|
Історія розвитку поняття "функція"
Функція - одне з основних математичних і загальнонаукових понять. Воно зіграло і понині грає велику роль в пізнанні реального світу.
Пропедевтичний період (з найдавніших часів до 17 століття)
Ідея функціональної залежності перегукується з давнини. Її зміст виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, в перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі і обсягу тих чи інших фігур. Так, вавилонські вчені (4 - 5 тис. Років тому) нехай і несвідомо, встановили, що площа кола є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеною формули: S = 3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків та індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кола і квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали в якості геометричних образів відповідної залежності.
Введення поняття функції через механічне і геометричне уявлення (17 століття)
Починаючи лише з 17 століття в зв'язку з проникненням в математику ідеї змінних поняття функції явно і цілком свідомо застосовується.
Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Вієт і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, яка незабаром отримала загальне визнання. Введено було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту: x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту: a, b, c, ... і т. Д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані , але і багато інших; в математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.
Крім того, у Декарта і Ферма (1601 - 1665) в геометричних роботах з'являється чітке уявлення змінної величини і прямокутної системи координат. У своїй "Геометрії" в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати точки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно уявити за допомогою рівнянь, притому переважно алгебраїчних. Поступово поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного виразу - формули. У 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, яка змінюється з плином часу (він називав її "флюент").
В "Геометрії" Декарта і роботах Ферма, Ньютона і Лейбніца поняття функції носило, по суті, інтуїтивний характер і було пов'язане або з геометричними, або з механічними уявленнями: ординати точок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т. п.
Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття)
Саме слово "функція" (від латинського functio - здійснення, виконання) вперше було вжито німецьким математиком Лейбніцем в 1673 в листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого змінюється по якомусь певному закону), у пресі він його ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 Лейбніц ввів також терміни "змінна" і "константа". У 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, яка б пов'язала одну змінну з іншого. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Йоганн Бернуллі (1667 - 1748), який в 1718 році визначив функцію наступним чином: "функцією змінної величини називають кількість, освічене яким завгодно способом з цієї змінної величини і постійних". Для позначення довільній функції від x Бернуллі застосував знак j (x), називаючи характеристикою функції, а також літери x чи e; Лейбніц вживав x1, x2 замість сучасних f1 (x), f2 (x). Ейлер позначив через f: y, f: (x + y) то, що ми нині позначаємо через f (x), f (x + y).
Поряд з цим Ейлер пропонує використовувати літери F, Y і інші. Даламбер зробив крок вперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапка Ейлера; він пише, наприклад, jt, j (t + s).
Остаточну формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Ейлер (у "Запровадження в аналіз нескінченного"): "Функція змінного кількості є аналітичний вираз, складене якимось чином з цієї кількості і чисел або постійних кількостей". Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717 - 1783), Лагранж (1736 - 1813), Фур'є (1768 - 1830) та інші видатні математики. Що стосується Ейлера, то він не завжди дотримувався вищевказаного визначення; в його роботах поняття функції піддавалося подальшого розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.
В "Диференціальному обчисленні", що вийшов у світ в 1755 році, Ейлер дає загальне визначення функції: "Коли деякі кількості залежать один від одного таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, то перші називають функцією друге". "Це найменування, - продовжує далі Ейлер, - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими така кількість визначається за допомогою інших".
Як видно з представлених визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним виразом. Нові кроки в розвитку природознавства і математики викликали і подальше узагальнення поняття функції.
Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, з приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію поставити кількома аналітичними виразами?
Великий внесок у вирішення спору Ейлера, Даламбера, Бернуллі та інших вчених 18 століття з приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768 - 1830), який займався в основному математичної фізикою. У поданих ним в Паризьку АН в 1807 - 1811 рр. "Мемуарах з теорії поширення тепла в твердому тілі", Фур'є навів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними виразами.
З праць Фур'є випливало, що будь-яка крива, незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження і що є також переривані криві, зображувані аналітичним виразом. У своєму "Курсі алгебраїчного аналізу", опублікованому в 1721 р, французький математик О. Коші обгрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на деякому етапі розвитку фізики і математики стало ясно, що доводиться користуватися і такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідну математикою і природознавством розширення поняття функції.
