Роль систем числення в історії комп'ютерів

Олексій Стахов

У передмові до книги Анрі Лебега "Вимірювання величин" академік А.Н. Колмогоров зауважує: "У математиків існує схильність, вже володіючи закінченої математичної теорією, соромитися її походження. У порівнянні з кристалічною ясністю розвитку теорії, починаючи з вже готових її основних понять і припущень, здається брудним і неприємним заняттям копатися в походження цих основних понять і припущень . весь будинок шкільної алгебри і весь математичний аналіз можуть бути споруджені на понятті дійсного числа без будь-якої згадки про вимірювання конкретних величин (довжин, площ, проміжків в часі і т.д.). Тому на різних ступенях навчання з різним ступенем сміливості незмінно виявляється одна і та ж тенденція: можливо швидше розправитися з введенням чисел і далі вже говорити тільки про числа і співвідношеннях між ними. Проти цієї тенденції і протестує Лебег ".

На жаль, щось подібне іноді спостерігається і в комп'ютерній науці. Володіючи розвиненою комп'ютерної теорією, комп'ютерні фахівці іноді забувають про ту роль, яку зіграли системи числення в історії комп'ютерів. Адже перші лічильні прилади (абаки і арифмометри), прообрази сучасних комп'ютерів, почали створюватися задовго до виникнення алгебри логіки, теорії алгоритмів - і головну роль при їх створенні зіграли саме системи числення. Про це не слід забувати, прогнозуючи подальший розвиток комп'ютерної техніки.

В історії систем числення виділяють кілька етапів: початкова стадія рахунку, непозиційної системи числення, алфавітні системи нумерації, помісні або позиційні системи числення. Початкова стадія рахунку "характеризується зображенням відраховувати множин за допомогою частин тіла, особливо пальців рук і ніг, паличок, вузлів мотузки і т.д. Як підкреслюється в статті І.Г. Башмакова і А.П. Юшкевича" Походження систем числення "(" Енциклопедія елементарної математики ", том 1," Арифметика ", 1951 рік),": незважаючи на крайню примітивність цього способу зображення, він зіграв виняткову роль в розвитку поняття числа ". І саме в цей початковий період було зроблено одне з найбільших відкриттів античної математики. Йдеться про поз ционном принципі представлення чисел. Як підкреслюється в згаданій вище статті Башмакова І.Г. і Юшкевіча А.П., "першою відомою нам системою числення, заснованої на помісному, або позиційному принципі, є шістдесяткова система древніх вавилонян, що виникла приблизно за 2000 років до н.е. ".

Для пояснення питання про її походження в історії математики виникло декілька конкуруючих гіпотез. М. Кантор спочатку припустив, що сумерійци (первинне населення долини Євфрату) вважали рік рівним 360 діб і що шістдесяткова система має астрономічне походження. За гіпотезою Г. кевич в долині Євфрату зустрілися два народи, з яких у одного була десяткова система числення, а в іншого підставою було число 6 (виникнення такої підстави кевич пояснює особливим рахунком на пальцях, в якому стиснута в кулак рука означала 6). Завдяки злиттю обох систем виникло "компромісне" підстава 60. Зауважимо, що гіпотези Кантора і кевич стосуються питання про походження підстави 60, але не самого позиційного принципу представлення чисел.

На останнє запитання відповідає гіпотеза Нейгебауера про вимірювальному походження позиційного принципу, викладена в книзі "Лекції з історії античних математичних наук" (т. 1 - "догреческого математика", 1937 г.). Відповідно до цієї гіпотези "основні етапи освіти позиційної системи в Вавилоні були такі: 1) встановлення кількісного співвідношення між двома самостійними існуючими системами мір і 2) опускання назв разрядових одиниць при листі". Ці етапи виникнення позиційних систем Нейгебауер вважає абсолютно загальними, підкреслюючи при цьому, що "позиційна шістдесяткова система: виявилася цілком природним кінцевим результатом тривалого розвитку, нічим принципово не відрізняється від аналогічних процесів в інших культурах".

