Історія розвитку математики

2

Муніципальне освітній заклад

"Середня загальноосвітня школа № 24 з поглибленим напрямком художньо-естетичного напрямку" м Архангельська

реферат

Історія розвитку математики

підготував:

учень 9 "А" класу

Онохін Дмитро

м Архангельськ, 2007

Зміст

• 1. Вавилон і Єгипет 4
• • 1.1 Вавилон 4
  • 1.2 Єгипет 6
  • 2. Грецька математика 8
  • 2.1 Класична Греція 8
  • 2.2 Олександрійський період 13
  • 2.3 Занепад Греції 16
  • 3. Індія і араби 17
  • 4. Середні століття і Відродження 19
  • 4.1 Середньовічна Європа 19
  • 4.2 Відродження 20
  • 5. Початок сучасної математики 21
  • 5.1 Досягнення в алгебрі 21
  • 5.2 Аналітична геометрія 23
  • 5.3 Математичний аналіз 24
  • 5.4 Сучасна математика 26
  • 5.5 Неевклидова геометрія 27
  • 5.6 Математична строгість 28
  • Бібліографічний список 33

Вступ

Найдавнішою математичної діяльністю був рахунок. Рахунок був необхідний, щоб стежити за поголів'ям худоби і вести торгівлю. Деякі первісні племена підраховували кількість предметів, зіставляючи їм різні частини тіла, головним чином пальці рук і ніг. Наскальний малюнок, що зберігся до наших часів від кам'яного віку, зображує число 35 у вигляді серії збудованих в ряд 35 паличок-пальців. Першими суттєвими успіхами в арифметиці стали концептуалізація числа і винахід чотирьох основних дій: додавання, віднімання, множення і ділення. Перші досягнення геометрії пов'язані з такими простими поняттями, як пряма і окружність. Подальший розвиток математики почалося приблизно в 3000 до н.е. завдяки вавилоняни і єгиптянам.

1. Вавилон і Єгипет

1.1 Вавилон

Джерелом наших знань про вавилонської цивілізації служать добре збережені глиняні таблички, покриті т. Н. клинописними текстами, які датуються від 2000 до н.е. і до 300 н.е. Математика на клинописних табличках в основному була пов'язана з веденням господарства. Арифметика і нехитра алгебра використовувалися при обміні грошей і розрахунках за товари, обчисленні простих і складних відсотків, податків і частки врожаю, що здається на користь держави, храму або землевласника. Численні арифметичні і геометричні завдання виникали у зв'язку з будівництвом каналів, зерносховищ і іншими суспільними роботами. Дуже важливим завданням математики був розрахунок календаря, оскільки календар використовувався для визначення термінів сільськогосподарських робіт і релігійних свят. Поділ кола на 360, а градуси і хвилини на 60 частин беруть початок в вавилонській астрономії.

Вавилоняни створили і систему числення, що використала для чисел від 1 до 59, підстава 10. Символ, що позначав одиницю, повторювався потрібну кількість разів для чисел від 1 до 9. Для позначення чисел від 11 до 59 вавілоняни використовували комбінацію символу числа 10 і символу одиниці. Для позначення чисел, починаючи з 60 і більше, вавилоняни ввели позиційну систему числення з основою 60. Істотним просуванням став позиційний принцип, згідно з яким один і той же числовий знак (символ) має різні значення в залежності від того місця, де він розташований. Прикладом можуть служити значення шестірки в записі (сучасною) числа 606. Проте нуль в системі числення стародавніх вавилонян був відсутній, через що один і той же набір символів міг означати і число 65 (60 + 5), і число 3605 (602 + 0 + 5). Виникали неоднозначності і в трактуванні дробів. Наприклад, одні і ті ж символи могли означати і число 21, і дріб 21/60 і (20/60 + 1/602). Неоднозначність дозволялася в залежності від конкретного контексту.

Вавилоняни склали таблиці зворотних чисел (які використовувалися при виконанні ділення), таблиці квадратів і квадратних коренів, а також таблиці кубів і кубічних коренів. Їм було відомо наближення числа. Клинописні тексти, присвячені вирішенню алгебраїчних і геометричних завдань, свідчать про те, що вони користувалися квадратичної формулою для вирішення квадратних рівнянь і могли вирішувати деякі спеціальні типи завдань, що включали до десяти рівнянь з десятьма невідомими, а також окремі різновиди кубічних рівнянь і рівнянь четвертого ступеня. На глиняних табличках відображені тільки завдання і основні кроки процедур їх вирішення. Так як для позначення невідомих величин використовувалася геометрична термінологія, то й методи рішення в основному полягали в геометричних діях з лініями і площами. Що стосується алгебраїчних задач, то вони формулювалися і вирішувалися в словесних позначеннях.

Близько 700 до н.е. вавилоняни стали застосовувати математику для дослідження рухів Місяця і планет. Це дозволило їм пророкувати положення планет, що було важливо як для астрології, так і для астрономії.

В геометрії вавілоняни знали про таких співвідношеннях, наприклад, як пропорційність відповідних сторін подібних трикутників. Їм була відома теорема Піфагора і те, що кут, вписаний в півколо, - прямий. Вони мали також правилами обчислення площ простих плоских фігур, в тому числі правильних багатокутників, і обсягів простих тіл. Число пі вавілоняни вважали рівним 3.

1.2 Єгипет

Наше знання староєгипетської математики грунтується, головним чином, на двох папірусах, датованих приблизно 1700 до н.е. Викладені в цих папірусах математичні відомості сягають ще більш раннього періоду - ок.3500 до н.е. Єгиптяни використовували математику, щоб обчислювати вага тіл, площі посівів і обсяги зерносховищ, розміри податей і кількість каменів, необхідну для зведення тих чи інших споруд. У папірусах можна знайти також завдання, пов'язані з визначенням кількості зерна, необхідного для приготування заданого числа кухлів пива, а також більш складні завдання, пов'язані з різницею в сортах зерна; для цих випадків обчислювалися перекладні коефіцієнти.

