Інтегральне числення. історичний нарис

.

Поняття інтеграл безпосередньо пов'язано з інтегральним обчисленням - розділом математики, які займаються вивченням інтегралів, їх властивостей і методів обчислення. Разом з диференціальним численням інтегральне числення становить основу математичного аналізу.

Витоки інтегрального числення відносяться до античного періоду розвитку математики і беруть початок від методу вичерпання, розробленого математиками Стародавньої Греції.

Метод вичерпання це набір правил для обчислення площ і обсягів, розробка яких приписується Евдоксу Книдская. Подальший розвиток метод отримав в роботах Евкліда, а особливим мистецтвом і різноманітністю застосування методу вичерпання славився Архімед.

Типова схема доказів методом вичерпування виглядала наступним чином. Для визначення величини A будувалася деяка послідовність величин С1, С2, ..., Сn, ... така, що

Передбачалося також відомим таке B, що

і що для будь-якого цілого K можна знайти досить велику n, що задовольняє умові:

Де D - постійно. Після громіздких міркувань з останнього виразу вдавалося отримати:

Як видно з наведеної схеми метод був заснований на апроксимації аналізованих об'єктів ступінчастими фігурами або тілами, складеними з найпростіших фігур або просторових тіл (прямокутників, паралелепіпедів, циліндрів і т.п., позначених послідовністю С1, С2, ..., Сn, ...). У цьому сенсі метод вичерпання можна розглядати як античний інтегральний метод.

Криза і занепад стародавнього світу привів до забуття багатьох наукових досягнень. Про метод вичерпання згадали лише в XVII столітті. Це було пов'язано з іменами Ісаака Ньютона, Готфріда Лейбніца, Леонарда Ейлера і ряду інших видатних вчених, що поклали основу сучасного математичного аналізу.

В кінці XVII і в XVIII столітті все зростаючі запити практики та інших наук спонукали вчених максимально розширювати область і методи досліджень математики. Поняття нескінченності, руху і функціональної залежності висуваються на перше місце, стають основою нових методів математики.

В кінці XVII і в XVIII столітті в математиці і механіці були отримані класичні результати фундаментального значення. Основним тут було розвиток диференціального й інтегрального числення, теорії диференціальних рівнянь, варіаційного обчислення і аналітичної механіки.

Основні поняття і теорія інтегрального і диференціального числення, перш за все зв'язок операцій диференціювання та інтегрування, а також їх застосування до вирішення прикладних завдань були розроблені в кінці XVII століття, але грунтувалися на ідеях, сформульованих на початку XVII столітті великим математиком і астрономом Йоганном Кеплером.

У листопаді 1613 року королівський математик і астролог австрійського двору І. Кеплер святкував весілля. Готуючись до неї, він придбав кілька бочок виноградного вина. При покупці Кеплер був вражений тим, що продавець визначав місткість бочки, виробляючи одне єдине дію - вимірюючи відстань від отвору для заливання води до найдальшої від нього точки днища. Адже такий вимір абсолютно не враховувало форму бочки! Кеплер відразу побачив, що перед ним дуже цікава математична задача - за кількома вимірами обчислити місткість бочки. Розмірковуючи над цим завданням, він знайшов формули не тільки для обсягу бочок, а й для обсягу найрізноманітніших тел: лимона, яблука, айви і навіть турецької чалми. Для кожного з тіл Кеплеру доводилося створювати нові, часто дуже хитромудрі методи, що було вкрай незручно. Спроба знайти досить загальні, а, головне, прості методи вирішення подібних завдань і привела до виникнення сучасного інтегрального числення. Але це вже була заслуга зовсім іншого математика.

