Історія докази Великої теореми Ферма

Південно-Сахалінський Державний Університет

Кафедра математики

реферат

Тема: Історія докази Великої теореми Ферма

Південно-Сахалінськ

2003р
суть теореми

Проблема, про яку піде мова в цьому рефераті виглядає досить простий тому, що в основі її лежить математичне твердження, яке всім відомо, - теорема Піфагора: у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах.

Завдяки цьому пифагорову заклинання, теорема закарбувалася в мозку мільйонів, якщо не мільярдів, людей. Це - фундаментальна теорема, заучувати яку змушують кожного школяра. Але незважаючи на те, що теорема Піфагора доступна розумінню десятирічних, вона є надихаючим початком проблеми, при вирішенні якої зазнали фіаско найвидатніші вчені в історії математики.

Теорема Піфагора дає нам співвідношення, яке виконується для всіх прямокутних трикутників і, отже, визначає прямий кут. У свою чергу, прямий кут визначає перпендикуляр, тобто ставлення вертикалі до горизонталі, а в кінцевому рахунку - відношення між трьома вимірами нашого світу. Математика - через прямий кут - визначає саму структуру простору, в якому ми живемо. Це дуже глибока думка.

У символьній записи теорема Піфагора стверджує, що для катетів xy і гіпотенузи z прямокутного трикутника:

x ² + y ² = z ^2.

Піфагорові трійки представляють собою комбінації з трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора x ² + y ² = z ^2. Наприклад, співвідношення Піфагора виконується при x = 3, y = 4 і z = 5:

З ² +4 ² = 5 ^2, 9 + 16 = 25.

Піфагорійці мріяли знайти і інші пифагорейские трійки, інші квадрати, з яких можна було б скласти третій квадрат великих розмірів. Ще одна Числа Піфагора: x = 5, y = 12 і z = 13:

5 ² + 12 ² = 13 ^2, 15 + 144 = 169.

Наведемо пифагорову трійку з великих чисел: x = 99, y = 4900 і z = 4901. У міру того, як числа зростають, піфагорові трійки зустрічаються все рідше і знаходити їх стає все важче і важче. Піфагорійці винайшли метод відшукання таких трійок і, користуючись ним, довели, що піфагорових трійок існує нескінченно багато. Розглянемо рівняння, дуже схоже на рівняння Піфагора, але відрізняється від нього тим, що всі числа входять в кубі:

x ³ + y ³ = z ^3.

Знайти цілочисельні рішення рівняння Піфагора, тобто піфагорові трійки, було порівняно легко, але варто лише ступеня змінитися з 2 на 3 (тобто замінити квадрати кубами), як рішення рівняння, настільки схожого на рівняння Піфагора, в цілих числах, мабуть, стає неможливим. Покоління математиків списували сторінку за сторінкою в своїх блокнотах в марній надії знайти рішення рівняння в цілих числах.

Більш того, якщо ступінь підвищити з 3 до будь-якого більшого цілого числа (тобто до 4, 5, 6, ...), то знайти цілочисельне рішення такого рівняння, мабуть, також неможливо. Інакше кажучи, у більш загального рівняння

x ⁿ + y ⁿ = z ^n,

де n більше 2, рішення в цілих числах не існує. Всього лише змінивши 2 в рівнянні Піфагора на будь-яке ціле число бóльшее 2, ми замість порівняно легко решаемого рівняння отримуємо завдання надзвичайної складності. Великий математик XVII століття француз П'єр де Ферма зробив дивовижне висновок: він стверджував, що знає, чому нікому не вдавалося знайти рішення загальних рівняння в цілих числах. За його словами, причина полягала в тому, що такого рішення не існує.

біографія Ферма

П'єр де Ферма народився 20 серпня 1601 року в місті Бомон-де-Ломань на південному заході Франції. Його батько, Домінік Ферма, був заможним торговцем шкірою, тому П'єр мав щасливу можливість отримати престижну освіту у французькому монастирі Грансельва, а потім, протягом деякого часу вчитися в університеті Тулузи. Не збереглося ніяких документів, які б свідчили про те, що юний Ферма виявив блискучі здібності до математики.

Під тиском сім'ї Ферма вступив на цивільну службу і в 1631 році був призначений радником парламенту Тулузи (conseiller au Parlement de Toulouse) - завідувачем відділу прохань.

Ферма обрав стратегію неухильного виконання покладених на нього обов'язків і не турбувався про себе. У нього не було особливих політичних амбіцій, і він робив все від нього залежне, щоб по можливості залишатися в стороні від кипіння парламентських пристрастей. Всю енергію, яку йому вдавалося зберегти після виконання службових обов'язків, Ферма віддавав математиці, і у вільний час Ферма з насолодою віддавався своєму захопленню. По суті, Ферма був справжнім вченим-любителем, людиною, якого Е. Т. Белл назвав «князем любителів». Але математичний талант його був настільки великий, що Джуліан Кулідж у своїй книзі «Математика великих любителів» виключив Ферма з числа любителів на тому вельми вагомому підставі, що той «був настільки великий, що повинен вважатися професіоналом».

Незважаючи на наполегливі прохання знайомих і друзів, Ферма завзято відмовлявся публікувати свої докази. Публікація результатів і визнання нічого не значили для нього. Ферма отримував задоволення від усвідомлення того, що він в тиші свого кабінету без перешкод може створювати нові теореми. Але скромний і замкнутий геній не був чужий пустощів. У поєднанні з його відстороненістю це іноді виявлялося при спілкуванні Ферма з іншими математиками, коли він поддразнивал своїх колег: спрямовуючи їм листи з формулюваннями останніх теорем, він незмінно замовчував про докази. Ферма кидав своїм сучасникам виклик, випробовуючи їх здатність знайти відсутню доказ.

Те, що Ферма ніколи не розкривав своїх доказів, викликало у його колег почуття гіркого розчарування. Рене Декарт називав Ферма «хвальком», а англієць Джон Валліс називав його «проклятим французом». На жаль для англійців, Ферма доставляло особливе задоволення розігрувати своїх колег по той бік Ла-Маншу.

Не збереглося ніяких документальних свідчень того, що у Ферма був вчитель математики, який заохочував свого здібного учня. Наставником і вчителем Ферма стала «Арифметика» Діофанта. У «Арифметиці» зібрані сотні завдань, і кожну з них Діофант забезпечив докладним рішенням. Ферма не має перейняв настільки високий рівень доступності. Його зовсім не цікавило створення підручника для майбутніх поколінь. Він жадав лише одного - отримати задоволення від вирішеною їм завдання. Вивчаючи завдання і рішення Діофанта, Ферма черпав у них натхнення і став думати про те, щоб самому зайнятися вирішенням аналогічних і більш тонких завдань. Ферма записував для себе лише найнеобхідніше для того, щоб переконатися в правильності отриманого рішення, і не дбав про те, щоб викласти решту докази. Найчастіше зроблені ним квапливі записи відправлялися прямо в сміттєву корзину, після чого Ферма спокійно переходив до наступної задачі. На щастя для нас, опублікований Баше латинський переклад «Арифметики» мав широкі поля, і іноді Ферма квапливо записував на них хід своїх міркувань і свої коментарі. Ці нотатки на полях стали безцінними, хоча й трохи уривчастими, документальними свідченнями деяких найбільш блискучих викладок Ферма.

