l) (x + 2) ... (x + p - 1) (mod р)
при x = 0. Вона була також доведена Ейлером ( «Аналітичні твори», I, 1783) і Гауссом ( «Арифметичні дослідження», 1801). Спрощене доведення теореми Ферма дав ще І. Г. Ламберт, охоче займався і теорією чисел (Nov. Acta Erud., 1769).
§4.3. відрахування
До найважливіших досягнень в дослідженні цілих чисел Ейлера привели старання довести іншу, згадувану вже, теорему Ферма про те, що будь-яке просте число виду 4п + 1 розбивається на суму двох квадратів. Ейлер багаторазово і з різних сторін підходив до цієї теореми і при цьому знайшов ряд цікавих пропозицій. Остаточно довести її Ейлера вдалося лише в 1749 [Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760)], скориставшись тим ходом думок, яким він ішов в першому доказі теореми про порівняння ат = 1 (mod р). Це привело його до розгляду залишків від ділення квадратів 1 2, 2 2, 3 2,..., (р - 1) 2 на просте число р. Ейлер негайно побачив, що при цьому виходять «багато чудові властивості, вивчення яких проливає чимало світла на природу чисел». Таким чином, він вперше поставив питання про квадратичних відрахуваннях і зрозумів їх значення. Тут вже зустрічаються і терміни: відрахування (residua) і невирахувань, (non residua). У тому ж місці і в пізніших статтях, в яких він зайнявся статечними відрахуваннями взагалі і розглянув повні і неповні системи відрахувань, він встановив найважливіші пов'язані з ним теореми. У Nov. Comm. Ac. Petr., 1773 (1774) він ввів також поняття і слово «первісний корінь». Тому Ейлера справедливо називають творцем теорії статечних відрахувань, тим більше що йому належить і відкриття «закону взаємності» квадратичних лишків, який Гаусс називав «основною теоремою» (theorema fundamentale) і який до недавнього часу приписували Лежандру. Закон взаємності Ейлер встановив ще в 1772, а опублікований він був, правда, без докази, в 1783 в першому томі «Аналітичних творів».
§4.4. Розклад на прості множники
Потрібно ще додати дещо про розкладанні чисел на множники і про пов'язані з цим теоремах про прості числа. Уже Валліс в своєму "Роздумах про з'єднання» (Discourse of Combinations, 1 685) висловив теорему, яка твердила, що будь-яке число можна розкласти на прості множники єдиним чином. Він висловив словесно важливу формулу, згідно з якою кількість дільників числа т = ..., де р, q, r, ... - прості числа, так само (+1) (+ l) (+ 1) ..., і знайшов , що сума всіх цих дільників дорівнює
завдяки цьому Валліс вирішив деякі завдання, поставлені перед ним Ферма. Для знаходження самих подільників, саме простих дільників великих чисел, Ейлер запропонував метод, заснований на поданні цих подільників у вигляді квадратичної форми mx 2 + ny 2 [Nov. Comm. Ac. Petr., 1768 (1769) і Nouv. Mem. Ac. Bed., 1776 (1779)]. Дослідження Лагранжа про подібні квадратичних формах також змогли бути застосовані до визначення простих дільників. Нік. де-бегела розробив в Nouv. Mem. Ac. Bed., 1775 (1777) метод відшукання простих дільників виду 4х 2 +1. Ейлер в листі до Бегелену звернув його увагу на те, що ці подільники можна отримати з більш загальної форми nх 2 + у 2, і вказав правило відповідного вибору числа п, що дало йому цілий ряд великих простих чисел [Nouv. Mem. Ac. Berl., 1776 (1779)]. Нарешті, десять років потому Ейлер вказав загальний ознака, що дозволяє вирішувати, є дане число простим чи складовим [Nov. Act. Ac. Petr. 1797/98 (1805)].
Разом з тим математики того часу марно шукали загальне, аналітичний вираз для подання простих чисел. Лежандр, якому вдалося довести, що цей вислів не може бути раціональним, втратив будь-яку надію на те, що його коли-небудь вдасться знайти. Ймовірно, таке аналітичне вираз не існує взагалі. Настільки ж мало ймовірно існування функції (х), складеної кінцевим чином і точно представляє число простих чисел, що не перевершують числа х. Теорему про те, що ця функція (х) при зростанні х асимптотично наближається (строго доведену лише Ж .. Адама-ром і. Валле-Пуссена в 1896), передбачав ще Лежандр, не маючи, втім, жодного уявлення про її доказі. Він саме знайшов (в «Досвід», 1798 і, точніше, у другому виданні 1808) емпіричну формулу
До розкладання чисел на множники примикає їх розбиття на складові, які можна віднести до області аналітичної теорії чисел, т. Е. До теоретико-числовим дослідженням, що спирається на розгляду аналітичного характеру. Ейлер, присвятив дослідженням цього роду 15-ю і 16-ю глави першого тому «Введення» (1748), і тут знову вказав шлях вперед. Він виходив з розкладання твори
(1 + xz) (1 + xz) (1 + xz)
де,, - позитивні цілі числа, в ряд
1 + Pz + Qz 2 + Rz 3 + ...
Звідси негайно слід було, що
Р = x + x + x + ..., Q = x + + x + + ...
і т. д., і було видно, що якщо показник однієї і тієї ж мірою може представляти суму двох або кількох членів ряду,, різними способами, то такий ступінь має коефіцієнт, що містить в собі стільки одиниць, скільки існує таких способів. Тому, якщо потрібно дізнатися, скількома способами можна уявити число п у вигляді суми т нерівних членів ряду,,, ..., то це вкаже коефіцієнт наявного в розкладанні члена х n z m. Аналогічним чином Ейлер розглянув дріб
і вивів теорему, що коефіцієнт члена х п z m вказує, скількома різними способами можна отримати ціле число я в вигляді суми т рівних або нерівних чисел ряду,, ... З цих двох головних теорем при тих чи інших приватних значеннях z був отриманий ряд окремих теорем про аддитивном розбитті чисел. Ейлер побудував також таблицю, продовжену потім в Nov. Comm. Ac. Petr. [1750/51 (1753), див. Також 1769 (1770)], в якій можна було прочитати, скількома способами можна уявити число п у вигляді сум чисел 1, 2, 3, ..., т. У зазначених томах Nov. Comm. Ac. Petr. [См. також 1754/55 (1760)] він вивів звідси так звану пентагональними теорему, яка говорить, що число розбиття числа п на парне число різних доданків дорівнює числу розбиття на непарне число доданків, крім випадку п, коли для т парного (непарного) воно на одиницю більше (відповідно, менше). Той же метод дав Ейлера важливу формулу
ліва частина якої поширена на всі прості, а права на всі натуральні числа; права частина тепер відома як «дзета-функція Рімана». З цієї формули виходить також, що ряд натуральних чисел містить безліч простих чисел, що, втім, було відомо ще з докази Евкліда. Але теорему про те, що будь-яка необмежена арифметична прогресія, перший член і різницю якої взаємно прості, також містить безліч простих чисел, Ейлер зміг висловити лише як припущення ( «Аналітичні твори», т. II, 1783). Це припущення висловив і Лежандра в Mem. Ac. Paris, 1785 (1 788). Доведено воно було лише Діріхле в 1837. Нарешті, Ейлер займався дружніми і досконалими числами, відомими ще древнім, причому для позначення суми дільників числа п він ввів символ, що зберігся і в наступні часи (Nov. Act. Erud., +1747 і «Твори різного змісту », т. II 1750).
