Історія становлення і розвитку математичного моделювання

2

???????????? ?????? ??????????? ??

????????????? ??????????????? ??????????? ???????????

??. ?? - 91

??. ??????? ?.?.

??.

????:

Відмітка про захист:

??????????? 2003?.

????????.

? ??? ????????? ? ??????????? ?????????? ?????? ??????????? ????? ? ?? - ???????????? ??? ??????????. ??????????? ???????????? ????????? ?? ? ??????, ??? ?????? ????????? ?????????? ???????? ??? ?????? ?????? ? ??????? ??????. ???????????? ?????? ?????????? ????????? ???????? ? ???? ? ???????? ???????????? ????????? ? ????????? ???????? ????? ? ?? ? ????. ? ??????????????? ??????????? ???????????? ???????? ??????? ?? ? ???? ? ????????? ??????? ?????, ???????? ??????? ?????????????? ?????? ? ????????? ?????? ???????????????? (?????? ??????? ???????? ??? ???? ? ????? ??? ????????? ????????? ????????, ???????????? ?? ??????? ????? ? ??? ????????????????)? ????????????? ????????, ?????????? ???????? ? ????? ??????? ???????,? ??????????????? ??????? ????????????? ???????, ??????????? ??????? ????? ???? ?? ??????????? ??????? ???????, ??? ??? ? ?????? ??? ?????????????? ?? ????????????? ??????, ??? ?? ??????????? ???????? ?????????? ??????? ??????? ? ??????????????? ????????? (??????)? ?.?. ? ?.?. ?? ????? ???? ??????????? ????????? ? ?????????? ? ???? ??? ????? ???????. ???????????? ???????? ?? ??????????? ???? ?? ? ?????? ? ???? ? ??? ????????? ???? ??????? ??? ?????????? ????????????? ??????? ??? ?????????? ??????????????? ????????????. ????? ? ????? ??? ? ?????????? ??????. ?????? ?????????????? ????????????? ???????? ? ?? ? ??????????? ?????????????? ???????. ??? ??????????? ???????????? ??? ? ???? ? ????? ? ??? ????????. ???????????? ??????? ????????. ?????? ??? ???? ????????? ????????? ????? ?????????? ???????? ????? ? ??????? (? ? ?????????? ?? ? ????, ???????????? ??????????? ? ?????? ???? ?????????, ??????????????? ?????????????, ??????????????? ??????, ???????????? ?????????? ????? ? ??? ???????, ???????????, ????????, ??????, ????????? ???????????? ?????? ?????????, ????????????, ????????? ????? ??????? ? ??? ??????????, ?????????? ????? ?????????? ? ?.?.). ??????????? ????? ? ????????? ????????????? ????????? ? ????????? ??????????????, ????? ? ?? ?????? ? ??? ????? ????? ???????? ??????? ????? ?????????? ????? ??? ? ????. ?????? ??????? ???????? ???????? ? ?????? ??? ?????? ?????????? ????????????? (??????? ?? ??????????????????? ??????? ?????????? ??? ? ?????????? ???????, ???????, ???????????? ??????? ?? ???????????? ? ???). ???????????? ?? ???????? ???????? ? ???? ?? ?????? ????????? ? ? ??? ?????? ????? ? ????? ?????? ?????? ????????. ?????? ?? ???????? ??? ? ?????? ????? ? ?? 60? ????? ? ?????? ?????????? ???????? ??? ?? ??? ?? ????????? ??????? ????????????, ??????????? ??? ???????????? ?.?. ?? ? ????,?.?. ??????,?.?. ????????,?.?. ?????????. ??? ?????? ??????? ?? ? ???????? ????????? ???????? ??????????? ????????? ?????? ? ?????? ? ??????? ? ? ????????. ????? ?????? ????????????????? ? ?? ????? ??????? ????? ????? -? ????????????, ??????? ??????? ?? ????? ???? ???????? ? ?????? ?????? ???????????? ???? ??? ????????? ???? (???????? ???????, ?????????????? ??????? ?????? ?????? ?????? ????, ????????? ??????? ?? ? ?? ? ?.?.),? ? ? ????? ?.?. ????????? ???? ??????????? ?????????? ???????? ??????????? - ???????????? ?????????. ??????????? ????????? ?????? ? ?????????, ????????????? ??? ????? ?????? ?????, ????????? ??? ?? ??? ??????? ????????? ?????? ?????? ??????????? ?????? ?????? (????????? ? ??????????? ???????? ????????, ?????????? ? ????????????? ?????????? ??? ???????? ???????? ? ???????, ????????? ? ???????? ????????? ??? ? ? ??????????? ?????? ???????????? ????????? ??????, ???????????? ???? ? ???????? ? ? ????????? ? ?????? ??????????? ??????????????? ????????????? ? ???????),? ????? ??????????? ????????? ?????????? ???????????? ??? ? ???.