На полях «Арифметики» Діофанта, поруч із завданням 8, Ферма залишив таке зауваження: «Cubet autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere» (Неможливо для куба бути записаним у вигляді суми двох кубів, або для четвертого ступеня бути записаною у вигляді суми двох четвертих ступенів, або, в загальному, для будь-якого числа, яке є ступінь більше двох, бути записаною у вигляді суми двох таких же ступенів).

Своє знамените відкриття Ферма здійснив на самому початку своєї математичної кар'єри - близько 1637 року. Приблизно через тридцять років, виконуючи свої судові обов'язки в місті Кастре, Ферма важко захворів. 9 січня 1665 року його підписав свій останній вирок і трьома днями пізніше помер. Відкриттям Ферма, все ще знаходився в ізоляції від паризької математичної школи і аж ніяк не добрим словом поминали його розчарованими колегами, загрожувало повне забуття. На щастя, старший син Ферма, Клеман-Самюель, сознававший все значення улюбленого захоплення батька, прийшов до висновку, що його відкриття не повинні бути втрачені для всього світу. Всім, що ми знаємо про чудові відкриття Ферма в теорії чисел, ми зобов'язані його синові, і якби не Клеман-Самюель, загадка, відома під назвою Великої теореми Ферма, померла б разом у своїм творцем.

П'ять років Клеман-Самюель збирав батькові нотатки і листи, вивчав нерозбірливі написи на полях «Арифметики». Замітка на полях з формулюванням Великої теореми Ферма була лише однією з натхненних думок, написаних на полях цієї книги. Клеман-Самюель взяв на себе тяжкий труд опублікувати всі ці замітки в спеціальному виданні «Арифметики». У 1670 році він видав у Тулузі книгу під назвою «Диофантова Арифметика, містить примітки П. де Ферма». У неї поряд з оригінальним текстом давньогрецькою мовою і латинською перекладом Баше увійшли 48 приміток, зроблених Ферма. Одне з приміток і було тим, яке стало згодом відомо під назвою Великої теореми Ферма.

Велика теорема Ферма - завдання неймовірно важка, і тим не менш її можна сформулювати так, що вона стане зрозумілою навіть школяреві. Ні у фізиці, ні в хімії, ні в біології немає жодної проблеми, яка формулювалася б так просто і ясно і залишалася невирішеною так довго. У своїй книзі «Велика проблема» Е. Т. Белл висловив припущення, що можливо, наша цивілізація підійде до кінця, перш ніж вдасться довести Велику теорему Ферма. Доказ Великої теореми Ферма стало найціннішим призом в теорії чисел, і тому не дивно, що пошуки його привели до деяких найбільш захоплюючим епізодами в історії математики. У ці пошуки виявилися втягнутими найвидатніші вчені на нашої планети, за доказ призначалися величезні премії. Через Великої теореми Ферма люди билися на дуелі, а деякі, зневірившись знайти доказ, навіть кінчали з собою.

Перший серйозний прорив

Леонард Ейлер народився в Базелі в 1705 році в сім'ї кальвіністського пастора Пауля Ейлера. Хоча юний Ейлер проявив незвичайний математичний талант, його батько вирішив, що син повинен вивчати теологію, і готував йому церковну кар'єру. Леонард підкорився батьківській волі і став вивчати теологію і давньоєврейську мову в Базельському університеті.

Вперше зіткнувшись з Великою теоремою Ферма, Ейлер, сподівався на те, що йому вдасться знайти доказ, якщо він буде дотримуватися такої стратегії: знайти рішення для будь-якого окремого випадку, а потім узагальнити це рішення, поширивши його на всі інші. Нагадаємо, що теорема Ферма стверджує наступне: рівняння

x ⁿ + y ⁿ = z ^n, де n - будь-яке ціле число більше 2,

передбачає рішення на цілих числах.

Це рівняння в дійсності представляє собою нескінченну систему рівнянь

x ³ + y ³ = z ^3,
x ⁴ + y ⁴ = z ^4,
x ⁵ + y ⁵ = z ^5,
x ⁶ + y ⁶ = z ^6,
x ⁷ + y ⁷ = z ^7,
. . . . . . . . . . .

Ейлер спробував з'ясувати, чи не можна довести, що одне з рівнянь не допускає рішень в цілих числах, а потім екстраполювати отриманий результат на всі інші рівняння (точно так само, як він довів свою формулу для всіх графів).

Перший крок до здійснення задуманого Ейлер зробив, коли виявив ключ до доказу в коротких записах на полях «Арифметики» Діофанта. Хоча Ферма не залишив розгорнутого докази Великої теореми, він в іншому місці того ж примірника «Арифметики» написав у зашифрованому вигляді доказ для випадку n = 4, включивши його в рішення зовсім інший завдання. Це були самі докладні обчислення, які Ферма коли-небудь довірив папері, але все ж деталі все ще були уривчасті й розпливчасті, а на закінчення докази Ферма посилається на те, що недолік часу і місця не дозволяють йому дати більш повне пояснення. Незважаючи на відсутність багатьох важливих деталей в швидких нотатках Ферма, в них чітко проглядався один із способів докази від протилежного, відомий під назвою методу нескінченного спуску.

Щоб довести, що рівняння x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ передбачає рішення на цілих числах, Ферма почав з припущення про існування гіпотетичного рішення в цілих числах

x = X _1, y = Y _1, z = Z _1.

При вивченні властивостей чисел (X _1, Y _1, Z ₁₎ Ферма показав, що якби таке гіпотетичне рішення справді існувало, то було б менше рішення (X _2, Y _2, Z _2). Розглядаючи це нове рішення, Ферма зміг показати, що якби воно існувало, то було б ще менше рішення (X _3, Y _3, Z ₃₎ і т.д.

Ейлер спробував скористатися методом нескінченного спуску в якості вихідного пункту при побудові загального докази для всіх інших ступенів в рівнянні Ферма. Він хотів отримати доказ для всіх n аж до нескінченності, але перш за все він хотів «опуститися на один щабель» і отримати доказ при n = 3. У листі до прусського математику Християни Гольдбаху в серпні 1753 року Ейлер повідомив, що йому вдалося пристосувати метод нескінченного спуску і успішно довести Велику теорему Ферма для випадку n = 3. Так через сто років після смерті Ферма вперше вдалося зробити перший крок на шляху до вирішення його проблеми.