Важко знайти інше ім'я, яке зробило б настільки сильний вплив на історію світової науки і культури, як Ісаак Ньютон. Відомий математик і історик науки Б. Л. Ван-дер-Варден пише в своїй книзі "пробуджує наука": "Кожен натураліст безумовно погодиться, що механіка Ньютона є основа сучасної фізики. Кожен астроном знає, що сучасна астрономія починається з Кеплера і Ньютона. І кожен математик знає, що самим значним н найбільш важливим для фізики відділом сучасної математики є аналіз, в основі якого лежать диференціальне й інтегральне числення Ньютона. Отже, праці Ньютона є основою величезної частини точних наук нашого часу ". І не тільки наук: "Математика і техніка впливають навіть на наше духовне життя, і настільки. що ми рідко можемо уявити це собі повністю. Слідом за надзвичайним злетом, яке пережило і XVII столітті природознавство, пішов неминуче раціоналізм XVIII століття, обожнювання розуму, занепад релігії ... Хто віддає собі звіт в тому, - запитує автор, - що з історичної точки зору Ньютон є найзначнішою фігурою XVII століття ? "

Ісаак Ньютон народився в 1643 році. Хлопчик відвідував спочатку сільську школу, а в дванадцять років його відправили вчитися в найближче місто. Директор школи звернув увагу на здібного хлопчика і умовив матір Ньютона відправити сина вчитися в Кембриджський університет. Ньютон був прийнятий туди в якості бідного студента, зобов'язаного прислужувати бакалаврам, магістрам і студентам старших курсів.

Кафедру математики в Кембриджі займав тоді молодий блискучий вчений Ісак Барроу. Він скоро став не тільки вчителем, а й другом Ньютона, а через кілька років поступився своєму великому учневі кафедру математики. До цього часу Ньютон отримав вже ступеня бакалавра і магістра. У 1665-1667 роках Ньютон почав працювати над створенням математичного апарату, за допомогою якого можна було б досліджувати і виражати закони фізики. Ньютон перший побудував диференціальне й інтегральне числення (він назвав його методом флюксий). Це відразу дозволило вирішувати найрізноманітніші, математичні і фізичні, завдання. До Ньютона багато функцій визначалися тільки геометрично, так що до них неможливо було застосовувати алгебру і нове літочислення флюксий. Ньютон знайшов новий загальний метод аналітичного подання функції - він ввів в математику і почав систематично застосовувати нескінченні ряди.

Пояснимо цю ідею Ньютона. Відомо, що будь-яка дійсна число можна представити десятковим дробом - кінцевої або нескінченної. Так. наприклад:

Це означає, що будь-яке число a можна представити у вигляді:

де N - ціла частина, а a1, a2, ... an, ... можуть приймати одне із значень 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За аналогією з таким поданням чисел ньютон припустив, що будь-яка функція від x, наприклад , Може бути представлена ​​як нескінченний многочлен або ряд, розташований вже не за ступенями , А за ступенями x:

де a1, a2, ... an, ...- коефіцієнти, які кожен раз повинні бути визначені. Прикладом такого ряду може служити відома нам геометрична прогресія:

Вивчення функцій за допомогою ряду дуже зручно. За допомогою рядів, як писав Ньютон, "вдається подолати труднощі, в іншому вигляді представляються майже нездоланними".

Одночасно з Ньютоном до аналогічних ідеям прийшов інший видатний учений - Готфрід Вільгельм Лейбніц.

Готфрід Вільгельм Лейбніц народився в Німеччині в м Лейпцигу в 1646 р Допитливий хлопчик уже 6 років вів цікаві бесіди з історії зі своїм батьком, професором Лейпцігського університету. До 12 років він добре вивчив латинську мову і захопився давньогрецьким. Особливо його цікавили стародавні філософи, і він міг довго роздумувати про філософських теоріях Аристотеля або Демокрита. У 15 років Лейбніц надходить і Лейпцизький університет, де старанно вивчає право і філософію. Він дуже багато читає, серед його улюблених книг - книги Р. Декарта, Г. Галілея, II. Кеплера і Д. Кампанелли.

Свої колосальні знання але математики Лейбніц придбав самоучкою. Через три роки, закінчивши університет, Лейбніц покинув Лейпциг. Він був ображений відмовою вченої ради університету присвоїти ому ступінь доктора прав. Відмову пояснили тим. що Лейбніц був ... занадто молодий!