Ідея відповідності (19 століття)
У 1834 році в роботі "Про зникання тригонометричних рядків" Н. І. Лобачевський, розвиваючи вищезгадане Ейлеровское визначення функції в 1755 р, писав: "Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, яке дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. значення функції може бути дано і аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб відчувати все числа і вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомою ... Великий погляд теорії допускає існування залежимо сти тільки в тому сенсі, щоб числа, одні з іншими в зв'язку, приймати як би даними разом ".
Ще до Лобачевського аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільний від згадки про аналітичному завданні, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося і до нього. У 1837 році німецький математик П. Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: "y є функція змінної x (на відрізку a
Прикладом, відповідним цьому загальному визначенню, може служити так звана "функція Діріхле" j (x).
Ця функція задана двома формулами і словесно. Вона відіграє певну роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного виразу, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.
У другій половині 19 століття після створення теорії множин в поняття функції, крім ідеї відповідності була включена і ідея безлічі. Таким чином, в повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється так: якщо кожному елементу x безлічі А поставлене відповідність певний певний елемент y з безлічі В, то говорять, що на безлічі А задана функція y = f (x), або що безліч а відображене на безліч В. У першому випадку елементи x безлічі а називають значеннями аргументу, а елементи їх безлічі У - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному розумінні розглядають функції, визначені для безлічі значень x, які, можливо, і не заповнюють відрізка a
Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті грунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, який став класичним
Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...)
Вже з самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, натрапивши на явища, які зажадали більш широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострою після виходу в світ в 1930 році книги "Основи квантової механіки" Поля Дірака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дірак ввів так звану дельта-функцію, яка виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку з цим радянський математик Н. М. Гюнтер й інші вчені опублікували в 30 - 40-х роках нашого століття роботи, в яких невідомими є функції точки, а "функції області", що краще відповідає фізичної сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в точці практично визначити не можна, в той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст.
У загальному вигляді поняття узагальненої функції було введено французом Лораном Шварцем. У 1936 році 28-річний радянський математик і механік С. Л. Соболєв першим розглянув окреме питання узагальненої функції, що включає і дельта-функцію, і застосував створену теорію до вирішення низки завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні і послідовники Шварца - І.М. Гельфант, Г. Е. Шилов та ін.
Методичні рекомендації
Шкільний курс вивчення функції будується за аналогією з розвитком в історії поняття функції.
До 7 класу йде накопичення знань, необхідних для введення поняття функції. Розглядаються залежності площ фігур від довжини їх сторін, радіусів; вирішуються завдання, в яких одна величина залежить від іншої і т. д. Цей курс можна назвати пропедевтичної.
У 7 класі вперше дається визначення поняття "функція".
Дається визначення функції з урахуванням ідеї залежності і відповідності однієї величини від іншої. Після введення визначення поняття можна розповісти про те, де люди зустрічалися з функціональними залежностями, хто вперше ввів цей термін і що означає саме слово "функція". Також в цьому класі вивчаються різні способи завдання функції. Можна більш детально розповісти про табличному способі завдання функції як про найбільш старому: навести приклади з історії математики, розповісти про значення і ролі математичних таблиць для математиків минулих століть. Прикладами можуть служити таблиці квадратів, кубів чисел, арифметичних і квадратних коренів, які учні можуть побачити на форзацах своїх підручників, якими вони будуть користуватися пізніше.
Трохи пізніше можна познайомити учнів з тим, що функція може бути не тільки від однієї змінної, а й від кількох. Корисно буде розповісти про французький математики Николе Оремі і його роботі "Про конфігурації якості", в якій він висловив ідею функціональної залежності від однієї, двох і трьох змінних і її графічному зображенні.
У 9 класі ще раз дається визначення функції з урахуванням ідеї залежності однієї змінної від іншої: "Функцією називають таку залежність змінної y від змінної x, при якій кожному значенню змінної x відповідає єдине значення змінної y". Можна дати учням завдання простежити в історії математики, на якому етапі розвитку поняття функції з'являється таке визначення і хто його запроваджує. Крім того, в цьому класі вводиться символічне позначення функції. Учням необхідно розповісти, хто ввів цю запис.
У 10 - 11 класах вводиться сучасне поняття функції як відповідності між двома множинами: "числовою функцією з областю визначення D називається відповідність, при якому кожному числу x з безлічі D зіставляється по деякому правилу число y, залежне від D". Знову потрібно простежити, коли з'являється вперше таке визначення, в чому його відмінність від раніше існуючих.