Але головною областю застосування математики була астрономія, точніше, розрахунки, пов'язані з календарем. Календар використовувався для визначення дат релігійних свят і передбачення щорічних повеней Нілу. Однак рівень розвитку астрономії в Стародавньому Єгипті набагато поступався рівню її розвитку в Вавилоні.

Давньоєгипетська писемність грунтувалася на ієрогліфах. Система числення того періоду також поступалася вавілонської. Єгиптяни користувалися непозиционной десяткової системою, в якій числа від 1 до 9 позначалися відповідним числом вертикальних рисок, а для послідовних ступенів числа 10 вводилися індивідуальні символи. Послідовно комбінуючи ці символи, можна було записати будь-яке число. З появою папірусу виникло так зване ієратичне лист-скоропис, що сприяло, в свою чергу, появі нової числової системи. Для кожного з чисел від 1 до 9 і для кожного з перших дев'яти кратних чисел 10, 100 і т.д. використовувався спеціальний розпізнавальний символ. Дробу записувалися у вигляді суми дробів з чисельником, рівним одиниці. З такими дробами єгиптяни виробляли всі чотири арифметичні операції, але процедура таких обчислень залишалася дуже громіздкою.

Геометрія у єгиптян зводилася до обчислень площ прямокутників, трикутників, трапецій, кола, а також формулами обчислення обсягів деяких тіл. Треба сказати, що математика, яку єгиптяни використовували при будівництві пірамід, була простою і примітивною.

Завдання і рішення, наведені в папірусах, сформульовані чисто рецептурно, без яких би то не було пояснень. Єгиптяни мали справу тільки з найпростішими типами квадратних рівнянь і арифметичній і геометричній прогресіями, а тому і ті загальні правила, які вони змогли вивести, були також самого найпростішого виду. Ні вавилонська, ні єгипетська математики не мали загальними методами; весь звід математичних знань був скупчення емпіричних формул і правил.

Хоча майя, які жили в Центральній Америці, не вплинули на розвиток математики, їх досягнення, які стосуються приблизно до 4 ст., Заслуговують на увагу. Майя, мабуть, першими використовували спеціальний символ для позначення нуля в своїй двадцатерічной системі. У них були дві системи числення: в одній застосовувалися ієрогліфи, а в інший, більш поширеною, точка позначала одиницю, горизонтальна риса - число 5, а спеціальний символ позначав нуль. Позиційні позначення починалися з числа 20, а числа записувалися по вертикалі зверху вниз.

2. Грецька математика

2.1 Класична Греція

З точки зору XX в. родоначальниками математики з'явилися греки класичного періоду (VI - IV ст. до н. е). Математика, існувала в більш ранній період, була набором емпіричних висновків. Навпаки, в дедуктивному міркуванні нове твердження виводиться з прийнятих посилок способом, виключав можливість його неприйняття.

Наполягання греків на дедуктивному доказі було екстраординарним кроком. Жодна інша цивілізація не дійшла до ідеї отримання висновків виключно на основі дедуктивного міркування, що виходить із явно сформульованих аксіом. Одне з пояснень прихильності греків методам дедукції ми знаходимо в пристрої грецького суспільства класичного періоду. Математики і філософи (нерідко це були одні й ті ж особи) належали до вищих верств суспільства, де будь-яка практична діяльність розглядалася як негідне заняття. Математики воліли абстрактні міркування про числах і просторових відносинах рішенню практичних завдань. Математика ділилася на арифметику - теоретичний аспект і логістику - обчислювальний аспект. Займатися логістикою надавали вільнонародженим нижчих класів і рабам.

Грецька система числення була заснована на використанні букв алфавіту. Аттична система, що була у ходу з VI - III ст. до н.е., використовувала для позначення одиниці вертикальну риску, а для позначення чисел 5, 10, 100, 1000 і 10 000 початкові літери їх грецьких назв. У більш пізньої ионической системі числення для позначення чисел використовувалися 24 літери грецького алфавіту і три архаїчні літери. Кратна 1000 до 9000 позначалися так само, як перші дев'ять цілих чисел від 1 до 9, але перед кожною буквою ставилася вертикальна риса. Десятки тисяч позначалися буквою М (від грецького "міріоі" - 10 000), після якої ставилося то число, на яке потрібно було помножити десять тисяч

Дедуктивний характер грецької математики повністю сформувався до часу Платона і Аристотеля.Винахід дедуктивної математики прийнято приписувати Фалесу Мілетському (ок.640 - 546 до н. Е), який, як і багато давньогрецькі математики класичного періоду, був також філософом. Висловлювалося припущення, що Фалес використовував дедукцію як доказ деяких результатів в геометрії, хоча це сумнівно.

Іншим великим греком, з чиїм ім'ям пов'язують розвиток математики, був Піфагор (ок.585 - 500 до н. Е). Вважають, що він міг познайомитися з вавілонської і єгипетської математикою під час своїх довгих мандрівок. Піфагор заснував рух, розквіт якого припадає на період ок.550 - 300 до н.е. Піфагорійці створили чисту математику в формі теорії чисел і геометрії. Цілі числа вони представляли у вигляді конфігурацій з точок або камінчиків, класифікуючи ці числа відповідно до форми виникають фігур ( "фігурні числа"). Слово "калькуляція" (розрахунок, обчислення) походить із грецького слова, що означає "камінчик". Числа 3, 6, 10 і т.д. піфагорійці називали трикутними, так як відповідне число камінчиків можна розташувати у вигляді трикутника, числа 4, 9, 16 і т.д. - квадратними, так як відповідне число камінчиків можна розташувати у вигляді квадрата, і т.д.

