Методичні вказівки до Виконання розрахунку роботи дослідження за помощью ЕОМ коливання системи

Міністерство транспорту України

Дніпропетровський державний технічний університет

залізничного транспорту

Кафедра "Теоретична механіка"

Методичні вказівки

ДО ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВОЇ

РОБОТИ "ДОСЛІДЖЕННЯ с помощью

ЕОМ коливання СИСТЕМИ З ОДНИМ

Ступені ВІЛЬНОСТІ "

Вільні коливання та вімушені коливання точки

прі не гармонічному збуренні

Частина ІІ

Укладачі: Л. А. Манашкін

Л. Г. Маслєєва

Д. Б. Астраханцев

А.Ю. Журавльов

Для студентів інших курсів

спеціальностей: 7.092107,

7.100501, 7.092202, 7.090603,

7.092203, 7.100502

Дніпропетровськ 2001

Зміст.

Вступ ................................................. .................................................. ....

1. постановка задачі
2. Складання діференціального Рівняння вімушеніх коливання механічної системи
3. Визначення амплітудно- та фозово- частотних характеристик системи
4. Розкладання Функції в ряд Фур'є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили
5. Дослідження вімушеніх коливання механічної системи.

5.1. Визначення (с помощью ЕОМ) "точного" решение діференціального Рівняння. Аналіз решение.

5.2. Підбір (с помощью ЕОМ) раціональної кількості гармонік в розкладенні Функції .

5.3. Побудова аналітичного решение діференціального Рівняння. Підбір раціональної кількості гармонік в розкладенні Функції .

1. Стислий характеристика програми .
2. Порядок подготовки вихідних Даних для Виконання розрахунку на ЕОМ.
3. Схеми механічніх систем та розрахункові дані до них.
4. Перелік літератури.

Вступ.

Друга частина розрахункової роботи по дослідженню коливання системи з одним ступенів вільності Включає завдання про дослідження малих вімушеніх коливання системи тіл з пружньою елементами (пружинами) при Дії на Одне з тіл системи періодічної збурюючої сили негармонічного типу. Рішення задачі зводу до визначення закону руху системи (в узагальненіх координатах) при Нульовий початкових условиях. При цьом вікорістовується як аналітичний метод решение задачі, так и метод чисельного інтегрування діференціального Рівняння руху системи з Використання персональної ЕОМ.

Методичні вказівки містять приклад Виконання розрахункової роботи. Тут пріведені такоже Стислий характеристика програми , Что розроблено для решение вищє вказаної задачі с помощью ЕОМ (авторизованого програми - студенти ф-ту УПП Астраханцев Д. Б., Журавльов А. Ю.), порядок подготовки вихідних Даних для Виконання на ЕОМ, схеми механічніх систем та розрахункові данні до них .

Виконання розрахункової роботи складається Із слідуючі етапів:

- складання діференціального Рівняння руху механічної системи (в узагальненіх координатах);

- Виконання розрахунку на ЕОМ;

- визначення аналітичного решение;

- зіставлення результатів розрахунків на ЕОМ и аналітичного решение.

постановка задачі

Методику дослідження малих коливання системи при Дії негармонічної періодічної сили розглянемо на Наступний прікладі.

Механічна система, что зображена на рис.1, складається з трьох тіл масою = 200 , = 0, = 800 , Та двох пружин жорсткістю та . Тіло 2 представляет собою суцільній однорідній диск радіуса , А Тіло 3 - ступінчатій диск ( м; м) з радіусом інерцій м.

Така механічна система має один степень вільності.

Нехай рух системи віклікається періодічною збурюючі силою , Что прикладом до тела 1 і відносіться до сил "прямокутна" типу (рис.) З параметрами кН, , де -амплітуда збурюючой сили, и - відповідно ее частота та период.

Будемо вважаті, что рух системи почінається Із положення статічної рівновагі.

Розрахунки Проведемо у Наступний порядку:

1.1. С помощью Рівняння Лагранжа ІІ-го роду складемо Рівняння руху механічної системи. За узагальнену пріймемо координату, яка візначає положення тела 1 відносно его положення статічної рівновагі: . При цьом коефіцієнт в'язки опору руху підберемо Із умови [], щоб Вільні коливання системи згасали до 0,1 початкової амплітуді за годину , Де Т - период Власний коливання системи.

Початкові умови задачі візьмемо Нульовий, так як рух системи почінається Із положення статічної рівновагі:

1.2. Візначімо (с помощью ЕОМ) амплітудно-частотних (АЧХ) та фазово-частотні (ФЧХ) характеристики системи.

1.3. Розкладемо функцію в ряд Фур'є и візначімо (с помощью ЕОМ) параметрів гармонік в розкладенні.

1.4. Візначімо (с помощью ЕОМ) решение діференціального Рівняння руху механічної системи для випадка, коли збурююча сила задається кусочно-лінійною функцією ( "точне" решение).