висновок
- Будь-яка спроба життєпису, будь воно коротким або докладним завжди відкриває очі автора на багато моментів. Так і сталося і при написанні цієї дипломної роботи. Адже коли маєш справу з таким вченим, як Леонард Ейлер, дуже важко вибрати найсуттєвіше з майже невимірного кількості монографій і творів. Я намагалася при цьому перекинути міст через два століття, які відділяють нас від Ейлера, і давати роз'яснення щоразу, коли це було можливо.
- Я хочу привести одну думку К.А. Труесделла, висловлену ним в урочистій промові при святкуванні в Базелі 250-річчя від дня народження Леонардо Ейлера: «Ейлер був велике і широке явище, яким був, наприклад, Шекспір. Кожен, хто прочитає твори того чи іншого, складе собі своє власне, може бути і вірне, але не завжди повне уявлення про них. У роботах Ейлера можна знайти прекрасні приклади різноманітних математичних думок і, можливо, що читач, вибравши якісь інші ейлерови дослідження, прийде і до іншого їх сприйняття ».
- Відомості можуть бути використані при підготовці та проведенні спецкурсів для студентів педвузів, педуніверситетів. Вони виявляться корисними і для вчителів математики в їх професійній діяльності.
Список літератури
1. Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
2. Biography in Encyclopaedia Britannica.
3. Condorcet MJ, Eulogy for Euler
4. Calinger R, Leonhard Euler: The first St Petersburg years (1727-1741), Historia Mathematica 23 (1996), 121-166.
5. Boyer CB, The Age of Euler, in A History of Mathematics (1968).
6. Леонард Ейлер, введення в аналіз нескінченно малих, том I, видання 2, М .: державне видання, 1961.
7. Леонард Ейлер, введення в аналіз нескінченно малих, том II, видання 2, М .: державне видання, 1961.
8. Рюдігер Тіле, Леонард Ейлер, переклад з німецької мови. Київ: «Вища школа», 1983.
9. Юшкевич. Ю.А. Леонард Ейлер. М.: Знання, 1982.
10. Юшкевич А.П. Історія математики в Росії. М .: Наука, 1968 р
11. Вілейтнер Г.В. Історія математики від Декарта до середини XIX століття. М .: державне видання, 1960.
12. Математика XIX століття. М .: Наука, 1978.
амой цій площині рівнянням з двома координатами t, v; він застосував це потім до точному дослідженню перетинів циліндра, конуса і кулі, причому за основу взяв прямі еліптичні циліндр і конус, що включають розглядалися раніше косі кругові конус і циліндр.
За цим слідувала спеціальна глава, в якій виводилися рівняння, що перетворюють одну прямокутну систему просторових координат в іншу. Так як Ейлер ввів шість визначальних перетворення величин, то його формули виявилися несиметричними. У тій же зв'язку Ейлер ввів тут поняття «порядку» поверхні і сформулював теорему, що порядок плоскої кривої, що виникає при перетині поверхні, не вище порядку самої поверхні; попутно він зазначив також можливість розпаду лінії перетину на кілька інших. Як приклад Ейлер привів рівняння площини
б x + в y + г z = a,
для якої, між іншим, визначив кути з координатними площинами.
Після всього цього Ейлер вперше зробив дослідження загального рівняння другого ступеня з трьома координатами. В першу чергу він розглянув сукупність вищих членів рівняння, як характеризує «асимптотический конус», і повідомив умови його дійсності, а також його виродження. Потім, не зробивши, втім, усіх належних викладок, він правдоподібним чином показує, що загальне рівняння може бути приведене до вигляду
Арр + Вqq + Crr + К = 0.
З цього рівняння Ейлер отримує еліпсоїд ( «elliptoeides»), однопорожнинний і двопорожнинна гіперболоіди ( «superficies еlliptico-hyperbolica» і «superficies hyperbolico-nyperbolica»). Еліптичний та гіперболічний параболоїди ( «superficies elliptico-parabolica» і «superficies parabolico-hyperbolica») виражені тут рівнянням
Арр ± Bqq = ar.
Ейлер згадує ще параболічний циліндр
Арр = аq
і робить кілька швидких зауважень про те, як можна визначити рід поверхні по якомусь даному рівнянню. Міркування Ейлера, особливо в частині, що стосується доказів, були ще дуже недосконалі, але запропонована ним класифікація лягла в основу пізніших досліджень.
Ще на початку «Додатки» Ейлер заявив, що не має наміру розглядати подібно Клеро криві двоякою кривизни окремо, бо вони тісно пов'язані з природою поверхонь. Своє «Додаток» він тому закінчив главою про перетин двох поверхонь, взагалі кажучи, представляє просторову криву. Він показав, як при виключенні однієї з змінних виникають рівняння проекцій цієї кривої на координатні площини, і застосував це також до перетину поверхні з площиною. Для прикладу він навів перетин площині з кулею, причому знайшов умови їхнього зіткнення. Далі, він визначив для кулі спочатку конус обертання, що стосується його уздовж деякої окружності, а потім еліптичний конус, що стосується кулі в двох точках. Щодо останнього випадку він зауважив, що хоча крива перетину має лише дві дійсні точки, але її проекція на деяку координатну площину дійсна. При визначенні дотичній площині до поверхні Ейлер користувався лише прийомом Клеро, не встановлюючи загального рівняння цієї площини, яке вимагало б «аналізу нескінченного», між тим як «Введення в аналіз» мало лише «відкрити до нього шлях». В самому кінці Ейлер роз'яснив, як знайти дві поверхні, пересічні по даній плоскої кривої. [11]
§3.3. Другий том «введення в аналіз нескінченних»
У тому ж році, що і «Алгебра» Маклорена, вийшла книга Ейлера «Введення в аналіз нескінченних величин».
Мал. 2. Титульний аркуш книги.
Мал. 3. Зміст
Другий том «Введення» була відведена виключно геометрії, саме - аналітичної геометрії. Ейлер вельми ясно і майстерно резюмував тут все досягнення свого часу в цій області, що не внісши, втім, в саме вчення про криві будь-яких важливих нових результатів. Теорію прямолінійних і криволінійних асимптот він розробив без алгебраїчного трикутника, досліджуючи лише розкладання на лінійні множники виразів, складених з членів n-й, (п - 1) -й і т. Д. Ступеня рівняння кривої. Очевидно, що йому не були знайомі ні роботи де-Гюа, ні роботи Стірлінга, а ідеї першого про рівноправність нескінченно віддалених і кінцевих елементів були йому зовсім чужі. Він розподілив криві третього порядку на 16 пологів відповідно до їх поведінкою в нескінченності. При цьому він справедливо зазначив, що з точки зору свого принципу класифікації Ньютон мав би встановити значно більше видів, ніж 72, і підкреслив, що його власна класифікація є остаточною. Для кожного роду він привів його нормальне рівняння і номера відповідних йому видів Ньютона. Для кривих четвертого порядку він отримав таким же шляхом 146 пологів. Те небагато, що Ейлер призводить про діаметральні і інших властивостях кривих 3-го порядку, він вивів із загального рівняння. Ще більшою стислістю відрізнялися його міркування про визначення форми кривої за рівнянням. Настільки ж побіжно Ейлер торкнувся питання про дотичних в простих і кратних точках. Якщо кратна точка має координати р, q, то в разі подвійної точки він призводить рівняння кривої в формі
Р (х - p) 2 + Q (х - р) (y - g) + P (y - q) 2 = 0,
а потім дає відповідні форми рівнянь для потрійний і чотирикратної точок.
