Історія розвитку ланцюгових дробів та їх застосування

зміст:

Вступ

У обчислювальній практиці дійсні числа замінюють раціональними, при цьому раціональне число вибирають максимально простим у вигляді десяткового дробу з невеликим числом знаків після коми або звичайної з невеликим знаменником. У питаннях наближеного представлення дійсних чисел раціональними дробами велике значення має апарат безперервних (ланцюгових) дробів.

Нескінченної ланцюгової, або безперервної, дробом загального вигляду називають розкладання

де і можуть приймати довільні, відмінні від нуля раціональні значення, може дорівнювати нулю. Якщо в даній дроби все , ( ), То дріб буде називатися правильної ланцюгової дробом.

Також розрізняють розгалужені ланцюгові дроби:

Дробу такого виду широко застосовуються в багатьох питаннях обчислювальної математики.

У своїй основі питання теорії ланцюгових дробів доступні учням початкової школи. Її алгоритми засновані на застосуванні алгоритму Евкліда, виділення цілої частини числа. Її завдання пов'язані з апроксимацією дійсних чисел і спираються на теорію раціональних і дійсних чисел.

Мета даної роботи - вивчити ланцюгові дроби загального вигляду, розглянути можливі способи апроксимації дійсних чисел раціональними дробами і вибрати оптимальний, що дає найкращі наближення.

завдання:

1. розглянути питання історії, що стосуються появи і розвитку ланцюгових дробів, а також їх додатків;

2. оволодіти алгоритмами знаходження відповідних дробів для дійсних чисел;

3. вивчити основні властивості відповідних дробів ланцюгового дробу;

4. розглянути різні способи оцінки похибки, що виникають при апроксимації дійсних чисел раціональними дробами;

5. вибрати найкращі способи апроксимації дійсних чисел;

6. підібрати приклади для ілюстрації теоретичних положень.

Етапи дослідження:

1. 2003-2004 Курсова робота: «Наближення дійсних чисел ланцюговими (безперервними) дробом»

2. 2004-2005 Курсова робота: «Систематичні ланцюгові дроби як апарат уявлення дійсних чисел в школі»

3. 2005-2006 Випускна кваліфікаційна робота «Апроксимація дійсних чисел раціональними дробами».

Дослідна перевірка розробленого факультативу була проведена в 8-му класі ліцею ім. М.В.Ломоносова р Йошкар-Ола в 2004-2005 навчальному році. Даний курс підтвердили інтерес учнів до даної теми, гарне засвоєння теорії і успішність її застосування до вирішення завдань. За результатами апробації була опублікована стаття «Вивчення ланцюгових дробів на факультативних заняттях з математики» [18]. Результати досліджень доповідалися на науковій студентській конференції в 2005, 2006 році.

Робота складається з вступу, трьох розділів і висновку. Перша глава містить питання історії появи і розвитку ланцюгових дробів, в ній також розглядається застосування безперервних дробів в теорії чисел і аналітичної теорії, а також їх застосування в інших областях науки. У другу главу включені елементи теорії ланцюгових дробів: уявлення дійсних чисел правильними ланцюговими дробами, наближення дійсних чисел підходящими дробами, оцінка похибки при заміні дійсного числа раціональної дробом. У третьому розділі показується, що відповідні дроби є найкращими наближеннями дійсного числа.

Посилання в роботі, відмічені квадратними дужками, вказують на джерело під відповідним номером у списку літератури, а посилання, відмічені круглими дужками, відносяться до матеріалу даної роботи.

1. Історія розвитку ланцюгових дробів та їх застосування

1.1 Історія появи і розвитку ланцюгових дробів

За деякими відомостями ланцюгові дроби застосовувалися вже математиками Стародавньої Греції. Наприклад, алгоритм Евкліда (III ст. До н.е.) тісно пов'язаний з ланцюговими дробами. Можливо, що при знаходженні наближення до числа Архімед (бл. 287-212 до н.е.) користувався методом, близькому до розкладання в ланцюгову дріб.

