Екзаменаційні питання і квитки з лінійної алгебри за весняний семестр 2001 года

приблизний перелік екзаменаційних питань

лінійна алгебра

1. Прямокутна матриця, її порядок, головна і побічна діагоналі. Одинична, нульова, трикутна, симетрична, транспонована матриці. Приклади.

2. Складання матриць, множення матриці на число, множення матриць. Властивості асоціативності і коммутативности матриць. Приклади.

3. Приведення матриць до ступінчастому увазі методом Гаусса. Елементарні перетворення над рядками матриці. Приклад. Ранг матриці.

4. Система з "m" лінійних рівнянь з "n" невідомими. Векторно-матрична форма запису. Розширена матриця системи. Приклад.

5. Однорідні і неоднорідні системи рівнянь. В якому випадку вони мають єдине рішення? Приклад.

6. Рішення однорідної і неоднорідної систем методом Гаусса. Приклад.

7. Однорідні системи та їх властивості. Еквівалентні системи.

8. Вільні та невільні змінні однорідної системи. Приватне і загальне рішення. Приклад.

9. Спільні системи рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі. Приклад.

10. Вектор рішення лінійної системи рівнянь. Загальне і приватне рішення неоднорідної системи рівнянь. Основні властивості рішень.

11. Модель Леонтьєва міжгалузевого балансу. Її математична модель.

12. Визначник матриці. Його порядок. Поняття означника стосовно матрицями другого і третього порядків. Алгебраїчне доповнення елемента. Розкладання визначника по рядку або стовпцю.

13. Сформулювати властивості визначника.

14. Яку матрицю називають зворотної? Умова її існування.

15. Обчислення визначника з використанням методу Гаусса.

16. Побудова зворотної матриці з використанням алгебраїчних доповнень і методом Гаусса.

17. Дано матриці А = і В = . Знайти АВ - ВА.

18. Знайти ранг матриці: A = .

19. Знайти ранг матриці .

20. Дослідити скільки рішень може мати система рівнянь: .

21. Знайти спільне рішення однорідної системи: .

22. Дослідити і вирішити в разі спільності систему рівнянь: .

23. Обчислити визначник матриці det A, де А = методом Гаусса.

24. Що називається лінійним простором? Елемент лінійного простору. Яка безліч функцій на відрізку [a, b] утворює простір C _{[a, b]?}

25. Властивості коммутативности і асоціативності додавання векторів.

26. Арифметичний простір R ^n. Що називають компонентами вектора?

27. Визначте поняття підпростору Н в просторі V. Наведіть приклади лінійних підпросторів в лінійному просторі V, в просторі R ^n.

28. Визначте поняття лінійної комбінації векторів u і v лінійного простору. Яка система векторів називається лінійно незалежною?

29. Запишіть властивості лінійно залежною системи векторів і лінійно незалежної системи векторів.

30. Наведіть приклади лінійно незалежних векторів і функцій в лінійному просторі.

31. Базис лінійного простору, розкладання вектора по базису, координати вектора u в базисі е _1, е ₂... е _n. Приклади стандартних базисів в прстранства R ^n.

32. Розмірність лінійного простору. Лінійна оболонка системи векторів. Розмірність лінійного підпростору W лінійного простору V.

33. Лінійні операції над вільними векторами в координатній формі в довільному лінійному просторі.

34. Як визначається матриця переходу від старого базису b до нового c?

35. Якими властивостями володіє матриця переходу від старого базису b до нового c?

36. Сформулюйте теорему про розкладання будь-якого вектора лінійного простору по базису.

37. Запишіть формули перетворення координат вектора x лінійного простору L при переході від старого базису b до нового c.

38. Як визначається скалярний добуток двох векторів? Який простір називається евклідовим? Нерівність Коші-Буняковського.

39. Ортогональні вектори лінійного простору.

40. Поняття норми вектора. Яким аксіомам підпорядковується норма вектора?

41. Ортогональна система векторів. Чи є вона лінійно залежною?

42. Поняття ортогонального і ортонормированного базисів лінійного простору.