Що стосується підстави 60, яке, на думку Нейгебауера, виникло як синтез вавілонських систем заходів, то більш переконливою все ж є гіпотеза Кантора про його "астрономічному" походження. Походження числа 60 в якості підстави вавілонської системи числення, а також чисел 12, 30 і 360 як вузлових чисел усіх календарних систем, систем вимірювання часу і кутових величин можна пояснити з позицій астрологічних і астрономічних знань і заснованих на них уявлень про гармонію Всесвіту. У Вавилоні і Єгипті з давніх часів при складанні календарів велике значення надавали найбільшої з планет-гігантів - Юпітера, який приблизно за 12 років робить повний оборот навколо Сонця. Не меншу роль грав також Сатурн, який здійснює повний оборот навколо Сонця приблизно за 30 років. Прийнявши 60 років в якості головного циклу Сонячної системи, укладачам стародавніх календарів вдалося ідеально узгодити цикли Юпітера (5x12 = 60) і Сатурна (2x30 = 60).

Гармонію Всесвіту з давніх часів символізували п'ять "правильних" геометричних тіл, званих "Платонове тілами". Особливу роль при цьому відігравав додекаедр - правильний 12-гранник, гранями якого є правильні п'ятикутник ( "пентаграми"). Звідси випливає, що число кутів на поверхні Додекаедр одно 5x12 = 60 (що відповідає 60-річному циклу). Додекаедр має 30 ребер (що відповідає циклу Сатурна) і 12 граней (що відповідає циклу Юпітера), а твір цих чисел 30x12 = 360. Дотримуючись магічної числової символіки Додекаедр, яка відображала числову гармонію циклів Юпітера і Сатурна, стародавні вавілоняни і вибрали число 60 як підстава своєї системи числення, а стародавні єгиптяни прийшли до думки розбити рік на 12 місяців (число граней Додекаедр), кожен з яких містив рівно 30 днів (число ребер Додекаедр). Таким і був єгипетський календар, створений у четвертому тисячолітті до н.е. У цьому календарі рік складався з 365 днів. Він ділився на 12 місяців по 30 днів кожен, в кінці року додавалося п'ять святкових днів, які, однак, не входили до складу місяців. Зауважимо, що в своїй системі вимірювання часу і кутових величин єгиптяни також використовували "магічні" числа Додекаедр (1 доба = 24 (2x12) години, 1 година = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секунд, 2p = 360╟, 1╟ = 60 ').

Поява позиційної системи позначення чисел вважається однією з основних віх в історії матеріальної культури. У її створенні брали участь цілі народи. У 6 ст. н.е. подібна система виникла у племені майя. Найбільш поширена думка, що основою системи числення майя є число 20, що має "пальцеве" походження. Однак відомо, що в системі майя є один відступ від двадцатерічная підстави. Вага наступного за вузловим числом 20 індіанці майя вибрали рівним 360 (а не 400). Усі наступні ваги розрядів є похідними від чисел 20 і 360, які і виступають в ролі вузлових чисел, що утворюють систему майя. Як підкреслюється в згаданій вище статті Башмакова І. Г. та Юшкевіча А. П., це "пояснюється тим, що рік майя ділили на 18 місяців, по 20 днів в кожному, плюс ще п'ять днів". Таким чином, як і підстава вавілонської системи, вузлові числа системи майя мають астрономічне походження. Істотно підкреслити, що річний календар майя за своєю структурою (360 + 5) збігався з єгипетським календарем. З огляду на високий рівень розвитку культури майя, можна висловити припущення, що майя були знайомі з "Платоновим тілами" і що їх річний календар був пов'язаний з ікосаедра - правильним тілом, двоїстим додекаедрів. Ікосаедр є правильний 20-гранник, гранями якого були правильні трикутники (звідси поділ місяця на 20 днів у календарі майя і вибір числа 20 в якості першого вузлового числа їх системи числення). Ікосаедр має 30 ребер (як і у додекаедру) і 12 вершин (30x12 = 360). У кожній вершині сходиться 5 кутів, тобто загальне число кутів на поверхні ікосаедра одно 5x12 = 60. Таким чином, числові характеристики ікосаедра також пов'язані з 12-, 30- і 60-річними циклами Сонячної системи.

Ми для повсякденних обчислень використовуємо десяткову систему числення, попередницею якої є індуська десяткова система, що виникла приблизно в XII-му столітті нашої ери. Відомий французький математик Лаплас (1749-1827) висловив своє захоплення позиційним принципом і десятковою системою в наступних словах:

"Думка висловлювати все числа дев'ятьма знаками, надаючи їм, крім значення за формою, ще значення за місцем, настільки проста, що саме через цю простоту важко зрозуміти, наскільки вона дивовижна. Як нелегко було прийти до цієї методі, ми бачимо на прикладі найбільших геніїв грецької вченості Архімеда і Аполлонія, від яких ця думка залишилася прихованою ".