І до Ейлера деякі математики вже намагалися пристосувати метод нескінченного спуску Ферма для вирішення рівняння Ферма в цілих числах при n, відмінних від 4, але всякий раз спроба поширити метод приводила до яких-небудь проблем в логіці. І тільки Ейлер показав, що, використовуючи число i, можна заткнути всі дірки в доказі і змусити метод нескінченного спуску працювати при n = 3.

Це було грандіозне досягнення, але повторити успіх при інших значеннях n Ейлера не вдалося. На жаль, всі спроби застосувати ті ж міркування до інших значень аж до нескінченності закінчилися провалом. І математик, який вирішив більше завдань, ніж будь-хто інший за всю історію, був змушений визнати поразку - Велика теорема Ферма була неприступна. Єдиною втіхою для Ейлера було те, що він здійснив перший серйозний прорив у «кругової оборони» запеклій математичної проблеми в світі.

Підхід Софі Жермен

Виявилося, що доказ для випадку n = 4 залишається в силі при n = 8, 12, 16, 20, .... Справа в тому, що будь-яке число, представимое у вигляді 8-й (а також 12-й, 16-й, 20-й, ...) ступеня деякого числа, представимо і у вигляді 4-го ступеня якогось іншого цілого числа. Наприклад, число 256 дорівнює 2 ^8, але воно дорівнює і 4 ^4. Отже, будь-який доказ, яке «працює» для 4-го ступеня, залишається в силі для 8-й і будь-який інший ступеня, кратною 4. На основі того ж принципу можна стверджувати, що ейлеровское доказ для n = 3 автоматично переноситься на n = 6, 9, 12, 15, .... Тим самим Велика теорема Ферма втратила свій неприступний вигляд і виявилася вірною відразу для багатьох чисел n.

До початку XIX століття за Великою теоремою Ферма встановилася стійка репутація найважчим проблеми в теорії чисел. Після прориву, здійсненого Ейлером, не було ні найменшого просування, поки сенсаційну заяву однієї юної француженки НЕ вдихнуло нові надії. Пошуки докази Великої теореми Ферма відновилися з новою силою. Софі Жермен випало жити в епоху шовінізму і забобонів, і для того, щоб мати можливість займатися математикою, їй довелося прийняти псевдонім, працювати в жахливих умовах і творити в інтелектуальної ізоляції.

Софі зацікавилася теорією чисел і, природно, не могла не почути про Великої теореми Ферма. Кілька років Жермен пропрацювала над її доказом і, нарешті, досягла такого етапу, коли їй здалося, що вона змогла просунутися до бажаної мети. Виникла нагальна потреба обговорити отримані результати з колегою, фахівцем з теорії чисел, і Жермен зважилася звернутися до фахівця з теорії чисел - німецькому математику Карлу Фрідріху Гаусу.

Сімдесятьма п'ятьма роками раніше Ейлер опублікував знайдене їм доказ для n = 3, і з тих пір все математики марно намагалися довести Велику теорему Ферма в інших окремих випадках. Але Жермен обрала нову стратегію і в листах до Гауссу виклала так званий загальний підхід до проблеми Ферма. Інакше кажучи, її безпосередньою метою було не доказ окремого випадку - Жермен намірилася сказати щось про багатьох приватних випадках відразу. У листах до Гауссу вона виклала загальний хід обчислень, зосереджених на простих числах p приватного типу: таких, що числа 2 p +1 - також прості. У складений Жермен перелік таких простих чисел входить число 5, оскільки 11 = 2 · 5 + 1 - також просте, але число 13 в нього не входить, так як 27 = 2 · 13 + 1 не проста.

Зокрема, Жермен за допомогою витонченого міркування, довела, що якщо рівняння x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ має рішення для таких простих n, що 2 n +1 також просте число, то або x, y, або z ділиться n.

Після прогресу, досягнутого завдяки роботам Софі Жермен, Французька Академія Наук встановила серію премій, включаючи золоту медаль і 3000 франків, тому математику, який зуміє нарешті розгадати таємницю Великої теореми Ферма. Того, хто зуміє довести теорему, чекала не тільки заслужена слава, а й значну матеріальну винагороду. Салони Парижа повнилися чутками щодо того, яку стратегію обрав той чи інший претендент і як скоро оголосять результати конкурсу. Нарешті 1 березня 1847 р Академія зібралася на найдраматичніший зі своїх засідань.

два конверта

У протоколах засідання детально описується, як Габріель Ламі, сімома роками раніше довів Велику теорему Ферма для n = 7, зійшов на трибуну перед самими знаменитими математиками XIX століття і заявив, що знаходиться на порозі докази Великої теореми Ферма для загального випадку. Ламі визнав, що його доказ ще не повно, але він змалював у загальних рисах свій метод і не без задоволення повідомив, що через кілька тижнів опублікує повний доказ в журналі, що видається Академією.

Аудиторія завмерла від захвату, але навряд Ламі залишив трибуну як слова попросив ще один з кращих паризьких математиків Огюстен Луї Коші. Звертаючись до членів Академії, Коші повідомив, що вже давно працює над доказом Великої теореми Ферма, виходячи приблизно з тих же ідей, що і Ламі, і також незабаром має намір опублікувати повний доказ.

Хоча ні Ламі, ні Коші не мали повним доказом, обидва суперники пристрасно бажали підкріпити свої заяви, і три тижні потому обидва представили в Академію запечатані конверти.

Нарешті, 24 травня було зроблено заяву, яка поклала край усім домислів. До Академії звернувся не Коші і не Ламі, а Жозеф Лиувилль. Він кинув високоповажну аудиторію в шок, зачитавши лист від німецького математика Ернста Куммера. Куммер був визнаним фахівцем з теорії чисел, але гарячий патріотизм, що живиться щирою ненавистю до Наполеону, протягом багатьох років не дозволяв йому віддатися своєму справжньому покликанню. Коли Куммер був ще дитиною, французька армія вторглася в його рідне місто Сорау, принісши з собою епідемію тифу. Батько Куммера був міським лікарем і через кілька тижнів хвороба забрала його. Вражений тим, що сталося, Куммер заприсягся зробити все, що в його силах, щоб позбавити батьківщину від нового ворожого вторгнення, - і після закінчення університету направив свій інтелект на вирішення проблеми побудови траєкторій гарматних ядер. Пізніше він викладав в Берлінському військовому училищі закони балістики.