Слідом за тим Ейлер трохи докладніше і оригінально виклав вчення про кривизну ліній. Перш за все він визначив для кривої аппроксимирующую її в околиці даної точки параболу і знайшов для останньої коло кривизни. для рівняння
0 = At + Bu + Ctt + Dtu + Euu + Ft 3 + Gttu + Htuu + і т. Д.
Ейлер отримує, що довжина радіуса кривизни на початку координат дорівнює
Аналізуючи цей вислів, він прийшов до точок перегину першого і вищого порядків, для чого залучалися ще члени третього ступеня. Аналогічно розглядалися лежать на початку координат точки загострення першого і вищих порядків. В якості загальної форми, що вбирає всі ці можливості, він взяв аппроксимирующие криві з рівняннями БR m = s n. У плані подібних розглядів точки загострення другого роду, зрозуміло, не зустрічалися, однак за допомогою вдало обраного прикладу Ейлер довів, що такі точки дійсно існують. Найближчі два розділи книги Ейлера трактували про кривих, що мають діаметри, і про визначення кривих, ординати яких мають дані властивості. В останньому випадку Ейлер мав на увазі наступне. Нехай, наприклад, рівняння кривої дано у вигляді
yy - Py + Q = 0,
де Р і Q - функції х, і ординати, що відповідають одному і тому ж значенню х, суть РМ і PN. Тоді можна прийняти, наприклад, що
PM n + PN n = a n
(П може бути також негативним або дробовим). Аналогічно іде справа з кривими, рівняння яких має вигляд
y 3 - Py 2 + Qy - R = 0.
У наступному розділі Ейлер визначав криві за іншими умовами. Однак і ці умови мали дуже обмежувальний характер і ставилися тільки до властивостей відрізків, що відсікаються на променях, що виходять з початку координат. Спочатку Ейлер встановлює загальні рівняння алгебраїчних кривих, що мають з таким променем лише одну, дві або три точки перетину. Попутно Ейлер вживає полярні координати, вважаючи промінь СМ = z, а кут його нахилу до осі Ох позначаючи через ц, так що
х = z cos ц, у = z sin ц.
Потім він бере умови типу CM ± CN = const., = Const., = Const, і деякі інші і досліджує відповідні класи кривих. Подібним чином надходить він і в разі трьох точок перетину.
Спеціальну главу Ейлер присвятив подобою і афінності кривих. Він повторив зроблену вже раніше вказівку, що однорідне відносно х і у рівняння представляє тільки систему ( «aliquot») прямих, що перетинаються в одній точці. Якщо ж рівняння виявляється однорідним при введенні «параметра» і, то все подаються нею криві є подібними. Ейлер призводить для прикладу рівняння
у 3 - 2 х 3 + ayy - aax + 2 aay = 0
і доводить, що якщо координати точок інший кривої системи позначити X і Y, то завжди буде
і.
«Аффинной» Ейлер назвав криві, координати яких пов'язані рівняннями
і.
Це визначення збігається з сучасним поняттям аффинности. Потім Ейлер привів ще кілька прикладів на складання систем кривих з одним змінним параметром.
Цікаво, що в свою книгу Ейлер включив також главу про трансцендентних кривих. Він коротко розглянув тригонометричні криві, логарифмічну криву, циклоиду, епіциклоїда і гіпоціклоіди, лінію х у = у х і спіралі. Для спіралей він знову застосував полярні координати, позначаючи полярний кут, вимірюваний в радіанах, через s, а полярний радіус-вектор, як і раніше, через z. Ні тут, ні де-небудь в іншому місці цього тому диференціальне числення не застосовувалося. [11]
Треба звернути увагу, що дидактичні гідності другого тому «Введення» великі. Виклад відрізняється виразністю і доступністю, систематизація матеріалу цілком природна. Для того часу це «науковий трактат» і в той же час хороший підручник. Вперше аналітична геометрія була настільки повно і послідовно викладена. Відтепер їй було забезпечено самостійне місце серед інших математичних дисциплін. [6]
§3.4. Спеціальні плоскі криві
Ще довго до того, як виникла загальна теорія конічних перетинів, був винайдений ряд окремих кривих для побудови античних завдань.
«Трикутні криві» виникли в одній оптичній завдання, поставлене Ейлером [Act. Ac. Petr., 1778, II (1781). Евольвенти цих кривих він називав «колоподібність» (Orbiformen).
Кривим з декількома осями симетрії присвятив XV главу другого тому своєї «Введення» (1748) Ейлер.
Кривими, довжини дуг яких є деякі певні функції, кілька разів займалися Ейлер [Nov. Act. Petr., 1789 (представлено 1776), Mem. Ac. St.-Pet, 1830 (представлено 1781)] і Н. Фус (Nov. Act. Petr., 1805).
На «псевдоціклоіди» (термін Е. Чезаро, 1896), т. Е. Епіциклоїда з уявним створює кругом, натрапив ще Ейлер в пошуках кривих, подібних своїм еволюта різних порядків [Comm. Ac. Petr., 1740 (1750) і Nov. Act. Petr., 1783 (1787)].
«Пружну криву», т. Е. Лінію, форму якої приймає закріплений на одному кінці пружний стрижень, Галілей як це вказує Як. Бернуллі (Acta Erud., 1694), також вважав параболою. Геометричну характеристику цієї кривої дав Я. Бернуллі (Acta Erud., 1694 і +1695). Особливо докладно зайнявся нею Ейлер в додатку 1 до «Методу знаходження кривих ліній» (1744, пор. Стор. 202) і в Acta. Ac. Petr., 1782, II (1786). [11]
§3.5. геодезичні лінії
Перші диференційно-геометричні дослідження ставилися до найкоротшим лініях на поверхнях. Справді, саме при вивченні геодезичних ліній Йоганн Бернуллі в 1697, мабуть, вперше, застосував обчислення нескінченно малих. Виклад свого методу він склав лише в 1728, а опублікував його в 1742 (Opera, т. IV, порівн. Стор. 201--202). Як відомо з одного його листа до Ейлера від 18 квітня №1729, диференціальне рівняння, отримане Бернуллі, мало вигляд
де Т позначає подкасательную і ds 2 = dx 2 + dy 2. В одній схолії сам Бернуллі показав, що це диференціальне рівняння легко перетворити до форми, яка міститься в опублікованій тим часом Ейлером статті в Соmm. Ac. Petr., 1728 (1732). Бернуллі спирався на теорему, отриману, втім, з механічних міркувань, що дотична площину геодезичної лінії ( «planum osculans») повинна бути перпендикулярна до дотичної площини поверхні (лист до Лейбніца, серпень 1698).
