Комплексні числа. Історія відкриття

Комплексні числа. Історія відкриття

Окрім цього, і навіть проти волі того чи іншого математика, уявні числа знову і знову з'являються на викладках, і лише поступово, у міру того, як виявляється користь від їх вживання, вони отримують більше і більш широке поширення.

Ф. Клейн

Давньогрецькі математики вважали "справжніми" тільки натуральні числа. Поступово складалося уявлення про нескінченність безлічі натуральних чисел.

У III столітті Архімед розробив систему позначення аж до такого величезного, як . Поряд з натуральними числами застосовували дробу - числа, складені з цілого числа часток одиниці. У практичних розрахунках дробу застосовувалися за дві тисячі років до н. е. в стародавньому Єгипті і Стародавньому Вавилоні. Довгий час вважали, що результат вимірювання завжди виражається або у вигляді натурального числа, або у вигляді відношення таких чисел, тобто дробу. Давньогрецький філософ і математик Піфагор вчив, що "... елементи чисел є елементами всіх речей, і весь світ в цілому є гармонією і числом". Найсильніший удар по цим поглядом було завдано відкриттям, зробленим одним з піфагорійців. Він довів, що діагональ квадрата непорівнянна зі стороною. Звідси випливає, що натуральних чисел і дробів недостатньо для того, щоб висловити довжину діагоналі квадрата зі стороною 1. Є підстави стверджувати, що саме з цього відкриття починається ера теоретичної математики: відкрити існування несумірних величин за допомогою досвіду, не вдаючись до абстрактного міркування, було неможливо.

Наступним важливим етапом у розвитку поняття про число було введення негативних чисел - це було зроблено китайськими математиками за два століття до н. е. Негативні числа застосовував в III столітті давньогрецький математик Діофант, який знав уже правила дій над ними, а в VII столітті ці числа вже детально вивчили індійські вчені, які порівнювали такі числа з боргом. За допомогою негативних чисел можна було єдиним чином описувати зміни величин. Уже в VIII столітті було встановлено, що квадратний корінь з позитивного числа має два значення - позитивне і негативне, а з негативних чисел квадратний корінь витягати не можна: немає такого числа , щоб _.

У XVI столітті, в зв'язку з вивченням кубічних рівнянь, виявилося необхідним видобувати квадратні коріння із негативних чисел. У формулі для вирішення кубічних рівнянь виду кубічні і квадратні коріння: .

Ця формула безвідмовно діє в разі, коли рівняння має один дійсний корінь ( ), А якщо воно має три дійсних кореня ( ), То під знаком квадратного кореня чинився негативне число. Виходило, що шлях до цього коріння веде через неможливу операцію вилучення квадратного кореня з негативного числа. Слідом за тим, як були вирішені рівняння 4-го ступеня, математики посилено шукали формулу для рішення рівняння 5-го ступеня. Але Руффини (Італія) на рубежі XVIII і XIX століть довів, що буквене рівняння п'ятого ступеня не можна вирішити алгебраїчно; точніше, не можна виразити його корінь через літерні величини a, b, c, d, e за допомогою шести алгебраїчних дій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня).

У 1830 році Галуа (Франція) довів, що ніяке загальне рівняння, ступінь якого більше ніж 4, не можна вирішити алгебраїчно. Проте, будь-яке рівняння n-го ступеня має (якщо розглядати і комплексні числа) n коренів (серед яких можуть бути і рівні). У цьому математики були переконані ще в XVII столітті (грунтуючись на розборі численних приватних випадків), але лише на рубежі XVIII і XIX століть згадана теорема була доведена Гауссом.

Італійський алгебраїст Дж. Кардано в 1545 році запропонував ввести числа нової природи. Він показав, що система рівнянь , Яка не має рішень у множині дійсних чисел, має рішення виду , , Потрібно тільки домовитися діяти над такими виразами за правилами звичайної алгебри і вважати, що . Кардано називав такі величини "чисто негативними" і навіть "софистически негативними", вважав їх марними й намагався їх не вживати. Справді, за допомогою таких чисел не можна висловити ні результат вимірювання якої-небудь величини, ні зміна якої-небудь величини. Але вже в 1572 році вийшла книга італійського алгебраиста Р. Бомбелли, в якій були встановлені перші правила арифметичних операцій над такими числами, аж до вилучення з них кубічних коренів. Назва "уявні числа" ввів в 1637 році французький математик і філософ Р. Декарт, а в 1777 році один з найбільших математиків XVIII століття - Л. Ейлер запропонував використовувати першу букву французького слова imaginaire (уявний) для позначення числа (Уявної одиниці). Цей символ увійшов до загального вжитку завдяки К. Гауса. Термін "комплексні числа" також був введений Гауссом в 1831 році. Слово комплекс (від латинського complexus) означає зв'язок, поєднання, сукупність понять, предметів, явищ і т. Д., Що утворюють єдине ціле.