У 1858 році був знайдений в курортному містечку на Нілі древній папірус, його називають також Папірусом Ахмеса на ім'я писаря, переписавши його в 1650 році до н. е. Якщо Архімед жив в III столітті до нашої ери, то папірус Ринда відноситься, як мінімум, до XVII; адже Ахмеса був тільки переписувачем, а автор (чи, радше, автори цієї праці) невідомий, але він жив ще раніше. У папірусі Ринда міститься дивна формула для обчислення площі круга: , Де S-площа, а D - діаметр кола. Формула дана в вигляді рецепта: «Візьми діаметр кола і відкинь його дев'яту частку; на що залишається побудуй квадрат ». Тут використовуються найкращі раціональні наближення. Важко сказати, однак, як єгиптяни знайшли цей коефіцієнт. Його могли знайти і просто підбором - що абсолютно виключено в разі наближень , Знайдених Архімедом.

Відомо, що китайський астроном Цзу Чун-чжі (V ст. Н.е.) показав, що π укладено між 3,1415926 і 3,1415927. він вказав в якості раціонального наближення до π величину .

З середньовічних математиків близько підійшов до ланцюговим дробям Омар Хайям (бл. 1048-1122). Він поклав їх в основу своєї ідеї реформи календаря. Тривалість року по його наближенням становила доби і становила похибка всього 19 секунд в рік [4].

Але вперше ланцюгові дроби як такі з'являються в «Алгебрі» італійського математика Рафаель Бомбелли (1526-1572), що вийшов в 1572 р в статті, написаній в той час, коли в Італії і Франції вперше з'явилися алгебраїчні поняття і позначення. Бомбелли прийшов до ланцюговим дробям, вивчаючи витяг квадратного кореня з чисел. Першим відомим використанням неперервного дробу є наближене вираження для наступного виду [17]. Це окремий випадок формули .

Наступне за часом застосування ланцюгового дробу, причому знову-таки до вилучення квадратних коренів належить італійському математику П'єтро Антоніо Катальді (1552-1626), їм було запропоновано другий окремий випадок цієї формули: .У 1613 р він ввів при записі ланцюгового дробу повторне застосування дробової риси, тобто вже нині позначення ланцюгового дробу, тільки замість + він вживав перлюет (&), тобто скорочене позначення латинського союзу et (і). І його запис розкладання виглядала наступним чином: = 4 & & ... Крім розкладання ірраціонального числа в ряд Катальді ще й знайшов наближення цього числа: і , Між якими укладено (Хоча він не знав способу послідовного обчислення відповідних дробів). При цьому Катальді зауважив, що значення ланцюгового дробу завжди укладено між сусідніми придатними дробами.

Катальді і Бомбелли прийшли до ланцюговим дробям, виходячи з добування квадратного кореня з чисел, а Даніель Швентер (1585-1636), німецький математик, прийшов до ланцюговим дробям шляхом наближеного представлення звичайних дробів з великими числителями і знаменниками. Він розкладав звичайну дріб в ланцюгову, використовуючи таблицю, за допомогою вельми цікавого способу [25]. Таким чином, він знайшов рекурентні співвідношення для послідовного обчислення числителей і знаменників відповідних дробів. Але при цьому Швентер розглядав тільки правильні дроби - дроби, числители яких усі рівні одиниці, а всі знаменники є натуральними числами.

В середині XVII століття англійський математик Джон Валліс (1616-1703) першим за часом розклав трансцендентне число в нескінченне твір: ..., а У. Броункер (1620-1686), перший президент Королівського товариства, близько 1659 р без докази опублікував розкладання його в ланцюгову дріб: .