З простих геометричних конфігурацій виникали деякі властивості цілих чисел. Наприклад, піфагорійці виявили, що сума двох послідовних трикутних чисел завжди дорівнює деякому квадратному числу. Вони відкрили, що якщо (в сучасних позначеннях) n2 - квадратне число, то n2 + 2n + 1 = (n + 1) 2. Число, яка дорівнює загальній кількості всіх своїх власних дільників, крім самого цього числа, піфагорійці називали досконалим. Прикладами скоєних чисел можуть служити такі цілі числа, як 6, 28 і 496. Два числа піфагорійці називали дружніми, якщо кожне з чисел дорівнює сумі дільників іншого; наприклад, 220 і 284 - дружні числа (і тут саме число виключається з власних дільників).

Для піфагорійців будь-яке число представляло собою щось більше, ніж кількісну величину. Наприклад, число 2, згідно з їх думку, означало відмінність і тому ототожнювалося з думкою. Четвірка представляла справедливість, так як це перше число, яке дорівнює добутку двох однакових множників.

Піфагорійці також відкрили, що сума деяких пар квадратних чисел є знову квадратне число. Наприклад, сума 9 і 16 дорівнює 25, а сума 25 і 144 дорівнює 169. Такі трійки чисел, як 3, 4 і 5 або 5, 12 і 13, називаються піфагорових числами. Вони мають геометричну інтерпретацію: якщо два числа з трійки прирівняти довжинах катетів прямокутного трикутника, то третє число дорівнюватиме довжині його гіпотенузи. Така інтерпретація, очевидно, привела піфагорійців усвідомлення загальнішого факту, відомого нині під назвою теореми Піфагора, згідно з якою в будь-якому прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Розглядаючи прямокутний трикутник з одиничними катетами, піфагорійці виявили, що довжина його гіпотенузи дорівнює кореню з двох, і це привело їх в сум'яття, бо вони марно намагалися представити число у вигляді відносини двох цілих чисел, що було вкрай важливо для їх філософії. Величини, непредставімие у вигляді відношення цілих чисел, піфагорійці назвали несумірними; сучасний термін - "ірраціональні числа". Близько 300 до н.е. Евклід довів, що число незрівнянно. Піфагорійці мали справу з ірраціональними числами, представляючи все величини геометричними образами. Якщо 1 і вважати довжинами деяких відрізків, то відмінність між раціональними та ірраціональними числами згладжується. Твір чисел і є площа прямокутника зі сторонами довжиною ми і сьогодні іноді говоримо про кількість 25 як про квадраті 5, а про число 27 - як про кубі 3.

Стародавні греки вирішували рівняння з невідомими за допомогою геометричних побудов. Були розроблені спеціальні побудови для виконання додавання, віднімання, множення і ділення відрізків, вилучення квадратних коренів з довжин відрізків; нині цей метод називається геометричній алгеброю.

Приведення завдань до геометричному виду мало ряд важливих наслідків. Зокрема, числа стали розглядатися окремо від геометрії, оскільки працювати з несумірними відносинами можна було тільки за допомогою геометричних методів. Геометрія стала основою майже всієї суворої математики, по крайней мере, до 1600. І навіть у XVIII ст., Коли вже були досить розвинені алгебра і математичний аналіз, сувора математика трактувалася як геометрія, і слово "геометр" було рівнозначно слову "математик".

Саме піфагорійцям ми багато в чому зобов'язані тієї математикою, яка потім була систематизовано викладена і доведена в "Засадах" Евкліда. Є підстави вважати, що саме вони відкрили те, що нині відоме як теореми про трикутниках, паралельних прямих, багатокутниках, кіл, сферах і правильних многогранниках.

Одним з найвидатніших піфагорійців був Платон (ок.427 - 347 до н. Е). Платон був переконаний, що фізичний світ неосяжний лише за допомогою математики. Вважається, що саме йому належить заслуга винаходи аналітичного методу докази. Аналітичний метод починається з твердження, яке потрібно довести, і потім з нього послідовно виводяться слідства до тих пір, поки не буде досягнутий якийсь відомий факт; доказ виходить за допомогою зворотного процедури. Прийнято вважати, що послідовники Платона винайшли метод докази, що отримав назву "доказ від протилежного". Помітне місце в історії математики займає Аристотель, учень Платона. Аристотель заклав основи науки логіки і висловив ряд ідей щодо визначень, аксіом, нескінченності і можливості геометричних побудов.

Найбільшим з грецьких математиків класичного періоду, поступався за значимістю отриманих результатів тільки Архімеда, був Евдокс (ок.408 - 355 до н. Е). Саме він ввів поняття величини для таких об'єктів, як відрізки прямих і кути. Маючи в своєму розпорядженні поняттям величини, Евдокс логічно суворо обгрунтував піфагорійський метод поводження з ірраціональними числами.

Роботи Евдокса дозволили встановити дедуктивну структуру математики на основі явно сформульованих аксіом. Йому ж належить і перший крок у створенні математичного аналізу, оскільки саме він винайшов метод обчислення площ і обсягів, що отримав назву "методу вичерпання". Цей метод полягає в побудові вписаних і описаних плоских фігур або просторових тіл, які заповнюють ( "вичерпують") площа або об'єм тієї фігури або того тіла, яке є предметом дослідження. Евдоксу ж належить і перша астрономічна теорія, що пояснює спостережуваний рух планет. Запропонована Евдоксом теорія була суто математичною; вона показувала, яким чином комбінації обертових сфер з різними радіусами і осями обертання можуть пояснити здаються нерегулярними руху Сонця, Місяця і планет.