Бернуллі додав, що в разі поверхонь обертання завдання можна також вирішити, вимагаючи, щоб при розгортанні вузької смуги поверхні, що містить геодезичну лінію, на площину ця лінія переходила в пряму. Для конуса це зауваження було зроблено Як. Бернуллі вже в Acta Erud., 1698.
Ейлер вирішив задачу в зазначеній статті, виходячи з висловленого ще в 1697 Як. Бернуллі положення, що мінімальне властивість всієї кривої має бути природною і її найменшої частинам, а також застосовуючи теорію максимумів і мінімумів.
У Ейлера диференціальне рівняння геодезичної лінії мало вигляд
,
де функції Р, Q беруться з диференціального рівняння поверхні
Pdx = Qdy + Rdt. Ейлер потім докладніше розібрав окремі випадки загального циліндра і конуса, а також поверхонь обертання. Для цих випадків він привів диференціальне рівняння до рівняння першого порядку, а на закінчення вказав деякі узагальнення. Ейлер не забув відзначити, що при розгортанні поверхонь циліндра або конуса на площину їх геодезичні лінії повинні перейти в прямі.
Лейбніц також вельми цікавився цим питанням, але він лише вказав (в листуванні з І. Бернуллі, 1698) спосіб, який міг би також привести до складання диференціального рівняння. Прийом, що вказується Лейбніцем, збігався з тим, яким скористався для вирішення завдання молодий Клеро в Mem. Ac. Paris, 1733 (одна тисяча сімсот тридцять п'ять).
Істотний крок вперед зробив тут знову-таки Ейлер в IV главі другого тому «Механіки» (1736), де довів, що точка, що рухається по поверхні без прискорення, завжди описує геодезичну лінію.При цьому у нього вийшло механічне доказ теореми, з якої виходив Бернуллі (аналітичний доказ дав вперше Лагранж в 1806).
Більш просте питання про геодезичних кривих на поверхнях обертання геометрично дозволив, як було відзначено, Як. Бернуллі (Acta Erud., 1698). Клеро потім довів, що для точок такої лінії твір радіуса паралельного кола на синус її кута з меридіаном постійно [Mem. Ac. Paris, 1733 (1735)]; за допомогою розкладів в ряди він приблизно визначив геодезичні лінії еліпсоїда обертання, мало відрізняється від кулі [там же, 1739 (1740)].
Ейлер, спонукувана Іоганном Бернуллі, узагальнив завдання про геодезичних лініях на криві, що стикається площину яких утворює з дотичній площиною до поверхні кут, відмінний від прямого (лист до Бернуллі від 11 липня 1730, опубліковано в 1903 р). Це завдання вирішив і Бернуллі (Opera, IV, 1742). [11]
§3.6. Загальні просторові криві і розгортаються поверхні
Застосування диференціальних операцій до більш загальним просторовим образам, як і взагалі їх аналітичне вивчення, було порівняно пізно. В «Дослідження» Клеро (1 731), крім подкасательной просторової кривої, зустрічається лише формула ds =. Будь-який прогрес в цьому відношенні не спостерігається аж до виходу двох статей Ейлера про просторових кривих, що послідували одна за одною в Act. Ac. Petr., 1782, I (1786). Тому дві зазначені роботи слід вважати в даній області основоположними. Щоб не виділяти особливо яку-небудь з осей координат, Ейлер відразу вибирає в якості незалежної змінної довжину дуги s, вважаючи
dx = p ds, dy = q ds і dz = r ds.
Потім він описав навколо точки кривої Z куля одиничного радіуса, на який, як сказали б ми, сферически відобразив околиця точки кривої разом з прямими, що проходять через неї паралельно осях, і т. Д .; прийом цей вів своє походження з астрономії.
Далі, Ейлер застосував формули сферичної тригонометрії, додавши, однак (в Dissertatio altera - «Інша міркування»), для тих, кого не може задовольнити цей «чужорідний принцип», зовсім інший висновок, що вирушав від дотичної площини. Отримані результати сам Ейлер резюмував в ув'язненні в такий спосіб. Якщо взяти прямокутний паралелепіпед зі сторонами х, у, z, то його діагональ дає довжину і напрямок радіуса-вектора; діагональ паралелепіпеда зі сторонами р, q, r дає напрямок дотичної і довжина її дорівнює 1; діагональ паралелепіпеда зі сторонами
дає напрямок радіуса кривизни, а довжина її дорівнює зворотному значенню останнього; нарешті, якщо взяти боку рівними і т. д., то довжина діагоналі буде та ж, що і в попередньому випадку, а напрямок її буде перпендикулярним до дотичної площини.
У тісному зв'язку з цими дослідженнями перебувала робота Ейлера про «тілах», поверхня яких можна накласти на площину [Nov. Comm. Petrop., 1771 (1772)]. Подібними розгортання багаторазово займалися з чисто практичної точки зору ще раніше Фр. Деран ( «Архітектура склепінь і т. Д.» - Larchitecture des voutes etc., Париж, 1643) і особливо
А. Фрезье ( «Теорія і практика різання каменів і дерева» - La theorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois, I, Страсбург, тисяча сімсот тридцять сім; див. Також нижче про Гваріні, стор. 309). Але поняття розгортається поверхні створив Ейлер. Він взяв на площині нескінченно малий прямокутний трикутник, що виходить із точки (t, u), і визначив на поверхні такий трикутник, що виходить із точки х, у, z, який був би конгруентна з першим. Вважаючи і т. Д., Він отримав умови здатності до швидкого розгортання поверхні у вигляді
l 2 + m 2 + n 2 = 1, л 2 + м 2 + н 2 = 1, l л + m м + n н = 0.
Потім Ейлер аналітично і геометрично показав, що дотичні до будь-якої просторової кривої завжди утворюють розгортається поверхню, і що теж відноситься до поверхні, утвореною загальними дотичними двох «тіл», одне з яких розглядається як сяюче. Тим самим було введено поняття розгортаються поверхонь, а точки їх представлені були за допомогою двох параметрів.
Чудова не стільки за результатами, скільки за своїм методом відноситься до того ж часу робота Ейлера про найкоротших лініях на поверхнях [Nov. Act. Petrop., 1799--1802 (1806); поступила в 1779]. По-перше, для інтегрування диференціального рівняння Ейлер тут вжив кут, утворений найкоротшими лініями з параметричними лініями z = const., Що, втім, не було у нього виражено ясним чином. По-друге, він ввів прийом, симетричний щодо трьох координат, так що і диференціальне рівняння виходило в симетричній формі. Деякі інші роботи Ейлера, про які ми тільки згадаємо, присвячені питанню про спрямлюваних кривих на кулі, еліпсоїді обертання і конусі [Nov. Comm. Petr., 1770 (1771); Act. Petr., 1781, I (1784), Nov. Act. Petr, 1785 (1788)]. [11]
§3.7. загальні поверхні
У другій половині XVIII століття міцну основу отримала також диференціальна геометрія загальних поверхонь. Рівняння дотичної площини до поверхні дали одночасно Тенсо і Монж в статтях (Mem. Div. Sav., IX, 1780). Позначаючи координати точки поверхні х, у, z, а координати довільної точки дотичній площині р, ц, щ, Тенсо записав її рівняння у вигляді
Ув'язнені в дужки диференціальні приватні потрібно тут розглядати як приватні похідні. Крім того, Тенсо розглянув задачу про визначення лінії дотику до поверхні дотичного конуса, проведеного до неї з точки (а, b, с), як це зробив і Монж. Потім він розібрав таку ж задачу для паралельних дотичних і питання про встановлення рівнянь відповідних конуса і циліндра. Втім, для всіх цих завдань він обмежувався лише вказівками. Готові формули або приклади були відсутні. У Монжа рівняння дотичної площини отримало вже цілком сучасний вигляд:
z = p (x - x) + q (y - y) + K.
