|
Зміст
Вступ
Глава 1. Теоретичні аспекти використання історичного матеріалу при навчанні рішенню завдань
1.1 Сутність загальної методики роботи над задачами
1.1.1 Арифметична задача, види арифметичних задач
1.1.2 Загальна методика роботи над задачами
1.2 Специфіка історичного матеріалу
1.2.1 «Вовк, коза і капуста» через 1200 років
1.2.2 З історії задач з однаковими цифрами
1.2.3 З історії головоломок з неповторяющимися цифрами
1.2.4 З історії задач про переливання рідин
1.3 Аналіз методичної літератури
висновок
література
додаток
Вступ
Народна мудрість говорить, що, не знаючи минулого, неможливо зрозуміти справжній сенс сьогодення і мету майбутнього. Це, звичайно, стосується й математики.
У російській математичній літературі, в підручниках завжди приділялася велика увага цікавим старовинним завданням різних народів і епох, так як вважалося, що елемент цікавості полегшує навчання, розвиває пізнавальну активність. До цікавим завданням ми відносимо завдання з цікавим змістом або цікавими способами вирішення, математичні ігри, завдання, що стосуються цікавих властивостей чисел та геометричних тел.
У сучасній педагогічній діяльності відбувається полеміка про те, як вчити дітей вирішувати завдання, як зацікавити їх в настільки складному процесі.
Деякі педагоги виділяють використання історичного матеріалу з одного боку, як спосіб розвитку пізнавальної активності школярів, але з іншого боку питання використання історичного матеріалу в школі приділяється недостатня увага.
Дане протиріччя формує проблему необхідності використання історичного матеріалу при розвитку пізнавальної активності школярів. Якщо проблему не вирішувати, то у дитини розвивається пасивне ставлення до вирішення завдань, що в підсумку може призвести до виникнення наступних труднощів: невміння аналізувати завдання, втрата інтересу до вирішення завдань.
Проблему розвитку пізнавальної активності школярів можна вирішувати різними способами, методами, прийомами, технологіями. У нашому дослідженні ми не будемо зачіпати величезний пласт технологій розвитку пізнавальної активності, а зупинимося на одному способі і на одному віковому періоді.
Виходячи з вище викладеного тема нашого дослідження наступна: «Історичний матеріал, як один із засобів розвитку пізнавальної активності молодших школярів на уроці математики».
Мета нашої роботи: провести теоретичне дослідження в області розвитку пізнавальної активності молодших школярів на уроці математики через використання історичного матеріалу.
Об'єктом дослідження є процес розвитку пізнавальної активності молодших школярів, а предметом - використання історичного матеріалу на уроках математики.
Для того щоб досягти мети дослідження, ми ставимо перед собою наступні завдання:
1. Вивчити методи формування пізнавальної активності школярів.
2. Виявити особливості історичного матеріалу, що вивчається на уроці математики в початковій школі.
3. Розробити рекомендації для вчителя в його роботі з завданнями історико-математичного характеру.
4. Розробити фрагмент уроку математики з використанням історичного матеріалу.
Таким чином, ефективність розвитку пізнавальної активності молодших школярів на уроці математики буде вище, якщо використання історичних завдань.
Глава 1. Теоретичні аспекти розвитку пізнавальної активності молодших школярів на уроці математики через використання історичного матеріалу
1.1 Поняття пізнавальної активності учнів
1.1.1 Рушійні сили вчення
Мотивація (від лат. «Рухати») - загальна назва для процесів, методів, засобів спонукання учня до активної пізнавальної діяльності. Керують мотивами спільно вчителі та учні. Маючи на увазі перше, говоримо про мотивації навчання, а з позицій учня слід вести мову про мотивації навчання. Мотивація як процес зміни станів і відносин особистості грунтується на мотивах, під якими розуміються конкретні спонукання, причини, що змушують учня вчитися, діяти, робити вчинки. У ролі мотивів виступають у взаємозв'язку потреби і інтереси, прагнення та емоції, установки та ідеали. Тому мотиви - дуже складні утворення. Мотиви, а їх багато, завжди взаємопов'язані, і в педагогічному процесі ми маємо справу не з одним чинним мотивом, а з багатьма.
Класифікувати мотиви, що діють в системі навчання, можна за різними критеріями. До видів мотивів можна віднести пізнавальні і соціальні мотиви. Якщо у школяра в ході навчання переважає спрямованість на зміст навчального предмета, то можна говорити про наявність пізнавальних мотивів.
Пізнавальні мотиви можуть мати різні рівні. Так, пізнавальні мотиви мають рівні: широкі пізнавальні мотиви (орієнтація на оволодіння новими знаннями - фактами, явищами, закономірностями), навчально-пізнавальні мотиви (орієнтація на засвоєння способів добування знань, прийомів самостійного придбання знань), мотиви самоосвіти (орієнтація на придбання додаткових знань і потім на побудову спеціальної програми самовдосконалення).
Мотиви названих видів і рівнів можуть проходити в своєму становленні наступні етапи: актуалізація звичних мотивів, постановка на основі цих мотивів нових цілей, позитивне підкріплення мотиву при реалізації цих цілей, поява на цій основі нових мотивів, супідрядність різних мотивів і побудова їх ієрархії, поява у ряду мотивів нових якостей (самостійності, стійкості і ін.).
Якості мотивів можуть бути змістовними, пов'язаними з характером навчальної діяльності (усвідомленість, самостійність, узагальненість, дієвість, домінування в загальній структурі мотивації, ступінь поширення на кілька навчальних предметів і ін.), І динамічними, пов'язаними з психофізіологічними особливостями дитини (стійкість мотиву, його сила і виразність, переключення з одного мотиву на інший, емоційне забарвлення мотивів) і т. д.
Мотиви поділяються на зовнішні і внутрішні. Перші виходять від педагогів, батьків, класу, суспільства в цілому і набувають форму підказок, натяків, вимог, вказівок, підганянь або навіть примусів. Вони, як правило, діють, але їх дія нерідко зустрічає внутрішні опір особистості, а тому не може бути названо гуманним. Необхідно, щоб сам учень захотів щось зробити і зробив це. Істинний джерело мотивації людини знаходиться в ньому самому, але його потрібно активізувати.
Скласти первинне уявлення про переважання і дії тих чи інших мотивів навчання можна, спостерігаючи ставлення школяра до навчання. Дослідження дозволяють виділити кілька ступенів включеності дитини в процес навчання: негативне, байдуже і позитивне.
У кожному класі поступово виділяються конкретні типи ставлення дітей до навчання, на які перш за все слід орієнтуватися учителю. Найбільш поширений перший тип - хороші виконавці ( «слушалкі і отвечалкі»). Вони старанні, але безініціативні. Ведучий мотив їх діяльності - опосередкований інтерес: порадувати батьків, завоювати авторитет у класі, заслужити похвалу вчителя. Другий тип - діти з інтелектуальною ініціативою: вони мають власну думку, уникають підказок, намагаються працювати самостійно, люблять складні завдання. Третій тип - діти, у яких виявляється особливе ставлення до напруженої навчальної діяльності. Вони активні, добре розуміють, але думають повільно, а тому перебувають весь час в напрузі. Вимагають індивідуального підходу. Четвертий тип - діти із заниженими інтелектуальними здібностями. Вони не можуть самостійно виконувати навчальні завдання, знаходяться в пригніченому стані або, навпаки, демонструють відчайдушність. Головне для них, щоб учитель їх не помітив. Причини тут різні: незрілість дитини, слабка дошкільна підготовка. Нарешті, в кожному класі є невелика група дітей, яких об'єднує негативне ставлення до навчання. Діти не можуть освоїти шкільну програму через розумової відсталості, глибокої занедбаності.