43. Яку матрицю називають матрицею Грама і як обчислюються її елементи?

44. Що називається процесом ортогоналізації?

45. Сформулюйте необхідна і достатня умова лінійної залежності векторів.

46. Складіть матрицю Грама для системи векторів е ₁ = (1, -1, 2), е ₂ = (1, 1, 1), е ₃ = (1, 0, 1) тривимірного простору.

47. Доведіть, що для будь-яких двох векторів а і з векторне рівняння a + x = c щодо x має рішення, і при цьому єдине.

48. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b ₁ = -2С ₁ -3с ₂ -2С _3, b ₂ = 7с ₁ + 8с ₂ + 9с _3, b ₃ = 3с ₁ + 4с ₂ + 5 с _3.

49. З'ясуйте, утворює чи лінійне простір безліч всіх векторів даної площині, не паралельних даної прямий, якщо в якості операцій взяті операції додавання векторів і множення вектора на число.

50. З'ясуйте, утворює чи безліч функцій виду а cos t + b sin t, t Î (- ¥, ¥), a, b ÎR, лінійний простір щодо звичайних операцій додавання функцій і множення функції на число.

51. Утворює чи лінійне простір безліч многочленів ступеня n щодо звичайних операцій додавання многочленів і множення многочлена на число?

52. Утворює чи лінійне простір безліч функцій, безперервних на відрізку [a, b], щодо операцій додавання функцій і множення функції на число?

53. Доведіть, що безліч матриць-стовпців висоти n утворює лінійне простір щодо матричних операцій додавання і множення на число.

54. Доведіть, що dim V ₂ = 2, dim V ₃ = 3.

55. Чи не проводячи обчислень, з'ясуйте, чи є система векторів а ₁ = (- 4, 2, 3), а ₂ = (-3, 5, 1), а ₃ = (1, -7, 3), а ₄ = (12, -5,4) лінійно незалежною?

56. З'ясуйте, чи утворюють вектори а ₁ = (1, 0, 0, 0), а ₂ = (1, 1, 0, 0), а ₃ = (1,1, 1, 0), а ₄ = ( 1,1,1, 1) базис в лінійному арифметичному просторі R ^4?

57. Чи може матриця А = бути матрицею переходу від одного базису тривимірного простору до іншого?

58. Який вигляд має матриця переходу від старого базису до нового, якщо матриця переходу від нового базису до старого є трикутною? Симетричної?

59. Для яких векторів евклідового простору нерівність Коші-Буняковського перетворюється в рівність?

60. Дайте поняття лінійного оператора, що діє в лінійному просторі L. Наведіть приклади.

61. Яка матриця називається матрицею лінійного оператора?

62. Яку матрицю має нульовий оператор, який діє в просторі L? Який вид у матриці тотожного оператора, що діє в просторі L?

63. Сформулюйте теорему про зв'язок координат вектора-прообразу з координатами вектора-образу оператора А, що діє в просторі L?

64. У якому випадку збігаються матриці двох різних лінійних операторів?

65. Яке відповідність існує між квадратними матрицями порядку n і лінійними операторами, що діють в n - вимірному лінійному просторі?

66. Напишіть залежність, що зв'язує матриці А _b і А _е в різних базисах b і e лінійного простору.

67. Визначення характеристичного рівняння матриці А.

68. Дайте визначення поняття власне число лінійного оператора А. Який вектор називається власним вектором оператора? Як його знайти?

69. Що означає поняття «власне підпростір», передане у власному значенню?

70. Складіть характеристичне рівняння для оператора А, якщо його матриця А = . Знайдіть власні значення і власні вектори лінійного оператора А.

71. Скільком власним значенням може відповідати один і той же власний вектор?

72. Відомо, що власні значення l _1, l _2,.., l _n лінійного оператора попарно різні. Що можна сказати про лінійної залежності відповідної їм системи власних векторів?

73. Відомо, що базис е складається з власних векторів оператора А. Що можна сказати про матриці оператора в цьому базисі?