? ?????????? ??????? ?????????? ??? ????? ?????, ??? ??? ????????, ??????????? ? ???? -? ????????????? ??? ????????? ??????? ????????? ????? ??????, ???? ?? ????? ?????? ???? ?? ??? ? ??????? ?????????? ???????? ? ???????. ?????? ????????? ? ????????? ??????? ???????? ? ? ? ?????, ??????? ???? ??????????? ??????? ??? ??????????????? ??????? ? ????? ?? ?????? ????????? ????? ??????, ????? ??? ????? ?????????????. ??? ????? ?????? ????? (??? ??? ??? ?????????? ??????? ?????? ??????????) ?????? ?? ??????????? ??????????????? ??????????????,? ????? ??????? ????????? ?????? ????????? ?????????????? (?????????????????) ?????? ? ???.

????????? ???????????? ? ?????? ???????? ?????? ??????????? ?? ? ???????? ???????? ?????????? ??????????? ? ?????????? ?????????? ? ? ????????? ? ??????????????? ????????????,? ????? ???? ????? ????????? ? ?? ?????????? ??????? ??????????????? ????????????? ? ?????????????? ??????????? ?????????????? ??????? ? ????????? ?????????? ????????.

???????? ?????.

1. Основні характерні риси моделювання.

Проникнення математичних методів в найрізноманітніші, часом несподівані сфери людської діяльності означає можливість користуватися новими, як правило, вельми плідними засобами дослідження. Зростання математичної культури фахівців у відповідних областях призводить до того, що вивчення загальних теоретичних положень і методів обчислень вже не зустрічає серйозних труднощів. Разом з тим на практиці виявляється, що одних лише математичних знань далеко не достатньо для вирішення тієї чи іншої прикладної задачі - необхідно ще отримати навички в перекладі вихідної формулювання завдання на математичну мову. В цьому і полягає проблема оволодіння мистецтвом математичного моделювання.

Хол (1963) сказав, що метою прикладної математики є математичне осмислення дійсності. З іншого боку, инжинерии-практику, мабуть, більш важливо знати, чи витримає його міст передбачувану навантаження, чи вистачить закупленого вугілля до кінця опалювального сезону і чи не лусне лопатка в турбіні, - іншими словами, отримати конкретні відповіді на конкретні питання. У практиці математичного моделювання вихідним пунктом часто є деяка емпірична ситуація, що висуває перед дослідником завдання, на яку потрібно знайти відповідь. Перш за все, необхідно встановити, в чому саме полягає завдання. Часто (але не завжди) паралельно з цією стадією постановки задачі йде процес виявлення основних або істотних особливостей явища (рис. 1). Зокрема для фізичних явищ цей процес схематизації або ідеалізації відіграє вирішальну роль оскільки в реальному явищі бере участь безліч процесів і воно надзвичайно складно. Деякі риси явища представляються важливими багато інших - несуттєвими. Візьмемо наприклад рух маятника, утвореного важким вантажем, підмішаним на кінці нитки. В цьому випадку суттєвим є регулярний характер коливань маятника, а несуттєвим - то, що нитка біла, а вантаж чорний. Після того як істотні фактори виявлені, наступний крок полягає в перекладі цих факторів на мову математичних понять і величин і постулювало співвідношень між цими величинами. Після побудови моделі її слід піддати перевірці. Адекватність моделі до певної міри перевіряється зазвичай в ході постановки завдання. Рівняння або інші математичні співвідношення, сформульовані в моделі, постійно зіставляються з вихідною ситуацією. Існує кілька аспектів перевірки адекватності. По-перше, сама математична основа моделі (яка і складає її істота) повинна бути несуперечливої ​​і підкорятися всім звичайним законам математичної логіки. По-друге, справедливість моделі залежить від її здатності адекватно описувати вихідну ситуацію. Модель можна змусити відображати дійсність, однак вона не є сама дійсність.

Малюнок 1.