Лаплас (1749-1827)

Переконаним прихильником використання індо-арабської десяткової системи числення в торговельній практиці був відомий італійський математик Леонардо Пізанський (Фібоначчі), який отримав математичну освіту в арабських країнах. У своєму творі "Liber abaci" (одна тисяча двісті дві) він писав:

"Дев'ять індуських знаків - суть наступні: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. За допомогою цих знаків і знака 0, який називається по-арабськи zephirum, можна написати яке завгодно число".

Тут словом "zephirum" Фібоначчі передав арабське "as-sifr", що є дослівним перекладом індуського слова "sunya", тобто "порожнє", що служило назвою нуля. Слово "zephirum" дало початок французької та італійської слову "zero" (нуль). З іншого боку, той же арабське слово "as-sifr" було передано через "ziffer", звідки пішли французьке слово "chiffre", німецьке "ziffer", англійське "cipher" і російське "цифра".

Леонардо Пізано Фібоначчі (1170-1228)

Що стосується вибору числа 10 в якості підстави десяткової системи числення, то існує загальноприйнята думка, що воно має "пальцеве" походження. Однак не слід забувати, що в стародавній науці число 10 завжди несло в собі особливу смислове навантаження. Піфагорійці називали його четверіци або тетрактиди. Говорячи словами Емпедокла в ньому - "вічно поточної природи: корінь своє джерело". Четверіца 10 = 1 + 2 + 3 + 4 вважалася упіфагорійців однієї з вищих цінностей і була "символом всього Всесвіту", так як містила в собі чотири "основні елементи": одиницю або "Монада", що позначає, за Піфагором, дух, з якого виникає весь видимий світ; двійку, або "диаду" (2 = 1 + 1), що символізує матеріальний атом; трійку, або "тріаду" (3 = 2 + 1), тобто символ живого світу; і нарешті, четвірку, або "тетраду", (4 = 3 + 1), що з'єднувала живий світ з монадой і тому символізувала ціле, тобто "видиме і невидиме". А оскільки тетрактиди 10 = 1 + 2 + 3 + 4, то вона висловлювала собою "Все". Таким чином, гіпотеза про "гармонійному" походження числа 10 має не менше право на існування, як і "пальцева".

У сучасній науці з розвитком комп'ютерної техніки на перші ролі висунулася двійкова система числення. Її зачатки спостерігаються у багатьох народів. Наприклад, у стародавніх єгиптян широкого поширення набули методи множення і ділення, засновані на принципі подвоєння. Винахід довічного способу нумерації приписують китайському імператору Фо Гі, життя якого відноситься до 4-го тисячоліття до нової ери. Виявляється, до відкриття двійкової системи числення були причетні багато осіб математики, зокрема, Фібоначчі. У своїй книзі "Liber abaci" він сформулював "завдання про вибір найкращої системи вагових гирь для зважування вантажів на важільних вагах". У російській історико-математичної літератури ця задача відома під назвою Баше-Менделєєва на честь французького математика 17-го століття БАШЕЄВ де Мезіріак, помістив її в своєму "Збірнику приємних і цікавих завдань" (1612 г.), і видатного російського хіміка Дмитра Івановича Менделєєва , який до кінця життя став директором Головної Палати мір і ваг Росії і цікавився цим завданням за обов'язком своєї служби.

Відомо два варіанти вирішення завдання БАШЕЄВ-Менделєєва.Перший передбачає, що гирі дозволяється класти тільки на одну, вільну від вантажу чашу терезів; при цьому оптимальним рішенням є "двійкова система гир": 1, 2, 4, 8, 16,:, яка при зважуванні "породжує" двійковий спосіб представлення чисел. При другому варіанті гирі дозволяється класти на обидві шальки терезів; оптимальним рішенням при цьому є "потрійна система гир": 1, 3, 9, 27,:, яка при зважуванні "породжує" трійкову симетричну систему числення, яка і була покладена Н. П. Брусенцова в основу потрійного комп'ютера "Сетунь".