Паралельно з військовою кар'єрою Куммер активно займався дослідженнями в області чистої математики і був повністю обізнаний про те, що відбувається в Французької Академії. Куммер уважно прочитав публікації в Працях Академії і проаналізував ті деякі деталі, які ризикнули розкрити Коші і Ламі. Йому стало ясно, що обидва француза рухаються в бік одного і того ж логічного тупика, - і свої міркування він виклав у листі до Ліувілль.

Куммер показав, що повний доказ Великої теореми Ферма лежало за межами можливостей існуючих математичних підходів. Це був блискучий зразок логіки і в той же час жахливий удар по цілому поколінню математиків, які живили надію, що саме їм вдасться вирішити найважчу в світі математичну проблему.

Після робіт Ернста Куммера надії знайти доказ ослабли, як ніколи раніше. Крім того, в математиці почали розвиватися різні нові області. Виник ризик, що нове покоління математиків залишиться в невіданні щодо нерозв'язною проблеми.

новий імпульс

У 1908 році Пауль Вольфскель, німецький промисловець з Дармштадта, вдихнув в стару проблему нове життя. Сім'я Вольфскелей славилася своїм багатством і заступництвом мистецтвам і наукам, і Пауль не був винятком. В університеті він вивчав математику і хоча своє життя Пауль присвятив будівництву імперії сімейного бізнесу, все ж він підтримував контакт з професійними математиками і продовжував на аматорському рівні займатися теорією чисел. Зокрема, Вольфскель не відмовився від думки знайти доказ Великої теореми Ферма. Вольфскель аж ніяк не був обдарованим математиком, і йому не судилося зробити помітний внесок в пошуки докази Великої теореми Ферма. Але ланцюжок неординарних подій привела до того, що його ім'я виявилося назавжди пов'язаним з теоремою Ферма і надихнуло тисячі людей зайнятися пошуком її докази.

Історія починається з того, що Вольфскель впав у таке глибоке відчай, що вирішив накласти на себе руки. Вольфскель був людиною пристрасним, але не імпульсивним, і тому почав у всіх подробицях розробляти свою смерть. Він призначив дату свого самогубства і вирішив вистрілити собі в голову з першим ударом годинника рівно опівночі. За дні, що залишилися Вольфскель вирішив привести в порядок свої справи, які йшли чудово, а в останній день склав заповіт і написав листи близьким друзям і родичам.

Вольфскель трудився з такою ретельністю, що закінчив всі свої справи до півночі і, щоб як-небудь заповнити решта годинник, пішов до бібліотеки, де став переглядати математичні журнали.Незабаром йому на очі потрапила класична стаття Куммера, в якій той пояснював, чому зазнали невдачі Коші і Ламі. Робота Куммера належала до числа найбільш значних математичних публікацій свого століття і як не можна краще підходила для читання математику, що задумав вчинити самогубство. Вольфскель уважно, рядок за рядком, простежив за викладками Куммера. Несподівано Вольфскелю здалося, що він виявив прогалину: автор зробив якесь припущення і не обґрунтував цей крок в своїх міркуваннях.

Вольфскель сів за стіл, ретельно проаналізував «збиткову» частина міркувань Куммера і почав накидати мінідоказательство, яке повинно було або підкріпити роботу Куммера, або продемонструвати хибність прийнятого ним припущення і, як наслідок, спростувати всі його доводи. До світанку Вольфскель закінчив свої обчислення. Погані (з точки зору математики) новини полягали в тому, що доказ Куммера вдалося зцілити, і Велика теорема Ферма як і раніше залишилася недоступною. Але були і хороші новини: час, призначений для самогубства, минуло, а Вольфскель був такий гордий тим, що йому вдалося виявити і заповнити прогалину в роботі великого Ернеста Куммера, що його відчай і печаль розвіялися самі собою. Математика повернула йому жагу до життя.

Вольфскель розірвав свої прощальні листи і переписав свій заповіт в світлі того, що сталося в ту ніч. Після його смерті, що послідувала в 1908 році, заповіт було оголошено і повалило сім'ю Вольфскеля в шок: з'ясувалося, що Пауль заповів значну частину свого стану в якості премії тому, хто зуміє довести Велику теорему Ферма. Премія в 100000 марок (понад 1 000 000 фунтів стерлінгів в сучасних масштабах) була тією сумою, яку Вольфскель вважав за свій обов'язок сплатити в нагороду за головоломну проблему, що врятувала йому життя. Гроші були покладені на рахунок Королівського наукового товариства Геттінгена, яке в тому ж році офіційно оголосило про проведення конкурсу на здобуття премії Вольфскеля:

Про премію Вольфскеля було оголошено у всіх математичних журналах, і звістка про конкурс швидко поширилася по всій Європі. Незважаючи на широку рекламну кампанію і додатковий спонукальний стимул у вигляді величезної премії, Комісії Вольфскеля не вдалося викликати особливий інтерес у серйозних математиків. Більшість професійних математиків вважали пошук докази Великої теореми Ферма безнадійною справою і рішуче відмовлялися витрачати свій дорогоцінний час на таке безглузде заняття. Однак премії Вольфскеля вдалося впровадити проблему Ферма в свідомість абсолютно нової аудиторії - невидимої армії спраглих знання молодих умів, спраглих випробувати себе на вирішенні неприступною головоломки і не бачать нічого поганого в тому, що вони приступають до пошуку докази з явно недостатнім багажем.

Через кілька тижнів після оголошення конкурсу на здобуття премії Вольфскеля на Геттінгенського університету обрушилася лавина «доказів». Тож не дивно, що всі вони до одного виявилися помилковими. І хоча кожен з учасників конкурсу був переконаний, що саме йому вдалося вирішити проблему, яка пережила століття, але у всіх надісланих доказах неминуче була якась тонка, а іноді й не дуже тонка - помилка. Мистецтво теорії чисел настільки абстрактно, що надзвичайно легко зійти з вірного логічного шляху і непомітно заблукати, навіть впасти в абсурд. У Додатку 7 показано класична помилка такого сорти, яку легко може допустити ентузіаст-любитель.

Незалежно від того, хто був відправником того чи іншого доказу, кожне з них скрупульозно вивчалося на той випадок, якщо невідомому любителю все ж вдасться знайти настільки давно розшукувана доказ. Деканом математичного факультету Геттінгенського університету з 1909 по 1934 рік був професор Едмунд Ландау. Саме на нього лягла обов'язок розбирати всі докази, надіслані на здобуття премії Вольфскеля.

Ландау був змушений раз у раз переривати свої власні дослідження, оскільки йому потрібно було розбирати десятки помилкових доказів, що надходили до нього на стіл кожного місяця. Щоб впоратися з ситуацією, професор Ландау винайшов витончений метод, що дозволив позбутися докучливої ​​роботи. Професор попросив надрукувати кілька сотень карток, на яких було написано:

Кожне з отриманих доказів разом з видрукуваної карткою Ландау вручав одному зі своїх студентів і просив його заповнити прогалини.