74. Коли матриця оператора А подібна деякою діагональної?

75. Нехай l _1, l _2,.., l _n - власні значення оператора А. Знайдіть власні значення лінійного оператора, матрицею якого є матриця А ^2, А ^-1.

76. Дайте визначення оператора, сполученого до даного лінійному оператору А. Скільки пов'язаних операторів може бути у оператора А в евклідовому просторі?

77. Яка матриця є матрицею оператора сполученого лінійному оператору А з матрицею А в ортонормированном базисі?

78. Дайте визначення самосопряженних оператора. Наведіть приклад самосопряженних оператора.

79. Яка матриця самосопряженних оператора в ортонормированном базисі?

80. Що можна сказати про оператора А, якщо відомо, що його матриця в деякому ортонормированном базисі є симетричної?

81. Яке коріння характеристичного рівняння самосопряженних оператора?

82. Скільки власних значень має симетрична матриця порядку n?

83. Яким властивістю володіють власні вектори самосопряженних оператора?

84.Коли в евклідовому просторі існує ортонормованій базис, в якому матриця лінійного оператора має діагональний вигляд?

85. Доведіть, що (А + В) ^* = А ^* + В ^* і (АВ) ^* = В ^* А ^*.

86. У ортонормированном базисі оператор А має матрицю А = . Знайдіть матрицю сполученого йому оператора в цьому ж базисі.

87. Яка матриця називається ортогональною матрицею і чому дорівнює її визначник?

88. Властивості ортогональних матриць.

89. Що таке квадратична форма? Дайте поняття матриці квадратичної форми.

90. Запишіть квадратичную форму в координатах в деякому базисі.

91. Що таке канонічний вид квадратичної форми? Знайти її для x ² + xy + y ^2.

92. Яка квадратична форма називається позитивно певної? Неотрицательно певної?

93. Сформулюйте критерій Сильвестра.

94. Запишіть закон інерції для квадратичної форми.

95. Що являє собою метод ітерацій?

96. Дайте визначення гессіан.

97. Складіть гессіан для функції f (x _1,...., x _n) = x ₁ ² + x ₁ x ₂ + .... + x ₁ x _n.

98. Наведіть квадратичную форму х ₁ ² - 4х ₁ х ₂ до канонічного виду шляхом виділення квадратів.

99. Яку квадратичную форму можна привести до канонічного виду?

100. Як змінюється характеристичне рівняння матриці при ортогональному перетворенні квадратичної форми?

101. З'ясуйте, чи є квадратична форма з матрицею А = позитивно певної?

102. Коли діагональні елементи симетричної матриці - позитивні числа?

103. Знайдіть ранг квадратичної форми трьох змінних 2ху + 2уz + 2хz.

104. Який ранг може мати позитивно певна форма від n змінних?

105. Запишіть матрицю переходу від базису е до базису е ¢, якщо е ¢ ₁ = е ₁ + е ₂ + 7е _3, е ¢ ₂ = (7/6) е ₁ - е _2, е ¢ ₃ = - е ₁ + е ₂ + е _3.

106. Чи є лінійним перетворення О = (6х ₁ - 5х _2, 2х _2, х ₃ - х _1)?

107. Чому дорівнює скалярний добуток векторів в арифметичному просторі R ^n?

108. Що можна сказати про власні вектори, якщо вони відповідають різним власним значенням?

109. Визначте, яким є базис а = (1 / , 1 / , 1 / ), B = (1 / , -1 / , 0), з = (1 / , 1 / , -2 / ).

110. Нормуйте вектор х = 3 i + 4 j + 5 k + 7 m.

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 1

1. Описати модель Леонтьєва міжгалузевого балансу.

2. Знайти загальний розв'язок однорідної системи: .

3. Як записується властивість асоціативності додавання векторів?

4. Коли в евклідовому просторі існує ортонормованій базис, в якому матриця лінійного оператора має діагональний вигляд?

5. У ортонормированном базисі оператор А має матрицю А = . Знайдіть матрицю сполученого йому оператора в цьому ж базисі.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 2

1. Які прямокутні матриці можна привести до східчастого увазі? Метод приведення матриці до ступінчастого вигляду. Приклад.