Близько 300 до н.е. результати багатьох грецьких математиків були зведені в єдине ціле Евклідом, який написав математичний шедевр "Почала". З небагатьох проникливо відібраних аксіом Евклід вивів близько 500 теорем, що охопили всі найважливіші результати класичного періоду. Свій твір Евклід почав з визначення таких термінів, як пряма, кут і коло. Потім він сформулював десять самоочевидних істин, таких, як "ціле більше будь-якої з частин". І з цих десяти аксіом Евклід зміг вивести всі теореми. Для математиків текст "Начал" Евкліда довгий час служив зразком строгості, поки в 19 ст. не виявилося, що в ньому є серйозні недоліки, такі як неусвідомлене використання не сформульованих в явному вигляді припущень.

Аполлоній (ок.262 - 200 до н. Е) жив в олександрійський період, але його основна праця витриманий в дусі класичних традицій. Запропонований ним аналіз конічних перетинів - окружності, еліпса, параболи і гіперболи - з'явився кульмінацією розвитку грецької геометрії. Аполлоній також став засновником кількісної математичної астрономії.

2.2 Олександрійський період

У цей період, який почався близько 300 до н.е., характер грецької математики змінився. Олександрійська математика виникла в результаті злиття класичної грецької математики з математикою Вавилонії і Єгипту. В цілому математики олександрійського періоду були більше схильні до вирішення суто технічних завдань, ніж до філософії. Великі олександрійські математики - Ератосфен, Архімед, Гіппарх, Птолемей, Діофант і Папп - продемонстрували силу грецького генія в теоретичному абстрагуванні, але настільки ж охоче застосовували свій талант до вирішення практичних проблем і чисто кількісних завдань.

Ератосфен (ок.275 - 194 до н. Е) знайшов простий метод точного обчислення довжини кола Землі, йому ж належить календар, в якому кожен четвертий рік має на один день більше, ніж інші. Астроном Аристарх (ок.310 - 230 до н. Е) написав твір "Про розміри і відстанях Сонця і Місяця", що містив одну з перших спроб визначення цих розмірів і відстаней; за своїм характером робота Аристарха була геометричній.

Найбільшим математиком давнини був Архімед (ок.287 - 212 до н. Е). Йому належать формулювання багатьох теорем про площі та обсяги складних фігур і тіл, цілком суворо доведені їм методом вичерпування. Архімед завжди прагнув отримати точні рішення і знаходив верхні і нижні оцінки для ірраціональних чисел. Наприклад, працюючи з правильним 96-кутником, він бездоганно довів, що точне значення числа p знаходиться між 31/7 і 310/71. Архімед довів також кілька теорем, що містили нові результати геометричній алгебри. Йому належить формулювання задачі про розтині кулі площиною так, щоб обсяги сегментів перебували між собою в заданому відношенні. Архімед вирішив цю задачу, відшукавши перетин параболи і равнобочной гіперболи.

Архімед був найбільшим математичним фізиком давнини. Для доведення теорем механіки він використовував геометричні міркування. Його твір "Про плаваючих тілах" заклало основи гідростатики. Згідно з легендою, Архімед відкрив що носить його ім'я закон, згідно з яким на тіло, занурене у воду, діє виштовхуюча сила, рівна вазі витісненої ним рідини, під час купання, перебуваючи у ванній, і не в силах впоратися з якою охоплено його радістю відкриття, вибіг оголений на вулицю з криком: "Еврика!" ( "Відкрив!").

За часів Архімеда вже не обмежувалися геометричними побудовами, здійсненними лише за допомогою циркуля і лінійки. Архімед використовував в своїх побудовах спіраль, а Діоклеса (кінець 2 ст. До н. Е) вирішив проблему подвоєння куба за допомогою введеної їм кривої, що отримала назву цисоїди.

У олександрійський період арифметика і алгебра розглядалися незалежно від геометрії. Греки класичного періоду мали логічно обгрунтовану теорію цілих чисел, однак олександрійські греки, сприйнявши вавилонську і єгипетську арифметику і алгебру, багато в чому втратили вже напрацьовані уявлення про математичної строгості. Що жив між 100 р до н.е. і 100 р н.е. Герон Олександрійський трансформував значну частину геометричній алгебри греків у відверто несуворі обчислювальні процедури. Однак, доводячи нові теореми евклідової геометрії, він як і раніше керувався стандартами логічного суворості класичного періоду.

Першою досить об'ємистої книгою, в якій арифметика викладалася незалежно від геометрії, було "Введення в арифметику" Нікомаха (бл.100 н. Е). В історії арифметики її роль можна порівняти з роллю "Почав" Евкліда в історії геометрії. Протягом більше 1000 років вона служила стандартним підручником, оскільки в ній ясно, чітко і всебічно містилося вчення про цілих числах (простих, складових, взаємно простих, а також про пропорції). Повторюючи багато пифагорейские затвердження, Запровадження Нікомаха разом з тим йшло далі, так як Никомах бачив і більш загальні відносини, хоча і приводив їх без доказу.

Знаменною віхою в алгебрі олександрійських греків стали роботи Діофанта (ок.250 рр.). Одне з головних його досягнень пов'язано з введенням в алгебру почав символіки. У своїх роботах Діофант не пропонував загальних методів, він мав справу з конкретними позитивними раціональними числами, а не з їх літерними позначеннями. Він заклав основи т. Н. диофантова аналізу - дослідження невизначених рівнянь.