Наступний крок у розвитку теорії ланцюгових дробів був зроблений Християном Гюйгенсом (1629-1695). Він будував модель сонячної системи за допомогою набору зубчастих коліс. За розрахунками виявилося, що відношення числа зубців двох будь-яких коліс має бути рівним відношенню часів звернення двох планет навколо Сонця. Це відношення виражається досить точно в вигляді (нескоротного) дроби з великим числителем і великим знаменником. Виготовлення ж таких зубчастих коліс, практично дуже складно. Тоді Гюйгенс знайшов серед дробів з меншим чисельником і меншим знаменником відповідну дріб до числа [16]. Як і Швентер, Гюйгенс вирішив цю задачу за допомогою розкладання звичайного дробу в ланцюгову дріб і тому обмежився розглядом правильних ланцюгових дробів. Завдяки чому була знайдена відповідна дріб , Апроксимуюча дріб з великими чисельником і знаменником, і має похибку, яка становить лише десятитисячний частку від одиниці. Гюйгенс звернув увагу на те, що не можна знайти звичайну дріб з меншими чисельником і знаменником, ніж відповідна, яка була б ближче до значення ланцюгового дробу; а також, що відповідні дроби поперемінно то більше, то менше значення ланцюгового дробу.

Можна сказати, що ланцюговими дробами займалися від випадку до випадку, і першим, хто систематизував знання про ланцюгових дробах і виклав повну їхню теорію, наскільки це було можливо зробити в ту епоху, був Леонард Ейлер (1707-1783). Він опублікував свою першу роботу в 1744 р, в якій розглядав ланцюгову дріб загального вигляду і вперше з'являються відповідні ланцюгові дроби. Слід зауважити, що сам термін «ланцюгова дріб» з'явився лише в XVIII столітті, а до цього часу використовувалося поняття «безперервна дріб». Друга робота Ейлера, що вийшла в 1750 р, фактично була її продовженням, в ній розглядалися питання про застосування ланцюгових дробів для розв'язання диференціальних рівнянь, алгоритм знаходження відповідних дробів, перетворення числових рядів в рівноцінні ланцюгові дроби, уявлення ірраціональних чисел в ланцюгові дроби і знаходження для деяких з них відповідних дробів. З його робіт стало ясно, що безперервні дроби можуть застосовуватися як в теорії чисел, так і в аналізі. Ейлера також належать і багато інших робіт, пов'язані з вивченням і застосуванням ланцюгових дробів.

1.2 Застосування ланцюгових дробів в теорії чисел

Завданнями, що відносяться до теорії чисел, є розкладання дійсних чисел в правильні безперервні дроби і апроксимації дійсних чисел за допомогою ланцюгових (безперервних) дробів. Тут найбільш важливим є питання про ступінь наближення, яке забезпечує n-я підходяща дріб і про оцінку похибки при заміні дійсного числа відповідним дробом.

Великий внесок у теорію правильних безперервних дробів вніс Жозеф Луї Лагранж (1736-1813), який довів, що квадратичні ірраціональності є саме ті числа, які мають періодичні розкладання (починаючи з деякого n) [8]. Їм запропоновано нерівність, що оцінює похибка при заміні дійсного числа його відповідним дробом, а також рішення рівняння Пелля , де і - ірраціональне число [14, гл.6, §4, С. 196] у вигляді пари {P _n ( ), Q _n ( )} Для деяких значень n. Закінчене рішення цього завдання дав Адрієн Марі Лежандр (1752-1833); приватні рішення були вже отримані Ейлером (рівняння Пелля цікаво, зокрема, тим, що може бути використано при вирішенні задач адитивної теорії чисел, таких, як, наприклад: «кожне просте число виду 4n + 1 є сумою двох квадратів». - Такий результат сформулював П'єр Ферма (1601-1665) і вперше довів Ейлер. Доказ же, засноване на безперервних дробах, дав Карл Фрідріх Гаус (1777-1855)).

Еваріст Галуа (1811-1832) в своїй першій опублікованій роботі дослідив деякі періодичні правильні безперервні дроби. Він дав визначення двоїстих періодичних правильних безперервних дробів [5, Гл.3, 3.3, С.71].

Жозеф Лиувилль (1809-1882) першим довів існування трансцендентних чисел. У 1851 р він зазначив, що алгебраїчні числа не можуть бути досить точно апроксимувати раціональними числами. Він довів, що для - кореня неприводимого полінома з цілими коефіцієнтами ступеня n існує константа з: 0 <1, що для всіх відповідних дробів виконується нерівність [2, гл.29, п.2, Т 270, С. 264]. Використовуючи цей результат, він отримав можливість привести скільки завгодно багато прикладів трансцендентних чисел.