2. Знайти матрицю А ^-1, зворотний до матриці А і з її допомогою вирішити систему А = , Де А = , = , .

3. Утворює чи лінійне простір безліч многочленів ступеня n щодо звичайних операцій додавання многочленів і множення многочлена на число?

4. Яка матриця називається ортогональною матрицею?

5. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b ₁ = 3 с _{1-з 2} + 2 с _3, b ₂ = 6С ₁ + 5с ₂ -2С _3, b ₃ = 4 с ₁ + з _{2-з 3.}

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 3

6. Дати визначення системи з «m» лінійних рівнянь з «n» невідомими. Векторно-матрична форма запису системи лінійних рівнянь.

7. Дослідити і вирішити в разі спільності систему рівнянь: .

8. Дайте визначення поняття арифметичного простору R ^n.

9. Який матрицею є матриця, транспонована до ортогональної?

10. Доведіть, що для будь-яких двох векторів а і з векторне рівняння а + х = з відносно х має рішення, і до того ж єдине.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 4

11. Який метод використовується при вирішенні системи лінійних рівнянь (на прикладі)?

12. Дослідити і вирішити в разі спільності систему рівнянь: .

13. Запишіть властивості лінійно залежною системи векторів.

14. Дайте визначення гессіан.

15. Складіть гессіан для функції f (x _1,...., x _n) = x ₁ ² + x ₁ x ₂ + .... + x ₁ x _n.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 5

16. Неоднорідні системи рівнянь. Основні властивості рішень.

17. Знайти матрицю А ^-1, зворотний до матриці А і з її допомогою вирішити систему А = , Де А = , = , .

18. Сформулюйте теорему про зв'язок координат вектора-прообразу з координатами вектора-образу оператора А, що діє в просторі L.

19. Яка матриця є матрицею оператора сполученого лінійному оператору А з матрицею А в ортонормированном базисі?

20. З'ясуйте, чи є квадратична форма з матрицею А = позитивно визначеною.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 6

21. Правило побудови оберненої матриці на прикладі матриці 2-го порядку з використанням алгебраїчних доповнень.

22. Спільна система рівнянь: ?

23. З'ясуйте, утворює чи лінійне простір безліч всіх векторів даної площині, не паралельних даної прямий, якщо в якості операцій взяті операції додавання векторів і множення вектора на число.

24. Скільком власним значенням може відповідати один і той же власний вектор?

25. Складіть гессіан для функції f (x _1,...., x _n) = x ₁ ² + 2x ₂ ² + .... + nx _n ^2.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 7

26. Що називають визначником матриці. Порядок визначника. Поняття означника стосовно матриці другого порядку. Приклад.

27. Знайти ранг матриці .

28. Як записується властивість коммутативности додавання векторів?

29. Яку квадратичную форму можна привести до канонічного виду?

30.Знайдіть ранг квадратичної форми трьох змінних х ² + у ² + 2хz.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 8

31. Підпорядковується чи множення матриць властивості асоціативності і перестановки співмножників? Привести приклад некоммунітатівних матриць. Приклад перестановки матриць.

32. Знайти спільне рішення однорідної системи: .

33. Що називається лінійним простором?

34. Чому дорівнює визначник ортогональної матриці?

35. У ортонормированном базисі оператор А має матрицю А = . Знайдіть матрицю сполученого йому оператора в цьому ж базисі.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 9

36. Дати визначення рангу матриці. Приклад.

37. Переконатися, що система має єдине рішення, і знайти це рішення методом Гаусса:
, , .

38. Яка система векторів називається лінійно незалежною?

39. Який матрицею буде матриця, обернена до ортогональної?

40. Доведіть, що (А + В) ^* = А ^* + В ^*.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 10

41. Які перетворення можна виконати над рядками матриці? Приклад.

42. Знайти спільне рішення однорідної системи рівнянь .

43. Який базис лінійного простору називається ортогональним?