З цього випливає, що, працюючи з різними групами дітей, потрібно ставити різні цілі. Найбільш значущою для ефективної навчальної діяльності є мотивація, зумовлена інтелектуальної ініціативою і пізнавальними інтересами.
Ставлення школярів до навчання вчителі зазвичай характеризується активністю. Активність визначає ступінь (інтенсивність, міцність) "зіткнення" учня з предметом його діяльності.
У структурі активності виділяють наступні компоненти:
- готовність виконувати навчальні завдання;
- прагнення до самостійної діяльності;
- свідомість виконання завдань;
- систематичність навчання;
- прагнення підвищити свій особистий рівень та ін.
З активністю безпосередньо сполучається ще одна важлива сторона мотивації навчання школярів - самостійність, пов'язана з визначенням об'єкта, засобів діяльності, її здійснення самим учнем без допомоги дорослих і вчителів. Пізнавальна активність і самостійність школярів взаємопов'язані: більш активні школярі, як правило, більш самостійні.
Управління активністю школярів традиційно називають активізацією. Її можна визначити як постійно поточний процес спонукання до енергійного, цілеспрямованого учення, переборення пасивної і стереотипної діяльності, спаду і застою в розумовій роботі. Головна мета активізації - формування активності учнів, підвищення якості навчально-виховного процесу. Педагогічна практика використовує різні шляхи активізації, основний серед них - різноманітність форм, методів, засобів навчання, вибір таких їх поєднань, які у виниклих ситуаціях стимулюють активність і самостійність школярів.
Найбільший активізує ефект на уроках дають ситуації, в яких учні повинні:
- відстоювати свою думку;
- брати участь в дискусіях і обговореннях;
- задавати питання своїм товаришам і вчителям;
- рецензувати відповіді товаришів;
- оцінювати відповіді і письмові роботи товаришів;
- допомагати відстаючим;
- пояснювати більш слабким учням незрозумілі місця;
- самостійно вибирати посильні завдання;
- знаходити кілька варіантів можливого рішення пізнавальної завдання (проблеми);
- створювати ситуації самоперевірки, аналізу особистих пізнавальних і практичних дій;
- вирішувати пізнавальні завдання шляхом комплексного застосування відомих їм способів рішення.
Отже, встановлено, що мотиви - це спонукання, причини, що змушують учня вчитися, діяти, робити вчинки. У навчанні одночасно діє безліч мотивів. Подання про переважання і дії тих чи інших мотивів вчитель отримує, спостерігаючи ставлення школярів до навчання. Знання законів мотивації - ключ до вирішення більшості шкільних проблем.
задача математика арифметична історичний
1.1.2 Пізнавальний інтерес молодших школярів
Одним з постійних сильнодіючих мотивів навчання є інтерес. Інтерес (від лат. «Має значення, важливо») - реальна причина дій, що відчувається учнем як особливо важлива. Інтерес можна визначити як форму прояву пізнавальних потреб, що виражається в прагненні до пізнання об'єкта або явища, оволодінні певним видом діяльності. Пізнавальний інтерес виражається в емоційному відношенні школяра до предмету вивчення. Л.С.Виготський пише: «Інтерес - як би природний двигун дитячої поведінки, він є вірним виразом інстинктивного прагнення, вказівкою на те, що діяльність дитини збігається з його органічними потребами. Ось чому основне правило вимагає побудови всієї виховної системи на точно врахованих дитячих інтересах. ... Педагогічний закон говорить: перш ніж ти хочеш закликати дитини до будь-якої діяльності, зацікав його нею, подбай про те, щоб виявити, що він готовий до цієї діяльності, що у нього напружені всі сили, необхідні для неї, і що дитина буде діяти сам, викладачеві ж залишається тільки керувати і направляти його діяльність ».¹
У навчанні діє безліч інтересів.«Все питання в тому, - продовжує Л. С. Виготський, - наскільки інтерес спрямований по лінії самого досліджуваного предмета, а не пов'язаний зі стороннім для нього впливом нагород, покарань, страху, бажання догодити і т. П. Таким чином, правило полягає в тому, щоб не тільки викликати інтерес, але щоб інтерес був як має спрямований. Нарешті, третій, і останній, висновок використання інтересу наказує побудувати всю шкільну систему в безпосередній близькості до життя, вчити дітей тому, що їх цікавить, починати з того, що їм знайоме і природно збуджує їх інтерес ».¹
Встановлено загальні закономірності дії інтересу в навчанні. Перша - залежність інтересів учнів від рівня і якості їх знань, сформованості способів розумової діяльності. Розуміти її слід так, що чим більше знань в учня є з певного предмета, тим вище його інтерес до цього предмету. І навпаки. Друга - залежність інтересів школярів від їх ставлення до вчителів. З цікавістю вчаться у тих педагогів, яких люблять і поважають. Спершу педагог, а потім його наука - залежність, яка проявляється постійно.
Проблема інтересу не нова в педагогіці. Над його сутністю міркували вчені різних епох. Так Л. А. Коменський говорив, що школа повинна бути школою радості, і один із шляхів створення такої школи - інтерес. Фізик Паскаль стверджував: «Учень не посудина, яку потрібно наповнити, а факел, який треба запалити». К. Д. Ушинський бачив в інтересі основний внутрішній механізм успішного навчання.
Для формування стійких пізнавальних інтересів вчитель повинен ставити перед собою такі завдання:
1. Виявити наявність інтересів за допомогою:
- спостереження;
- контакту з психологом;
- тестів, анкет;
- вільного вибору діяльності;
- бесід з дитиною, з батьками.
2. Визначити рівень розвитку інтересу.
- Перший рівень - безпосередній інтерес до нових фактів, явищ, цікавим речам; інтерес ситуативний, нестійкий.
- Другий рівень - прагнення до пізнання істотних властивостей предмета і явищ; інтерес щодо стійкий.
- Третій рівень - прагнення до встановлення причинно-наслідкових зв'язків, використання елементів дослідницької діяльності; інтерес стійкий.
3. Закріпити, скорегувати, сформувати пізнавальний інтерес.
Серед розмаїття шляхів і засобів, вироблених практикою для формування стійких пізнавальних інтересів, виділимо:
- захоплене викладання;
- новизну навчального матеріалу;
- історизм;
- зв'язок знань з долями людей, їх відкрили;
- показ практичного застосування знань у зв'язку з життєвими планами і орієнтаціями школярів;
- використання нових і нестандартних форм навчання;
- чергування форм і методів навчання;
- проблемне навчання;
- евристичне навчання;
- навчання з комп'ютерною підтримкою;
- застосування мультимедіа-систем;
- використання інтерактивних комп'ютерних засобів;
- взаимообучение (в парах, в мікрогрупах);
- тестування знань, умінь;
- показ досягнень учнів;
- створення ситуацій успіху;
- змагання (з товаришами по класу, з самим собою);
- створення позитивного мікроклімату в класі;
- довіру до учня;
- педагогічний такт і майстерність педагога;
- ставлення педагога до свого предмету і учням;
- гуманізація шкільних відносин і т. Д.
Навіть недосвідчений учитель легко помітить зміну інтересу школяра. Професор А. К. Дусавіцкій склав типові «портрети» зацікавленого і незацікавленого учнів.
«... Подивіться, як працює дитина, коли йому цікаво. Задоволення буквально написано на його обличчі. Світяться очі, рухи легкі, вільні, швидкі. Та й як може бути інакше - адже зараз він розкутий, розкутий в своїх бажаннях. Він робить свою справу, цікаве і важливе йому самому. Робить успішно! Позитивна емоція як тінь супроводжує інтерес, вона - точний сигнал про те, що діяльність нам приємна, приносить насолоду.