Одному - двом учням можна запропонувати підготувати доповідь на тему "Історія розвитку поняття функції". Можна дати порівняння вже відомих їм визначень функції з новим визначенням після того, як ця доповідь буде представлений в класі.
Потрібно нагадати учням про те, що математика виникла з практичних потреб людини, звідси необхідне введення нового визначення функції. Тут потрібно сказати про проблему, з якою зіткнулися фізики, зокрема, Поль Дірак; згадати його дельта-функцію, яка виходить далеко за рамки класичного визначення функції. Необхідно також сказати про роботи, в яких невідомими є функції точки, а "функції області", що краще відповідає фізичної сутності явища.
Потрібно також сказати і про те, що на цьому розвиток поняття функції не зупинилося (поняття узагальненої функції) і, швидше за все, буде змінюватися далі, пристосовуючись до потреб науки.
Заключне заняття по темі "функція"
Побудова занять у формі лекцій корисно в добре підготовлених класах, де школярі здатні сприймати новий матеріал, добре орієнтуються у вивченому матеріалі.
На жаль, таких класів у сучасній школі стає все менше і менше, тому заключне заняття я пропоную провести за таким планом: лекційний матеріал про історію розвитку поняття функції, перевірку і закріплення знань, рішення прикладів і завдань необхідно чергувати. Важливо простежити зв'язок поняття "функція" з іншими предметами, з повсякденним життям.
Лекцію, читану учителем, слухати, безумовно, приємніше, але для учнів краще взяти безпосередню участь в підготовці уроку.
Для проведення заняття я пропоную роздати повідомлення (на 3 - 5 хвилин кожне). Необхідно кожному з доповідачів допомогти в роботі над повідомленням, продумати з ним план виступу, спробувати передбачити питання, які можуть послідувати з аудиторії.
Теми повідомлень можуть бути наступними (частина доповідей можна взяти з представленого реферату, переробивши їх попередньо для наявного рівня знань учнів):
Поняття функції в математиці до 17 століття.
Функції навколо нас (розповідь про значення функції в житті людини).
Поняття функції через механічне і геометричне уявлення (Виет, Декарт).
Функції у фізиці і геометрії.
Аналітичне визначення функції (2 людини: історія + конкретні приклади).
Ідея відповідності.
Приклади використання поняття функції в природознавстві (хімія, біологія).
Сучасне стану поняття "функція" (готує вчитель для найбільш сильних класів).
Про проведення уроку слід оголосити за 3 - 4 тижні, підготувати стінгазету з анонсами майбутніх доповідей.
Сам урок можна провести у вигляді конференції на тему: "Чи потрібна нам функція". Бажано залучення в диспути всіх учнів класу.
прикладна програма
Бернуллі Йоганн (1667 - 1748 рр.)
Швейцарський математик. Був співробітником Лейбніца в розробці диференціального й інтегрального числення, в області яких їм був зроблений ряд відкриттів. Дав перший систематичний виклад диференціального й інтегрального числення, просунув розробку методів розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, поставив класичну задачу про геодезичних лініях і знайшов характерне геометричне властивість цих ліній, а пізніше вивів їх диференціальне рівняння.
Больцано Бернард (1781 - 1848 рр.)
Чеський математик, філософ, теолог. Першим (1817) висунув ідею арифметичної теорії дійсного числа. У його творах можна знайти ряд фундаментальних понять і теорем аналізу, що пов'язують з більш пізніми дослідженнями інших математиків. В "Парадоксах нескінченного" (вид. 1851) Больцано з'явився попередником Кантора в дослідженні нескінченних множин.
Даламбер Жан Лерон (1717 - 1783 рр.)
Французький математик, механік, філософ. Основні математичні дослідження відносяться до теорії звичайних диференціальних рівнянь. Дав (1748) метод вирішення диференціального рівняння другого порядку з приватними похідними, що виражає маліколивання нескінченної однорідної струни (хвильового рівняння), у вигляді суми двох довільних функцій. Йому належать також важливі результати в теорії звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами і систем таких рівнянь першого і другого порядків. В теорії рядів його ім'я носить широко уживаний достатній ознака збіжності. В алгебрі дав перше (недостатньо суворе) доказ основний теореми про існування кореня у алгебраїчного рівняння. Багато праці вклав в "Енциклопедію наук, мистецтв, ремесел", для якої він написав всю фізико-математичну частину.