44. Скільки пов'язаних операторів може бути у оператора А в евклідовому просторі?

45. Чому дорівнює скалярний добуток векторів в арифметичному просторі R ^n?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 11

46. ​​При вирішенні однорідної системи які змінні називають вільними, а які невільними? Чому дорівнює число вільних змінних?

47. Дослідити і вирішити в разі спільності систему рівнянь: .

48. Доведіть, що безліч матриць-стовпців висоти n утворює лінійне простір щодо матричних операцій додавання і множення на число.

49. Скільки власних значень має симетрична матриця порядку n?

50. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b ₁ = -2С ₁ -3с ₂ -2С _3, b ₂ = 7с ₁ + 8с ₂ + 9с _3, b ₃ = 3с ₁ + 4с ₂ + 5 с _3.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 12

51. Елементарні перетворення над рядками матриці. Приклад.

52. Переконатися, що система , Має єдине рішення, і знайти це рішення методом Гаусса:
.

53. Для яких векторів евклідового простору нерівність Коші - Буняковського перетворюється в рівність?

54. Чому дорівнює матриця, обернена до ортогональної?

55. Знайдіть ранг квадратичної форми трьох змінних 2ху + 2уz + 2хz.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 13

56. Рішення однорідної системи методом Гаусса. Приклад.

57. Знайти матрицю А ^-1, зворотний до матриці А і з її допомогою вирішити систему А = , Де А = , = , .

58. Визначте поняття підпростору Н в просторі V.

59. Дайте поняття матриці квадратичної форми.

60. Який нормований вектор відповідає вектору х = -5 i + 3 j + 7 k?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 14

61. Яку систему рівнянь називають неоднорідною? В якому випадку вона має єдине рішення?

62. Знайти матрицю А ^-1, зворотний до матриці .

63. Що називається розкладанням вектора по базису?

64. Коли діагональні елементи симетричної матриці - позитивні числа?

65. Доведіть, що (АВ) ^* = В ^* А ^*.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 15

66. Яку систему рівнянь називають однорідної? В якому випадку вона має єдине рішення?

67. Скільки рішень може мати система рівнянь: ?

68. Що називають координатами вектора u в базисі е _1, е ₂... е _n.

69. Запишіть закон інерції для квадратичної форми.

70. У ортонормированном базисі оператор А має матрицю А = . Знайдіть матрицю сполученого йому оператора в цьому ж базисі.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 16

71. Сформулювати теорему Кронекера-Капеллі. Проілюструвати її прикладом.

72. Обчислити визначник матриці detA, де А = методом Гаусса.

73. Визначте поняття лінійної комбінації векторів u і v лінійного простору.

74. Яким властивістю володіють власні вектори самосопряженних оператора?

75. З'ясуйте, утворює чи безліч функцій виду а cos t + b sin t, t Î (- ¥, ¥), a, b ÎR, лінійний простір щодо звичайних операцій додавання функцій і множення функції на число.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 17

76. Рішення неоднорідної системи методом Гаусса (на прикладі).

77. Спільне чи наступна система: ? Знайти її рішення.

78. Дайте визначення розмірності лінійного підпростору W лінійного простору V.

79. Який многочлен називається характеристичним многочленом матриці?

80. Чи є лінійним перетворення О = (6х ₁ - 5х _2, 2х _2, х ₃ - х _1)?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 18

81. Які матриці називають рівними? Додавання матриць. Приклад. Множення матриці на число. Приклад.

82. Скільки лінійно незалежних рішень має система: ?

83. Які вектори лінійного простору називаються ортогональними?

84. Що таке канонічний вид квадратичної форми?

85. Доведіть, що dim V ₂ = 2, dim V ₃ = 3.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 19

86. У чому полягає прямий і зворотний хід методу Гаусса при вирішенні системи рівнянь (на прикладі)?

87. Чи існує матриця А ^-1, зворотна ?

88. Як визначається матриця переходу від старого базису b до нового з?

89. Яка матриця називається симетричною?