Почалося життя, повна напруженої праці і численних подорожі. Легко собі уявити, як незручні були подорожувати в незграбних каретах по трясіння дорогах Європи тих часів. Лейбніц умів не втрачати часу дарма - багато вдалих думок прийшло йому і голову саме під час цих тривалих поїздок. Лейбніц відзначався винятковою здатністю швидко "входити" і завдання і вирішувати її найбільш загальним способом. Розмірковуючи над філософськими і математичними питаннями, Лейбніц переконався, що найнадійнішим засобом шукати і знаходити істину в науці може стати математика. Всю заспіваю свідоме життя він прагнув висловити закони мислення, людську здатність думати і вигляді математичного обчислення. Для цього необхідно, вчив Лейбніц, вміти позначати будь-які поняття або ідеї певними символами, комбінуючи їх в особливі формули, і зводити правила мислення до правил в обчисленнях але цим символічним формулами. Замінюючи oбичние слова чітко визначеними символами, Лейбніц прагнув позбавити наші міркування від будь-якої невизначеності і можливості помилитися самому або вводити в оману інших. Якщо, мріяв Лейбніц. між людьми виникнуть розбіжності, то вирішуватися вони будуть не в довгих і утомливих спорах. а так, як вирішуються завдання або доводяться теореми. Сперечальники візьмуть в руки пір'я і, сказавши: "Почнемо обчислювати" - візьмуться за розрахунки.

Як уже зазначалося, Лейбніц одночасно з Ньютоном і незалежно від нього відкрив основні принципи диференціального й інтегрального числення. Теорія придбала силу після того, як Лейбніцем і Ньютоном було доведено, що диференціювання та інтегрування - взаємно зворотні операції. Про цю властивість ховаю знав і Ньютон. Але тільки Лейбніц побачив тут ту чудову можливість, яку відкриває застосування символічного методу.

Будь-яка людина, вивчивши невелике число правил дії з символами, які позначають операції диференціювання і інтегрування, стає володарем потужного математичного методу. У наш час такі символи операцій називають операторами. Оператори диференціювання d () і інтегрування діють на функції, "переробляючи" їх в інші, точно обчислювані функції. Лейбніц розробляє особливу алгебру дій з цими операторами. Він доводить, що звичайне число а можна виносити за знак оператора:

Однакові оператори можна виносити за дужки:

або:

Скорочено всі перераховані властивості можна виразити співвідношенням:

де: a і b - числа.

Оператори. які мають таку властивість. називаються лінійними. Теорія лінійних операторів, яку з таким успіхом почав розвивати, Лейбніц ,. в сучасній математиці є добре розробленою і корисною в додатках теорією.

Багаторазове застосування операторів можна приймати як ступінь оператора, наприклад, для d ():

Те, що основні оператори математичного аналізу є взаємно зворотними Лейбніц підкреслював своєю символікою, стверджуючи, що в d (x) і також взаємно протилежні, як ступеня і коріння в звичайному обчисленні. Вживаючи так само позначення, аналогічне позначенню a-1 числа, зворотного a, причому твір a × a-1 = 1. позначаючи оператори або навпаки:

і розуміючи під їх твором послідовне їх застосування, маємо:

т. е. твір є "одиниця", що не міняє функцію.

Однак, в підході Ньютона-Лейбніца крилося серйозне протиріччя.

Лейбніц і його послідовники - брати Бернуллі, Лопиталь і інші - трактували диференціали як нескінченно малі різниці звичайних кінцевих величин, як тоді говорили - "реальних" величин "нижчої" математики. Тому вони зверталися з тими і іншими однаково і в обчисленні застосовували до перших ті ж прийоми, які справедливі при діях з другими. Разом з тим з'ясувалося, що таким чином трактуються нескінченно малим властива, що суперечить одному основному властивості основних кінцевих величин: якщо А - кінцева величина, а a - нескінченно мала, то, щоб результат обчислення виходив абсолютно точним, виявилося необхідним проводити обчислення в припущенні, що А + a = А.

Диференціальне числення, значення якого для розвитку науки і техніки було поза сумнівами, виявилося в парадоксальному становищі: щоб його методами отримати точний результат, треба було виходити з помилкового твердження.