Вищим досягненням олександрійських математиків стало створення кількісної астрономії. Гиппарху (ок.161 - 126 до н. Е) ми зобов'язані винаходом тригонометрії. Його метод був заснований на теоремі, яка стверджує, що в подібних трикутниках відношення довжин будь-яких двох сторін одного з них дорівнює відношенню довжин двох відповідних сторін іншого. Зокрема, відношення довжини катета, що лежить проти гострого кута А в прямокутному трикутнику, до довжини гіпотенузи має бути одним і тим же для всіх прямокутних трикутників, що мають один і той же гострий кут А. Це ставлення відомо як синус (sin) кута А. відносини довжин інших сторін прямокутного трикутника отримали назву косинуса (cos) і тангенса (tg) кута А. Гіппарх винайшов метод обчислення таких відносин і склав їх таблиці. Маючи в своєму розпорядженні цими таблицями і легко вимірними відстанями на поверхні Землі, він зміг обчислити довжину її великому колу і відстань до Місяця. За його розрахунками, радіус Місяця склав одну третину земного радіуса; за сучасними даними відношення радіусів Місяця і Землі становить 27/1000. Гіппарх визначив тривалість сонячного року з помилкою всього лише в 61/2 хвилини; вважається, що саме він ввів широти і довготи.

Грецька тригонометрія та її застосування в астрономії досягли піку свого розвитку в "Альмагест" єгиптянина Клавдія Птолемея (помер в 168 н. Е). В "Альмагесте" була представлена ​​теорія руху небесних тіл, що панувала аж до XVI ст., Коли її змінила теорія Коперника. Птолемей прагнув побудувати найпростішу математичну модель, усвідомлюючи, що його теорія - всього лише зручний математичний опис астрономічних явищ, узгоджене з спостереженнями. Теорія Коперника взяла гору саме тому, що як модель вона виявилася простіше.

2.3 Занепад Греції

Після завоювання Єгипту римлянами в 31 до н.е. велика грецька олександрійська цивілізація занепала. Цицерон з гордістю стверджував, що на відміну від греків, римляни мрійники, а тому застосовують свої математичні знання на практиці, витягуючи з них реальну користь. Однак в розвиток самої математики внесок римлян був незначний. Римська система числення грунтувалася на громіздких позначеннях чисел. Головною її особливістю був адитивний принцип. Навіть вичітательний принцип, наприклад, запис числа 9 у вигляді IX, увійшов у широкий вжиток лише після винаходу набраних літер в 15 в. Римські позначення чисел застосовувалися в деяких європейських школах приблизно до 1600, а в бухгалтерії і століттям пізніше.

3. Індія і араби

Наступниками греків в історії математики стали індійці. Індійські математики не займалися доказами, але вони ввели оригінальні поняття і ряд ефективних методів. Саме вони вперше ввели нуль і як кардинальне число, і як символ відсутності одиниць у відповідному розряді. Махавіра (850 н. Е) встановив правила операцій з нулем, вважаючи, однак, що поділ числа на нуль залишає число незмінним. Правильна відповідь для випадку ділення числа на нуль був дан Бхаскару (р. В 1114), йому ж належать правила дій над ірраціональними числами. Індійці ввели поняття негативних чисел (для позначення боргів). Найперша їх використання ми знаходимо у Брахмагупти (ок.630). Аріабхата (р.476) пішов далі Діофанта у використанні безперервних дробів при вирішенні невизначених рівнянь.

Наша сучасна система числення, заснована на позиційному принципі записи чисел і нуля як кардинального числа та використання позначення порожнього розряду, називається індо-арабської. На стіні храму, побудованого в Індії ок.250 до н.е., виявлено кілька цифр, що нагадують за своїми обрисами наші сучасні цифри.

Близько 800 р індійська математика досягла Багдада. Термін "алгебра" походить від початку назви книги "АЛЬ-джебр Ва-л-мукабала" ( "Заповнення і протиставлення"), написаної в 830 р астрономом і математиком аль-Хорезмі. У своєму творі він віддавав належне заслугам індійської математики. Алгебра аль_Хорезмі була заснована на працях Брахмагупти, але в ній виразно помітні вавилонське і грецьке впливу. Інший видатний арабський математик Ібн аль_Хайсам (ок.965 - 1039) розробив спосіб отримання алгебраїчних рішень квадратних і кубічних рівнянь. Арабські математики, в їх числі і березня Хайям, вміли вирішувати деякі кубічні рівняння з допомогою геометричних методів, використовуючи конічні перерізу. Арабські астрономи ввели в тригонометрію поняття тангенса (tg) і котангенс (ctg). Насиреддін Тусі (1201 - 1274) в "Трактаті про повну чотирикутнику" систематично виклав пласку і сферичну геометрії і першим розглянув тригонометрію окремо від астрономії.

І все ж найважливішим внеском арабів в математику стали їх переклади та коментарі до великих творінь греків. Європа познайомилася з цими роботами після завоювання арабами Північної Африки та Іспанії, а пізніше праці греків були переведені на латину.

4. Середні століття і Відродження

4.1 Середньовічна Європа

Римська цивілізація не залишила помітного сліду в математиці, оскільки була занадто стурбована рішенням практичних проблем. Цивілізація, що склалася в Європі раннього Середньовіччя (ок.400 - 1100), що не була продуктивною по прямо протилежної причини: інтелектуальне життя зосередилася майже виключно на теології і потойбіччя. Рівень математичного знання не піднімався вище арифметики і простих розділів з "Почав" Евкліда ". Найбільш важливим розділом математики в середні віки вважалася астрологія; астрологів називали математиками. А оскільки медична практика грунтувалася переважно на астрологічних показаннях або протипоказання, медикам не залишалося нічого іншого, як стати математиками.

Близько 1100 року в західноєвропейській математики почався майже трьохсотлітньої період освоєння збереженого арабами і візантійськими греками спадщини Стародавнього світу і Сходу. Оскільки араби володіли майже всіма працями античних греків, Європа отримала велику математичну літературу. Переклад цих праць на латину сприяв піднесенню математичних досліджень. Всі великі вчені того часу визнавали, що черпали натхнення в працях греків.

Першим заслуговує згадки європейським математиком став Леонардо Пізанський (Фібоначчі). У своєму творі "Книга абака" (1202) він познайомив європейців з індо-арабськими цифрами і методами обчислень, а також з арабської алгеброю. Протягом наступних кількох століть математична активність в Європі ослабла. Звід математичних знань тієї епохи, складений Лукою Пачолі в 1494, не містив будь-яких алгебраїчних нововведень, яких не було у Леонардо.