Протягом XVII століття тривало обговорення арифметичної природи уявних чисел, можливості дати їм геометричне обгрунтування.

Поступово розвивалася техніка операцій над уявними числами. На рубежі XVII і XVIII століть була побудована загальна теорія коренів n-их ступенів спочатку з негативних, а за тим з будь-яких комплексних чисел, заснована на наступній формулі англійського математика А. Муавра (1707): . За допомогою цієї формули можна було так само вивести формули для косинусів і синусів кратних дуг. Л. Ейлер вивів в 1748 році чудову формулу: , Яка пов'язувала воєдино показову функцію з тригонометричної. За допомогою формули Л. Ейлера можна було зводити число e в будь-яку комплексну ступінь. Цікаво, наприклад, що . Можна знаходити sin і cos від комплексних чисел, обчислювати логарифми таких чисел, тобто будувати теорію функцій комплексного змінного.

В кінці XVIII століття французький математик Ж. Лагранж зміг сказати, що математичний аналіз вже не ускладнюють уявні величини. За допомогою уявних чисел навчилися висловлювати рішення лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння зустрічаються, наприклад, в теорії коливань матеріальної точки в чинять опір середовищі. Ще раніше швейцарський математик Я. Бернуллі застосовував комплексні числа для рішення інтегралів.

Хоча протягом XVIII століття з допомогою комплексних чисел було вирішено багато питань, в тому числі і прикладні завдання, пов'язані з картографією, гідродинаміки і т. Д., Проте ще не було строго логічного обгрунтування теорії цих чисел. Тому французький вчений П. Лаплас вважав, що результати, отримані за допомогою уявних чисел, - тільки наведення, яка купує характер справжніх істин лише після підтвердження прямими доказами.

"Адже ніхто не сумнівається в точності результатів, одержуваних при обчисленнях з уявними кількостями, хоча вони являють собою тільки алгебраїчні форми ієрогліфи безглуздих кількостей", - писав Л. Карно.

В кінці XVIII століття, на початку XIX століття було отримано геометричне тлумачення комплексних чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган і німець К. Гаусс незалежно один від одного запропонували зобразити комплексне число точкою на координатної площині. Пізніше виявилося, що ще зручніше зображати число не самої точкою M, а вектором , Що йде в цю точку з початку координат. При такому тлумаченні додавання і віднімання комплексних чисел відповідають цим же операціям над векторами. вектор можна задавати не тільки його координатами a і b, але також довжиною r і кутом j, який він утворює з позитивним напрямом осі абсцис. При цьому , _, І число z приймає вид , Який називається тригонометричної формою комплексного числа. Число r називають модулем комплексного числа z і позначають . число називають аргументом z і позначають ArgZ. Зауважимо, що якщо , Значення ArgZ не визначене, а при воно визначено з точністю до кратного . Згадана раніше формула Ейлера дозволяє записати число z у вигляді (Показова форма комплексного числа).

Геометричне тлумачення комплексних чисел дозволило визначити багато понять, пов'язаних з функцією комплексного змінного, розширило область їх застосування.

Стало ясно, що комплексні числа корисні у багатьох питаннях, де мають справу з величинами, які зображуються векторами на площині: при вивченні течії рідини, завдань теорії пружності.

Після створення теорії комплексних чисел виникло питання про існування "Гіперкомплексні" чисел - чисел з кількома "уявними" одиницями.Таку систему виду , де , Побудував в 1843 році ірландський математик У. Гамільтон, який назвав їх "кватернионами". Правила дії над кватернионами нагадує правила звичайної алгебри, однак їх множення не має властивість коммутативности (переместительности): наприклад, , а . Гіперкомплексні числа не є темою мого реферату, тому я лише згадую про їхнє існування.

Великий внесок у розвиток теорії функцій комплексного змінного внесли російські і радянські вчені: Н. І. Мусхелишвили займався її застосуванням до пружності, М. В. Келдиш та М. А. Лаврентьєв - до аеро- і гідродинаміки, Н. Н. Богомолов і В . С. Владимиров - до проблем квантової теорії поля.

бібліографічний список

1. Енциклопедичний словник юного математика.

2. Шкільний словник іншомовних слів.

3. Вигодський М. Я. Довідник з елементарної математики.