Докази продовжували надходити безперервним потоком протягом декількох років. Деякі з найбільших фігур XX століття - в тому числі Бертран Рассел, Давид Гільберт і Курт Гедель намагалися розібратися в найбільш глибоких властивості чисел, щоб збагнути їх справжнє значення і встановити, які проблеми теорії чисел можна розв'язати, а які - що набагато важливіше - нерозв'язні. Їх роботи потрясли підстави математики і луною відгукнулися на долях Великої теореми Ферма.

парадокс математики

Робота Геделя, доповнена нерозв'язними проблемами Коена, стала тривожним посланням всім математикам, професіоналам і аматорам, які продовжували свої спроби довести Велику теорему Ферма. А що, якщо Велика теорема Ферма нерозв'язна ?! А раптом П'єр де Ферма помилявся, коли стверджував, що має в своєму розпорядженні доказом? Якщо так, то доказ Великої теореми Ферма може виявитися не просто важким, а неможливим. Якщо Велика теорема Ферма нерозв'язна, то математики століттями намагалися знайти доказ, яке не існує.

Цікаво зауважити, що якби Велика теорема Ферма виявилася нерозв'язною, то звідси випливало б, що вона істинна. Якби Велика теорема Ферма виявилася помилковою, то довести її було б можна, пред'явивши рішення (контрприклад). Це означало б, що Велика теорема Ферма можна вирішити. Отже, якби теорема була помилковою, то це суперечило б її нерозв'язності. Але якби Велика теорема Ферма була справжньою, то настільки певний спосіб її докази не обов'язково існував би, тобто вона могла б бути нерозв'язною. Отже, може виявитися, що Велика теорема Ферма істинна, але не існує способу довести її.

Підхід з позиції грубої сили

Сучасні комп'ютери встигають за частку секунди зробити більше арифметичних операцій, ніж Ферма зробив за все своє життя. Ті математики, які все ще вели нерівну боротьбу з Великою теоремою Ферма, почали комп'ютерну атаку на проблему, покладаючись на комп'ютерну версію підходу, розвинутого Куммером в XIX столітті. З появою комп'ютера великому обсягу обчислень, пов'язаних з доведенням Великої теореми Ферма, стало можливо протиставити швидкодія обчислювальних машин. І після другої світової війни групи програмістів і математиків довели Велику теорему Ферма при всіх значеннях n до 500, потім до 1000, а пізніше до 10000. У 80-і роки Семюель С. Вагстафф з університету Пурду підняв межа до 25 000, а зовсім недавно математики заявили, що Велика теорема Ферма вірна при всіх значеннях n до 4 мільйонів.

І хоча нематематика могло б здатися, що становище з доказом Великої теореми Ферма, нарешті, стало краще, математичне співтовариство розуміло, що успіх носить чисто косметичний характер. Навіть якби суперкомп'ютери провели десятиліття в безперервних обчисленнях, доводячи Велику теорему Ферма при значеннях n одне за іншим, то і тоді їм не вдалося б довести теорему для кожного значення n до нескінченності, і тому ніхто не міг би стверджувати, що Велика теорема Ферма доведена у всій спільності. Адже навіть якби теорему вдалося довести для n до мільярда, то й тоді не було б ніяких причин, за якими вона повинна була б бути вірна для n, рівного мільярду плюс один. Якби теорему вдалося довести для n до трильйона, то немає причин, за якими вона повинна була б бути вірна для n, рівного трильйона плюс один, і т.д. до нескінченності. Нескінченність недосяжна за рахунок однієї лише грубої сили - перемелювання чисел за допомогою комп'ютера.

Догляд в абстракцію

Таніяма народився 12 листопада 1927 року в невеликому містечку в декількох кілометрах на північ від Токіо. Він не відрізнявся особливо міцним здоров'ям, часто хворів, а ставши підлітком, захворів на туберкульоз і пропустив два роки в середній школі. Вибухнула війна викликала ще більше тривала перерва в його утворенні.

Горо Шимура, колишній на один рік молодший Таніями, змушений був зовсім не вчитися у воєнні роки. Його школу закрили, і замість уроків Шимура був змушений працювати на заводі, збираючи деталі літаків. Щовечора він намагався самостійно займатися за шкільною програмою. Особливо його вабила математика. «Зрозуміло, доводилося вивчати багато предметів, але особливо легко мені давалася математика. Я запоєм читав підручники математики. За підручниками я вивчив математичний аналіз. Я ніколи не думав, ніби володію якимись здібностями до математики. Просто мені було цікаво ».

Через кілька років після закінчення війни Шимура і Таніяма були вже студентами університету. Хоча Шимура був не чужий деяких примх (він і понині має схильність до анекдотів про мудреців, які проповідують дзен-буддизм), він був більш консервативний і традиційний, ніж його колега. Шимура піднімався на світанку і відразу ж приступав до роботи. Таніяма ж частенько не лягав спати, пропрацювавши всю ніч безперервно. Ті, хто зазирав днем ​​до нього в номер, нерідко заставали його сплячим. Шимура був скрупульозний і суворий, Таніяма недбалий, майже ледачий. Одна вийшла з моди тема, а саме, дослідження модулярних форм, здавалася особливо привабливою Таніями і Шимура, Модулярні форми - один з найбільш химерних і дивних об'єктів у математиці. Сучасний фахівець з теорії чисел Ейхлер зарахував їх до однієї з п'яти фундаментальних операцій, тобто уміння поводитися з модулярних формами він вважав настільки ж важливим, як і виконання чотирьох дій арифметики. Треба сказати, що далеко не всі математики впевнено почувають себе, стикаючись з цією п'ятої операцією, на відміну від перших чотирьох, де вони вважають себе майстрами.

На жаль, ні намалювати, ні навіть наочно уявити собі модулярную форму неможливо. Модулярную форму можна уявляти собі як функцію, область визначення якої знаходиться в двох вимірах, але область значень якої також двумерна. Тому якби ми хотіли подивитися на графік такої функції, то він виявився б в чотиривимірному просторі. Відмінною особливістю модулярних форм є їх надзвичайно високий рівень симетрії, нескінченна, невичерпна симетрія. Модулярні можна використовувати для приготування трансляцій (паралельним перенесенням, або зрушень), перебудовувати, переставляти фрагменти, відображати в дзеркалах і повертати нескінченно багатьма способами, і при цьому вони залишаться незмінними, що робить їх найбільш симетричними математичними об'єктами.