4.2 Відродження

Серед кращих геометрів епохи Відродження були художники, які розвинули ідею перспективи, яка вимагала геометрії зі сходяться паралельними прямими. Художник Леон Баттіста Альберті (1404 - 1472) ввів поняття проекції і перетину. Прямолінійні промені світла від очі спостерігача до різних точок зображуваної сцени утворюють проекцію; перетин виходить при проходженні площині через проекцію. Щоб намальована картина виглядала реалістичної, вона повинна була бути таким перетином. Поняття проекції і перетину породжували суто математичні питання. Наприклад, якими загальними геометричними властивостями володіють перетин і вихідна сцена, які властивості двох різних перетинів однієї і тієї ж проекції, утворених двома різними площинами, що перетинають проекцію під різними кутами? З таких питань і виникла проективна геометрія. Її засновник - Ж. Дезарг (1593 - 1662) за допомогою доказів, заснованих на проекції і перерізі, уніфікував підхід до різним типам конічних перетинів, які великий грецький геометр Аполлоній розглядав окремо.

5. Початок сучасної математики

Наступ XVI в. в Західній Європі ознаменувався важливими досягненнями в алгебри та арифметики. Були введені в обіг десяткові дроби і правила арифметичних дій з ними. Справжнім тріумфом став винахід в 1614 логарифмів Дж. Непер. До кінця XVII в. остаточно склалося розуміння логарифмів як показників ступеня з будь-яким позитивним числом, відмінним від одиниці, в якості підстави. З початку XVI ст. більш широко стали вживатися ірраціональні чісла.Б. Паскаль (1623 - 1662) та І. Барроу (1630 - 1677), учитель І. Ньютона в Кембриджському університеті, стверджували, що таке число, як корінь з двох, можна трактувати лише як геометричну величину. Однак в ті ж роки Р. Декарт (1596 - 1650) і Дж. Валліс (1616 - 1703) вважали, що ірраціональні числа припустимі й самі по собі, без посилань на геометрію. У XVI ст. тривали суперечки з приводу законності введення негативних чисел. Ще менш прийнятними вважалися виникаючі при вирішенні квадратних рівнянь комплексні числа, такі як названі Декартом "уявними". Ці числа були під підозрою навіть у XVIII ст., Хоча Л. Ейлер (1707 - 1783) з успіхом користувався ними. Комплексні числа остаточно визнали тільки на початку XIX ст., Коли математики освоїлися з їх геометричним представленням.

5.1 Досягнення в алгебрі

У XVI ст. італійські математики Н. Тарталья (1499 - 1577), С. Даль Ферро (1465 - 1526), ​​Л. Феррарі (1522 - 1565) і Д. Кардано (1501 - 1576) знайшли спільні рішення рівнянь третього і четвертого ступенів. Щоб зробити алгебраїчні міркування та їх запис точнішими, було введено безліч символів, в тому числі "+", "-", "=", "> "і "<". Найсуттєвішим нововведенням стало систематичне використання французьким математиком Ф. Виетом (1540 - 1603) букв для позначення невідомих та постійних величин. Це нововведення дозволило йому знайти єдиний метод вирішення рівнянь другого, третього і четвертого ступенів. Потім математики звернулися до рівнянь, ступеня яких вище четвертої. Працюючи над цією проблемою, Кардано, Декарт і І. Ньютон (1643 - 1727) опублікували (без доказів) ряд результатів, що стосуються числа і виду коренів рівняння. Ньютон відкрив співвідношення між країнами та дискримінантом (D) [b2 - 4ac] квадратного рівняння, а саме, що рівняння ax2 + bx + c = 0 має рівні дійсні, різні дійсні або комплексно пов'язані коріння в залежності від того, чи буде дискриминант b2 - 4ac дорівнює нулю, більше або менше нуля. У 1799 К. Фрідріх Гаус (1777 - 1855) довів т. Н. основну теорему алгебри: кожен многочлен n-го ступеня має рівно n коренів.

Основне завдання алгебри - пошук спільного рішення алгебраїчних рівнянь - продовжувала займати математиків і на початку XIX ст. Коли говорять про спільне вирішення рівняння другого ступеня ax2 + bx + c = 0, мають на увазі, що кожен з двох його коренів може бути виражений за допомогою кінцевого числа операцій додавання, віднімання, множення, ділення і вилучення коренів, вироблених над коефіцієнтами a, b і с. Молодий норвезький математик Н. Абель (1802 - 1829) довів, що неможливо отримати спільне рішення рівняння ступеня вище 4 за допомогою кінцевого числа алгебраїчних операцій. Однак існує багато рівнянь спеціального виду ступеня вище 4, що допускають таке рішення. Напередодні своєї загибелі на дуелі юний французький математик Е. Галуа (1811 - 1832) дав вирішальний відповідь на питання про те, які рівняння можна розв'язати в радикалах, тобто коріння яких рівнянь можна висловити через їх коефіцієнти за допомогою кінцевого числа алгебраїчних операцій. В теорії Галуа використовувалися підстановки або перестановки коренів, і було введено поняття групи, яке знайшло широке застосування в багатьох областях математики.

Розвиток теорії груп служить гарним прикладом спадкоємності творчої роботи в математиці.Галуа побудував свою теорію, спираючись на роботу Абеля, Абель спирався на роботу Ж. Лагранжа (1736 - 1813). У свою чергу багато видатних математики, в тому числі Гаусс і А. Лежандра (1752 - 1833) в своїх роботах неявно використовували поняття групи. Ньютон ні надмірно скромний, коли заявив: "Якщо я бачив далі інших, то тому, що стояв на плечах гігантів".