Результат, отриманий Адольф Гурвіцем (1859-1919) в 1891 полягає в тому, що нерівність завжди має нескінченне число раціональних рішень (Т. 12, С. 33). Еміль Борель (1871-1956) дав просте доказ цього факту, помітивши, що серед будь-яких трьох наступних одна за одною наступних дробів правильного безперервно-дробового розкладання є хоча б одна, яка задовольняє даній нерівності.

Відтінок теорії міри надали цим результатам Борель і Фелікс Бернштейн (1878-1956), які довели, що для майже всіх х: 0 <1, послідовність {a _n} не обмежена. А.Я.Хінчін (1894-1959) дав подальший розвиток цього напрямку - він заснував метричну теорію неперервних дробів [21].

1.3 Застосування ланцюгових дробів в аналітичній теорії

Значний внесок в аналітичну теорію вніс Ейлер. Їм були отримані розкладання в безперервні дроби для інтегралів і статечних рядів, включаючи і розходяться, а також показав, як розкладання Броункера для може бути виведено або з формули приведення Валліса, або з знакозмінного ряду Грегорі - Лейбніца для . Іншим внеском Ейлера було рішення диференціального рівняння Риккати за допомогою безперервних дробів. В аналітичному напрямку теорії ланцюгових дробів працювали Іоганн Генріх Ламберт (1728-1777) (розклав в безперервні дроби ln (1 + x), arctgx і tgx; і повністю досліджував питання збіжності неперервних дробів до цих функцій), Лагранж, Гаусс, Карл Густав Якобі (1804-1851). Дев'ятнадцяте століття стало часом бурхливого розвитку аналітичної теорії ланцюгових дробів. Методи безперервних дробів використовувалися при вивченні спеціальних функцій, для знаходження конкретних чисельних результатів. В області теорії розкладання і збіжності неперервних дробів, елементами яких є лінійні функції комплексної змінної, працювали такі математики, як П'єр Симон Лаплас, Лежандра, Якобі, Ейзенштейн, Лаггер, Бернхард Ріман (1826-1866), Томас Іоаннес Стилт'єсу, П.Л. Чебишев (1821-1894), Фробениус (1849-1917) і Анрі Пуанкаре (1854-1912). Ці дослідження надали далеко, що йде вплив на подальший розвиток математики. Особливо це відноситься до робіт Стилтьеса, які привели до таких важливих досліджень, як проблема моментів, теорія інтеграла Стілтьєса, початок систематичного вивчення збіжності послідовностей голоморфних функцій і перше застосування Гильбертом і його школою апарату спектральної теорії самосопряженних операторів в гільбертовому просторі до проблеми моментів. У роботах Пуанкаре і Стилтьеса, в яких розкладання в безперервні дробу застосовувалися в зв'язку з розбіжними рядами, по-видимому, вперше з'явилися асимптотичні розвинення.

Методи, розроблені Фробеніуса і Паде в кінці XIX століття для наближення аналітичних функцій відповідними дробами безперервних дробів під загальною назвою апроксимацій Паде, стали головним обчислювальним засобом в задачах статистичної механіки і фізики твердого тіла, швидко поширюючись на інші розділи теоретичної фізики.

Гейне в 1846-1847 рр. займався гіпергеометричних функцій. Проблемою збіжності неперервних дробів для відносин цих функцій - Ріман, і більш повно це питання було розглянуто Томе. Рішення завдання уявлення довільних статечних рядів ланцюговими дробами було розпочато Штерном в 1832 р і Хейлерманом в 1846 і продовжено Фробеніуса і Стилт'єсу. Інтерес до цієї теми проявляли багато математики, їх роботи відігравали велику роль для науки. Нею також активно займалися і російські вчені: в XIX столітті роботи П.Л. Чебишева, А.А.Маркова (1856-1922), І.В.Слешинского та інших математиків внесли значний вклад в теорію ланцюгових дробів.