Ейлер в цій області також відкрив ряд фундаментальних теорем. В одній великій роботі про кривизну поверхонь [Mem. Ac. Berlin, 1760 (1767)] він перш за все приступив до задачі про визначення радіуса кривизни перетину даної поверхні, що лежить в площині z = б у - в x + г причому отримав, зрозуміло, вельми складне вираз. Потім він провів січну площину через нормаль до поверхні і обчислив новий вираз для радіуса кривизни перетину, анітрохи не простіше, ніж попереднє. Далі, він назвав «головним перетином» нормальне перетин, перпендикулярне до площини хОу. Для цього і ще для іншого нормального перетину, перпендикулярного до першого, виходили вже більш прості вирази радіуса кривизни. Позначивши потім через ц кут, утворений площиною довільного нормального перетину з площиною головного перерізу, Ейлер знову склав загальний вираз радіусу кривизни. Отриману знову-таки дуже громіздку формулу він дещо спростив і в якості прикладів взяв циліндр
z = v (aa - yy),
конус
z = v (ппхх --уу)
і еліпсоїд
zz = aa - ТХХ - ПУУ.
Тільки в кінці роботи він привів формулу радіуса кривизни у вигляді
,
з розгляду якої витягнув важливі висновки. Так, наприклад, він знайшов, що три відомих радіуса кривизни дозволяють визначити всі інші його значення в точці поверхні, що в кожній точці поверхні існує найбільший радіус кривизни f і найменший g, площини яких взаємно перпендикулярні і які в свою чергу визначають загальну кривизну елемента поверхні , а саме:
.
У статті, що носила ту ж назву, що і робота Ейлера, Ж. Меньє поставив за мету розвинути результати останньої (Mem. Div. Sav., 1785; надійшла в 1776). Але Меньє виходив із зовсім іншої концепції. Вирушаючи від думки, що збіг приватних диференціалів до другого порядку включно обумовлює збіг кривизн двох поверхонь, Меньє замінив в точці u, v, t (причому вісь t лежала на нормалі до поверхні в цій точці) поверхню параболоїдом
.
Меньє перетворив це рівняння до виду
і потім довів, що кожен елемент поверхні (термін Меньє) можна отримати обертанням малої дуги окружності навколо осі, паралельної дотичній площині цього елемента. Для радіуса цього кола r і відстані осі від точки поверхні з він отримав вираження
і
.
перехідні одне в інше; при цьому виявилося, що r і з збігаються зі знайденими Ейлером крайніми значеннями f і g радіусів кривизни нормальних перетинів поверхні. До цього Меньє приєднав теорему, що носить його ім'я. Саме, якщо R є радіус кривизни нормального перетину, що проходить через дотичну AQ до кривої на поверхні, то R, радіус кривизни перетину, що лежить в іншій площині, що проходить через AQ, визначається формулою R = R sin щ, де щ - кут між обома площинами. Вирушаючи від цього, Меньє дав повний розбір співвідношень між кривизнами на елементі поверхні. Серед прикладів він розглянув, зокрема, задачу про визначення поверхонь, для яких r = с. Інтегруючи відповідне диференціальне рівняння, він отримав, що
1 = (Ax + B) 2 + (Ay + C) 2 + (Az + D) 2
т. е., як і повинно бути, рівняння кульової поверхні. Слідом за тим він приступив до вирішення завдання про відшукання серед всіх поверхонь, що проходять через контур, обмежений даної просторової кривої, поверхні з найменшою площею. За допомогою свого способу утворення елемента поверхні він вивів важлива умова, r + = 0, а звідси отримав диференціальне рівняння в приватних похідних мінімальних поверхонь, знайдене вже раніше іншим способом Лагранжем [Misc. Taur., 1760/61 (тисяча сімсот шістьдесят два)]. Приватні інтеграли цього рівняння дали йому як приклад мінімальних поверхонь кручені поверхню і катеноїд. Беручи або r, або рівним нескінченності, Меньє далі вивів диференціальне рівняння розгортаються поверхонь, дане вже Монжем, а на закінчення довів, що обидва радіуса кривизни загальних лінійчатих поверхонь завжди бувають різного знака.
Незважаючи на появу цих прекрасних робіт, загальне поняття кривизни поверхні залишилося нез'ясованим аж до К. Гаусса (1828). Ейлер навіть помилково прийняв, що будь-який елемент поверхні можна розглядати як сферичний ( «Dioptrica», I, Петербург, 1 769); це ж сталося раніше з Лейбніцем (лист до Йогану Бернуллі від 29 липня 1698), а пізніше також з Далам-бером [ «Encyclopedic methodique», Париж, 1784 рік, стаття «Крива» ( «Courbe»), відділ «Криві поверхні» ( Surfaces courbes)].
Крім згаданих робіт загального характеру в розглянутий проміжок часу з'явився ще ряд робіт, присвячених приватним питань і насамперед визначенню поверхонь, що володіють заданими властивостями. Так, Ейлер в Nov. Comm. Petr., 1769 I (1770) досліджував парадокс, який полягає в тому, що поверхні, площа яких є цією функцією х, у, не повинні бути конгруентний, як це має місце в аналогічному випадку для плоских кривих. Ейлер знайшов диференціальне рівняння з приватними похідними
p 2 + q 2 = f (x, y)
і проинтегрировал його в разі
f (x, y) = m 2 + n 2.
При цьому, крім площині
z = a + mx + пу,
виходили все розгортається поверхні, що виникають при русі площині, що зберігає постійний кут з віссю Оz.
В іншій статті [Nov. Act. Petr., 1788 (1790); поступила в 1776] Ейлер зайнявся пошуками поверхонь з постійним відрізком нормалі між поверхнею і площиною хОу. диференціальне рівняння
z = a
дало тут «викривлені циліндри» ( «cylindri incurvati»), які пізніше були названі поверхнями каналів і які виникають, коли центр деякого даного кола рухається уздовж довільної кривої в площині хОу, причому площину кола весь час залишається перпендикулярній до дотичній у відповідній точці кривої.Ейлер тут особливо відзначає появу таких довільних функцій. Він одразу ж узагальнив питання, зажадавши, щоб відрізок нормалі представляв собою деяку функцію Z аргументу z, так що в зазначеному вище диференціальному рівнянні замість а з'являється Z. В освіті відповідних поверхонь при цьому замість окружності бере участь деяка інша плоска крива. Так виходять геометричні образи, нині звані «різьбленими поверхнями» ( «Gesimsfla-chen»). Ейлер повертався до обох видів поверхонь ще в Nov. Act. Petr. 1792 (1797; надійшло в 1777) і 1794 (одна тисяча вісімсот одна; надійшло в 1778).