... Думка працює ясно, чітко, звідкись приходять рішення, які інакше як гарними не назвеш, настільки точно вони відповідають характеру завдання. Вона поглинає його цілком, всю його особистість, відключає від решти світу: до всього іншого він в даний момент глухий і сліпий. І тому так важко буває відвернути дитини від виконання інших, може бути, не менш цікавих і важливих справ.
... Але ось дитина, якій нецікаво. Як він нудиться над книгою, яку треба прочитати, або завданням, яке потрібно обов'язково виконати. Його тіло напружене, він то совається, то неспокійно озирається на всі боки, ніби шукає десь порятунку від нелюбої духовної чи іншої їжі. Або застигає, занурений в себе, як в сон, з якого його може вивести тільки різкий окрик або зауваження ».¹
Отже, найважливішим, найпрестижнішим мотивом вчення є пізнавальний інтерес. Це реальна причина дій, що відчувається учнем. Інтереси виникають під впливом потреб і існують в нерозривному зв'язку з ними. Інтерес залежить від: 1) рівня і якості набутих знань, умінь, сформованості способів розумової діяльності; 2) відносини школяра до вчителя.
1.2 Особливості історичного матеріалу, що вивчається на уроках математики в початковій школі
1.2.1 «Вовк, коза і капуста» через 1200 років
У сучасній школі гостро стоїть питання про присутність старовинних цікавих завдань в підручниках з математики. У різних математичних монографіях є сторінки, присвячені історії виникнення знаменитих завдань, доступних учням старших класів 1. Однак практично немає робіт, з яких вчитель початкової школи міг би отримати вичерпну інформацію про не менш відомих старовинних головоломках, що представляють інтерес для учнів 1-4 класів.
У багатьох підручниках вони практично відсутні. Але в підручниках з математики під редакцією Л. Г. Петерсона можна зустріти досить велику кількість старовинних цікавих завдань, що вивчаються в різних класах, практично по всіх темах. Простежимо разючу долю деяких з таких завдань. Зокрема в підручнику з математики 1-го класу (III частина) за редакцією Л. Г. Петерсона в уроці №27, в завданні 10 зустрічається завдання «Вовк, коза і капуста», якій більше 1200 років. Тут вона звучить наступним чином: «Один чоловік мав перевезти в човні через річку вовка, козу і капусту. У човні може поміститися одна людина, а з ним або вовк, або коза, або капуста. Але якщо залишити вовка з козою без людини, то вовк з'їсть козу. Якщо залишити козу з капустою, то коза з'їсть капусту. А в присутності людини «ніхто нікого не їв». Людина все-таки перевіз свій вантаж через річку. Як він це зробив? ».
У «Книзі 1» праці Е. І. Ігнатьєва «У царстві кмітливості, або Арифметика для всіх: Досвід математичної хрестоматії: Книга для сім'ї і школи» приведена одна з найчудовіших логічних задач в історії людства: «Завдання 52-я. Вовк, коза і капуста ».
Навіть якщо приводиться завдання вам знайома, не поспішайте читати рішення, спробуйте, наче вперше, пошукати оптимальний маршрут і тільки потім ознайомтеся з ходом рішення, запропонованим Е. І. Ігнатьєвим.
Даний хід рішення можна застосовувати в початковій школі з використанням ілюстративного матеріалу, що з більшим ступенем підвищить ефективність розвитку пізнавальної активності молодших школярів.
«Рішення: Ясно, що доводиться почати з кози. Селянин, перевізши козу, повертається і бере вовка, якого перевозить на інший берег, де його і залишає, але зате бере і везе назад на перший берег козу. Тут він залишає її і перевозить до вовка капусту. Слідом потім, повернувшись, він перевозить козу, і переправа закінчується благополучно ».
Дане завдання незліченну кількість разів публікувалася в самих різних вітчизняних газетах, журналах і збірниках. При цьому майже у всіх роботах згадується тільки одне рішення. Але ж є й альтернативний шлях! І можливо діти почнуть саме з нього, дивлячись на ілюстрації.
Спочатку селянин знову-таки перевозить козу. Але другим він не обов'язково повинен забирати вовка! Можна взяти капусту, відвезти її на інший берег, залишити там і повернути на перший берег козу. Потім перевезти на інший берег вовка, повернутися за козою і знову відвести її на інший берег. У цьому випадку кількість рейсів (7) точно таке ж, як і в опублікованому вище варіанті.
Існування двох рішень не відзначено в багаторазових перевиданнях книжки Є. І. Ігнатьєва, ні в інших найавторитетніших джерелах. У їх числі: Е. Люкас «Математичні розваги: Додаток арифметики, геометрії і алгебри до різного роду заплутаним питань, забавам і ігор», Н. Н. Аменіцкій, І. П. Сахаров «Забавна арифметика: Хрестоматія для розвитку кмітливості і самодіяльності дітей в сім'ї і в школі », В. Арені" Математичні ігри та розваги », Б. А. Кордемский« Математична кмітливість »та численні збірки останніх років.
Це тим більше дивно, що наявність двох рішень було зазначено, наприклад, ще на початку 20-х років XX століття в книзі В. Літцмана «Веселе і цікаве в постатях і числах: Математичні розваги», причому досить докладний. Мабуть, багато видавців визнали необов'язковим приводити обидва варіанти, адже вони схожі, і є по суті «дзеркальними». Але в книзі для дітей, особливо молодшого віку, це необхідно, інакше істотно знижується педагогічна цінність завдання!
Цікаво, що Б. А. Кордемский в рішенні зазначає тільки другий варіант і з якоїсь причини не згадує перший. Загадка? Загадка.
Дуже цікавим є питання про час виникнення даної головоломки і її першоджерелі. Б. А. Кордемский в книзі «Математична кмітливість» говорить мимохіть: «Це ... старовинна завдання; зустрічається в творах VIII століття ».
Спочатку може здатися, що ми маємо справу з помилкою, адже перша або одна з перших вітчизняних публікацій завдання «Вовк, коза і капуста» датована кінцем XVIII століття. У фондах Російської Історичної бібліотеки збереглася книга «Ворожильна арифметика для забави і задоволення». На титульному аркуші зазначається: «На іжд. изд. І. краен ополье кого », що означає« на утриманні видавця І. Краснопільського ». У раритет на 62 сторінках, сорок і одна цікава задача. На с. 42 - 43 знаходиться наша задача.
Далі наводиться один варіант рішення (перший).
Цікаво, що в посібнику болгарських авторів «Математичний фольклор» задача про вовка, козу і капусту поміщена в розділ «З математичного фольклору інших країн» з поміткою в дужках «Росія».
Повернемося до історії завдання і питання: чи правий Б. А. Кордемский, датувавши завдання восьмим століттям.
На думку ряду істориків, завдання має західні корені. В. Арені вказує, що авторство хрестоматійною завдання приписується Алкуина.
В. Літцмана, пропонуючи читачам познайомитися з завданням про переправу в книзі «Веселе і цікаве про числах і фігурах», мимохіть пише: «У Алкуина ми знаходимо наступний розповідь».
Що ж в наші дні відомо про цю непересічну особистість? Алкуин (735-804) був вченим ченцем і математиком з Ірландії, автором ряду підручників з математики. Король Карл Великий був прихильним до вченим і всіляко заохочував розвиток наук. За королівським круглим столом нерідко проводилися змагання в рішенні хитромудрих головоломок, в яких Алкуин мав можливість проявити свої неабиякі здібності.
Алкуин заснував палатінському школу в Туре (створену для дітей Карла V), брав участь у заснуванні університету в Парижі. Додамо, що Алкуин був другом і вчителем Карла Великого, його вченим радником.
З інших головоломок Алкуина найбільшу популярність здобули завдання
1) про гончака і зайця,
2) про покупку свиней,
3) про трьох спадкоємців і 21 бочці,
4) про ста заходи пшениці,
5) про бика.