У Марійському педагогічному інституті під керівництвом А.Н.Хованского в 50-60-і роки XX століття працювала аспірантура, в якій займалися дослідженням аналітичних питань ланцюгових дробів. Надалі успішно захистили кандидатські дисертації і опублікували ряд робіт Г.В. Маурер [10, 11, 12, 13], Л.П. Шутова [26], C.С. Хлопонін [22, 23], В.К. Смишляєв [19].

Таким чином, завдяки систематичному вивченню Ейлером ланцюгових дробів, багато математики, що працюють в Росії і за її межами, зацікавилися цим питанням і продовжили його вивчення в своїх роботах. Величезна кількість робіт, присвячених теорії ланцюгових дробів, говорить про широкі можливості застосування її до різних областей науки.

1.4 Додатки ланцюгових дробів

Ланцюгові і розгалужені ланцюгові дроби мають ряд унікальних властивостей, що забезпечують їм широке використання в теоретичної та прикладної математики. Цим і пояснюється підвищений інтерес математиків до даної теорії протягом кількох століть.

Застосування ланцюгових дробів при вирішенні класичної завдання давнини про побудову квадрата, рівновеликого даному колу (квадратура кола) зіграло свою роль при знаходженні значення числа π. Проблема складання календаря тісно пов'язана з ланцюговими дробами. Вперше порядок в рахунку часу спробував навести в I в. до. н.е. римський імператор Юлій Цезар, але його календар був недостатньо точний. За юліанським календарем до XVI в. накопичилася помилка, складова вже близько 10 діб. В результаті чого була проведена наступна реформа календаря папою римським Григорієм XIII, ім'ям якого і називається діюча система календаря. Рішенням цього завдання займалися багато математики серед них і Омар Хайям, про його системі календаря було розказано раніше. У 1864 р російським астрономом І. Медлером була запропонована ще одна поправка до юліанським календарем, заснована на знаходженні вже четвертої підходящої дробу до запису тривалості астрономічного року в вигляді ланцюгового дробу. Рішенням ще одного завдання XVII століття займався Х. Гюйгенс при побудові планетарію (С.8).

В даний час в теоретичному плані безперервні дроби грають істотну роль, так як дозволяють посилити і розвинути результати класичної математики на випадок багатьох аргументів, причому сам апарат ланцюгових дробів найчастіше підказує формулювання такого роду узагальнень, зокрема, в теорії чисел.

Ланцюгові дроби широко застосовуються в теорії чисел: узагальнені деякі основні алгоритми (алгоритм Евкліда, Остроградського, Ейлера), знайдено рішення класичної задачі про алгебраїчних ірраціональних вищих ступенів, знайдені окремі рішення деяких діофантових рівнянь і їх систем.

Ланцюгові дроби дають велику перевагу в точності при наближеному знаходженні коренів квадратних рівнянь; обчисленні логарифмів чисел.

Ланцюгові дроби дозволяють будувати алгоритми для обчислення коренів алгебраїчних рівнянь довільного ступеня. У обчислювальній практиці використовуються при вирішенні порівнянь першого ступеня, також зручні у використанні дрібно-раціональні апроксимації функцій одного аргументу ланцюговими дробами за допомогою формул Обрешкова або Тіле за методом Паде [24, Гл.3, §1, С.147]. Вони також використовуються в теорії порівнянь.

На базі ланцюгових дробів побудовані деякі ефективні методи розв'язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь, невизначених рівнянь виду [14, Гл.3, §4, п.2, С. 81], [14, гл.6, §4, С. 196], рівнянь рекуррентного типу, і інших типів рівнянь. Рішення задачі Коші для лінійних систем диференціальних рівнянь з приватними похідними можна уявити розгалуженим ланцюговими дробами, при накладенні деяких умов до системи і початкових умов.

Ланцюгові дроби використовуються для знаходження наближених уявлень функцій. Ці наближення, що є дрібно-раціональними функціями від незалежних змінних успішно замінюють цю функцію в тих областях зміни аргументу, де, наприклад, розкладання цієї функції в статечної ряд розходиться і де, отже, наближення у вигляді многочленів в більшості випадків незастосовні. При використанні дрібно-раціональних наближень відпадає необхідність обчислювати високі ступеня аргументу і з'являється можливість обчислювати значення окремих функцій.