Ейлер переніс на простір також проблему ортогональних траєкторій [Mem. Ac. St-Pet., 1815/16 (1820; надійшло в 1782)], причому в кількох прикладах йому вдалося провести рішення повністю. У Mem. Ac. Turin, (2) I (1784/85) Монж досить загальним чином розглянув вид диференціального рівняння з приватними похідними, відповідного класу поверхонь, кінцеве рівняння яких містить п довільних функцій.
Як видно із замітки, опублікованої вперше в «Посмертних творах» (Opera posthuma, I, Петербург, 1862), Ейлер вже близько 1770 знайшов загальні рівняння, що виражають умови ізгібаемості поверхонь, в опублікуванні яких вихід його роботи випередив Гаусс (1828).
Диференціальна геометрія отримала застосування і в картографії того часу. Ламберт в своїх «Нарисах про вживання математики та її додатку» (Beytrage zum Gebrauch der Mathematik und deren Anwendung, Berlin, тисяча сімсот сімдесят дві) дав диференціальні формули стереографической проекції. Для інших видів відображення він лише ясно розібрав вимоги загального характеру. І тут нові шляхи проклав Ейлер в одній роботі про подання кульової поверхні на площині [Act. Ac. Petr., 1777, I (+1778)]. Він поставив завдання знайти координати точки площини х, у як функції географічних довготи t і широти і так, щоб визначається ними відображення задовольняло деяким умовам. Потім він показав, що добитися конгруентності неможливо, і висунув вимогу, щоб меридіани і паралельні кола перейшли в ортогональні системи кривих, зокрема, в систему ліній, паралельних осях координат (що застосовується в проекції Меркатора). Навівши приклад відображення зі збереженням площ, він потім детальніше зайнявся відображенням зі збереженням кутів. Умовою ортогональности градусної мережі є
pq + rs = 0
де
Крім того, повинні дотримуватися умови
dx = p du + r dt cosu, dy = r du - p dt cosu.
Для інтегрування Ейлер вперше вжив тут комплексні величини, склавши вираз dx + i dy, з тим, щоб права частина цього виразу перетворилася на витвір. Рішення тоді має вигляд (позначає тут символ функції):
x = [s (cost - i sint)] + [s (cost + i sint)],
iy = [s (cost - i sint)] - [s (cost + i sint)],
У замітці, безпосередньо примикала до цієї статті, Ейлер показав, що стереографічна проекція є окремим випадком розглянутого їм відображення. Для відображення кулі зі збереженням розмірів площ Ейлер привів в цій статті тільки приватні рішення, саме, для випадку, коли градусна мережа переходить в дві ортогональні системи кривих. [11]
§3.8. Заслуги Ейлера в перетворенні і подальших успіхах тригонометрії
Зрозуміло, що настільки яскраво виражений аналітичний геній, яким був Ейлер, раз зайнявшись обчислювальної тригонометрією, повинен був значно просунути її вперед. Привід звернутися до тригонометрії представився йому в уже неодноразово згадуваному «Запровадження в аналіз» (1748). У восьмому розділі його першого тому Ейлер вперше ввів в аналіз кутові функції як числові величини, з якими можна робити обчислення, як з усякими іншими, так, щоб надалі вони вже не чинили впливу на розмірність виразів. І хоча Ейлер і не визначив ніде тригонометричні функції явно як відносини сторін прямокутного трикутника, але завжди розглядав їх саме так. Якщо відволіктися від несуттєвих дрібниць, то виклад і символіка Ейлера були цілком сучасними. Уже в одній роботі в Coram. Ac. Petr., 1729 (1735) він записав теорему косинусів сферичної тригонометрії у вигляді
cos: ВС = cos: АВ * cos: AC + cos A * sAB * sAC;
цілий синус, який все ще використовувало більшість колишніх авторів, тут вже був прийнятий рівним 1. Позначення тригонометричних функцій у «Вступі» були такі: sin. A. z або sin. z (A = arcus), cos. A. z або cos. z, tang. z, cot. z і т. д.
На початку названої глави були вперше систематично встановлені формули для sin (z +), sin (z +) і т. Д. Написавши:
Ейлер розкрив дужки і отримав таким шляхом формулу для cosnz; аналогічно він знайшов формулу для sinnz. Беручи п нескінченно великою, az нескінченно малим, так що cosz = l і sinz = z, він вивів з цих формул нескінченні ряди для синуса і косинуса. Звідси він отримав ряди для синуса, косинуса, тангенса і котангенс, частково опубліковані їм уже в Comm. Ac. Petr., 1739 (1750). Потім він вичерпно показав, як можна використовувати ці ряди для обчислення тригонометричних таблиць. Пізніше в Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760) він вивів подальші ряди для sin n, cos n, sin m, cos n, такі виконуваних функцій кутів, кратних. На зв'язок між показовою і тригонометричними функціями Ейлер натрапив уже в одній роботі про рядах, вміщеній в Comm. Ac. Petr., 1740 (1750). Відповідну визначальну формулу для синуса він дав в Misc. Berol., 1743, але доведені були формули для синуса і косинуса тільки у «Вступі». Про результати Ейлер, очевидно, нічого не знав. формули
cos х = (e ix + e - ix) і sin x = (e ix - e - ix)
він отримав у «Вступі» з виразів
і
вважаючи п =. До цього він приєднав ще формулу
Визначення sin (x + iy) і cos (x + iy) він вперше дав в Mem. Ac. Berl., 1749.
Підсумовування рядів синусів і косинусів, аргументи яких ростуть в арифметичній прогресії, Ейлер зробив уже в Misc. Berol., 1748. У «Запровадження» він знову повернувся до цього питання з більш загальної точки зору. Пізніше (Opuscul. Anal., Петербург, 1783) він зайнявся аналогічними рядами, аргументи яких утворюють геометричну прогресію. Поданням тригонометричних функцій у вигляді творів Ейлер почав займатися вже в Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740), де розклав в нескінченне твір синус. Те ж саме він провів для синуса і косинуса в Comm. Ac. Petr., 1740 (1750) і Misc. Berol., 1743. Все це разом з деякими доповненнями було включено у «Введення», в 14-му розділі якого він також детально зайнявся питанням про множенні і діленні кутів, т. Е. Про тригонометричні функції кратних кутів. Ми вказували в першій частині, що в цих різноманітних дослідженнях Ейлер діяв більш творчо, ніж критично. Це настільки глибоко коренилося в його натурі, що він залишив без уваги заперечення, зроблені йому головним чином Миколою I Бернуллі вже в 1742 і 1743. Ейлер продовжував робити обчислення над будь-якими нескінченними рядами, поширював теореми про кінцевих многочленах на нескінченні і надавав будь-яких значень індексу п , на початку докази вважався цілочисельним. Незважаючи на це, одержувані їм результати зазвичай бували справедливі, хоча в деяких випадках він прийшов і до помилкових висновків, як, наприклад, в згадуваній статті в Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760).