Але тільки головоломка про вовка, козу і капусту досі вражає уяву і дітей, і дорослих. Цю і деякі інші завдання Алкуин помістив в свій трактат «Завдання для відточування розуму юнаків», написаний, як було прийнято в той час, латиницею.
У копії латинського манускрипту під МХУШ легендарна завдання. Відразу кидається в очі, що рішення одне - те саме, яке наводиться в більшості посібників. Але сама головоломка має іншу назву: «Завдання про людину, козі і вовка»!
Ось уже в кількох виданнях при поясненні рішення даної головоломки автори роблять одну і ту ж забавну помилку. Розкриємо на с. 244 посібник Е. А. Латія «365 розвиваючих ігор і витівок для маленьких дітей», де пропоноване рішення настільки фантастично, що його слід відтворити дослівно: «Розгадка: спершу везуть вовка і капусту, залишають капусту на протилежному березі; везуть вовка назад і залишають на березі; забирають козу, переправляють на інший берег; там забирають капусту, везуть назад до вовка і вже разом їх остаточно перевозять на інший берег ».
Якби вовка і капусту можна було везти в човні одночасно, то переправа завершилась би набагато швидше, ніж зазначено Е. А. Латіем (але за умовою завдання їх не можна переправляти разом!) В вийшла раніше розфарбуванні «Вгадай-ка: Випуск 4» ( М: Крона, 1996) вовка замінили крокодилом, козу - на пірата Гака, а капусту - на Пітера Пена, але рішення аналогічно попередньому: «Спочатку треба перевезти Пітера і крокодила ...» і т.д. Очевидно, що першоджерело помилки один і той же.
Так, ще не всі таємниці чудовою завдання розгадані, і не виключено, що лукава посмішка Алкуина буде переслідувати не одне покоління авторів, укладачів та читачів.
1.2.2 З історії задач з однаковими цифрами
Перша згадка про подібні завдання можна знайти у вітчизняній книзі «Цікаві і розважальні завдання, видані Іваном БУТТЕР». Символічно, що загальна кількість завдань збірника є число, що складається з однакових цифр: 111.
У 1844 році книга І. БУТТЕР, що включає ті ж 111 забавних головоломок, була перевидана. У посібниках XIX століття, написаних іншими вітчизняними авторами, аналогічних завдань нам поки знайти не вдалося.
Із зарубіжних авторів глибоко досліджував завдання з однаковими Цифрами Г. Е. Дьюдени. У книзі «520 головоломок» він зазначає:
«Мене постійно запитують про стару головоломці« Чотири четвірки ». Я опублікував її в 1899 г.Формуліруется головоломка так:
«Знайти всі можливі числа, які можна отримати з чотирьох четвірок (не більше і не менше) за допомогою різних арифметичних знаків».
Наприклад, число 17 можна представити у вигляді
4-4 + 4: 4
і т. д. Аналогічним чином можна записати всі числа до 112 включно, використовуючи лише знаки додавання, віднімання, множення, ділення.
У задачі «Двадцять чотири» Г. Е. Дьюдени вказує: «В одній книзі було написано:
«Запишіть число 24 за допомогою трьох однакових цифр, відмінних від 8.»
Там же наводився відповідь:
22 + 2 = 24.
Тепер розглянемо найбільш цікаві завдання з однаковими цифрами, опубліковані у вітчизняних виданнях XX століття. Найбільш примітним працею початку минулого століття став тритомник Е. І. Ігнатьєва «У царстві кмітливості, або Арифметика для всіх: Досвід математичної хрестоматії: Книга для сім'ї і школи».
У «Книзі 2» завданням з однаковим цифрами відведений цілий розділ, названий «Новий рід завдань». У ній наведено п'ять головоломок, які з того часу кочують зі збірки до збірки. Знову цитуємо Е. І. Ігнатьєва:
«Завдання 47-я. Написати 2 трьома п'ятірками ». Один з двох відповідей: (5 + 5): 5.
«Завдання 48-я. Написати 5 трьома п'ятірками ».
З десяти відповідей два відповідають даній тематиці:
5+ 5-5 і 5 * (5: 5).
До відповідей Е. І. Ігнатьєва можна додати також такі рішення:
5: (5: 5) і5- (5-5).
«Завдання 49-я. Написати 31 п'ятьма трійками. Рішення,
Це завдання набагато складніше попередніх. Вона не нова, і звичайно вважають, що вона має всього три рішення ». В ряду запропонованих відповідей:
33-3 + 3: ЗіЗЗ- (3 + 3): 3.
Хоча Е. І. Ігнатьєв і назвав розділ «Новий рід завдань», він визнав, що «Завдання 49» була відома раніше. Цікаво, вітчизняних або зарубіжних попередників мав на увазі автор? У багатьох інших роботах вітчизняних математиків кінця XIX - початку XX століть завдання з однаковими цифрами не згадуються. Наприклад, в книгах С. А. Рачинського «1001 завдання для розумового рахунки: Посібник для вчителів сільських шкіл», Д. Н. Горячева, А. М. Воронця «Завдання, питання і софізми для любителів математики».
Незабаром після виходу в світ книг Е. І. Ігнатьєва головоломки з цифрами стали популярні в Росії і з'явилися на сторінках посібників багатьох авторів і укладачів. У їх числі Н. Н. Аменіцкій і І.П. Сахаров, які написали книгу «Забавна арифметика: Хрестоматія для розвитку кмітливості і самодіяльності дітей в сім'ї і в школі». Якщо в першому виданні хрестоматії завдання з однаковими цифрами були відсутні, то вже в наступному - розширеному, що вийшов в трьох випусках, і всіх наступних вони з'явилися. Наведемо цифрові головоломки по третього видання, що не відрізняється від другого:
10. а) Постарайтеся зобразити число 31 за допомогою шести (або п'яти) трійок.
б) Зобразіть число 100 за допомогою чотирьох однакових цифр »Ось які відповіді надані в цій книзі: 10. а) 3 • 3 • 3 + 3 + 3: 3; 33 - 3 + 3: 3 і 33 - (3 + 3): 3.
6) 99 + 9: 9.
Зверніть увагу на те, що в завданні 10.А), на відміну від книги Є. І. Ігнатьєва, потрібно зобразити число 31 не тільки п'ятьма, але і шістьма трійками, а у відповіді на головоломку 10.6), на відміну від книги І. БУТТЕР, після числа 99 коштує знак «плюс».
Завдання з тритомника Е. І. Ігнатьєва використовував і А. В. Сатаров в чотирьох брошурах, які вийшли під загальною назвою «Жива арифметика в години дозвілля: Посібник сім'ї та школі для розвитку кмітливості в дітях». У «Книзі другий» автор помістив три завдання з однаковими цифрами: «14. Напишіть 2 трьома п'ятірками.
15. Напишіть 5 трьома п'ятірками;
16. Як зобразити 31 п'ятьма трійками? »
А в «Книзі третій» А. В.Сатаров привів ще одне завдання:
«Напишіть число 100 чотирма однаковими цифрами».
При цьому, як А. В. Сатаров, так і Н. Н. Аменіцкій з І. П. Сахаровим
у відповідях використовували тільки дії додавання, віднімання, множення і
ділення.
1.2.3 З історії головоломок з неповторяющимися цифрами
Завдання з неповторяющимися цифрами зустрічаємо в чудовому вітчизняному тритомнику Е. І. Ігнатьєва «У царстві кмітливості, або Арифметика для всіх: Досвід математичної хрестоматії: Книга для сім'ї і школи». У «Книзі 1» приведена:
«Завдання 32-я: Написати число 100 за допомогою дев'яти різних значущих цифр».
56 + 8 + 4 + 3 = 71 + 29 = 100 ».