Ньютон намагався обґрунтувати диференціальне числення на законах механіки і понятті межі. Але йому не вдалося звільнити своє літочислення флюксий від недоліків, властивих диференціального числення Лейбніца. У практиці обчислення Ньютон, як і Лейбніц, застосовував принцип відкидання нескінченно малих.

Така непослідовність дозволила назвати диференціальне числення Лейбніца-Ньютона містичним. Цим в першу чергу підкреслювалося, що Лейбніц і Ньютон вводили в диференціальне числення нескінченно малі величини метафізично, відразу вважаючи їх існуючими, без з'ясування їх виникнення і розвитку і без аналізу природи їх специфічних властивостей.

Спроби побудувати аналіз нескінченно малих і теорію рядів в повній відповідності з основними поняттями та істинами "нижчої" математики з самого початку до успішних результатів не привели. Тому Лейбніц і його послідовники намагалися виправдати принципи аналізу нескінченно малих шляхом порівняння нескінченно малої з піщинкою, якою можна знехтувати при обчисленні висоти гори, за допомогою посилань на ймовірність і т. П.

Інша спроба була зроблена в кінці XVIII століття. Відомий німецький математик Вессель запропонував залишити аналіз нескінченно малих в аналізі як "корисних допоміжних функцій". Однак, таке трактування широкого поширення не отримала - математики знали механічне і геометричне тлумачення dx і dy.

Приблизно з останньої чверті XVIII століття область додатків математичного аналізу починає значно перекривати кордони його звичайного застосування в механіці і геометрії. Ще швидше розгортається цей процес в першій чверті XIX століття.

Математики намагалися спочатку вирішувати нові завдання методами, розробленими класиками XVIII століття - Ейлером, Даламбером, Лагранжем і іншими. Однак, незабаром з'ясувалося, що методи класиків недостатні, що треба розвивати нові, більш загальні і сильні методи. З'ясувалося також, що недостатність методів класиків нерідко пов'язана з вузькістю трактування основних понять, з "Той, що виганяє" поняттям про нескінченно малому, з "винятками", які раніше залишалися в тіні.

Пояснимо сказане одним прикладом.

Ньютон і Лейбніц розробили два трактування поняття звичайного певного інтеграла.

Ньютон трактував певний інтеграл як різниця відповідних значень первісної функції:

,

де F` (x) = f (x).

Для Лейбніца певний інтеграл був сумою всіх нескінченно малих диференціалів.

.

Перша трактування відповідала техніці обчислення певних інтегралів за допомогою первісної підінтегральної функції, друга - тому, що в додатках певний інтеграл з'являвся як межа відомого виду суми (інтегральної суми).

Приблизно до останньої чверті XVIII століття перша трактування поняття певного інтеграла займала панівне становище. Цьому сприяли дві обставини.

До початку XVIII століття були встановлені правила диференціювання всіх елементарних функцій і почалася успішна розробка методів знаходження їх первісних (раціональних, окремих класів ірраціональних і трансцендентних функцій). Завдяки цьому точка зору Ньютона цілком відповідала розвитку ефективних алгоритмів інтегрального числення.

безпосереднє обчислення як межі інтегральної суми зіткнулося з багатьма труднощами. Природно, що ця обставина зміцненню точки зору Лейбніца не сприяло.

Тлумачення звичайного певного інтеграла по Лейбніца спиралося на поняття про нескінченно малих, від якого математики XVIII століття хотіли звільнити математичний аналіз. Це також сприяло зміцненню точки зору Ньютона. Факт цей добре підтверджувався тим, як Леонард Ейлер використовував поняття про інтегральної сумі. Ейлер не заперечував проти наближеного обчислення визначених інтегралів за допомогою відповідних інтегральних сум. Але розглядати певний інтеграл як межа інтегральної суми він не міг. В цьому випадку всі складові інтегральної суми ставали нескінченно малими, т. Е., З точки зору Ейлера, були нулями.

Історична довідка. У 1963 р 23-річний Пауль Ейлер закінчив курс теології в Базельському університеті. Але вчених теологів було в ті роки більше, ніж було потрібно, і лише в 1701 році він отримав офіційну посаду священика сирітського будинку в Базелі. 19 квітня 1706 р пастор Пауль Ейлер одружився на дочці священика. А 15 квітня 1707 р у них народився син, названий Леонардом.