Ситуації моделюють для різних цілей. Головна з них - необхідність передбачати нові результати або нові властивості явища. Ці передбачення можуть бути пов'язані з поширенням існуючих результатів або мати більш принциповий характер. Часто вони відносяться до умов, які, цілком ймовірно, будуть мати місце в певний момент в майбутньому. З іншого боку, передбачення можуть відноситься до подій, безпосереднє експериментальне дослідження яких нездійсненно. Найбільш важливий приклад такого роду дають численні прогнози, які робилися на основі математичних моделей в програмі космічних досліджень. Однак для цієї мети моделюються не всі ситуації: в деяких випадках досить вміти описувати математичними засобами роботу системи для того, щоб домогтися більш глибокого розуміння явища (саме цю роль і грають багато видатних фізичні теорії, хоча на їх основі робляться також і прогнози). Зазвичай при такому математичному описі не враховується елемент контролю, проте в моделях, побудованих, наприклад, для дослідження роботи мереж, таких як схеми руху поїздів або літаків, контроль часто є важливим фактором.

Математична модель являє собою спрощення реальної ситуації. Відчутне спрощення настає тоді, коли несуттєві особливості ситуації відкидаються і складна вихідна задача зводиться до ідеалізованої задачі, піддається математичному аналізу. Саме при такому підході в класичній прикладній механіці виникли блоки без тертя, невагомі нерозтяжні нитки, невязке рідини, абсолютно тверді або чорні тіла і інші подібні ідеалізовані моделі. Ці поняття не існують в реальній дійсності, вони є абстракціями, складовою частиною ідеалізації, розпочатої автором моделі. І тим не менше їх часто можна з успіхом вважати хорошим наближенням до реальних ситуацій. Описаний образ дій при побудові математичних моделей не є єдиним, і цього зовсім не варто дивуватися. В іншому можливому підході першим кроком є ​​побудова простої моделі декількох найбільш характерних особливостей явища. Це часто робиться для того, щоб відчути це завдання, причому робиться це ще до того, як сама задача остаточно сформульована. Потім ця модель узагальнюється, щоб охопити інші факти, поки не буде знайдено прийнятне або адекватне рішення. Є ще підхід, коли з самого початку вводиться в розгляд одночасно велику кількість факторів. Він часто застосовується в дослідженні операцій, і такі моделі зазвичай вивчають імітаційними методами з використанням ЕОМ.

Найважливіше рішення, яке часто приймається на самому початку процесу моделювання, стосується природи розглянутих математичних змінних.По суті вони діляться на два класи. В один з них входять відомі характеристики, тобто величини, піддаються (принаймні теоретично) точному виміру і управління. Такі змінні називаються детермінованими змінними. В інший клас входять невідомі характеристики, тобто величини, які ніколи не можуть бути точно виміряні і мають випадковий характер - вони називаються стохастіч е ськими змінними. Модель, яка містить стохастичні змінні, повинна за визначенням описуватися математичним апаратом теорії ймовірностей і статистики. Детерміновані змінні часто, але не завжди вимагають залучення звичайного математичного аналізу. Природа деяких ситуацій буває зрозуміла не відразу, інші ситуації характеризуються змінними обох типів. Для побудови моделі надзвичайно важливо, щоб природа змінних була правильно представлена.

2. Еволюційний процес в моделюванні.

Говорячи про математичне моделювання, не можна не звернути уваги на еволюційний процес "зміни" парадигм моделювання, який, як здається, характерний для багатьох дисциплінарних областей, де застосовуються методи теорії управління. До сих пір ні в одній з робіт з теорії моделювання цей процес не розглядався як "зміна поколінь" математичних моделей. Проте, зараз можна було б говорити вже про три таких поколіннях. На перших етапах найчастіше йдеться про математичної записи окремих феноменологічних спостережень над реальними об'єктами. Для них характерна простота описів, типова лінійність рівнянь і мала розмірність (часто відтворюється всього одна або дві змінних). Методи аналізу пов'язані в основному з отриманням аналітичних рішень і графічним розглядом на фазової площині. Потім з'являються моделі, що описують об'єкт "у всій його повноті" - в них об'єкт представлений у вигляді "системи" - модель відображає його структуру і закони, за якими він функціонує. Моделі стають істотно нелінійними, чисто математичний апарат доповнюється логіко-семантичним. Зростає розмірність, досягаючи кількох десятків. Такі моделі називаються "складними", "великими", а робочим інструментом на цьому етапі стає обчислювальний експеримент. Важко не помітити, що в даний час починається перехід до третього покоління математичних моделей - моделям віртуального світу. Віртуальне моделювання можна визначити як відтворення тривимірного світу комп'ютерними засобами. Різко зростає обсяг оброблюваної і відтворюється інформації (наприклад, кількість візуалізуються "деталей" досягає декількох тисяч). Цікаво, що моделі третього покоління за своєю математичної сутності можуть бути як "феноменологическими", так і "системними" - на утриманні цих понять ми зупинимося трохи нижче.