5.2 Аналітична геометрія

Аналітична, або координатна, геометрія була створена незалежно П. Ферма (1601 - 1665) і Р. Декартом для того, щоб розширити можливості евклідової геометрії в задачах на побудову. Однак Ферма розглядав свої роботи лише як переформулювання твори Аполлонія. Справжнє відкриття - усвідомлення всієї потужності алгебраїчних методів - належить Декарту. Евклидова геометрична алгебра для кожного побудови вимагала винаходу свого оригінального методу і не могла запропонувати кількісну інформацію, необхідну науці. Декарт вирішив цю проблему: він формулював геометричні завдання алгебраїчно, вирішував рівняння алгебри і лише потім будував шукане рішення - відрізок, який мав відповідну довжину. Власне аналітична геометрія виникла, коли Декарт почав розглядати невизначені завдання на побудову, рішеннями яких є не одна, а безліч можливих довжин.

Аналітична геометрія використовує алгебраїчні рівняння для подання і дослідження кривих і поверхонь. Декарт вважав прийнятною криву, яку можна записати за допомогою єдиного алгебраїчного рівняння відносно х і у. Такий підхід був важливим кроком вперед, бо він не тільки включив в число допустимих такі криві, як конхоїда і Цисоїда, але також істотно розширив область кривих. В результаті, в XVII - XVIII ст. безліч нових важливих кривих, таких як циклоїда і ланцюгова лінія, увійшли в науковий обіг.

Мабуть, першим математиком, який скористався рівняннями для доведення властивостей конічних перетинів, був Дж. Валліс. До 1 865 він алгебраїчним шляхом отримав всі результати, представлені в V книзі "Почав" Евкліда.

Аналітична геометрія повністю поміняла ролями геометрію і алгебру. Як зауважив великий французький математик Лагранж, "поки алгебра і геометрія рухалися кожна своїм шляхом, їх прогрес був повільним, а додатки обмеженими. Але коли ці науки об'єднали свої зусилля, вони запозичили один в одного нові життєві сили і з тих пір швидкими кроками попрямували до досконалості ".

5.3 Математичний аналіз

Засновники сучасної науки - Коперник, Кеплер, Галілей і Ньютон - підходили до дослідження природи як математики. Досліджуючи рух, математики виробили таке фундаментальне поняття, як функція, або відношення між змінними, наприклад d = kt2, де d - відстань, пройдену вільно падаючим тілом, а t - число секунд, яке тіло знаходиться у вільному падінні. Поняття функції відразу ж стало центральним у визначенні швидкості в даний момент часу і прискорення рухомого тіла. Математична труднощі цієї проблеми полягала в тому, що в будь-який момент тіло проходить нульове відстань за нульовою проміжок часу. Тому, визначаючи значення швидкості в момент часу розподілом шляху на час, ми прийдемо до математично безглуздого висловом 0/0.

Завдання визначення та обчислення миттєвих швидкостей зміни різних величин привертала увагу майже всіх математиків XVII ст., Включаючи Барроу, Ферма, Декарта і Валліса. Запропоновані ними розрізнені ідеї та методи були об'єднані в систематичний, універсально застосовний формальний метод Ньютоном і Г. Лейбніцем (1646 - 1716), творцями диференціального обчислення. З питання про пріоритет в розробці цього обчислення між ними велися гарячі суперечки, причому Ньютон звинувачував Лейбніца в плагіаті. Однак, як показали дослідження істориків науки, Лейбніц створив математичний аналіз незалежно від Ньютона. В результаті конфлікту обмін ідеями між математиками континентальної Європи і Англії на довгі роки виявився перерваним зі збитком для англійської сторони. Англійські математики продовжували розвивати ідеї аналізу в геометричному напрямку, в той час як математики континентальної Європи, в тому числі І. Бернуллі (1667 - 1748), Ейлер і Лагранж досягли незрівнянно більших успіхів, слідуючи алгебраическому, або аналітичному, підходу.

Основою всього математичного аналізу є поняття межі. Швидкість в момент часу визначається як межа, до якої прагне середня швидкість, коли значення t все ближче підходить до нуля. Диференціальне числення дає зручний в обчисленнях загальний метод знаходження швидкості зміни функції при будь-якому значенні х. Ця швидкість отримала назву похідною. З спільності записі видно, що поняття похідної може бути застосовано не тільки в завданнях, пов'язаних з необхідністю знайти швидкість або прискорення, але і по відношенню до будь-якої функціональної залежності, наприклад, до якого-небудь співвідношенню з економічної теорії. Одним з основних додатків диференціального обчислення є т. Н. завдання на максимум і мінімум; інший важливий коло завдань - знаходження дотичної до даної кривої.

Виявилося, що за допомогою похідної, спеціально винайденої для робіт з завданнями руху, можна також знаходити площі і обсяги, обмежені відповідно кривими і поверхнями. Методи геометрії Евкліда не мали належної спільністю і не дозволяли отримувати необхідні кількісні результати. Зусиллями математиків XVII в. були створені численні приватні методи, що дозволяли знаходити площі фігур, обмежених кривими того чи іншого виду, і в деяких випадках була відзначена зв'язок цих завдань із завданнями на знаходження швидкості зміни функцій. Але, як і в разі диференціального обчислення, саме Ньютон і Лейбніц усвідомили спільність методу і тим самим заклали основи інтегрального числення.