Розглянемо такоже випадок, коли сила задається сумою гармонік. При цьом встановімо, при якому раціональному значенні = функція візначається з 5% точністю (по відношенню до "точного решение").

Проаналізуємо характер колівального процесса при різніх значення < .

1.5. Користуючися АЧХ і ФЧХ системи та знайденімі параметрами гармонік у розкладенні сили , Побудуємо (за принципом суперпозіції) аналітичне решение діференціального Рівняння, руху механічної системи.

При цьом встановімо, при якому раціональне значені аналітичне решение візначається з 5% точністю по відношенню до "точного" решение.

Співставлення РІШЕНЬ будемо Проводити для контрольного моменту часу , Який рекомендується вібіраті Із умови: .

2. Складання діференціального Рівняння вімушеніх коливання механічної системи.

Рівняння вімушеніх коливання заданої механічної системи (рис.1) складемо с помощью Рівняння Лагранжа ІІ-го роду:

, ()

де и - узагальнена координата та ШВИДКІСТЬ, и - кінетічна и потенціальна ЕНЕРГІЇ системи відповідно, - функція розсіювання, - узагальнена непотенціальна сила.

Складемо вирази кінетічної ЕНЕРГІЇ системи в ее довільному положенні, ВРАХОВУЮЧИ, что Тіло 1 Виконує поступальний рух, а тела 2 і 3 - обертальній рух; при цьом швідкості усіх тіл віразімо через узагальнену ШВИДКІСТЬ :

;

; ; ; ;

= .

У виразі та - моменти інерції тіл 2 і 3 відносно центральної осі.

Позначімо коефіцієнт = , де - зведена маса системи. Тоді:

. ()

Складемо вирази потенціальної ЕНЕРГІЇ системи: , де - потенціальна енергія сил ваги, а - потенціальна енергія сил пружності, что діють на тела системи.

Обчіслемо потенціальну Енергію системи в ее довільному положенні як роботу потенціальніх сил на переміщенні системи Із довільного положення в положення статічної рівновагі:

;

,

де ; ;

тут , - статічні подовжений пружин; , - зміна довжина відповідної пружини при відхіленні системи від стану статічної рівновагі; , - подовжений пружини в довільному положенні системи.

Врахуємо, что , = , А в стані статічної рівновагі .

Вирази потенціальної ЕНЕРГІЇ системи та ее похідної ма ють вигляд:

;

.

При рівновазі системи ( ) Маємо:

, тобто .

Тоді вирази потенціальної ЕНЕРГІЇ системи пріймає вигляд:

= , ()

де = .

Функцію розсіювання будемо вважаті залежних від узагальненої швідкості , А ее похідну представимо у виде:

,

де - коефіцієнт в'язкості (дисипативний коефіцієнт).

До непотенціальніх сил, что діють на систему, відносіться только збурююча сила , Можлива робота якої ; тоді

.

Візьмемо відповідні Похідні и складемо Рівняння Лагранжа для заданої системи:

; ; 0; ;

= ;

;

;

;

, ()

де и .

Діференціальне Рівняння () представляет собою неоднорідне діференціальне Рівняння іншого порядку відносно узагальненої координати зі сталлю коефіцієнтамі.

Рішення задачі про дослідження вімушеніх коливання системи зводу до решение цього діференціального Рівняння при завданні початкових условиях задачі. Оскількі у Розглянуто випадки рух системи почінається Із стану статічної рівновагі, то Початкові умови будут Нульовий:

при : ; . ()

Як відомо, аналітичне решение Рівняння () складається Із суми двох РІШЕНЬ , де - загальне решение однорідного Рівняння, - Частина решение неоднорідного діференціального Рівняння.

Слід зауважіті, что решение в даного випадка (при відповідному підборі коефіцієнта ) Практично згасає через . Тоді получається, что при .

Візначімо чісельні значення параметрів системи та коефіцієнтів в рівнянні ():

= = 0,2 + 0 + = 0,2 + 0,056 = 0,256т;

= = + 10 = 3,56 + 10 = ^13,6кН. м ^-1;

= 7,29с ^-1; = 0,861с;

= ^{0,456кН. с.} м ^-1;

= = 0,891с ^-1.

Для Перевірки вірності визначення коефіцієнту рекомендується підрахуваті значення співмножніка в рішенні при = ^5.0,861 = 4,31с:

.

Таке значення співмножніка (Наближення до нуля) в рішенні підтверджує факт, что Вільні коливання системи на цею момент часу практично згасають; значити коефіцієнт Полтава вірно.

3. Визначення амплітудніх- та фазово-частотні характеристики системи.

Шляхом Виведення, с помощью ЕОМ, для заданої механічної системи з параметрами = 0,256т; = ^13,6кН. м ^-1; = ^{0,456кН. с.} м ^-1 получімо (Шляхом введення на Друкарський Пристрій - принтер) амплітудно- та фазово-частотніх характеристики системи та пріведемо їх на рис.2 и рис.3 (відповідно).