Декарт Рене (1596 - 1650 рр.)
Французький філософ, математик, фізик. Він є одним з основоположників аналітичної геометрії. У його головному математичному праці "Геометрія» (1637) вперше введено поняття змінної величини, створений метод координат (декартові координати), введені загальноприйняті тепер значки для змінних величин (x, y, z, ...) буквених коефіцієнтів (a, b, c, ...), ступенів (x3, a5, ...). Декарт поклав початок ряду досліджень властивостей рівнянь; сформулював правило знаків для визначення числа, позитивних і негативних коренів (правило Декарта); поставив питання про межі дійсних коренів і висунув проблему приводимість (представлення цілої раціональної функції з раціональними коефіцієнтами у вигляді твору двох функцій такого ж роду); вказав, що рівняння третього ступеня вирішується в квадратних радикалах і його коріння знаходяться за допомогою циркуля і лінійки, коли воно приводиться.
Дірак Поль Адрієн Моріс (1902 - 1984 рр.)
Англійський фізик-теоретик, один із засновників квантової механіки. Основні праці в математиці з функціонального аналізу та математичної фізики (рівняння Дірака, дельта-функція Дірака, статистика Фермі-Дірака). Нобелівська премія (1933).
Дирихле Петер Густав Лежен (1805 - 1859 рр.)
Німецький математик. Основні праці по теорії чисел і математичного аналізу. Вперше точно сформулював і досліджував поняття умовної збіжності ряду (так званий ознака Діріхле), дав (1829) строге доведення можливості розкладання в ряд Фур'є функцій, що має кінцеве число максимумів і мінімумів.
Лейбніц Готфрід Вільгельм (1646 - 1716 рр.)
Німецький математик, фізик, філософ, винахідник, історик, мовознавець. В математиці його найважливішою заслугою є розробка (поряд з Ньютоном) диференціального й інтегрального числення. Дав визначення диференціала і інтеграла, розробив правила диференціювання суми, різниці, твори, приватного будь-якої постійної ступеня, дав визначення екстремальних точок і точок перегину, встановив взаємно зворотний характер основних операцій аналізу - диференціювання і інтегрування. Заклав основи теорії рядів і теорії диференціальних рівнянь. Їм запропоновані математичні символи і терміни, увійшли до загального застосування - функція, диференціал, диференціальні рівняння, алгоритм, координати, алгебраїчні і трансцендентні криві, модель і ін. Винайшов лічильну машину і перший інтегруючий механізм, передбачив деякі ідеї матлогіке, виклав початки теорії визначників.
Лобачевський Микола Іванович (1792 - 1856 рр.)
Російський математик. Творець (+1826) неевклідової геометрії. Дав (1834) метод наближеного рішення алгебраїчних рівнянь вищих ступенів; вніс значний внесок в теорію визначників. В області аналізу Лейбніц отримав нові результати в теорії тригонометричних рядів. Їм же встановлений один з найбільш зручних методів наближеного рішення рівнянь (метод Лобачевського).
Ньютон Ісаак (1643 - 727 рр.)
Англійський фізик, математик, механік і астроном. Одночасно з Лейбніцем, але незалежно від нього, розробив диференціальне та інтегральне числення. Створюючи математику безперервних процесів, Ньютон поклав в основу поняття флюксии (похідною) і флюенти (інтеграла). У роботі "Аналіз за допомогою рівнянь з нескінченним числом членів" (1669, опубл. 1711) дан метод обчислень і обчислень функцій - наближення нескінченними рядами, який мав згодом величезне значення для всього аналізу і його додатків. У цій же праці викладено метод чисельного рішення алгебраїчних виразів (метод Ньютона). Найбільш повний виклад диференціального й інтегрального числення міститься в трактаті "Метод флюксий і нескінченних рядів" (1670 - 71, опубл. 1 736), в якому в механічних і математичних виразах сформульовані обидві взаємно зворотні завдання аналізу, застосований метод флюксий до багатьох геометричним задачам, вирішені завдання інтегрування звичайних диференціальних рівнянь шляхом подання рішення у вигляді нескінченного статечного ряду, дана формула (біном Ньютона) для будь-якого дійсного показника.
