|
Р Е Ф Е Р А Т
Історія розвитку комплексних чисел
1. Історія розвитку комплексних чисел
Введення комплексних чисел було пов'язано з відкриттям рішення кубічного рівняння, тобто ще в 16 столітті.
І до цього відкриття при вирішенні квадратного рівняння x 2 + + = px доводилося стикатися з випадком, коли було потрібно витягти квадратний корінь з (p / 2) 2 - q, де величина (p / 2) 2 була менше, ніж q. Але в такому випадку укладали, що рівняння не має рішень. Про введення нових (комплексних) чисел в цей час (коли навіть негативні числа вважалися "помилковими") не могло бути й думки. Але при вирішенні кубічного рівняння за правилом Тартальи виявилося, що без дій над уявними числами не можна отримати дійсний корінь.
Теорія комплексних чисел розвивалася повільно: ще в 18 столітті найбільші математики світу сперечалися про те, як знаходити логарифми комплексних чисел. Хоча за допомогою комплексних чисел вдалося отримати багато важливих фактів, що відносяться до дійсних числах, але саме існування комплексних чисел багатьом здавалося сумнівним. Вичерпні правила дій з комплексними числами дав і в 18 столітті російський академік Ейлер - один з найвидатніших математиків всіх часів і народів. На рубежі 18 і 19 століть було зазначено Вессель (Данія) і Арганом (Франція) геометричне зображення комплексних чисел. Але на роботи Весселя і Аргана не звернули уваги, і лише в 1831 р коли той же спосіб був розвинений великим математиком Гауссом (Німеччина), він став загальним надбанням.
2 .Про комплексних числах.
У зв'язку з розвитком алгебри треба було ввести понад перш відомих позитивних і негативних чисел числа нового роду. Оніі називаються комплексними.
Комплексне число має вигляд a + bi; тут a і b - дійсні числа, а i - число нового роду, зване уявною одиницею.
"Уявні" числа становлять приватний вид комплексних чисел
(Коли а = 0). З іншого боку, і дійсні числа є приватним видом комплексних чисел (коли b = 0).
Дійсне число a назвемо абсцисою комплексного числа a + bi; дійсне число b - ординатою комплексного числа
a + bi. Основна властивість числа i полягає в тому, що добуток
ня i * i дорівнює -1, тобто
i 2 = -1. (1)
Довгий час не вдавалося знайти такі фізичні величини, над якими можна виконувати дії, підлеглі тим же правилам, що і дії над комплексними числами - зокрема правилом (1). Звідси назви: "уявна одиниця", "уявне число" і т.п. В даний час відомий цілий ряд таких фізичних величин, і комплексні числа широко застосовуються не тільки в математиці, але також і у фізиці і техніці.
Залишимо осторонь питання про геометричному або фізичному сенсі числа i, тому що в різних областях науки цей сенс різний.
Правило кожної дії над комплексними числами виводиться з визначення цієї дії. Але визначення дій над комплексними числами не вигадані довільно, а встановлені з таким розрахунком, щоб узгоджувалися з правилами дій над числами. Адже комплексні числа повинні розглядатися не у відриві від дійсних, а спільно з ними.
3. Угода про комплексних числах.
1. Дійсне число а записується також у вигляді a + 0i (або a - 0i).
П р и м і р и. Запис 3 + 0i позначає те ж, що запис 3. Запис -2 + 0i означає -2.
2. Комплексне число виду 0 + bi називається "чисто уявним". Запис bi позначає те ж, що 0 + bi.
3. Два комплекной a + bi, a '+ b'i вважаються рівними, якщо у них відповідно рівні абсциси і ординати, т. Е. Якщо
a = a ', b = b'. В іншому випадку комплексні числа не рівні. Це визначення підказується наступним міркуванням. Якби могло існувати, скажімо, така рівність:
2 + 5i = 8 + 2i, то за правилами алгебри ми мали б i = 2, тоді як i не повинно бать дійсним числом.
З а м е год а зв і е. Ми ще не визначили, що таке з л про ж е н і е комплексних чисел. Тому, строго кажучи, ми ще не в праві стверджувати, що число 2 + 5i є сума чисел 2 і 5i. Точніше було б сказати, що у нас є пара дійсних чисел: 2 (абсциса) і 5 (ордината); ці числа породжують число нового роду, умовно позначається 5 + 7i.
4.Сложеніе комплексних чисел
Про п р е д е л е н і е. Сумою комплексних чисел a + bi і a '+ b'i називають комплексне число (a + a') + (b + b ') i.
Це визначення підказується правилами дій з Обачним многочленами.