Початкове навчання майбутній учений пройшов будинку під керівництвом батька, який навчався колись математики у Якоба Бернуллі. Добрий пастор готував старшого сина до духовної кар'єри, однак займався з ним і математикою - як у якості розваги, так і для розвитку логічного мислення. Хлопчик захопився математикою, став задавати батькові питання один складніше іншого.

Коли у Леонардо виявився інтерес до навчання, його направили в Базельську латинську гімназію - під нагляд бабусі.

20 жовтня 1720 р 13-річний Леонард Ейлер став студентом факультету мистецтв Базельського університету: батько бажав, щоб він став священиком. Але любов до математики, блискуча пам'ять і відмінна працездатність сина змінили ці наміри і направили Леонарда по іншому шляху.

Ставши студентом, він легко засвоював навчальні предмети, віддаючи перевагу математиці. І не дивно, що здатний хлопчик незабаром звернув на себе увагу Бернуллі. Він запропонував юнакові читати математичні мемуари, а по суботах приходити до нього додому, щоб спільно розбирати незрозуміле. У будинку свого вчителя Ейлер познайомився і потоваришував з синами Бернуллі - Миколою і Данилом, також захоплено займалися математикою. А 8 червня 1724г. 17-річний Леонард Ейлер вимовив по-латині чудову мова про порівняння філософських поглядів Декарта і Ньютона - і був удостоєний наукового ступеня магістра (в XIX ст. В більшості університетів Західної Європи вчений ступінь магістра була замінена ступенем доктора філософії).

Ейлер відрізнявся феноменальною працездатністю. Він просто не міг не займатися математикою або її додатками. У 1735 р Академія отримала завдання виконати термінове і дуже громіздке астрономічне обчислення. Група академіків просила на цю роботу три місяці, а Ейлер узявся виконати роботу за 3 дні - і впорався самостійно. Однак перенапруження не минуло безслідно: він захворів і втратив зір на праве око. Однак учений поставився до нещастя з найбільшим спокоєм: "Тепер я менше буду відволікатися від занять математикою", - філософськи зауважив він.

До цього часу Ейлер був відомий лише вузькому колу вчених. Але двотомне твір "Механіка, або наука про рух, в аналітичному викладі", видане в 1736 р, принесло йому світову славу. Ейлер блискуче застосував методи математичного аналізу до вирішення проблем руху в просторі і в чинять опір середовищі. "Той, хто має достатні навички в аналізі, зможе все побачити з надзвичайною легкістю і без будь-якої допомоги прочитає роботу повністю", - закінчує Ейлер своє передмову до книги.

Дух часу вимагав аналітичного шляху розвитку точних наук, застосування диференціального й інтегрального числення для опису фізичних явищ. Цей шлях і почав прокладати Леонард Ейлер.

Звичайно, і до останньої чверті XVIII століття концепція Ньютона стикалася з труднощами. У цей період зустрічалися елементарні функції, первісні яких не можуть бути виражені через елементарні функції. Знали математики і деякі невласні інтеграли, в тому числі і розходяться. Але такого роду факти були поодинокими і встановилася ефективної концепції інтеграла порушити не могли. Іншим виявилося положення в останній чверті XVIII і особливо на початку XIX століття.

З 70-х років XVIII століття рішення задач аналітичної механіки, фізики та інших дисциплін зажадало значного розвитку поняття певного інтеграла. Особливого значення набувають подвійні і потрійні інтеграли (Ейлер, Лагранж, Лаплас та ін.).

Це був час, коли великі ідеї Ньютона і Лейбніца були опубліковані порівняно недавно і сучасний математичний аналіз тільки створювався. Потужні методи, які принесли з собою ці ідеї, знаходили застосування у всіх галузях точного знання. Застосування це йшло рука об руку з розвитком самого аналізу, часто вказуючи шляхи та напрямки, за якими має розвиватися нове літочислення. Це була, мабуть, єдина за своєю інтенсивністю епоха математичного творчості, і Ейлер був один з небагатьох за своєю продуктивністю творців. Його "Введення в аналіз нескінченно малих", "Підстави диференціального обчислення" і "Підстави інтегрального числення" були першими трактатами, в яких вже великий, але розрізнений матеріал нового аналізу був об'єднаний в цільну науку. У них був вироблений той кістяк сучасного аналізу, який зберігся і до нашого часу.