4. Розкладання Функції F (t) в ряд Фур'є та визначення параметрів гармонік збурюючої сили.

Розкладемо функцію в ряд Фур'є:

, ()

де - номер гармонікі, а - число гармонік в розкладенні.

Візначімо (с помощью ЕОМ) параметрів гармонік: амплітуді , частоти та початкової фази .

Для заданої сили "прямокутна" типу з параметрами кН, значення параметрів гармонік наведені у табл.1.

Таблиця 1.

5. Дослідження вімушеніх коливання механічної системи.

5.1. Визначення (с помощью ЕОМ) "точного" решение діференціального Рівняння. Аналіз решение.

Візначімо с помощью ЕОМ "точне" решение діференціального Рівняння для випадка, коли сила представлена ​​однією гармонікою ( = 1). Два графіка функцій для відповідніх віпадків віводяться на екран ЕОМ. Перед виводу графіків на Друкарський Пристрій їх треба "промасштабуваті", тобто получити решение на заданому відрізку інтегрування 0 , де рекомендується задаваті рівнім 8 10 . На рис.4 пріведені вказані графіки функцій для заданої механічної системи. Лінія 1 відображає "точне" решение, а лінія 2 - решение у випадка = 1 (тобто, коли ).

Із графіків видно, что Функції получаються періодічнімі, тобто рух механічної системи получається періодічнім-колівальнім. І в дере, и в іншому випадка при з процеси отримали явно усталенімі, тобто без вільніх коливання. Альо в "точному" рішенні даже при явно віражені две частоти - одна дорівнює (Див. Лінію 2 для випадка = 1; це частота Першої гармонікі), а друга частота - втрічі більша (це частота Другої гармонікі, див. табл. 1). Рішення, что відповідають лініям 1 і 2, значний відрізняються Одне від одного. Например, в момент часу з ( = 4,31с) значення м (точне решение) и м (випадок = 1).

5.2. Підбір (с помощью ЕОМ) раціональної кількості гармонік в розкладанні Функції .

Візначімо (с помощью ЕОМ) Функції для віпадків = 2, 3. На рис. 5, а, б лініямі 1 показані графіки для "точного" решение, а лініямі 2 - графіки тих же функцій для віпадків = 2; = 3 (відповідно). Із рисунків віпліває, что при = 2 графік відрізняється від "точного" решение, но в значний меншій степені, чем при = 1. А у випадка = 3 графік практично НЕ відрізняється від "точного" решение.

Значення відповідніх Функції при з становляться м ( = 2) и м ( = 3), тобто при = 2 різніця в значеннях відповідає D = 5,7%, а при = 3 - D = 3,7%.

За те, що бере результатами можна сделать Висновок, что для Отримання решение з 5% точністю достаточно взяти Кількість гармонік = 3 в розкладенні збурюючої сили в ряд Фур'є.

5.3. Побудова аналітичного решение діференціального Рівняння. Підбірраціональної кількості гармонік в розкладанні Функції .

Побудуємо аналітичне решение діференціального Рівняння (), запропонувавши збурюючу силу розкладенням в ряд Фур'є:

.

Врахуемо, что при решение практично згасає. Тоді для ціх моментів часу:

= . ().

Відмітімо, что решение змінюється з частотою , Яка є частотою відповідної гармонікі збурюючої сили.

Користуючися данімі табл. 1 та графікамі АЧХ и ФЧХ системи, візначімо значення коефіцієнта дінамічності та зсув фаз для

гармонік ( ), А такоже амплітуді коливання механічної системи , Что відповідають ЦІМ гармонікам.

Значення знайденіх величин зведемо у табл. 2.

Таблиця 2.

Номер гармонікі,	, З -1			, м	, м	, радий
1	2	0,274	1,08	0,0562	0,0607	0,088
2	6	0,823	2,63	0,0188	0,0497	0,076
3	10	1,37	1,06	0,0113	0,012	3,09
4	14	1,92	0,366	0,008	0,0029	3,09
5	18	2,47	0,195	0,006	0,0012	3,09

Із табл. 2 віпліває, что визначальності є амплітуді коливання Першої ( ) Та Другої ( ) Гармонікі в рішенні , Значення ціх амплітуд одного порядку; амплітуді третьої гармонікі ( ) Почти в 6 разів менше, а четверта ( ) - в 20 разів менше, чем амплітуді дерло двох гармонік. Цім пояснюється факт віділення частот дерло двох гармонік Функції в рішенні .

Обмежімося значення = 3 и побудуємо решение для випадка усталеніх вімушеніх коливання ( ). Оскількі (Табл. 1), решение має вигляд:

=

= (М).

Знайдемо значення узагальненої координати в момент часу з:

D = 4,2%.

Із розрахунків віпліває, что визначальності є значення решение для дере двох гармонік. при = 3 аналітичне решение добро збігається з "точним" рішенням на ЕОМ (відхилення решение НЕ перевіщує D = 5%).

6. Стислий характеристика програми .

Якщо треба - gardemarin@rambler.ru