У вересні 1955 року в Токіо відбувся міжнародний симпозіум. Для молодих японських математиків це була унікальна можливість продемонструвати решті світу свої результати. Вони поширили серед учасників симпозіуму добірку з тридцяти шести завдань, пов'язаних з тією проблемою, над якою вони працювали. Чотири завдання були запропоновані Таніями і вказували на цікаву зв'язок між модулярних формами і еліптичними кривими. Ці безневинні завдання в кінці кінців призвели до перевороту в теорії чисел.

Назва «еліптичні криві» здатне ввести в оману через те, що вони не еліпси і навіть не криві в звичайному сенсі слова. Мова, швидше, йдеться про рівняння виду

y ² = x ³ + ax ² + bx + c,

де a, b, c - деякі числа.

Свою назву еліптичні криві отримали тому, що деякі функції, тісно пов'язані з цими кривими, потрібні були для вимірювання довжин еліпсів (а, отже, і довжин планетних орбіт). Рівняння такого виду називаються кубічними. Проблема еліптичних кривих, як і проблема докази Великої теореми Ферма, полягає в питанні, чи мають відповідні їм рівняння цілочисельні рішення, і якщо мають, то скільки.

Осінню 1984 року обрана група фахівців з теорії чисел зібралася на симпозіум в Обервольфахе, невеликому містечку в Німеччині, в Шварцвальді. Учасники симпозіуму мали намір обговорити успіхи у вивченні еліптичних кривих. Природно, що деякі з доповідачів збиралися зробити повідомлення про продвижениях, які їм вдалося досягти при дослідженні гіпотези Таніями-Шимури. Один із виступаючих, математик з Саарбрюкена Герхард Фрей висловив вельми примітна твердження. На його думку, якби кому-небудь вдалося довести гіпотезу Таніями-Шимури, то тим самим була б доведена і Велика теорема Ферма. Це твердження було згодом доведено професором Каліфорнійського університету Кеном Рібет.

Завдання на все життя

Одного разу по дорозі зі школи додому Ендрю Уайлс вирішив зазирнути в бібліотеку на Мілтон-роуд. У порівнянні з бібліотеками університетських коледжів ця бібліотека була досить бідною, але вибір книг по цікавій математиці в ній був багатим, і ці книги часто привертали увагу Ендрю. Їх сторінки були вщерть заповнені всякого роду науковими курйозами і завданнями-головоломками, і на кожне питання існував готовий відповідь, дбайливо поміщений десь в кінці книги. Але на цей раз Ендрю вивудив книгу, в якій йшлося лише про одну-єдину завданню, і вирішення її не доводилось.

Це була книга Еріка Темпла Белла «Велика проблема». Тридцять років по тому після того, як він вперше прочитав цю книгу, Вайлс розповідав, що він відчув при першій зустрічі з Великою теоремою Ферма. «Вона виглядала такою простою, і все ж великі уми в історії математики не змогли довести її. Переді мною була проблема, зрозуміла мені, десятирічному хлопчикові, і я відчув, що з того самого моменту я ніколи не зможу відступитися від цієї проблеми. Я повинен був вирішити її ».

Більше 300 років багато хто з найбільших математиків намагалися знову відкрити втрачене доказ Ферма, але марно. З невдачею чергового покоління наступне покоління відчувало все більше розчарування і рішучість. Велика теорема Ферма, проблема, над вирішенням якої математики ламали голови протягом століть, захопила уяву і юного Ендрю Уайлса.

Понад два століття будь-яка спроба відкрити заново доказ Великої теореми Ферма закінчувалася невдачею. В юнацькі роки Ендрю Уайлс вивчив праці Ейлера, Жермен, Коші, Ламі і, нарешті, Куммера. Вайлс сподівався, що йому вдасться витягти уроки з помилок, допущених великими попередниками, але на той час, коли він став старшекурсником Оксфордського університету, на його шляху встала та ж кам'яна стіна, перед якою зупинився Куммер.

Цілком можливо, що всі методи, необхідні для доказу Великої теореми Ферма, вже були в розпорядженні математиків, і що єдиним відсутньою інгредієнтом був якийсь дотепний хід. Вайлс не збирався здаватися: дитяча мрія про доведення Великої теореми Ферма перетворилася в глибоке і серйозне захоплення. Ознайомившись з усім, що можна було дізнатися про математику XIX століття, Уайлс вирішив взяти на озброєння методи XX століття.

У 1975 році Ендрю Уайлс вступив до аспірантури Кембриджського університету. У найближчі три роки він мав працювати над дисертацією на здобуття наукового ступеня Рh. D. (доктора філософії) і за цей час як би пройти свій послух математика-підмайстра. У кожного аспіранта є свій керівник і наставник. У Уайлса їм був австралієць Джон Коутс, професор з коледжу Еммануеля, що жив у себе на батьківщині в містечку Посум Браш в Новому Південному Уельсі.

В останнє десятиліття все, що робив Вайлс, було направлено на підготовку до вирішальної сутички з Великою теоремою Ферма, але тепер, коли він вступив до лав професійних математиків, йому доводилося бути більш прагматичним. Як згадує Уайлс, він був змушений тимчасово відмовитися від своєї мрії. «Прийшовши в Кембридж, я відклав Ферма в сторону. Не те, щоб я забув про теорему - вона завжди була зі мною, але я раптом усвідомив, що ті методи, якими ми намагалися довести її, існували вже близько 130 років. Мабуть, вони не дозволяли дійти до коренів проблеми. Працюючи над доведенням теореми Ферма, ви могли витратити роки і залишитися ні з чим. Працювати над улюбленою проблемою - одне задоволення, поки виходить цікава математика, навіть якщо проблему не вдається вирішити до кінця дня. Доброю математичної проблемою за визначенням вважається така, яка породжує хорошу математику. Важлива математика, а не сама проблема ».

Вайлс відмовився від усього, що не було прямо пов'язане з доведенням Великої теореми Ферма. Він перестав брати участь у вічній низці конференцій та симпозіумів. Залишаючись співробітником математичного факультету Прінстонського університету, Вайлс продовжував проводити навчальні семінари, читати лекції для студентів і керувати курсовими та дипломними роботами.

З того самого моменту, коли Уайлс прийняв важливе для себе рішення зайнятися систематичним пошуком докази гіпотези Таніями-Шимури, він намірився працювати в повній ізоляції і секретності. У сучасній математиці склалася культура кооперації і співробітництва, тому прийняте Уайлсом рішення могло б здатися поверненням в минуле. Він ніби наслідував образу дій самого Ферма, самому знаменитому з математичних пустельників. Своє рішення працювати в обстановці повної секретності Вайлс частково пояснює бажанням працювати без перешкод, не відволікаючись від основного завдання: «Я розумів, що все, що має якесь відношення до Великої теореми Ферма, викликає занадто великий інтерес. Не можна як слід зосередитися на вирішенні важливого завдання, якщо повністю не відволіктися від усього стороннього. Занадто багато глядачів свідомо заважають досягненню мети ».