Але автор двійковій арифметики в історії науки достеменно відомий: це відомий німецький математик Лейбніц (1646-1716), який в 1697 р розробив правила двійкової арифметики. Лейбніц настільки був захоплений своїм відкриттям, що в його честь випустив спеціальну медаль, на якій були дані виконавчі зображення початкового ряду натуральних чисел - можливо, це був той рідкісний випадок в історії математики, коли математичне відкриття було удостоєне такої високої почесті.

Лейбніц (1646-1716)

Лейбніц, однак, не рекомендував двійкову арифметику для практичних обчислень замість десяткової системи, але підкреслював, що "обчислення за допомогою двійок, тобто 0 і 1, в винагороду його длиннот є для науки основним і породжує нові відкриття, які виявляються корисними згодом, навіть в практиці чисел, а особливо в геометрії: причиною чого є та обставина, що при зведенні чисел до найпростіших початків, які 0 і 1, скрізь виявляється чудовий порядок ".

Блискучі передбачення Лейбніца збулися тільки через два з половиною століття, коли видатний американський вчений, фізик і математик Джон фон Нейман запропонував використовувати саме двійкову систему числення як універсального способу кодування інформації в електронних комп'ютерах ( "Принципи Джона фон Неймана").

Джон фон Нейман (1903-1957)

Таким чином, як підкреслюють багато видатних математики, відкриття вавилонянами позиційного принципу, а потім індусами десяткової системи числення, заснованої на позиційному принципі, а також розробку Лейбніцем двійковій арифметики по праву можна віднести до розряду дійсно епохальних математичних відкриттів, які суттєво вплинули на розвиток матеріальної культури, зокрема, на розвиток комп'ютерної техніки.

Чому ж в теорії чисел і в теоретичній арифметиці системам числення не приділялося тієї уваги, якого вони безсумнівно заслуговували? Вся справа - в традиції. В античній науці, що досягла високого рівня розвитку, вперше відбулося збереглося до наших днів поділ математики на "вищу" куди ставилися геометрія і теорія чисел, і "логістику" - прикладну науку про техніку арифметичних обчислень ( "шкільна" арифметика), геометричних вимірах і побудовах . Вже з часу Платона логістика третирувати як нижча, прикладна дисципліна, яка не входить в коло освіти філософа і вченого. Висхідний до Платону зневажливе ставлення до шкільної арифметики і її проблем, а також відсутність будь-якої досить серйозною потреби в створенні нових систем числення в практиці обчислень, яка протягом останніх століть цілком задовольнялася десятковою системою, а в останні десятиліття - двійковій системою (в інформатиці ), може служити поясненням того факту, що в теорії чисел системам числення не приділялося належної уваги і в цій частині вона не набагато пішла вперед у порівнянні з періодом свого зародження я.

Ситуація різко змінилася після появи сучасних комп'ютерів. Саме в цій області знову проявився інтерес до способів представлення чисел і новим комп'ютерним арифметика. Вся справа в тому, що класична двійкова система числення має ряд принципових недоліків, головними з яких є: проблема представлення негативних чисел і "нульова" надмірність класичного двійкового способу представлення чисел.

Особливо неприємний другий недолік. "Нульова" надмірність двійкового представлення означає, що в системі числення відсутній механізм виявлення помилок, які, на жаль, неминуче виникають в комп'ютерних системах під впливом зовнішніх і внутрішніх факторів. В умовах, коли людство все більше стає заручником комп'ютерної революції і все частіше покладається на комп'ютер при вирішенні найскладніших завдань управління ракетами, літаками, атомними реакторами, питання про ефективні механізми виявлення помилок висувається на передній план. Ясно, що комп'ютери, засновані на двійковій системі числення, не завжди можуть ефективно вирішувати цю проблему.

Щоб подолати зазначені недоліки двійкової системи, вже на етапі зародження комп'ютерної ери був виконаний ряд проектів і зроблено кілька цікавих математичних відкриттів, пов'язаних з системами числення. Мабуть, найбільш цікавим проектом в цьому відношенні є трійчастий комп'ютер "Сетунь", розроблений в Московському університеті під керівництвом Н. П. Брусенцова. Використання в ньому так званої троичной симетричною системи числення для подання чисел вперше в історії комп'ютерів поставило знак рівності між негативними і позитивними числами, дозволивши відмовитися від різних "хитрощів" (зворотний і додатковий код), що використовуються для представлення негативних чисел. Ця обставина, а також використання "троичной логіки" при створенні програм призвело до створення досить досконалою архітектури, яка і була втілена в моделі "Сетуни". Саме "Сетунь" є найбільш яскравим історичним прикладом, що підтверджує вплив системи числення на архітектуру комп'ютера!