Розробка прийомів обчислення подвійних і потрійних інтегралів показала, що обчислювати ці інтеграли так, як обчислювали звичайний певний інтеграл - за допомогою невизначеного, дуже важко або навіть неможливо. Тому математики змушені були зберігати концепцію Ньютона тільки на словах, а на ділі, при вирішенні завдань точних наук, стали на шлях Лейбніца. Вони обчислювали відповідні інтегральні суми (в прямокутних, циліндричних і сферичних координатах) і знаходили їх межі.

Коротше кажучи, розробка способів обчислення нових видів певного інтеграла показала, що звичайний, подвійний і т.д. певний інтеграли повинні бути обгрунтовані самі по собі незалежно від поняття невизначеного інтеграла. Але кожний доданок будь інтегральної суми є нескінченно малою величиною. Тим самим не тільки ставилося питання про легалізацію раніше "изгоняемого" поняття нескінченно малого, а й про розкриття його реального змісту і про відповідному його використанні. Як уже зазначалося, щоб все це зробити треба було подолати - узагальнити, розвинути традиційне (ейлерову) тлумачення функції і поняття межі.

У зв'язку з цим виникло питання про існування меж інтегральних сум, складові яких були б нескінченно малими. У першій чверті XIX століття поняття нескінченно малої виявилося необхідним і для вивчення і зіставлення властивостей безперервних і розривних функцій. Отримання основоположних результатів пов'язано тут з ім'ям Коші. "Між багатьма поняттями, - вказував Коші, - тісно пов'язаними з властивостями нескінченно малих, слід помістити поняття про безперервність і переривчастості функцій". Тут же Коші дає тлумачення безперервності функції, яке більш ніж ясно підтверджує ясність цього його затвердження.

Нова постановка задач обгрунтування математичного аналізу ясно показувала, що справа не тільки у визнанні і застосуванні нескінченно малих - це робили і раніше! - але перш за все в науковому тлумаченні їх змісту та обгрунтованому на цьому використанні їх в алгоритмах математичного аналізу. Однак, щоб це зробити треба було подолати пануюче в XVIII столітті вузьке тлумачення поняття межі, розробити загальну теорію меж.

Вивчення розривних функцій і зіставлення їх з функціями безперервними змусило визнати те, що раніше вважалося неможливим: що межа, до якого прагнути послідовність значень функції, при прагненні аргументу в деякій точці може виявитися відмінним від значення функції в цій точці. Значить, межа не завжди є "останнім" значенням змінної, але у всіх випадках межа є число, до якого змінна наближається необмежено. Отже, dx і dy не потрібно нулі або "містично" актуально нескінченно малі; нескінченно мала - це змінна, що має межею нуль, причому факт цей з протиріччями і парадоксами не пов'язаний.

Коші подолав і другу обмежувальну тенденцію в прийнятій до нього трактуванні поняття межі. Він визнав, що змінна може наближатися до своєї межі не тільки монотонно, але і вагаючись, часом беручи значення, рівні її межі. Ця обставина додало теорії Коші необхідну спільність і виняткову гнучкість. Ми до сих пір дотримуємося шляху, наміченому Огюстеном Луї Коші, з тими удосконаленнями, які були внесені в другій половині XIX століття К. Вейерштрассом.

Роботи Коші і Вейерштрасса завершили створення класичного математичного аналізу, Тим самим підвівши підсумок багатовікового розвитку інтегрального числення.

Список літератури

Большакова А. А. Три кризи у розвитку математики. Дипломна робота; Астрахань: АГПИ, 1996..

Дитяча енциклопедія для середнього та старшого віку. Т.2; М .: Просвещение, 1965.

Математична енциклопедія. Ред. Виноградова. Т.2; М .: Сов. Енциклопедія, 1979.

Фихтенгольц Г.М. Основи математичного аналізу. Т.1; М .: Наука, 1968.