Ще одним мотивом обраного Уайлсом курсу на самоту і секретність була його жага слави. Вайлс побоювався, що коли він виконає основну частину докази, але йому не буде діставати заключного елемента викладок, звістка прорив просочиться назовні - і ніщо не завадить якомусь супернику з числа колег-математиків скористатися виконану Уайлсом роботою, завершити доказ і викрасти нагороду.

Щоб не викликати підозр, Уайлс придумав хитру штуку, яка повинна була збити його колег зі сліду. На початку 80-х років він виконав велике дослідження одного конкретного типу еліптичної кривої і вже зібрався було опублікувати його повністю, але відкриття Рібет і Фрея змусили його змінити свої наміри. Вайлс вирішив публікувати своє дослідження «по шматочках», по одній невеликій статті кожні півроку. Це повинно було переконати його колег в тому, що він все ще продовжує займатися своїми звичайними дослідженнями. І стільки часу, скільки він зможе підтримувати свою «димову завісу», Вайлс зможе продовжувати без перешкод займатися предметом своєї істинної пристрасті, що не повідомляючи нікому про отримані результати

Після року роздумів Уайлс вирішив обрати за основу докази загальний метод, відомий під назвою індукції. Індукція - надзвичайно потужний спосіб докази, оскільки він дозволяє математику довести, що твердження справедливе для нескінченно багатьох випадків, довівши, що воно справедливо тільки в одному випадку.

«Одного разу ввечері, в кінці літа 1986 року, я попивав чай ​​в гостях у свого приятеля. У бесіді він між іншим згадав про те, що Кену Рібет вдалося довести існування взаємозв'язку між гіпотезою Таніями-Шимури і доказом Великої теореми Ферма. Я відчув себе так, немов через мене пропустили потужний електричний розряд. Мені відразу стало ясно, що відтепер весь хід мого життя круто змінився: адже від докази Великої теореми Ферма мене відділяло тепер тільки одна перешкода: доказ гіпотези Таніями-Шимури. Значить, моя дитяча мрія - не порожній звук, а цілком реальна справа, яким варто займатися. Не зволікаючи ні хвилини, я відправився додому і взявся за роботу »- розповідав Уайлс.

8 березня 1988 року Уайлс відчув шок, побачивши на перших шпальтах газет набрані великим шрифтом заголовки, говорить: «Велика теорема Ферма доведена». Газети «Washington Post» і «New York Times» повідомляли, що тридцятивосьмирічний Іоічі Мияока з токійського Метрополітен університету вирішив найважчу математичну проблему в світі. Поки Мияока ще не опублікував своє підтвердження, але в загальних рисах виклав його хід на семінарі в Інституті Макса Планка з математики в Бонні. Дон Цагір, який був присутній на доповіді Мияоки, висловив оптимізм математичного співтовариства в наступних словах: «Представлене Мияокой доказ надзвичайно цікаво, і деякі математики вважають, що воно з високою ймовірністю опиниться правильним. Повної впевненості ще немає, але поки доказ виглядає вельми обнадійливим ».

Через два тижні після свого виступу в Бонні Мияока опублікував п'ять сторінок обчислень, які становлять суть його докази, і почалася ретельна перевірка. Фахівці з теорії чисел і геометрії алгебри у всіх країнах світу вивчали, рядок за рядком, опубліковані обчислення. Через кілька днів математики виявили в доказі одне протиріччя, яке не могло не викликати занепокоєння.

Ще через два тижні Герд Фалтінгс, що проклав шлях Мияока, оголосив про те, що виявив точну причину уявного порушення - пробіл в міркуваннях. Японський математик був геометром і при перекладі своїх ідей на менш знайому територію теорії чисел не був абсолютно суворий. Армія фахівців з теорії чисел зробила відчайдушні зусилля залатати діру в доказі Мияоки, але марно. Через два місяці після того, як Мияока заявив про те, що має в своєму розпорядженні повним доказом Великої теореми Ферма, математичне співтовариство прийшло до одностайної висновку: доказ Мияоки приречене на провал.

Вайлс, про який світ тоді ще нічого не знав, з полегшенням зітхнув. Велика теорема Ферма як і раніше залишалася непереможеною, і він міг продовжувати боротися з нею, сподіваючись довести її за допомогою гіпотези Таніями-Шимури. Через три роки безперервних зусиль, Уайлсу вдалося зробити ряд проривів. Він застосував до еліптичних кривих групи Галуа, розглядаючи «образи» цих кривих в просторах над арифметикою відрахувань по модулю ступеня простого числа. Тим самим, йому вдалося зробити перший крок міркування по індукції.

У 1990 році Уайлс виявився в дуже великій скруті. На її обстеження у нього пішло майже два роки. Перепробувавши всі відомі на той час методи і підходи, про які йшлося в опублікованих роботах, Уайлс виявив, що всі вони не годяться для вирішення його проблеми. «Я був переконаний, що стою на правильному шляху, хоча це аж ніяк не означало, що мені неодмінно вдасться досягти поставленої мети. Методи, необхідні для вирішення цікавила мене проблеми, могли виявитися лежать за межами сучасної математики. Могло статися і так, що методи, необхідні мені для завершення докази, будуть створені років через сто. Одним словом, навіть якщо я був на правильному шляху, цілком могло виявитися, що я живу не в тому столітті ».

Вайлс не занепав духом і наполегливо продовжував працювати над проблемою і весь наступний рік. Він почав вивчати підхід, відомий під назвою «теорія Івасави». Ця теорія була метод аналізу еліптичних кривих, який Уайлс вивчав в свої аспірантські роки в Кембриджі під керівництвом Джона Коутса. Хоча теорія Івасави в своєму первісному вигляді була непридатна до цікавила Уайлса проблеми, але він сподівався, що йому вдасться належним чином модифікувати її.

До літа 1991 року Уайлс програв бій: теорію Івасави не вдалося пристосувати до вирішення проблеми.Він знову звернувся до наукових журналів і монографіях, але все ж не зміг знайти альтернативний метод, який дозволив би йому здійснити необхідний прорив. Протягом останніх п'яти років Уайлс жив в Прінстоні як відлюдник, але тепер він вирішив, що настав час повернутися в круговорот науковому житті і познайомитися з останніми математичними чутками.

«У той рік я дуже наполегливо працював, але виявилося, метод, який я намагався застосувати і вдосконалити, пов'язаний з надзвичайно тонкою технікою, якої я по-справжньому не володів. Було необхідно виконати колосальний обсяг досить важких обчислень, для виконання яких мені потрібно було вивчити багато нового.