90. Складіть гессіан для функції f (x _1,...., x _n) = x ₁ ² + x ₂ + .... + x _n-1 + x _n ^2.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 20

91.Які системи лінійних рівнянь називають спільними? В якому випадку система є несумісною?

92. Спільна система рівнянь: ? Знайти її рішення.

93. Як називається елемент лінійного простору?

94. Відомо, що базис е складається з власних векторів оператора А. Що можна сказати про матриці оператора в цьому базисі?

95. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b ₁ = -з _{1-7С 2} + 2 с _3, b ₂ = -9с ₁ + 8с ₂ -з _3, b ₃ = з ₁ + 2с ₂ + 5 с ₃.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 21

96. Яке рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь називають загальним? Яке - приватним?

97. Скільки рішень може мати система рівнянь: ?

98. Запишіть властивості лінійно незалежної системи векторів.

99. Що можна сказати про оператора А, якщо відомо, що його матриця в деякому ортонормированном базисі є симетричної?

100. Що можна сказати про власні вектори, якщо вони відповідають різним власним значенням?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 22

101. Побудова зворотної матриці з використанням методу Гаусса (на прикладі).

102. Обчислити визначник матриці detA, де А = методом Гаусса.

103. В якому випадку збігаються матриці двох різних лінійних операторів?

104. В якому базисі матриця лінійного оператора А є діагональної?

105. Чи є лінійно залежною система векторів а = (5,4,3), b = (3,3,2), з = (8,1,3)?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 23

106. Основні властивості визначника.

107. Скільки рішень може мати система рівнянь: ?

108. Який вигляд має матриця переходу від старого базису до нового, якщо матриця переходу від нового базису до старого є трикутною?

109. Запишіть квадратичную форму в координатах в деякому базисі.

110. Чи може матриця А = бути матрицею переходу від одного базису тривимірного простору до іншого?

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 24

111. Чому дорівнює визначник трикутної матриці? Чи міняють елементарні перетворення величину визначника? В якому випадку визначник матриці не дорівнює нулю?

112. Дослідити і вирішити в разі спільності систему рівнянь: .

113. Запишіть формули перетворення координат вектора х лінійного простору L при переході від старого базису b до нового с.

114. Яка матриця самосопряженних оператора в ортонормированном базисі?

115. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b ₁ = 4 с ₁ 5С ₂ + з _3, b ₂ = з ₁ -3с ₂ -2С _3, b ₃ = 5 с ₁ + з ₂ + з _3.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 25

116. Яке рішення однорідної системи рівнянь називають загальним, приватним? Приклад.

117. Знайти матрицю А ^-1, зворотний до матриці А і з її допомогою вирішити систему А = , Де А = , = , .

118. Яке безліч функцій на відрізку [a, b] утворює простір З _{[a, b]?}

119. Дайте визначення поняття власного числа лінійного оператора А.

120. Визначте, яким є базис а = (1 / , 1 / , 1 / ), B = (1 / , -1 / , 0), з = (1 / , 1 / , -2 / ).

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 26

121. Приведення матриці до ступінчастого вигляду методом Гаусса. Приклад.

122. Обчислити визначник матриці detA, де А = методом Гаусса.

123. Утворює чи лінійне простір безліч функцій, безперервних на відрізку [a, b], щодо операцій додавання функцій і множення функції на число?

124. Яка квадратична форма називається невід'ємне певної?

125. Знайдіть ранг квадратичної форми трьох змінних х ² + 2ху + z ^2.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 27

126. Який вектор називають рішенням лінійної системи рівнянь? Що означає вирішити систему лінійних рівнянь? Які системи називають еквівалентними?

127. Знайти матрицю А ^-1, зворотний до матриці А і з її допомогою вирішити систему А = , Де А = , = , .

128. Дайте визначення розмірності лінійного простору.

129. При якій умові існує базис, в якому матриця лінійного оператора є діагональною?

130. В ортонормированном базисі оператор А має матрицю А = . Знайдіть матрицю сполученого йому оператора в цьому ж базисі.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 28

131. Яку матрицю називають невиродженою? При якому значенні визначника рядки матриці є залежними, а при якому - незалежними?

