічного перетину (коники).

144. Меридіан обертається навколо осі Oz. Яка поверхню другого порядку виходить?

145. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку
x ² + y ² + 2z ² - 8xy - 6xz + 24 = 0. Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 31

146. Який вектор називається векторним твором вектора на вектор ?

147. Доведіть, що дві прямі на площині перпендикулярні, якщо
= (3, -1) і = (2, 6) - їх нормальні вектори.

148. Напишіть канонічне рівняння еліптичного циліндра. Який координатної осі паралельна утворює цього циліндра? Яка лінія другого порядку є направляючої цього циліндра?

149. Доведіть, що пряма , Лежить на циліндричній
поверхні .

150. Напишіть характеристичне рівняння квадратичної форми:
х ² + 4у ² -2z ² -2xz і знайдіть її характеристичні числа.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 32

151. Відомо, що - направляючий вектор прямої в просторі, - нормальний вектор площини. Який кут можуть утворювати вектори і , Якщо пряма і площина перпендикулярні?

152. Знайти точку М ₀ (x _0, y _0, z ₀₎ перетину площини 5x - 2y + z = 1 і
прямий

153. Що називається поточними координатами на поверхні F (х, у, z) = 0?

154. Доведіть, що пряма лежить на параболоїда .

155. По характеристичним числам відповідної квадратичної форми з'ясувати, яку невироджених поверхню другого порядку визначає наступне рівняння: 4ху + 2х ² + 5у ² + 7z ² = 70.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 33

156. Що називається рівнянням першого ступеня відносно х, у, z?

157. Знайти загальне рівняння площини, що проходить через вісь Оz і точку М (1, 1,0).

158. Напишіть канонічне рівняння еліпсоїда.

159. Знайдіть точку перетину прямої
і гіперболоїда х ² + у ² - z ² = 1.

160. За допомогою якого перетворення координат приводиться до канонічного вигляду рівняння поверхні другого порядку ? Як називається ця поверхня?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 34

161. Напишіть умова перпендикулярності двох площин.

162. Доведіть, що дві прямі на площині перпендикулярні, якщо
= (3, 4) і = (-8, 6) - їх направляючі вектори.

163. Дайте визначення піввісь гіперболоїда і еліпсоїда.

164. Меридіан у ² - z ² = 1 обертається навколо осі Оz. Яка поверхню другого порядку при цьому виходить?

165. Наведіть до канонічного виду рівняння поверхні другого порядку
3x ² + 3y ² - z ² + 2xy = 12. Визначити вид цієї поверхні.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Квиток № 35

166. Напишіть умова перпендикулярності прямих на площині, заданих рівняннями з кутовими коефіцієнтами.

167. Знайти точку перетину прямих 2х + 3у - 5 = 0 і х - у = 0, використовуючи формули Крамера.

168. Напишіть рівняння другого ступеня відносно х, у, z.

169. Як називається лінія другого порядку, по якій площина перетинає еліпсоїд ? Напишіть рівняння цього перетину.

170. Напишіть характеристичне рівняння для даної квадратичної форми і знайдіть її характеристичні числа: 12х ² + 12z ² - 4у ² + 8ху.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------