На початку січня 1993 року я вирішив, що мені необхідно довіритися кому-небудь, хто розбирається в тій геометричній техніці, яку я винайшов для розрахунків. Експерта я вибирав дуже ретельно: адже мені треба було довірити йому свою таємницю, і я повинен був бути впевнений в тому, що він не розголосить її. Я вирішив розповісти про все Ніку Катцу ».

Професор Нік Катц також працював на математичному факультеті Прінстонського університету і знав Уайлса кілька років. Все, що зробив Уайлс, було відкриттям, і Катцу довелося грунтовно подумати над тим, як краще здійснити перевірку.

По завершенні перевірки, Вайлс зосередив усі свої зусилля на завершенні докази. І ось, після семи років роботи в поодинці Вайлс нарешті завершив доказ гіпотези Таніями-Шимури і вважав, що його мрія - довести Велику теорему Ферма - майже здійснилася.

«Отже, до травня 1993 року я був у переконанні, що Велика теорема Ферма в моїх руках, - згадує Уайлс. - Мені хотілося ще раз перевірити доказ, а в кінці червня в Кембриджі мала відбутися конференція, і я подумав, що кращого місця для того, щоб повідомити про моє доказі, годі й шукати, адже Кембридж - моє рідне місто, і я вчився там в аспірантурі ».

Ледве Вайлс закінчив свою лекцію в Кембриджі, як комісію Вольфскеля сповістили про те, що Велика теорема Ферма, нарешті, доведена. Премія не могла бути вручена негайно, так як, за правилами конкурсу, ясним і чітким, були потрібні підтвердження правильності докази з боку інших математиків і офіційна публікація докази. Королівське наукове товариство в Геттінгені свого часу офіційно повідомило всіх про те, що «до розгляду допускаються тільки математичні мемуари, представлені у вигляді статей в періодичних виданнях або наявні в книжкових крамницях ... Премія присуджується Товариством не раніше, ніж через два роки після опублікування мемуара, удостоєного премії. Дворічний проміжок часу необхідний для того, щоб німецькі та іноземні математики мали можливість висловити свою думку з приводу опублікованого рішення ».

Але у вирішальній частині міркування була помилка, але настільки тонка, що Вайлс помітив її тільки після того, як йому її вказали. Описати, в чому суть помилки в простих термінах неможливо: для цього вона занадто абстрактна. Навіть для того, щоб пояснити її математику, від останнього потрібна була б готовність затратити два-три місяці для ретельного вивчення рукопису з доказом.

Вайлс спочатку припускав, що чергова помилка настільки ж несерйозна, як і попередні, але наполегливість Катца, який знайшов помилку, змусила поставитися до неї серйозніше: «Я не міг негайно відповісти на поставлене мені питання, який виглядав цілком безневинно. Мені здавалося, що питання того ж порядку, що і інші, але десь у вересні я почав розуміти, що мова йшла не про якийсь незначною труднощі, а про фундаментальне прогалині.

Про те, що відбувається пронюхали газети і нагадали математикам про провал сенсації 1986 року зі доказом Великої теореми Ферма Мияокой. Історія повторювалася. Фахівці з теорії чисел тепер очікували послання по електронній пошті з повідомленням про те, що в доказі виявлено невиправна прогалина. Деякі математики висловили сумнів в тому, що доказ буде отримано за літо, і тепер їх песимізм здавався цілком виправданим.

Але, незважаючи ні на що, Вайлс відмовлявся публікувати свій рукопис. Після семи років наполегливих зусиль, йому зовсім не посміхалося відійти від проблеми і спостерігати, як хтось інший завершить доказ і викраде його славу. Переможцем стане не той, хто виконав велику частину роботи, а той, хто зробить заключний крок і дасть світу закінчене доказ. Вайлс знав, що якщо рукопис буде опублікована з помилкою в доказі, то він негайно буде похований під купою питань і прохань пояснити ту чи іншу деталь, і це остаточно відверне його від справи і зруйнує надії на те, що йому самому вдасться виправити доказ.

Уайлсу був потрібен фахівець, який вільно володіє сучасними математичними методами і здатний, до того ж, зберігати таємницю. По зрілому міркуванні Уайлс вирішив запросити до себе в Прінстон для спільної роботи Річарда Тейлора, вченого з Кембриджського університету.

Хоча бій, яке Уайлс вів з найважчою математичної проблемою світу, мабуть, було приречене на поразку, він міг, озирнувшись на сім останніх років, втішити себе свідомістю того, що все ж він досяг непоганих результатів.

Він жваво згадує ті фатальні дні: «У понеділок 19 вересня я з ранку сидів у себе в кабінеті, вивчаючи метод, за допомогою якого будував доказ. Я не сподівався на те, що мені вдасться змусити його заробити, але хотів принаймні з'ясувати, чому цей метод не спрацьовує. Я розумів, що хапаюся за соломинку, але хотів до кінця розібратися в причинах спіткала мене невдачі. Раптово, абсолютно несподівано, на мене зійшло осяяння. На наступний день я обійшов моїх колег з математичного факультету і запросив їх заглянути до мене в кабінет і подивитися, чи все в порядку зі знайденим мною напередодні рішенням. З рішенням все було в порядку. Я був у нестямі від збудження. Це був найважливіший момент за всю мою математичну кар'єру. Ніщо з того, що мені судилося здійснити, не могло зрівнятися з пережитим моментом ».

На цей раз ніяких сумнівів в доведенні не було. Дві статті загальним обсягом в 130 сторінок були піддані самому ретельному аналізу, якому коли-небудь піддавалися математичні рукописи за всю історію людства, і в травні 1995 року були опубліковані в журналі «Annals of Mathematics».

За вісім років наполегливої ​​праці Уайлс, по суті, звів докупи всі досягнення теорії чисел XX століття, вибудувавши з них одне надпотужне доказ. Переслідуючи свою головну мету, Вайлс попутно створював абсолютно нові докази і використовував їх в немислимих раніше поєднаннях з традиційними методами.

За допомогою гіпотези Таніями-Шимури Вайлс об'єднав еліптичний і модулярних світи і, тим самим, проклав математики шляху до багатьох інших доказів: проблеми, що стоять в одній області, можуть бути вирішені за аналогією з проблемами з паралельної області. Класичні невирішені проблеми теорії еліптичних кривих стало можливим піддати перегляду, використовуючи всі наявні засоби і методи теорії модулярних форм.

література

1) Сингх С. Велика теорема Ферма

2) Белл Т. Е. Велика проблема

3) Белл Т. Е. Геніальні математики

4) Хіт Т. Історія грецької математики

зміст

суть теореми

біографія Ферма

Перший серйозний прорив

Підхід Софі Жермен

два конверта

новий імпульс

парадокс математики

Підхід з позиції грубої сили

Догляд в абстракцію

Завдання на все життя

література