У другому томі «Введення» (глава 22-я) Ейлер застосував до вирішення трансцендентних рівнянь, на кшталт s = cos s або s = sin 2s і т. П., Правило помилкового положення. Як повідомляє він сам, він придумав такі завдання з метою подивитися, чи не можна наблизитися таким шляхом до квадратуру кола. Пізніше, коли Ламберт вже довів ірраціональність, Ейлер знову зайнявся подібними розглядами, підкреслюючи, що робота Ламберта аж ніяк ще не довела неможливість квадратури кола.
Перш ніж перейти до заслуг Ейлера в сферичної тригонометрії, згадаємо ще про двох тригонометричних разложениях, що лежать трохи осторонь. Ейлер знайшов їх, розвиваючи запропонований Декартом і потім неодноразово відкривався знову спосіб побудови кола даної довжини (Декарт, Opuscula posthuma, Амстердам, 1701, пор. Його Oeuvres, т. X). Це нескінченний ряд
tg + tg + tg + ... = - 2ctg2
[Пор. Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763)] і нескінченне твір
cos coscos ... =,
яке Ейлер іншим шляхом вивів уже в Comm. Ac. Petr., Одна тисяча сімсот тридцять сім (1744).
Сферичної тригонометрією Ейлер спеціально зайнявся в двох великих статтях, підійшовши при цьому до неї з різних точок зору. У першій, вміщеній в Mem. Ac. Berl., 1753 (1755) він абсолютно загальним чином побудував сферичну тригонометрію як геометрію трикутників, складених на поверхні сфери лініями найкоротшої відстані. Ейлер виходив з прямокутного трикутника, позначивши катет АР через х, катет РМ через у, гіпотенузу AM через s [рис. 4]. Якщо Про - полюс великого кола (екватора), на якому лежить АР, а Ор - меридіан, нескінченно близький до ОР, то
Мал. 4.
Mm = ds, mn = dy, Pp = dx
і лінія Мп, що лежить на паралельному колі широти у, дорівнює dxcosy, так що
ds =.
Далі, Ейлер шукав умови, при яких інтеграл цього елемента дуги матиме мінімальне значення, і отримав, таким чином, 10 рівнянь, що виникають з правила Непера. Тут вперше з'явилися позначення, які ми тепер схильні вважати само собою зрозумілими і відсутність яких часто надавало такої незручний вид колишнім роботам. Ми маємо на увазі позначення трьох сторін буквами а, b, с, а протилежних вершин і кутів трикутника літерами А, В, С. Те, що ми позначаємо останні здебільшого літерами а,,, звичайно, менш істотно. Грецькі літери були введені лише в XIX столітті, хоча іноді а,,, застосовувалися вже А. Кестнер в його «Підставах арифметики, геометрії і тригонометрії» (Геттінген, 1759; 6-е изд. 1800). Нові позначення дозволили Ейлера записати свої десять рівнянь цілком в сучасному вигляді. Потім він отримав з них шість різних основних рівнянь для прямокутного трикутника. Відповідним чином Ейлер поступив і в разі загального сферичного трикутника. Визначивши мінімум однієї зі сторін, він перш за все знайшов п'ять фундаментальних рівнянь, з яких потім вивів теорему синусів, обидві теореми косинусів і так зване правило котангенс (вперше зустрічається у Вієта); Останнім з'явилося у нього в формі
sin a tg С - sin В tg з = cos a cos B tg C tgc,
переходить в вживану нині при розподілі на tgCtgc. Ейлер записував кожну теорему в трьох видах, які виходять один з одного циклічної перестановкою, хоча сам Ейлер нею не користувався. Про полярному трикутнику Ейлер не згадував, і взагалі, з точки зору повноти, в статті було кілька малозначних прогалин. Зате застосування і перетворення фундаментальних теорем були надзвичайно багаті.
Серед іншого матеріалу тут були всі формули для половинних кутів, правда, без скорочених позначень напівсумі сторін і кутів, потім чотири аналогії Непера - Брігса, вживання допоміжного кута в теоремі косинусів, причому остання наводилася ще в новій формі:
cos a =
повідомлялася і формула, полярна з наведеної.
Додамо, що слідом за цією статтею Ейлер в тому ж томі Mem. Ac. Berl. помістив роботу, детально викладаються тригонометрію на поверхні сфероїда, особливо з огляду на питання, пов'язані з вимірюванням землі. Аналогічні дослідження були проведені пізніше дю-Сежуром [Mem. Ac. Paris., 1778 (1781)].
У другій статті по сферичної тригонометрії [Comm.Ac. Petr., 1779 (1782)] Ейлер прийняв для побудови системи її формул елементарну основу. Він виходив тут з тригранника, який перетинав відповідними площинами, з тим, щоб після застосувати теореми плоскої тригонометрії (подібно Копернику). Він вивів, таким чином, теорему синусів, теорему косинусів для сторін і нову формулу, яка б пов'язала п'ять елементів:
cos A sin з = cos a sin b - sin a cos b cos С,
відзначивши, що ці три формули містять у собі всю сферичну тригонометрію. Отримане тут третє рівняння Ейлер піддав неодноразовим перетворенням. Він вивів з нього так звану формулу котангенсів, теорему косинусів для кутів і, за допомогою теореми синусів, полярну з нею формулу. Лише після цього він ввів полярний трикутник і пояснив його спосіб застосування, привів, частково вивівши їх по-новому, логарифмічні формули і з повним правом заявив, що його стаття дає повне (можемо додати: перше повне) виклад системи сферичної тригонометрії. [11]
ГЛАВА IV. Вплив Леонарда Ейлера на розвиток теорії чисел
З кінця XVII до тридцятих років XVIII століття ми не можемо назвати будь-якого чудового теоретико-числового відкриття. Математики були занадто зайняті розробкою виникли недавно обчислення нескінченно малих і аналітичної геометрії. Тільки Ейлер, хто поширив свою велику активність на все галузі математики, приділив увагу цій відволікання її гілки і навіть з особливою любов'ю займався нею протягом усього життя. З численних робіт Ейлера ми, зрозуміло, можемо виділити тільки найважливіші результати і методи, не вдаючись у зокрема.