Тут Е. І. Ігнатьєв роз'яснює: «Як бачимо, в передостанньому вирішенні допущений деякий« фокус ». Спочатку з шести різних цифр складено три числа, що дають в сумі 98 - число, знову-таки складене з двох нових цифр, і до нього додається число, зображене відсутньої цифрою 2. У сумі виходить необхідне число 100. Подібно ж складено і останнє рішення » .
Цікаво, що майже таку ж задачу призводить І. Я. Герд в «Збірнику ігр та корисних занять для дітей різного віку з передмовою для батьків і вихователів», розділ «Завдання»:
«17. Складіть з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9 такі числа, щоб через додавання отримати рівно 100 ».
При цьому у відповіді наводиться тільки одне рішення, трохи відрізняється від зазначених Е. І. Ігнатьєвим:
15 + 36 + 47-98 + 2 = 100.
Неважко знайти і інші рішення з «фокусом» крім тих, які присутні в посібниках Е. І. Ігнатьєва і І.Я. Герда:
73 + 10 + 6 + 5 + 4 = 98 + 2 = 100;
70 + 16 + 3 + 4 + 5 = 98 + 2 = 100;
53 + 8 + 4 + 6 = 71 + 29 = 100;
45 + 37+ 16 = 98 + 2 = 100;
58 + 3 + 4 + 6 = 71+ 29 = 100;
47 + 36 + 15 = 98 + 2 = 100 і т. П.
Ще раніше головоломку про числі 100 привів класик цікавої математики американець С. Лойд, в його книзі «Математична мозаїка».
Як видно, відповіді на які зацікавили головоломки з книг Е. І. Ігнатьєва і С. Лойда або дуже складні, або не цілком коректні.
Цілям книги І.Г. Сухіна «Цікаві матеріали» більше відповідає завдання, яке привів А. В. Сатаров в чотиритомник «Жива арифметика в години дозвілля: Посібник сім'ї та школі для розвитку кмітливості в дітях». У «Книзі другий» він опублікував наступне завдання: «11. Складіть з перших семи цифр: 1,2, 3,4,5,6,7 такі чотири числа, щоб при додаванні їх отримати рівно 100; при цьому брати будь-яку цифру два або три рази не можна. Відповідь: Числа, що задовольняють умовам задачі, такі: 2, 15, 36, 47. Дійсно: 2 + 15 + 36 + 47 = 100. Можливі й інші рішення, наприклад: 2+ 17 + 35 + 46 = 100 ». У цьому завданню дуже багато рішень. Ось ще деякі з них:
5 + 12 + 37 + 46; 6 + 15 + 32 + 47; 7 + 16 + 35 + 42.
Очевидно, що ті рішення легко отримати перестановкою цифр в доданків (т. Е. Замість 35 + 42 можна написати 32 + 45 і т. Д.).
1.2.4 З історії задач про переливання рідин
Практично жоден класичний збірник, пов'язаний з іграми та розвагами, не обходиться без розділу «поділ», причому помітне місце в ньому займають завдання про переливання рідин з посудини в посудину.
На жаль, більшість подібних старовинних головоломок складні, і тому не підходять для початкової школи. Як це не дивно, але у вітчизняних навчальних посібниках порівняно простих завдань даного класу практично немає. Але ж не підлягає сумніву, що вони допоможуть дітям в цікавій формі швидше освоїти дії додавання, віднімання і попрактикуватися в комбінаториці.
Лише одну доступну дітям молодшого шкільного віку завдання знаходимо в посібнику для вчителів М. Б. Балка «Організація і зміст позакласних занять з математики»:
«Маючи 2 бідона на 4 і 5 л, чи можна налити з водопровідного крана в відро 3 л. води? (Ємність відра не менш 3 л.) Відповідь: можна ».
Найшвидшим шляхом завдання вирішується так: Заповнюється водою чотирьохлітровий бідон, потім вода переливається в п'ятилітровий, знову вода доверху наливається в меншу ємність, і з меншою 1 л відливається в більшу. В результаті в чотирилітровим бідоні буде 3 літри води.
Ще дві «водяні» головоломки наводяться в розділі «Завдання-кмітливості» посібника для вчителів 1-11 класів А. А. Свечникова і П. І. Сорокіна «Числа, фігури, завдання в позакласній роботі»:
«111. Як набрати з водопроводу 6л води, користуючись дволітровою банкою і чайником, в який входить 5 л?
Рішення: напиваються в банку 2 рази по 2 л і переливаємо в чайник, потім ще раз напивався в банку 2 л.
136. Як маючи банку місткістю 4 л і бідон -9 л, набрати з річки точно 7 л води? »
Оптимальне рішення другого завдання в посібнику не дається. Ось воно: Два рази заповнюємо банку водою і переливаємо по 4 л води з банки в бідон, знову наповнюємо банку і додаємо 1 л з неї в бідон, після цього всі 9 л води з чайника виливаємо в раковину, і в бідон переливаємо залишилися в банку 3 л, знову заповнюємо чотирилітровим банку водою з річки і отримуємо необхідні (сумарні)
7л = Зл + 4л.
Непросто визначити, в якому старовинному трактаті вперше з'явилися завдання на переливання рідин, які можна використовувати при вивченні теми «Величини» в початковій школі. Мабуть, найвідоміша з них опублікована більш семи століть назад. Познайомимося з нею:
«В одному середньовічному творі висхідним до середини 13-го століття, пропонується такого роду завдання: Пане послав свого слугу в найближче місто купити 8 заходів вина. Коли слуга, виконавши доручення, збирався додому, йому зустрівся інший слуга, якого пан теж посла! за вином. «Скільки у тебе вина?» - запитує другий слуга. «8 заходів», - відповідає той. «Мені теж потрібно купити вина». «Ти вже нічого не отримаєш, так як в місті більше вина немає», - заявляє перший. Тоді другий слуга просить його поділитися з ним вином і показує йому наявні при ньому дві посудини, один в 5, інший в 3 заходи. Як зробити поділ: за допомогою цих трьох судин? ».
Наведемо хід найкоротшого рішення, що включає 7 операцій переливання, позначивши «тривимірний» посудину, як перший, «пятімерний» назвемо другим, а «восьмімерний» - третім.
Отже: 1. З третього до другого відливаємо 5 заходів.
2. З другого в перший - 3 заходи.
3. З першого до третього переливаємо 3 світи.
4. З другого в перший - 2 заходи.
5. З третього до другого - 5 заходів.
6. З другого в перший - 1 міру.
7. З першого до третього - 3 заходи.
В результаті в другому і третьому судинах виходить по 4 заходи вина. Широку популярність ця задача отримала після публікації двома виданнями твори К. БАШЕЄВ «Ігри та завдання, засновані на математиці». Російською мовою книга К.Баше була видана лише в 19-му столітті, та й то в скороченому вигляді.
Безумовно, і до 1877 року завдання про судинах зустрічалася на сторінках вітчизняних книг. Вказану головоломку зустрічаємо в творі «Ворожильна арифметика для забави і задоволення». Завдання №24 має наступний вигляд:
«Посудина, наповнений вісьмома кружками вина, розлити без міри на дві рівні частини по судинах, з яких в один входить 5 кухлів вина, а в інший 3».
Це завдання можна включати при введенні поняття «заходи».
Трохи пізніше завдання привели в книзі «Бібліотека вчена, економічна, повчальна, історична та розважальна на користь і задоволення будь-якого звання читачів: Частина I». У розділі «Математичні і фізичні розваги на стор. 261 читаємо:
«Хтось, маючи бутель, наповнену 8 Галенко хорошого вина ...» і т.д.
Дане завдання є і в книзі І. БУТТЕР «Цікаві і розважальні завдання, видані Іваном БУТТЕР». Ускладнені варіанти головоломки знаходимо в задачах №№ 18-22.