Приклад 1. (-3 + 5i) + (4 - 8i) = 1 - 3i
Приклад 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так як запис 2 + 0i означає те ж, що і 2 і т. Д., То наповнене дію узгоджується зі звичайною арифметикою (2 + 7 = 9).
Приклад 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. Е. 2i + 5i = 7i
Приклад 4. (-2 + 3i) + (- 2 - 3i) = - 4
У прикладі 4 сума двох комплексних чисел дорівнює дійсному числу. Два комплексних числа a + bi і a-bi називаються сполученими. Сума пов'язаних комплексних чисел дорівнює дійсному числу.
З а м е год а зв і е. Тепер, коли дія складання визначено, ми маємо право розглядати комплексне число a + bi як суму чисел a і bi. Так, число 2 і число 5i в сумі дають число 2 + 5i.
4.Вичітаніе комплексних чисел.
Про п р е д е л е н і е. Різницею комплексних чисел a + bi (зменшуване) і a '+ b'i (від'ємник) називається комплексне число (a - a') + (b - b ') i.
Приклад 1. (-5 + 2i) - (3 - 5i) = -8 + 7i
Приклад 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6
5.Умноженіе комплексних чисел.
Визначення множення комплексних чисел встановлюється з таким розрахунком, щоб 1) числа a + bi і a '+ b'i можна було множити, як алгебраїчні двочлена, і щоб 2) число i мало властивістю i 2 = - 1. В силу вимоги 1) твір (a + bi) (a '+ b'i) повинна дорівнювати aa' + (ab '+ ba') i + bb'i 2, а в силу вимоги 2) цей вислів має рівнятися (aa '- bb') + (ab '+ ba') i. Відповідно до цього встановлюється наступне визначення.
Про п р е д е л е н і е. Твором комплексних чисел a + bi і a '+ b'i називається комплексне число
(Aa '- bb') + (ab '+ ba') i.
З а м е год а зв і е 1. Рівність i 2 = -1 до встановленого правила множення комплексних чисел носило характер вимоги. Тепер воно випливає з визначення. Адже запис i 2, т. Е. I * i, рівнозначна записи (0 + 1 * i) (0 + 1 * i). Тут a = 0, b = 1, a '= 0, b' = 1 Маємо aa '- bb' = -1, ab '+ ba' = 0, так що твір є -1 + 0i, т. Е. - 1.
З а м е год а зв і е 2. На практиці немає потреби користуватися формулою твори. Можна перемножити ці цифри, як двочлен, а потім покласти, що i 2 = -1.
Приклад 1. (1 - 2i) (3 + 2i) = 3 - 6i + 2i - 4i 2 = 3 - 6i + 2i + 4 = 7 - 4i.
Приклад 2. (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2
Приклад 2 показує, що твір сполучених комплексних чисел є дійсне і притому позитивне число.
6. Розподіл комплексних чисел.
Всоответсвіі з визначенням розподілу дійсних чисел встановлюється наступне визначення.
Про п р е д л е н і е. Розділити комплексне число a + bi на комплексне число a '+ b'i - значить знайти таке число x + yi, яке, будучи помножена на дільник, дасть ділене.
Якщо дільник не дорівнює нулю, то розподіл завжди можливо, і приватна єдино (доказ дивись в зауваженні 2). На практиці приватне найзручніше знаходити наступним чином.
Приклад 1. Знайти приватне (7 - 4i) :( 3 + 2i).
Записавши дріб (7 - 4i) / (3 + 2i), розширюємо її на число 3 - 2i, поєднане з 3 + 2i. отримаємо:
((7 - 4i) (3 - 2i)) / ((3 + 2i) (3 - 2i)) = (13 - 26i) / 13 = 1 - 2i.
Приклад 1 предудущей параграфа дає перевірку.
Приклад 2. (-2 + 5i) / (- 3 -4i) = ((-2 + 5i) (- 3 - 4i)) / ((- 3 - 4i) (-3 + 4i)) = (-14 -23i) / 25 = -0,56 - 0.92i.
Проступаючи, як в прикладах 1 і 2, знайдемо загальну формулу:
Щоб довести, що права частина дійсно є приватним, досить помножити її на a '+ b'. Отримаємо a + bi.
З а м е год а зв і е 1. Формулу (1) було б прийняти за визначення розподілу.
З а м е год а зв і е 2. Формулу (1) можна вивести ще в такий спосіб. Згідно з визначенням, ми повинні мати: (a '+ b'i) (x + yi) = a + bi. Значить, повинні задовольнятися наступні два рівняння:
a'x - b'y = a; b'x + a'y = b.
Ця система має єдине рішення:
якщо a '/ b' = -b '/ a', т. е. якщо a '2 + b' 2 = 0.