Теорія матричних розгалужених ланцюгових дробів дозволяє вирішити такі завдання: витяг квадратного кореня, кореня третьої, четвертої ступеня і кореня будь-якого раціональної ступеня за допомогою матриць, рішення рівнянь за допомогою матриць другого порядку, рішення рівнянь вищих ступенів за допомогою матриць. (Матричні рекурентні рівняння застосовуються в задачах економіки, фізики, плазми і ін.) [24, Гл.4, С. 176].

В даний час ланцюгові дроби знаходять все більше застосування в обчислювальній техніці, так як дозволяють будувати ефективні алгоритми для вирішення ряду завдань на ЕОМ.

Крім теоретичного використання правильних ланцюгових дробів існують і практичне використання ланцюгових дробів. Серед усього їх безлічі можна відзначити наступні:

· Рішення обернених задач теплопровідності [6];

· Дослідження механічних коливань в Валопроводи різних енергетичних установок [20];

· Синтез пристроїв частотної селекції на функціональних времязадающих елементах [3];

· Дослідження стійкості, дослідження сталих і перехідних процесів, стабілізація систем, дослідження та забезпечення якості систем, дослідження випадкових процесів, оптимізація параметрів і ряд інших проблем в техніці, зокрема, в автоматиці, радіоелектроніці, приладобудуванні і ін. [1].

література

1. Боднарчук, П.І. Успіхи і задачі теорії ланцюгових і розгалужених ланцюгових дробів / П.І. Боднарчук, В.Я. Скоробогатько // Ланцюгові дроби їх застосування: зб. наукових праць / під ред. В.Я. Скоробогатько. Інститут математики АН УРСР. - Київ, 1976. - С. 5 - 8

2. Бухштаб, А.А. Теорія чисел / А.А. Бухштаб. - Изд. 2-е, перераб. і доп. - М .: Просвещение, 1966. - 384 с.

3. Гапоненко, Н.П. Ланцюгові дроби в синтезі пристроїв частотної селекції на функціональних времязадающей елементах / Н.П.Гапоненко, Н.Н.Рябец // ланцюгові дроби їх застосування: зб. наукових праць / під ред. В.Я. Скоробогатько. Інститут математики АН УРСР. - Київ, 1976. - С. 48 - 49.

4. Глейзер, Г.І. Історія математики в середній школі. Посібник для вчителів / Г.І. Глейзер. - М .: Просвещение, 1970. - 461с., Мул.

5. Джоунс, У. Безперервні дробу. Аналітична теорія і додатки / У. Джоунс, В. Трон; Переклад з англ. В. Е. Кондрашова, С. Б. Корольова та І. Г. Турундаевской; під ред. І. Д. Софронова - М .: Світ, 1985. - 416 с.

6. Зотов, Е.Н. Рішення обернених задач теплопровідності за допомогою ланцюгових дробів / Е.Н.Зотов, Н.П.Пучков, Ю.С. Шаталов // Ланцюгові дроби їх застосування: зб. наукових праць / під ред. В.Я. Скоробогатько. Інститут математики АН УРСР. - Київ, 1976. - С. 56 - 57.

7. кучерява, Г.А. Збірник завдань по теорії чисел / Г.А. Кучерява. - М .: Просвещение, 1970. - с.

8. Ламберт, І.Г. Попередні відомості для тих, хто шукає квадратуру і випрямлення кола. / І.Г. Ламберт // Про квадратуру кола: зб. наукових праць / під ред. акад. С.Н.Бернштейна. - М .: Державне техніко-теоретичне видавництво, 1934. - С. 169-198

9. Математична енциклопедія: В 5 т. Т. 5: Ланцюгові дроби. - М .: Радянська енциклопедія, 1985.

10. Маурер, Г.В. Рішення одного диференціального рівняння Риккати за допомогою ланцюгових дробів / Г.В. Маурер // Ланцюгові дроби їх застосування: зб. наукових праць / під ред. В.Я. Скоробогатько. Інститут математики АН УРСР. - Київ, 1976. - С. 76 - 77.