§4.1. Целочисленное рішення невизначених рівнянь
В цілому ряді статей Ейлер зайнявся цілочисельним рішенням невизначених рівнянь. Уже в ранньому періоді своєї діяльності він знайшов згаданий вище спосіб рішень рівнянь першого ступеня з двома невідомими [Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740)], який ми зустріли у Ролля. У «Повному введенні в алгебру» (1768/69) Ейлер застосував той самий прийом до лінійних рівнянь з декількома невідомими. До останніх він повернувся потім в статті, опублікованій вже після його смерті в другому томі «Аналітичних творів» (Opuscula analytica, 1785). Лагранж в Mem. Ac. BerL, 1768 (1770) приєднав до методу Ейлера ще свій відомий спосіб ланцюгових дробів, вельми близький, втім, до способу Ваше. Ще раніше Ейлер показав [Comm. Ac. Petr., 1732/33 (одна тисяча сімсот тридцять вісім)], як виходить нескінченно багато цілочисельних рішень рівняння ах 2 + bx + з = y 2, якщо відомо одне таке рішення. Нескладне перетворення цього рівняння негайно призводить завдання до більш простої, саме до визначення цілочисельних рішень рівняння A + By 2 = z 2. У Nov. Comm. Ac. Petr. за 1762/63 (1 764) і +1773 (1774) Ейлер зумів також дати правила знаходження одного такого рішення при позитивному В. Однак його дослідження незабаром були відсунуті на задній план результатами Лагранжа, який привів до виду А + Вt 2 = і 2 загальне рівняння
Ах 2 + bxy + су 2 + dx + cy + f = 0
і в Mem. Ac. Berl., 1769 (1771) докладно розглянув питання про рішення першого рівняння. Прийом Лагранжа полягав в тому, що за допомогою відповідних перетворень він поступово зменшував коефіцієнти, поки один з них не ставав рівним одиниці, після чого рішення зводилося до вирішення завдання Ферма. Ейлер все ж повернувся згодом до загальної проблеми знову і повідомив два методи, які давали можливість по одному відомому рішенню знайти нескінченно багато рішень. Разом з тим він знайшов умови, при яких раціональні рішення переходять в цілочисельні [см. Nov. Comm. Ac. Petr., 1773 (1774) та «Аналітичні твори», т. I, 1783]. Ейлер підійшов до аналогічної задачі і для рівнянь третього і четвертого ступенів. Останні дослідження, в яких попередником Ейлера був ще Ферма, який розглянув дві приватні форми четвертого ступеня, ставилися до 1780, але з'явилися багато часу після смерті Ейлера [наприклад, в т. XI Mem. Petersb. (1830)], коли вони представляли вже майже лише історичний інтерес.
У коло своїх занять Ейлер включив також питання про целочисленном вирішенні систем діофантових рівнянь вищих ступенів і систем більш ніж з двома невідомими, якій присвятив цілий ряд статей. Однак вони не вплинули на подальший розвиток теорії чисел, бо не давав загальних методів і містили лише вправні прийоми в окремих випадках.
Ейлер досить докладно зайнявся вищезазначеним спеціальним випадком цілочисельного рішення так званого рівняння Пелля, з яким, як ми бачили, він зустрівся рано. Він встановив, що для перетворення трехчлена ах 2 + b х + с в квадрат y 2 необхідне рішення рівняння Пелля, і присвятив йому тому кілька статей. В останній з них, що з'явилася в Nov. Comm. Ac. Petr., 1765 (1767), він, нарешті, привів загальний спосіб його вирішення, показавши, яким чином призводить до мети обчислення відповідних дробів розкладання в ланцюгову дріб. Сам по собі його метод не залишав бажати нічого кращого, але обгрунтування його страждало безліччю недоліків. Лагранж, який почав тоді ж працювати над цим питанням і з самого початку не знав про статтю Ейлера, дав в четвертому томі Misc. Taur. (1766/69) перше суворе доказ того, що рівняння завжди вирішується, і повідомив метод його рішення. Ознайомившись з роботою Ейлера, він видозмінив і спростив свій спосіб в Mem. Ac. Berl., 1768 (1770) так, що в основному він вже несуттєво відрізнявся від прийому Ейлера. Метод Лагранжа той же, який вживали ще індуси, не намагаючись, звичайно, строго його обгрунтувати. У самій ясній і простій формі метод Ейлера - Лагранжа був викладений потім Лежандром в його знаменитому «Досвід теорії чисел» (Essai sur la theorie des nombres, Париж), вперше опублікованому в 1797/8.
Зі сказаного видно, що систематичне вивчення питань невизначеного аналізу розпочато було тільки Ейлером і досягло відомого завершення в його роботах і роботах Лагранжа. Ейлер тому поспішив зробити свої дослідження в цій області доступними більш широким колам, включивши їх до другої частини свого керівництва з алгебри. У французькому перекладі цього першого курсу теорії невизначених рівнянь, випущеному в 1774, Лагранж забезпечив окремі розділи доповненнями, ще значно збільшили цінність і корисність книги.
До сих пір розглядалися рішення невизначених рівнянь, інтерес до якої порушили Діофант і БАШЕЄВ. Тепер звернемося до завдань, що виникли, головним чином, з решти без доведення теорем Ферма. Ейлер неодноразово звертався до утвердження Ферма, що рівняння х п + у п = z п при n> 2 нерозв'язною в цілих числах. Ейлер зробив ще один крок вперед, довівши за допомогою того ж методу справедливість теореми при п = 3. Не цілком акуратне доказ для цього випадку він повідомив ще в 1753 Гольдбаху. Точне доказ їм було вперше надруковано в Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763) і докладніше проведено в «Алгебрі». Марно намагаючись знайти доказ теореми в загальному вигляді, Ейлер натрапив на ряд прекрасних теорем про подільність чисел, що мають форму статечних Двочленні; вони знаходяться в Nov. Comm. Ac. Petr., 1747/48 (1750) і в 9-му розділі посмертного «Трактату по теорії чисел» (Tractatus de numerorum doctrina, опубліковано у 2-му томі Comment, arithmeticae, Петербург, 1849).
Інші твердження Ферма привели Ейлера до дослідження чисел, які можуть бути представлені деякими спеціальними формами другого ступеня виду тх 2 + пу 2 [см. Comm. Ac. Petr., 1744/46 (1751), Mem. Ac. Petr., 1812 (1815) і Nov. Act. Ac. Petr., 1783 (1787)]. Так він довів теорему Ферма, яка говорить, що будь-яке просте число виду 4п + 1 можна єдиним чином представити як суму двох квадратів, і теорему Ваше про те, що будь-яке неквадратні число можна представити як суму двох, трьох або чотирьох квадратів. Однак він не дав ні загальної трактування завдання про подання числа у вигляді деякої даної форми, ні методу, що дозволяє a priori встановлювати властивості таких чисел. [12]
§4.2. теорема Ейлера
Потужним спонукальним стимулом стала для нього так звана теорема Ферма про порівняння а т 1 (mod p), значення якої він оцінив відразу. Ейлера належать два докази цієї теореми, що покояться на різних підставах. Перше [Comm. Ac. Petr., 1736 (1741)] використовувало той факт, що всі біноміальні коефіцієнти, відповідні показником ступеня р, діляться на р, і було проведено за допомогою індукції. Друге і третє докази з'явилися в Nov. Comm. Ac. Petr. за 1758/59 (тисячі сімсот шістьдесят один) і 1760/61 (1763).
В останній статті Ейлер узагальнив теорему Ферма, встановивши (в позначеннях, що ведуть своє походження від Гаусса), що
а (m) 1 (mod m),
де (т) є число чисел, взаємно простих з т і менших т. Зустрічається тут число (т), яке за пропозицією Гаусса називають тепер «функцією Ейлера», останній представив в тій же роботі у вигляді
де р, р, ... - прості подільники числа т. Якщо т саме є просте число, то числа 1, 2, 3, ..., (р - 1) будуть з ним взаємно простими, і виходить важлива теорема, висловлена Дж. Вільсоном і опублікована в 1770 Варінг в його «алгебраїчних роздумах». Теорема ця говорить, що величина 1, 2, 3 ... (р - 1) +1 ділиться без залишку на р, де р, як і всюди тут, - просте число. Ця теорема, як і теорема Ферма, полягає в установленому Лагранжем [Mem. Ac. Bed., 1771 (1773)] загальному порівнянні
x pl - l = (x + ...........
|