Залишається розглянути випадок a '2 + b' 2 = 0. Він можливий лише тоді, коли a '= 0 і b' = 0, т. Е. Коли дільник a '+ b'i дорівнює нулю. Якщо при цьому і ділене a + bi одно нулю, то приватне не визначено. Якщо ж ділене не дорівнює нулю, то приватне не існує (кажуть, що воно дорівнює нескінченності).
7. Геометричне зображення комплексних чисел.
Дійсні числа можна зобразити точками прямої лінії, як показано на фіг.1, де точка А зображує число; а точка В - число -5. Ці ж числа можна зображати також
відрізками ОА, ОВ, враховуючи не тільки їх довжину, а й напрямок.
Кожна точка М "числової прямої" зображує деяке дійсне число (раціональне, якщо відрізок ОМ порівняємо з одиницею довжини, і ірраціональне, якщо непорівнянний). Таким чином, на числової прямої не залишається місця для комплексних чисел.
Але комплексні числа можна зобразити на числової площині прямокутну систему координат з одним і тим же масштабом на обох осях (фіг.2). Комплексне число a + bi ми зображуємо точкою М, у якій абсциса х (на фіг.2 х = ВР =
= QM) дорівнює абсциссе а комплексного, а ордината у (OQ = РM) дорівнює ординате b комплексного числа.
П р и м і р и. На фіг. 3 точка А з абсцисою х = 3 і ординатою у = 5 зображує комплексне число 3 + 5i. Точка В зображує комплексне число -2 + 6i; точка С - комплексне число - 6 - 2i; точка D - комплексне число 2 - 6i.
Дійсні числа (в комплексній формі вони мають вигляд a + 0i) зображують точками осі Х, а чисто уявні - точками осі У.
П р и м і р и. Точка К на фіг. 3 зображує дійсне число 6, точка L - чисто уявне число 3i; точка N - чисто уявне число - 4i. Початок координат зображують число 0.
Зв'язані комплексні числа зображуються парою точок, симетричних щодо осі абсцис; так, точки С і С 'на фіг. 3 зображують сполучені числа -6 - 2i і - 6 + 2i.
Комплексні можна зображувати також відрізками, які починаються часткою в точці О і закінчуються у відповідній точці числової площині. Так, комплексне число -2 + 6i можна зобразити не тільки точкою В (фіг. 4), але також вектором ОВ; комплексне число -6 - 2i зображується вектором ОС і т. д.
З а м е год а зв і е. Даючи будь - якого відрізку найменування "вектор", ми підкреслюємо, що істотне значення має не тільки довжина, але і напрямок відрізка.
8. Модуль і аргумент комплексного числа.
Довжина вектора, який зображує комплексне число, називається модулем цього комплексного числа. Модуль будь-якого комплексного числа, що не рівного нулю, є позитивне число. Модуль комплексного числа a + bi позначається | a + bi |, а також буквою r. З креслення видно, що
r = | a + bi | = A 2 + b 2
Модуль дійсного числа збігається з його абсолютним значенням. Зв'язані комплексні числа a + biua - bi мають один і той же модуль.
9. Геометричний сенс додавання і віднімання
комплексних чисел.
Нехай вектори ОМ і ОМ '(фіг.4) зображують комплексні числа z = x + yiuz '= x' + y'i. З точки М проведемо вектор МК, рівний OM '. Тоді вектор ОК зображує суму даних комплексних чисел.
Побудований зазначеним чином вектор ОК називається геометричній сумою векторів ОМ і ОМ '.
Отже, сума двох комплексних чисел представляється сумою векторів, що зображують окремі складові.
Довжина сторони ОК трикутника ОМК менше суми і більше різниці довжин ОМ і МК. Тому
|| z | - | z '|| <| Z + z '| <| Z | + | Z '|.
Равенствоімеет сенс тільки в тих випадках, коли вектори ОМ і ОМ 'мають однакові (фіг.5) або протилежні (фіг.6) напрямки. У першому випадку | OM | + | OM '| = | OK |, т. Е. | Z + z '| = | z | + + | Z '|. У другому випадку | z + z '| = || z | - | z '||.
10. Тригонометрична форма комплексного числа.
Абсциса а й ордината b комплексного числа a + bi виражаються через модуль r і агрумент q. формулами
a = r cos q; b = r sin q.
Тому будь-яке комплексне комплексне число можна представити у вигляді r (cosq + isinq), де r> 0.
Цей вислів називається нормальної тригонометричної формою або, коротше, тригонометричної формою комплексного числа.
Матеріал існользовался з книги
М. Я. Вигодський; Довідник з елементарної математики: -
- Державне видавництво фізико-математичної літератури; Москва; 1960
|