Орем Нікола (ок.1323 - 1382 рр.)
Французький математик, фізик і економіст. Довів (бл. 1350) розбіжність гармонійного ряду. У 1368 р виклав вчення про ступінь з дробовими показниками. Написаний ним "Трактат про сферу" зіграв значну роль в розробці французької наукової (астрономічної і географічної) термінології.
Соболєв Сергій Львович (рід. В 1908 р)
Радянський математик. Основні праці по теорії рівнянь з приватними похідними, математичної фізики, функціонального аналізу та обчислювальної математики. Запропонував новий метод вирішення гіперболічних рівнянь з приватними похідними, спільно зі Смирновим В. І. розробив метод функціонально-інваріантних рішень для динамічних коливань шаруватих середовищ. Їм розпочато систематичне застосування функціонального аналізу в теорії рівнянь з приватними похідними. Їм же введений клас функціональних просторів і досліджено співвідношення вкладення для просторів. Ввів поняття узагальненого рішення рівняння з приватними похідними і дав перше (1935) суворе визначення узагальненої функції; за допомогою цих понять розглянув деякі крайові задачі для рівняння з приватними похідними. В області обчислювальної математики Соболєв ввів поняття замкнених обчислювальних алгоритмів, дав вірну оцінку норм похибки кубатурних формул.
Ферма П'єр (1601 - 1665 рр.)
Французький математик. Отримав важливі результати в теорії чисел, алгебри, геометрії, теорії ймовірності. Автор ряду видатних робіт. Ферма є одним з творців теорії чисел, з його ім'ям пов'язані велика і мала теореми Ферма. Разом з Декартом є основоположником аналітичної геометрії. В області методу нескінченно малих дав загальне правило диференціювання статечної функції, яке поширив на будь-які раціональні показники.
Фур'є Жан Батист Жозеф (1768 - 1830 рр.)
Французький математик. У праці "Аналітична теорія тепла" (1822 г.) вивів диференціальне рівняння теплопровідності і розробив метод його інтегрування при різних граничних умовах. В основі його методу лежить уявлення функції тригонометричними рядами (рядами Фур'є). Навів перший приклад розкладання в тригонометричні ряди функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними виразами. Розвинув запропонований Даламбером для вирішення хвильового рівняння метод поділу (метод Фур'є) змінних для вивчення задач про коливання струни і теплопровідності стержня.
Ейлер Леонард (1707 - 1783 рр.)
Математик, фізик, механік, астроном. Народився в Швейцарії. За останні 30 років працював в Петербурзької АН. Список його праць містить близько 850 назв, в їх числі кілька багатотомних монографій по всіх основних розділах сучасної йому математики і її додатків. Заклав основи кількох математичних дисциплін. Перший систематично ввів в розгляд функції комплексного змінного, вивів (1743) формули, що зв'язують тригонометричні функції з показовими. Ейлер створив як самостійну дисципліну теорію звичайних диференціальних рівнянь, і заклав основи теорії рівнянь з приватними похідними. Його ім'я носять підстановки Ейлера (1768) при заміні змінних в спеціальних інтеграли, Ейлерови інтеграли (тисяча сімсот тридцять один), метод ламаних Ейлера (1768) в чисельному рішенні звичайного диференціального рівняння, Ейлерови кути (1748) в перетворенні координат, функція і теорема Ейлера (1763) в теорії чисел, пряма Ейлера (1765) в трикутнику, теорема Ейлера для опуклого багатогранника (1758), Ейлерова характеристика різноманіття, завдання Ейлера про Кенигсбергских мостах (1736). Позначення: f (x) - 1734; e, p - 1736; sin (x), cos (x) - 1748; tg (x) - 1753; Dx, Sx - 1755; i - 1777.
Список літератури
Глейзер Г. І. Історія математики в школі: 7 - 8 клас. М: Просвещение, 1982.
Глейзер Г. І. Історія математики в школі: 9 - 10 клас. М: Просвещение, 1983.
Чистяков В. Д. Історичні екскурси на уроках математики в середній школі. Мінськ: Народна освета, 1969.
Малигін К. А. Елементи історизму в викладанні математики в середній школі. М: Учпедгиз, 1958.
Математичний енциклопедичний словник. М: Сов. Енциклопедія, 1988.
Енциклопедичний словник юного математика. М: Педагогіка, 1989.
|