Однак на зорі комп'ютерної ери було зроблено ще два відкриття в області позиційних способів представлення чисел, які, однак, мало відомі і які в той період не привернули особливої ​​уваги математиків і інженерів.

У 1939 р бельгійський лікар Едуард Цекендорфа, захоплювався числами Фібоначчі, опублікував статтю, присвячену так званим "сумам Цекендорфа". Під поданням Фібоначчі-Цекендорфа розуміється наступний позиційний спосіб представлення чисел:

N = a _n F (n) + a _n-1 F (n-1) + ... + a _i F (i) + ... + a ₁ F (1); (1)

де a _i = {0, 1} - двійкова цифра i-го розряду подання; n - розрядність подання; F (i) - число Фібоначчі, що задається за допомогою наступного рекурентного співвідношення:

F (i) = F (i-1) + F (i-2);

F (1) + F (2) = 1;

Однак найбільш революційною пропозицією в сучасній теорії систем числення по праву можна вважати систему числення з ірраціональним підставою, запропоновану в 1957 р американським математиком Джорджем Бергманом. Під "Тау-системою", або системою Бергмана, розуміється наступний спосіб представлення дійсного числа А:

де a _i - двійкові цифри, 0 або 1; i = 0, +1, +2, +3; τ ⁱ - вага i-й цифри в поданні; τ - основа системи числення.

На перший погляд може здатися, що в система Бергмана не являє собою нічого особливого в порівнянні з традиційним позиційним поданням, але це тільки на перший погляд. Вся суть полягає саме в тому, що основою системи числення є знамените ірраціональне число

, Яке є коренем наступного алгебраїчного рівняння:

x ² = x + 1

Будучи коренем зазначеного алгебраїчного рівняння, "золота пропорція" володіє наступним математичним властивістю:

τ ⁿ = τ ^n-1 + τ ^n-2,

де n приймає значення з наступного безлічі: 0, +1, +2, +3 ...

Саме в цю обставину (ірраціональне підставу τ) криється причина низки "екзотичних" властивостей "системи Бергмана" (більш докладно про неї можна дізнатися на Web-сайті "Музей Гармонії і Золотого Перетини", (http: //www.goldenmuseum.zibys. com /).

Істотно підкреслити, що "Тау-система" перевертає наші традиційні уявлення про системи числення, більш того - традиційне співвідношення між числами раціональними і ірраціональними. В "Тау-системі" підставою, тобто початком числення, є деяке ірраціональне ставлення τ, за допомогою якого, використовуючи систему (2) можна представити всі інші числа, включаючи натуральні, дробові і ірраціональні.

Ідеї ​​Цекендорфа і Бергмана отримали подальший розвиток у роботах автора цієї статті. У книзі "Введення в алгоритмічну теорію вимірювання" (1977 р) подання Фібоначчі-Цекендорфа було узагальнено за допомогою поняття р-коду Фібоначчі, заснованого на р-числах Фібоначчі, і розроблена арифметика Фібоначчі для таких уявлень.

Під р-кодом Фібоначчі розуміється наступний спосіб представлення натурального числа N:

N = a _n F _p (n) + a _n-1 F _p (n-1) + ... + a _i F _p (i) + ... + a ₁ F _p (1), (3)

де a _i = {0, 1} - двійкова цифра i-го розряду подання; n - розрядність подання; F _p (i) - р-число Фібоначчі, що задається за допомогою наступної рекурентної формули:

F _p (i) = F _p (i-1) + F _p (ip-1); (4)

F _p (1) = F _p (2) = ... = F _p (p + 1) = 1, (5)

де р - ціле невід'ємне число, що приймає значення з множини {0, 1, 2, 3 ...}.