11. Маурер, Г.В. Про розкладання в ланцюгові дроби деяких граничних випадків функції Гейне. / Г.В. Маурер // Волзький математичний збірник: праці математичних кафедр педагогічних інститутів Поволжя / КГПИ - вип. 5. - Казань: Видавництво казанського університету, 1966. - С. 211-221.

12. Маурер, Г.В. Про рішеннях деяких діофантових рівнянь другого ступеня. / Г.В. Маурер // Друга Всеросійська школа-колоквіум по стохастичним методам: тези доповідей. - М .: ТВП, 1995.

13. Маурер, Г.В. Рішення деяких невизначених рівнянь другого ступеня за допомогою ланцюгових дробів загального вигляду / Г.В. Маурер // Вчені записки МГПИ ім. Н. К. Крупської: Т. 26.- Йошкар-Ола, 1965. - С. 431-442.

14. Міхеловіч, Ш.Х. Теорія чисел / Ш.Х. Міхеловіч. - Изд. 2-е, перераб. і доп. - М .: Вища школа, 1967. - 336 с.

15. Нивен, А. Числа раціональні та ірраціональні / А. Нивен; переклад з англ. В.В. Сазонова; під ред. І.М. Яглом - М .: Світ, 1966. - 199с.

16. Пічуріна, Л.Ф. За сторінками підручника алгебри: книга для учнів 7-9 класів пор. школи / Л.Ф. Пічуріна - М .: Просвещение, 1990. - 237с.

17. Рудіо, Р. Огляд історії завдання про квадратуру кола від давнини до наших днів. / Р. Рудіо // Про квадратуру кола / під ред. акад. С.Н.Бернштейна. - М .: Державне техніко-теоретичне видавництво, 1934. - С. 9-94

18. Семенова, Е.Д. Вивчення ланцюгових дробів на факультативних заняттях з математики. / Е.Д. Семенова, О.Г. Кукліна // Педагогіка майбутнього: збірник наукових праць аспірантів і студентів. Вип. 2 / за ред. Г.В. Рокині. - Йошкар-Ола. - 2005. - С.305-308

19. Смишляєв, В.К. Збіжності стислих ланцюгових дробів. Аналітична геометрія трикутника питання теорії ланцюгових дробів / В.К. Смишляєв // Вчені записки МГПИ ім. Н. К. Крупської: Т. 26.- Йошкар-Ола, 1965. -С.443-444

20. терських, В.П. Ланцюгові дроби - математичні моделі коливних ланцюгових систем / В.П. Терських // Ланцюгові дроби їх застосування: зб. наукових праць / під ред. В.Я. Скоробогатько. Інститут математики АН УРСР. - Київ, 1976. - С. 34 - 40.

21. Хинчин, А.Я. Ланцюгові дроби. / А Я. Хинчин - М .: ДІФ - МЛ, 1961, 112с.

22. Хлопонін, С.С. Області збіжності ланцюгових дробів / С.С. Хлопонін // Ланцюгові дроби їх застосування: зб. наукових праць / під ред. В.Я. Скоробогатько. Інститут математики АН УРСР. - Київ, 1976. - С. 96 - 97.

23. Хлопонін, С.С. Збіжність ланцюгових дробів. / С.С. Хлопонін // Волзький математичний збірник: праці математичних кафедр педагогічних інститутів Поволжя / КГПИ - вип. 5. - Казань: Видавництво казанського університету, 1966. - С. 354 - 362.

24. Хованський, А.Н. Додаток ланцюгових дробів і їх узагальнень до питань наближеного аналізу / О.М. Хованський. - М .: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1956. - 204 с.

25. Хованський, А.Н. Роботи Л. Ейлера з теорії ланцюгових дробів / О.М. Хованський // Історико-математичні дослідження. - Вип. 10. - С.305-326.

26. Шутова, Л.П. Про один узагальненні алгоритму ланцюгових дробів і його додаток до наближеного обчислення деяких функцій / Л.П. Шутова // Волзький математичний збірник: праці математичних кафедр педагогічних інститутів Поволжя / КГПИ - вип. 5. - Казань: Видавництво казанського університету, 1966. - С.406 - 413.