Процес зміни поколінь моделей можна проілюструвати на багатьох дисциплінарних прикладах - в небесній механіці це перехід від феноменологічної моделі Птолемея до системної моделі Коперника-Кеплера і потім до сучасних моделей (таким, як сукупні моделі руху об'єктів в космічному просторі в системах стеження, використовуваних в космонавтиці і у військовій справі, або як віртуальні моделі небесних явищ в мультимедійних системах Redshift).

У біомедицині перше покоління моделей з'явилося в самому кінці XIX ст. - модель серця як "еластичного резервуара" О.Франка представляла собою типову феноменологическую модель (модель даних). Численні моделі фізіологічних процесів охарактеризували прихід другого покоління моделей - системних моделей процесів життєдіяльності, що використовувалися для дослідження процесів управління штучними органами. Розвиток тренажерних моделей (в тому числі мультимедійних) характеризує початок третього етапу.

Нарешті, така ж картина спостерігається в управлінні технологічними процесами. Феноменологічні моделі передавальних функцій, відновлені по входу-вихідним характеристикам об'єктів, змінилися системними методами простору станів. Третій етап математичного моделювання також пов'язаний тут з віртуальним моделюванням - динамічним моделюванням в реальному масштабі часу.

Говорячи про Росію, можна згадати, що наука математичного моделювання розвивається з 1960-х рр. і має великі традиції. Але для нас зараз важливо інше - частина накопиченого тоді потенціалу, яка розвинулася в теорії управління і її застосуваннях, до сих пір залишається "незатребуваною" сучасною наукою про моделювання в її "чистому" вигляді, залишившись і за рамками книги.

Відзначимо, що багато фундаментальних проблем прикладного моделювання вперше були виявлені І.А.Полетаевим. Він першим звернув увагу на утилітарність математичних моделей, давши оригінальну класифікацію моделей за програмними цілями їх використання: "пошукова" модель - для перевірки гіпотез, "портретна", вона ж - демонстраційна, - для заміни об'єкта в експерименті (наприклад, для тренажерів - що в той час розглядалося чи не як наукова фантастика) і, нарешті, "дослідницька модель", що в сучасному розумінні означає орієнтацію на складний обчислювальний експеримент.

В іншій роботі І.А.Полетаев підняв ще один настільки ж важливий коло питань - про принципову "суб'єктивності" математичного моделювання. Щонайменше два його висловлювання і сьогодні заслуговують на увагу:

У задачі математичного моделювання << крім об'єкта моделювання і моделі, обов'язково присутній суб'єкт моделювання, особа, зусиллями і в інтересах якого здійснюється модель >>. Роль суб'єкта моделювання виявляється вирішальною, бо саме його цілі, інтереси та уподобання формують модель.

Створення моделі потрібно не саме по собі, а для вирішення практичних завдань, що тільки і може виправдати витрату сил на створення моделі. Модель створюється для того, щоб працювати: << Тільки повна реалізація моделі з її "прогоном" через розрахунки повністю окупає витрати на моделювання >>.

????????, ?????????? ????????????????? ???????????? ?? ??????? ??????????????????? ????????? ??????? ? ???????? ???????????????? ? ?? ? ????????? ???????????. ??????? ????????? ????????????? ? ?????????? ?????????????? ???????, ??????????? ??????????? ????? ?????????? ? ????????????? ???????????? ?????????????, ?? ???? ??????? ???????? ???? ???? ???????? ?????????? ??? ???????, ???????? ???????????? ??? ? ?????????? ??????? ? ????????? ??????????? ?????????????. ??? ?????? ? ????? ????????? ??????? ????????? ????????? ?????? ???????? ?????? ? ????. ????? ?? ???????? ???????????????? ??????? ??????? ???????? ?? ? ???????? ???????? ????????? ?????, ??????????????? ??????? ????? ??? ? ??????, ?????????? ? ???????????? ?????????????????,?.?. ??????????? ??????????????? ????????????? ??????????, ????????? ? ???????????? ? ? ? ????? ???????????? топки .