Публікувалися чи в старовину простіші завдання даної тематики? Відповідь на це питання проливають наступні рядки з роботи У. Болла і Г. Коксетер «Математичні есе і розваги»:
«... Згадаємо ще кілька завдань, які століттями входили в майже кожні збори математичних розваг ... Перший приклад дає гарне уявлення про цілий клас подібних задач. Хтось відправився до джерела за водою з двома глечиками ємністю в 3 і 5 пінт. Як зможе він принести додому рівно 4 пінти води? Рішення тут не складає ніяких труднощів ».
Рішення завдання в книзі не наводиться. За допомогою найменшої кількості переливань мети можна досягти наступним чином: Заповнюється водою з джерела більший глек, Зл з нього переливаються в менший і виливаються. 2л води, що залишилися в п'ятилітрову посудині, переміщаються в трилітровий. Більший глечик знову наповнюється водою з джерела, 1л з нього відливається в менший глечик. Тепер в п'ятилітрову посудині знаходиться рівно 4 л води.
Відзначимо, що саме з рішенням однієї зі складних завдань про переливанні, пов'язують розкриття математичних здібностей видатного французького математика С. Д. Пуассона. У задачі, запропонованої юному Пуассону, ємність судин на відміну від хрестоматійною завдання становила не 3, 5, 8 (заходів), а 5, 8. 12 (пінт; пінта - міра рідини):
«Хтось має дванадцять пінт вина і хоче подарувати з нього половину, але у нього немає судини в шість пінт. У нього дві посудини, один в 8, інший в 5 пінт; питається: яким чином налити шість пінт в посудину о восьмій пінт ».
Бути може в школі вчиться майбутній видатний математик і запропонує своє рішення.
Таким чином, видно наскільки довгий і тернистий був шлях багатьох завдань перш, ніж вони дійшли до наших днів. І наскільки кропітка і трудомісткий була праця тих людей, тих вчених, які шукали нові більш раціональні рішення цих завдань, які безсумнівно активізують діяльність дітей в процесі вирішення завдань.
З вище наведених прикладів завдань історико-математичного характеру можна зробити висновок, що історичні завдання зараз використовуються як логічні задачі. У свою ж чергу завдання з історичним змістом діляться на типові стандартні і нестандартні, які можна застосовувати на уроках при вивченні різних тем, що стосуються величин, математичних понять і способів арифметичних дій.
Глава 2. Методичні аспекти використання історичного матеріалу на уроках математики в початковій школі
2.1 Підготовка вчителя до використання пізнавальних завдань історико-математичного характеру
2.1.1 Значення пізнавальних завдань історико математичного характеру
Одна з можливостей формування творчого мислення учнів - розвиток їх пізнавальних здібностей. Істотним педагогічним засобом, спрямованим на розвиток внутрішньої потреби інтелектуального зростання, є використання пізнавальних завдань. Завдання вчителя полягає в тому, щоб за допомогою пізнавальних завдань передбачити хід розумової діяльності учнів, який привів би їх до самостійних висновків, узагальнень і відкриттів. Велику роль у розвитку школярів відіграє пізнавальні завдання історичного характеру. Завдання даного виду мають певні методологічні та педагогічні цілі: встановлення діалектичного взаємозв'язку між історією країни і краю, розкриття причинно-наслідкових зв'язків, закономірностей історичного процесу, поглиблення, розширення, конкретизація, повторення і закріплення завдань по предмету. Крім того ці завдання є засобом активізації пізнавальної діяльності, сприяють встановленню зв'язків між навчальної та позанавчальної роботою і залученню учнів до самостійного творчого праці. Знайомство з історією науки істотно впливає на більш глибоке засвоєння основних наукових понять і дає можливість правильно формулювати уявлення про діалектику процесу пізнання, закономірності розвитку математичної науки і емоційно налаштовувати учнів на позитивне сприйняття культурної спадщини.
2.1.2 Форми організації занять з використанням історичного матеріалу
Щоб учитель навчився використовувати у своїй роботі завдання історико-математичного характеру, йому необхідно володіти науковими знаннями історичного матеріалу і вміннями включати історичний матеріал в тему уроку.
Знання минулого науки дозволяють в концентрованому вигляді отримувати уявлення про формування наукових понять, виникненні наукових ідей, створенні методів дослідження. Про значення історії науки говорив ще Г. Лейбніц: «Дуже корисно знати справжнє походження чудових відкриттів, особливо таких, які зроблені не випадково, а силою думки. Це приносить користь не тільки тим, що історія віддає кожному своє і спонукає інших добиватися таких же похвал, скільки тим, що пізнання методу на видатних прикладах ведуть до розвитку мистецтва відкриття ». Б.Гнєденко, розвиваючи цю думку зазначав, що історія науки - це той факел, який висвітлює новим поколінням шлях подальшого розвитку і передає їм священний вогонь Птолемея, що штовхає їх на нові відкриття, на вічний пошук, до пізнання навколишнього світу, включаючи їх самих.
Історія науки в школі потрібна для реалізації найважливіших цілей навчання: формування діалектико-матеріалістичного світогляду, наукового і теоретичного мислення, емоційно-мотиваційної сфери та системи цінностей учнів. Формування зазначених властивостей особистості служить одночасно і засобом глибокого засвоєння науки, розвитку і виховання школярів. Історія науки в єдності з матеріалом і логікою предмета показує науку як діяльність на макро- і мікрорівні: історичний процес розвитку науки і процес окремого відкриття. Історія математики являє собою частину загальної історії розвитку людської культури. Історія математики як одна з математичних дисциплін включає в себе:
- факти, накопичені в ході її розвитку;
- гіпотези, тобто засновані на фактах наукові припущення, що піддаються надалі перевірці досвідом;
- методологія, тобто загальнотеоретичні тлумачення математичних знаків і теорій, що характеризують загальний підхід до вивчення предмета «Математика».
Предметом вивчення є з'ясування того, як відбувається розвиток елементів математики в досліджуваний історичний період і куди воно веде. Відповідно до цього на історію математики покладається рішення великого кола завдань.
Щоб підготувати вчителів до використання пізнавальних завдань історико-математичного характеру, необхідна організація спеціальних занять. Вони покликані допомогти вчителю поглибити знання з історії математики і навчити його працювати з історичним матеріалом в початковій школі. Для цього використовуються заняття, мета яких:
- вивчити математичну культуру і її розвиток у різних народів і націй, приділивши особливу увагу Росії;
- розкрити основні закономірності розвитку математики;
- познайомити з життєписом і науковою діяльністю вчених-математиків;
- визначити зміст, обсяг історичних відомостей, що використовуються в шкільному курсі математики;
- навчити студентів основним принципам відбору матеріалу з історії математики, який можна використовувати в школі на уроках і в позакласній роботі;
- сформувати технологію використання елементів історії математики в процесі навчання.
Для прикладу покажемо загальний план підготовки до уроків, на яких є можливість використовувати історичний матеріал для активації пізнавальної діяльності школярів:
- визначити місце історичного матеріалу при вивченні теми;
- встановити, з якими елементами даної теми або групи тим допустимо зв'язати використання історичного матеріалу;
- визначити місце історичного матеріалу в уроці, можливість використання його на протязі всього уроку або фрагментарно;
- відібрати з відомих засобів реалізації ті, які можуть бути використані найбільш результативно на даному уроці;
- намітити позакласні заняття, на яких можуть бути більш повно обговорені ці питання.
Уявімо також форми включення історико-математичного матеріалу. До них відносяться:
На уроках:
- історичні відступу на уроці (бесіда 2-10 хвилин);
- повідомлення історичних відомостей, органічно пов'язаних з програмним матеріалом;
- спеціальні уроки з історії математики.