Зауважимо, що поняття "р-коду Фібоначчі" включає в себе нескінченне число уявлень, так як кожному р відповідає своє уявлення; при цьому для випадку р = 0 р-код Фібоначчі вироджується в класичне двійкове подання, а для випадку р = 1 - в уявлення Фібоначчі-Цекендорфа. При р = x будь р-число Фібоначчі дорівнює 1, а це означає, що р-код Фібоначчі зводиться до так званого "унітарному кодом":

N = 1 + 1 +: + 1;

А це, в свою чергу, означає, що р-коди Фібоначчі як би заповнюють прогалину між класичною двійковій системою числення і унітарною кодом, включаючи їх в якості приватних крайніх випадків.

У книзі "Коди золотої пропорції" (1984 г.) з використанням так званих узагальнених золотих пропорцій була узагальнена система числення Бергмана. Такі способи представлення чисел були названі кодами золотої пропорції.

Під кодами золотої пропорції розуміються наступні способи представлення дійсного числа А:

де a _i - двійкові цифри, 0 або 1; i = 0, +1, +2, +3 ...; τ _p ⁱ - вага i-й цифри в поданні; τ _p - "золота р-пропорція", що є дійсним коренем наступного алгебраїчного рівняння:

τ ^{p + 1} = τ ^p + 1,

де ціле число р приймає значення з множини {0, 1, 2, 3 ...}.

Зауважимо, що при р = 0 рівняння золотий р-пропорції вироджується в тривіальне рівняння x = 2, і при цьому tp = 2; при р = 1 воно вироджується в рівняння для класичної золотої пропорції і корінь τ _p збігається з класичною золотою пропорцією.

Будучи коренем зазначеного алгебраїчного рівняння, "золота р-пропорція" володіє наступним математичним властивістю:

τ _p ⁱ = τ _p ^n-1 + τ _p ^pn-1 = τ _p × τ _p ^n-1

, Де n приймає значення з наступного безлічі: 0, +1, +2, +3...

Зауважимо, що код золотий пропорції (6) є досить широким узагальненням класичної двійкової системи числення (випадок р = 0) і системи Бергмана (р = 1). При р = x код золотий пропорції зводиться до "унітарному кодом".

Таким чином, р-коди Фібоначчі (3) і коди золотий р-пропорції (6) є не що інше, як вельми широке узагальнення класичного двійкового представлення. Для представлення чисел вони використовують ті ж виконавчі символи 0 і 1 і за формою подання нічим не відрізняються від класичного двійкового коду. Різниця між ними виникає тільки на етапі інтерпретації ваг двійкових розрядів. Наприклад, одна і та ж комбінація двійкових знаків 1001101 представляє в двійковій системі числення різні числа, а саме число 45 = 26 + 23 + 22 + 20 в класичній двійковій системі числення, число 19 = 13 + 3 + 2 + 1 в коді Фібоначчі ( 1) і число А = τ ⁶ + τ ³ + τ ² + τ ⁰ - в "Тау-системі" (2), де

золота пропорція. Зауважимо, що число А є ірраціональним числом! А це означає, що в "Тау-системі" ми можемо представляти деякі ірраціональні числа у вигляді кінцевої сукупності бітів! В цьому і полягає перший несподіваний результат, що випливає з теорії кодів золотої пропорції.

Основна перевага кодів Фібоначчі та кодів золотої пропорції для практичних застосувань полягає в їх "природною" надмірності, яка може бути використана для цілей контролю числових перетворень. Ця надмірність проявляє себе у властивості "Емножественності" уявлень одного і того ж числа. Наприклад, число 19 в коді Фібоначчі має і інші кодові подання:

19 = 1001101 = 1010001 = 1010010 = 0111101

При цьому різні кодові уявлення одного і того ж числа можуть бути отримані одна з іншого за допомогою спеціальних фібоначчійовий операцій "згортки" (011 → 100) і "розгортки" (100 → 011), що виконуються над кодовою зображенням числа. Якщо над кодовою зображенням виконати всі можливі "згортки", то ми прийдемо до спеціального фібоначчійовий зображенню, званому "мінімальної формою", в якій двох одиниць поруч в кодовому зображенні не зустрічається. Якщо ж в кодовому зображенні виконати всі можливі операції "розгортки", то прийдемо до спеціального фібоначчійовий зображенню, званому "максимальної", або "розгорнутої" формою, в якій поряд не зустрічається двох нулів.

Саме ці математичні результати стали основою для проектів створення комп'ютерних і вимірювальних систем на основі "фібоначчійовий" і "золотого" уявлень.