Історія розвитку математики

Вейерштрасс спочатку вважав властивості дійсних і комплексних чисел самоочевидними. Пізніше він, як і Г. Кантор (1845 - 1918) і Р. Дедекинд (1831 - 1916), усвідомив необхідність побудови теорії ірраціональних чисел. Вони дали коректне визначення ірраціональних чисел і встановили їх властивості, однак властивості раціональних чисел як і раніше вважали самоочевидними. Нарешті, логічна структура теорії дійсних і комплексних чисел придбала свій закінчений вигляд в роботах Дедекинда і Дж. Пеано (1858 - 1932). Створення підстав числової системи дозволило також вирішити проблеми обгрунтування алгебри.

Завдання посилення суворості формулювань евклідової геометрії була порівняно простий і зводилася до перерахування визначаються термінів, уточнення визначень, введення відсутніх аксіом і заповненню прогалин в доказах. Це завдання виконав в 1899 Г.Д. Гільберт (1862 - 1943). Майже в той же час були закладені і основи інших геометрій. Гільберт сформулював концепцію формальної аксіоматики. Одна з особливостей запропонованого ним підходу - трактування невизначених термінів: під ними можна мати на увазі будь-які об'єкти, що задовольняють аксіомам. Наслідком цієї особливості з'явилася зростаюча абстрактність сучасної математики. Евклидова і неевклідова геометрії описують фізичний простір. Але в топології, що є узагальненням геометрії, невизначених термін "точка" може бути вільний від геометричних асоціацій. Для топології точкою може бути функція або послідовність чисел, так само як і будь-що інше. Абстрактне простір являє собою безліч таких "точок"

Аксіоматичний метод Гільберта увійшов майже в усі розділи математики XIX в. Однак незабаром стало ясно, що цього методу притаманні певні обмеження. У 1880-х Кантор спробував систематично класифікувати нескінченні безлічі (наприклад, безліч всіх раціональних чисел, множина дійсних чисел і т.д.) шляхом їх порівняльної кількісної оцінки, приписуючи їм т. Н. трансфінітні числа. При цьому він виявив в теорії множин протиріччя. Таким чином, до початку XX в. математикам довелося мати справу з проблемою їх дозволу, а також з іншими проблемами підстав їх науки, такими, як неявне використання т. зв. аксіоми вибору. І все ж ніщо не могло зрівнятися з руйнівним впливом теореми неповноти К. Геделя (1906 - 1978). Ця теорема стверджує, що будь-яка несуперечлива формальна система, досить багата, щоб утримувати теорію чисел, обов'язково містить нерозв'язне пропозицію, тобто твердження, яке неможливо ні довести, ні спростувати в її рамках. Тепер загальновизнано, що абсолютного докази в математиці не існує. Щодо того, що такий доказ, думки розходяться. Однак більшість математиків схильне вважати, що проблеми підстав математики є філософськими. І дійсно, жодна теорема не змінилася внаслідок знову знайдених логічно строгих структур; це показує, що в основі математики лежить не логіка, а здорова інтуїція.

Якщо математику, відому до 1600 р можна охарактеризувати як елементарну, то в порівнянні з тим, що було створено пізніше, ця елементарна математика нескінченно мала. Розширилися старі області і з'явилися нові, як чисті, так і прикладні галузі математичних знань. Виходять близько 500 математичних журналів. Величезна кількість публікованих результатів не дозволяє навіть фахівцеві ознайомитися з усім, що відбувається в тій області, в якій він працює, не кажучи вже про те, що багато результати доступні розумінню лише фахівця вузького профілю. Жоден математик сьогодні не може сподіватися знати більше того, що відбувається в дуже маленькому куточку науки.

бібліографічний список

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуджує наука. Математика Стародавнього Єгипту, Вавилона і Греціі.М., 1959.

2. Юшкевич А.П. Історія математики в середні века.М., 1961.

3. Даан-Дальмедіко А., Пейффер Ж. Шляхи і лабіринти. Нариси з історії математікі.М., 1986.

4. Клейн Ф. Лекції про розвиток математики в XIX столетіі.М., 1989.