На позаурочних заняттях:
- математичні гуртки;
- історико-математичні вечора;
- стінна газета;
- позакласне читання;
- домашній твір;
- складання альбомів і альманахів;
- робота зі збору «народної математики»;
- повідомлення вчителя або учнів на класних зборах;
- бесіди, лекції, доповіді вчителя або запрошених науковців;
- перегляд спеціальних науково-історичних кінофільмів і діапозитивів.
Виділимо основні принципи, на яких будуються пізнавальні завдання історико-математичного характеру. Ними є:
- охоплення основних тем шкільного курсу математики;
- актуальність теми для історії краю країни;
- розкриття загальних закономірностей в історичному розвитку науки, особливостей у розвитку вітчизняної математики;
- різноманітність пізнавальних завдань за формою і змістом, за ступенем складності їх виконання;
- врахування інтересів учнів.
Використання пізнавальних завдань призводить до позитивних результатів тоді, коли має місце:
- систематична постановка завдань;
- поступове і послідовне їхнє становище;
- усвідомлення учнями ролі і значення завдань для розвитку їх пізнавальних здібностей;
- максимальне наближення завдань до потреб і основним тенденціям інтелектуального розвитку учнів.
Розглянемо вимоги до розробки системи пізнавальних завдань історичного характеру. До них відносяться:
- глибока науковість матеріалу завдань;
- органічний зв'язок з програмою з математики;
- спрямованість завдань на придбання нових знань, на повторення і закріплення їх, на розвиток умінь і навичок, на використання різних джерел і методів дослідження;
- завдання по можливості повинні носити проблемний характер, орієнтувати на самостійний пошук, дослідження та викликати підвищений інтерес.
І взагалі етап знайомства учнів зі старовинними завданнями слід починати зі відомостей про життя і діяльності російського математика і педагога Леонтія Пилиповича Магницького. Повідомлення біографічних даних про це самородка - математики служить засобом пробудження інтересу учнів до математики.
Ось деякі факти його біографії.
Народився Л.Ф. Магницкий 9 червня 1669 в Осташковського слободі Тверської губернії в родині селянина. Один зі священиків того часу писав, що хлопчик змалку прославився в своїй слободі тим, що сам навчився писати і читати, «розбирати мудре і важке». Наполегливим і наполегливою працею він придбав глибокі пізнання в точних науках.
Знатні прочани перевезли хлопчика в Москву.
На знак глибокої поваги до математичного таланту цар Петро Ι запропонував змінити Прізвище хлопчика телятини на Магницького, пояснюючи своє рішення тим, що «як магніт привертає до себе залізо, так і він своїми природними і самообразованнимі здібностями звернув увагу на себе». Можливо тому саме йому було запропоновано написати підручник з вивчення математики для школи навігації, яка була відкрита вперше в Москві в 1701 році за указом Петра Ι.
Л.Ф. Магницкий успішно впорався з пропозицією Петра Ι, і в 1703 році в Москві була видана книга «Арифметика, сиріч наука числівників» на слов'янській мові. Ця книга названа ще енциклопедією математичних знань того часу.
Крім основ арифметики, підручник містив елементи алгебри, геометрії, тригонометрії, астрономії та навігації, які потрібні були для учнів школи навігації. Підручник насичений завданнями і прикладами, більшість з яких цікаві за змістом. Книга була у вжитку майже до середини ΧVΙΙΙ століття, будучи, за словами М. Ломоносова, «вратами своєї вченості».
Л.Ф. Магніцький працював не тільки викладачем в навігаційної школі, але в різний час виконував і інші урядові доручення. Помер Л.Ф. Магницкий 19 жовтня 1739 року.
2.1.3 Аналіз методичної літератури
У папірусах Стародавнього Єгипту міститься велика кількість завдань. У папірусі Райнд є завдання на арифметичну прогресію. «Тобі сказано: роздягли 10 заходів хліба на 10 осіб, якщо різниця між
кожною людиною і наступним за ним складе 1/8 заходи ».
У клинописних текстах зустрічаються перші завдання на відсотки. У Стародавньому Вавилоні, що стояли на роздоріжжі торгових караванів, рано з'явилися грошові знаки і кредит. Нараховували зазвичай 12 на 60, тобто п'яту частину, або, кажучи сучасною мовою 20%.
Слово «відсотки» з'явилося в Європі, коли італійські лихварі, що використовують десяткову систему числення, стали нараховувати зростання боргу на сто одиниць кредиту. Скажімо, нараховували 20 на 100, т. Е. 20%.
Велике число арифметичних задач містить «Книга абака» італійського вченого Леонардо Пізанського. Його завдання аж до наших днів переходять з одного підручника в інший.
Леонардо, відомий також під ім'ям Фібоначчі був першим вченим Західної Європи, яке освоїло всі досягнення математиків країн ісламу і просунулися далі них. Він народився в Пізі, великому торговому місті Італії того часу. Подорожуючи по Єгипту, Сирії, Індії, Сицилії, всюди знайомився з правилами рахунки.
Під словом «абак» Леонардо має на увазі не лічильну дошку, а арифметику взагалі. Його книга вчить робити операції з цілими числами і з звичайними дробами. У ній викладені прийоми вирішення завдань комерційної арифметики, завдань на сплави. Ось одне із завдань.
30 птахів стоять разом 30 монет. Куріпки - по 3 монети, голуби - по дві монети, а горобці - по монеті за пару птахів.
Рішення, зрозуміло, розшукується в цілих позитивних числах. Леонардо призводить єдине рішення такого виду: 3 куріпки, 5 голубів, 22 горобця.
У «Книзі абака» вперше з'явилися завдання про меншій кількості гир, за допомогою яких можна зважити всі цілі ваги, менші деякого даного. Леонардо так формулює завдання: вибрати п'ять гир так, щоб з їх допомогою можна було зважити будь-який вантаж до 30 кг за умови, що гирі ставляться на одну шальку терезів.
У навчальній літературі арифметичні задачі завжди займали велике місце. Для тренування учнів їх часто давали в цікавій формі.
Математик і педагог Л. Ф. Магніцький в книзі «Арифметика, сиріч наука числівників» зібрав велику кількість завдань. Леонтій Пилипович народився в Тверській губернії, закінчив Слов'яно-греко-латинську академію. З 1701 працював в Школі математичних і навігаційних наук, яка була організована в Москві за указом Петра 1. «Арифметика» Магницького широко використовувалася в навчальних закладах Росії протягом півстоліття. По ній вчився М. В. Ломоносов. Він назвав її «вратами своєї вченості».
У 1725 р в Петербурзі відкрилися Академія наук з університетом і гімназією. Молодий швейцарець Леонард Ейлер був запрошений до Росії. Ставши згодом найбільшим математиком, він написав велику кількість підручників, у тому числі «Керівництво до арифметики» і «Універсальну арифметику» (1769). Вони стали основою для більшості наступних підручників.
Таким чином, ми бачимо на скільки великий була праця багатьох стародавніх вчених, які відкрили і донесли до наших днів то, без чого не можна побачити сенс і дух справжньої математики.
Але завдання з вище наведених книг методичної літератури застосовні лише на заняттях для школярів середнього та старшого ланки.
Використання на уроках і позакласних заняттях з математики елементів з її історії є не тільки ефективним засобом розвитку інтересу учнів до предмету, але також має пізнавальне і виховне значення.
Однак висвітлювати історію розвитку досліджуваних в початкових класах математичних понять на уроках не представляється можливим. Можна повідомляти лише деякі відомості з історії математики. Один з ефективних методів проведення такої роботи - рішення на уроках або позакласних заняттях старовинних задач.
У величезному світі посібників для вчителів початкових класів не так вже й багато оригінальних матеріалів історичного характеру, спрямованих на формування інтересу дітей і розвитку їх пізнавальної активності. Проаналізуємо деякі з них.