132. Знайти ранг матриці: A = .

133. Сформулюйте необхідна і достатня умова лінійної залежності векторів.

134. Який вектор називається власним вектором оператора?

135. Складіть характеристичне рівняння для оператора А, якщо його матриця А = . Знайдіть власні значення оператора А.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 29

136. Яку матрицю називають матрицею системи рівнянь? Яка матриця називається розширеною матрицею системи? Як записуються вектор невідомих і вектор правих частин рівнянь?

137. Скільки рішень може мати система рівнянь: ?

138. Напишіть залежність, що зв'язує матриці А _b і А _е в різних базисах b і e лінійного простору.

139. Скільки власних значень має самосопряженних оператор, який діє в n-вимірному евклідовому просторі?

140. Чи не проводячи обчислень, з'ясуйте, чи є система векторів а ₁ = (- 4, 2, 3), а ₂ = (-3, 5, 1), а ₃ = (1, -7, 3), а ₄ = (12, -5,4) лінійно незалежною.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 30

141.Яку матрицю називають одиничною, нульовий, трикутної? Приклад.

142. Скільки рішень може мати система рівнянь: ?

143. Який вид у матриці тотожного оператора, що діє в просторі L?

144. Дайте визначення оператора, сполученого до даного лінійному оператору А.

145. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b ₁ = з ₁ -3с ₂ + 2 с _3, b ₂ = -2С ₁ + з _{2 с 3,} b ₃ = з ₁ + 2с ₂ -2С _3.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 31

146. Як записується формула розкладання визначника по рядку або стовпцю? Приклад.

147. Знайти матрицю , Зворотний до матриці А і з її допомогою вирішити систему , де , , .

148. Запишіть нерівність Коші - Буняковського.

149. Дайте визначення самосопряженних оператора.

150. Наведіть квадратичную форму х ₁ ² + 4х ₁ х ₂ + x ₂ x ₃ + x ₃ ² до канонічного виду шляхом виділення квадратів.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 32

151. Неоднорідна система лінійних рівнянь. Її загальне і часткове вирішення. Приклад.

152. Знайти ранг матриці: A = .

153. Дайте поняття ортонормированного базису лінійного простору.

154. Як знаходяться власні вектори лінійного оператора?

155. Нехай l _1, l _2,.., l _n - власні значення оператора А. Знайдіть власні значення лінійного оператора, матрицею якого є матриця ^А2.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 33

156. Однорідні системи рівнянь і їх основні властивості.

157. Скільки рішень може мати система рівнянь: ?

158. Яким аксіомам підпорядковується норма вектора?

159. Яка квадратична форма називається позитивно певної?

160. Запишіть матрицю переходу від базису b до нового з, якщо b ₁ = 4 с ₁ - з ₂ + 9с _3, b ₂ = -з ₁ + 6С ₂ -11с _3, b ₃ = 5 с ₁ + 3с ₂ -2С _3.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 34

161. Поняття «визначник» стосовно матриці третього порядку. Яку величину називають алгебраїчним доповненням елемента? Приклад.

162. Дано матриці і . Знайти АВ-ВА.

163. Яке простір називається евклідовим?

164. Коли матриця оператора А подібна деякою діагональної?

165. З'ясуйте, чи утворюють вектори а ₁ = (1, 0, 0, 0), а ₂ = (1, 1, 0, 0), а ₃ = (1,1, 1, 0), а ₄ = ( 1,1,1, 1) базис в лінійному арифметичному просторі R ^4.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------

Екзаменаційний квиток по предмету

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Квиток № 35

166. Завдання міжгалузевого балансу. Її математична модель.

167. Дослідити і вирішити в разі спільності систему рівнянь: .

168. Що означає запис dim V?

169. Що таке квадратична форма?

170. Нехай l _1, l _2,.., l _n - власні значення оператора А. Знайдіть власні значення лінійного оператора, матрицею якого є матриця А ^-1.

Зав. кафедрою

--------------------------------------------------