Перед нами книга І.Г. Сухіна «Цікаві матеріали», яка заповнює цю прогалину. Тут можна знайти безліч цікавих математичних задач, які мають нові рішення. Серед них: завдання з додатковими умовами і підказками, головоломки з однаковими і неповторяющимися цифрами, старовинні математичні фокуси і багато іншого (див. Додаток). Для кожного з чотирьох класів початкової школи наведені відповідні завдання. При цьому автор даної книги постарався не сковувати ініціативу вчителів, тому форми використання опублікованих можуть бути найрізноманітнішими.
Наступна книга «Старовинні цікаві завдання» під редакцією Олеснік С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапова М.К. в ній зібрані 170 цікавих завдань, з російських рукописів і книг, опублікованих до 1800-го року (див. Додаток). Книга розділена на три частини. В першу частину увійшли завдання з рукописів і з книги Л.Ф. Магницького «Арифметика». До другої частини - завдання з підручників, опублікованих в Росії після видання книги Магницького, але до 1800-го року. До третьої частини - завдання з книг (останнього десятиліття XVIII століття), цілком або в значній мірі присвячених цікавим завданням.
Кожна частина складається з розділів. Розділи всередині частини розташовані в порядку зростання труднощів.
Багато задач піддавалися стилістичній обробці.
У змісті після назви кожного завдання в дужках вказані два числа: перше з них - номер сторінки книги, на якій наведено текст завдання, друге - номер сторінки, на якому наведено її рішення.
Як правило, завдання вирішуються із залученням мінімальних відомостей з арифметики, алгебри і геометрії, але вимагають кмітливості і вміння логічно мислити.
А ось знаменита книга В.Д. Чістікових «Старовинні завдання з елементарної математики» - це збірка старовинних завдань, що включає завдання Вавилона, Єгипту, Греції, Китаю, Індії, арабські та російські завдання, а також завдання Західне Європи. Складається з двох частин: перша - тексти завдань, друга - історичні екскурси, рішення і вказівки. Всі історичні відомості рішення старовинних завдань даються в модернізованому вигляді з широким використанням загальноприйнятої символіки. Книга може бути корисна вчителю і учням.
Більшість завдань зібраних в цих книгах оригінальні, але не всі: деякі з них загальновідомі. Але тим не менш, вони є методичною базою для вчителя початкової школи. Ці завдання, дозволяють підвищити інтерес до вирішення завдань молодшими школярами, змусять проявити їх інтелектуальні здібності.
література
1. Баврін І.І., Фрибус Е.А. Цікаві завдання з математики. М, 1999..
2. Баврін І.І., Фрибус Е.А. Старовинні завдання. М., 1994.
3. Бантова Н.А., Бельтюкова Г.В. Методика викладання математики в початкових класах: Навчальний посібник для учнів шкіл. Відділень пед.учіліщ. (Спец. № 2001) / Под ред. М.А. Байтовой - 3 вид., Испр. - М .: Просвещение, 1984. - 335с, мул.
4. Бєлов В.М. Головоломки з близької дали .// Компьютерра 2000 №1.
5. Депнан І.Я. Історія арифметики. М, 1965.
6. Леман І. Захоплююча математика. М., 1985.
7. Нестеренко Ю.В., Олеснік С.Н., Потапов М.К. Старовинні цікаві завдання. - 2-е изд., Испр. - М: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1988. - 160 с.
8. Пітерсон Л.Г. Математика, 1 клас, частина третя. - М .: «Баллас», «С - інфо», 2000. - 96с, мул.
9. Попов Г.Н. Збірник історичних завдань з елементарної математики. М. - Л .: Головна редакція науково популярної та юнацької літератури, 1938.
10. Сухін І.Г. Цікаві матеріали: початкова школа. - М .: ВАКО, 2004. - 240 с. (Майстерня вчителя).
11. Чистяков В.Д. Старовинні завдання з елементарної математики. - 3-е изд., Испр. - Мінськ: «Вища школа», 1978. - 272 с.
12. Штейнгаус Г. Сто завдань: пров. з пол. - 3-е изд., Стереотипні. - М .: Наука, 1982, 168 с.
додаток
Г. Сухін. «Цікаві матеріали».
1. Числові горизонталі з порожніми клітинами. (Завдання з додатковими умовами) с. 11.
У таких завданнях - равенствах в порожні клітини потрібно помістити такі цифри, щоб приклади були вирішені правильно. При цьому в одній клітці повинна бути тільки одна цифра. 1.
Тут немає однакових цифр.
4. У новому завданні немає нуля і однакових цифр.
5. У двох нових завданнях в порожніх клітинах - однакові цифри.
6.
Відповіді: 1.9 + 0-0 + 9
2. 9-4-5 + 0
3. 9 + 0 = 1 + 8
4. 9 + 1 = 2 + 8
5.6-2-2 + 2
6. 9-3 = 3 + 3
2. Завдання з однаковими цифрами, з 40.
У всіх таких завданнях вказано ціле число, потрібно висловити через кілька однакових цифр, при цьому дозволяється використовувати тільки знаки «+» і «-» (дужки не застосовувати).
Завдання з двійками.
(Рахунок від 0 до 10)
1. Двома двійками покажіть число 0.
2. Користуючись трьома цифрами 2, висловіть число 2.
3. Отримайте число 4 за коштами двох чисел 2.
4. Уявіть число 6 за допомогою трьох 2. Відповідь: 1. 0-2-2
2. 2-2 + 2-2 або 2-2 + 2
3. 4-2 + 2
4. 6 = 2 + 2 + 2
3.Заголовкі з неповторяющимися цифрами.
(Рахунок від 0 до 10).
У всіх наступних завданнях вирішального пропонується кілька послідовно розташованих однозначних чисел (1, 2, 3, 4 і т.д.) між якими в потрібних місцях необхідно розставити знаки «+» і «-». Порядок розташування цифр ні в одному з завданні міняти не можна. Знаки множення, ділення і дужки не застосовувати. При післяопераційних обчисленнях не повинні виходити числа більші, ніж 10, і негативні числа. У всіх числових виразах цифри повинні розташовуватися по порядку з ліва направо, починаючи з одиниці.
9.Пятью цифрами. Напишіть число 9 за допомогою цифр 1, 2,
3,4 і 5.
Відповідь: 1 + 2-3 + 4 + 5
4.Старінний математичний фокус, з 184.
Запиши тризначне число: таке, щоб перша цифра була, по крайней мере, на 2 більше, ніж третя. Наприклад: 755. запиши його цифрами в зворотному порядку: 557. Від першого вирахували друге: вийде 198. Це число знову запиши навпаки: 891. І два останні числа склади: 198 + 891 = тисяча вісімдесят-дев'ять.
Дивна річ, які б числа ти не брав, у відповіді завжди буде 1089!
Тепер запропонуй провести всі ці дії з числами комусь із друзів. Уявляєш, як вони здивуються, коли ти не будеш у нього питати, скільки вийшло в результаті (як це буває в інших математичних фокусах), а сам скажеш відповідь.
Олехіна С.Н. «Старовинні цікаві завдання». Частина перша.
Т. Життєві історії. /. Жаркий день. с. 10.
Жаркий день 6 косарів випили бочонок квасу за 8 годин. Потрібно дізнатися, скільки косарів за три години вип'ють такий же бочонок квасу. Відповідь: 16. Частина друга.
///. Скільки кому років? 69. Скільки років синові. с. 34.
«Скільки років твоєму синові?» - запитав один чоловік у свого приятеля. Приятель відповів: «Якщо до віку мого сина додати стільки ж та ще половину, то буде 10 років».
Скільки ж років синові? Відповідь: 4 роки. Частина третя.
/. Завдання-жарти, задачі-загадки, 133. Скільки качок. с. 53.
Летіли качки: одна попереду і дві позаду, одна позаду і дві попереду, одна між двома і дві в ряд. Скільки всього летіло качок? Відповідь: 3 качки.
|