Метод Ньютона-Лейбніца починається з заміни кривої, що обмежує площу, яку потрібно визначити, що наближається до неї послідовністю ламаних, аналогічно тому, як це робилося в винайденому греками методі вичерпання. Точна площа дорівнює межі суми площ n прямокутників, коли n звертається в нескінченність. Ньютон показав, що ця межа можна знайти, звертаючи процес знаходження швидкості зміни функції. Операція, зворотна диференціюванню, називається інтегруванням. Твердження про те, що підсумовування можна здійснити, звертаючи диференціювання, називається основною теоремою математичного аналізу. Подібно до того, як диференціювання застосовно до набагато більш широкого класу задач, ніж пошук швидкостей і прискорень, інтегрування може бути застосовано до будь-якого завдання, пов'язаної з підсумовуванням, наприклад, до фізичних завдань на складання сил.

5.4 Сучасна математика

Створення диференціального й інтегрального числень ознаменувало початок "вищої математики". Методи математичного аналізу, на відміну від поняття межі, що лежить в його основі, виглядали ясними і зрозумілими. Багато років математики, в тому числі Ньютон і Лейбніц, марно намагалися дати точне визначення поняттю межі. І все ж, незважаючи на численні сумніви в обгрунтованості математичного аналізу, він знаходив все більш широке застосування. Диференціальне й інтегральне числення стали наріжними каменями математичного аналізу, який з часом включив в себе і такі предмети, як теорія диференціальних рівнянь, звичайних і з приватними похідними, нескінченні ряди, варіаційне числення, диференціальна геометрія і багато іншого. Суворе визначення меж вдалося отримати лише в 19 ст.

5.5 Неевклидова геометрія

До 1800 р математика лежала на двох "китах" - на числової системи і геометрії Евкліда. Так як багато властивостей числової системи доводили геометрично, евклідова геометрія була найбільш надійною частиною будівлі математики. Проте, аксіома про паралельних містила твердження про прямих, що тягнуться в нескінченність, яке не могло бути підтверджено досвідом. Навіть версія цієї аксіоми, що належить самому Евклиду, зовсім не стверджує, що якісь прямі не перетнуться. У ній, скоріше, формулюється умова, при якому вони перетнуться в деякій кінцевій точці. Століттями математики намагалися знайти аксіомі про паралельних відповідну відповідну заміну. Але в будь-якому вигляді неодмінно опинявся якийсь пробіл. Честь створення неевклідової геометрії випала Н.І. Лобачевському (1792 - 1856) і Я. Бойяи (1802 - 1860), кожен з яких незалежно опублікував своє власне оригінальне виклад неевклідової геометрії. В їх геометрії через дану точку можна було провести нескінченно багато паралельних прямих. В геометрії Б. Рімана (1826 - 1866) через точку поза прямою можна провести жодної паралельної.

Про фізичних додатках неевклідової геометрії ніхто серйозно не думав. Створення А. Ейнштейном (1879 - 1955) загальної теорії відносності в 1915 пробудило науковий світ до усвідомлення реальності неевклідової геометрії.

Неевклидова геометрія стала найбільш вражаючим інтелектуальним звершенням XIX в. Вона ясно продемонструвала, що математику не можна більш розглядати як звід незаперечних істин. У кращому випадку математика може гарантувати достовірність докази на основі недостовірних аксіом. Але зате математики надалі здобули свободу досліджувати будь-які ідеї, які могли здатися їм привабливими. Кожен математик окремо був тепер вільний вводити свої власні нові поняття і встановлювати аксіоми на свій розсуд, стежачи лише за тим, щоб виникають з аксіом теореми не суперечили один одному. Грандіозне розширення кола математичних досліджень в кінці минулого століття по суті стало наслідком цієї нової свободи.

5.6 Математична строгість

Приблизно до 1870 р математики перебували в переконанні, що діють по визначенням древніх греків, застосовуючи дедуктивні міркування до математичних аксіом, тим самим забезпечуючи своїми висновками не меншу надійність, ніж та, якою володіли аксіоми. Неевклидова геометрія і кватерніони (алгебра, в якій не виконується властивість комутативність) змусили математиків усвідомити, що те, що вони брали за абстрактні і логічно несуперечливі затвердження, в дійсності грунтується на емпіричному і прагматичному базисі.

Створення неевклідової геометрії супроводжувалося також усвідомленням існування в геометрії Евкліда логічних прогалин. Одним з недоліків евклідових "Почав" було використання припущень, що не сформульованих в явному вигляді. Мабуть, Евклід не брав під сумнів ті властивості, якими володіли його геометричні фігури, але ці властивості не були включені в його аксіоми. Крім того, доводячи подобу двох трикутників, Евклід скористався накладенням одного трикутника на інший, неявно припускаючи, що при русі властивості фігур не змінюються. Але крім таких логічних прогалин, в "Засадах" виявилося і кілька помилкових доказів.

Створення нових алгебр, що почалося з квартерніонов, породило аналогічні сумніви і щодо логічної обґрунтованості арифметики і алгебри звичайної числової системи. Всі раніше відомі математикам числа мали властивість коммутативности, тобто ab = ba. Кватерніони, які вчинили переворот в традиційних уявленнях про числах, були відкриті в 1843 Г.У. Гамільтоном (1805 - 1865). Вони виявилися корисними для вирішення цілого ряду фізичних і геометричних проблем, хоча для кватерніонів не виконувалося властивість коммутативности. Квартерніони змусили математиків усвідомити, що якщо не брати до уваги присвяченій цілим числам і далекою від досконалості частини евклідових "Почав", арифметика і алгебра не мають власної аксіоматичної основи. Математики вільно зверталися з негативними і комплексними числами і виробляли операції алгебри, керуючись лише тим, що вони успішно працюють. Логічна строгість поступилася місцем демонстрації практичної користі введення сумнівних понять і процедур.

Майже з самого зародження математичного аналізу неодноразово робилися спроби підвести під нього строгі підстави.Математичний аналіз ввів два нових складних поняття - похідна і визначений інтеграл. Над цими поняттями билися Ньютон і Лейбніц, а також математики наступних поколінь, які перетворили диференціальне й інтегральне числення в математичний аналіз. Однак, незважаючи на всі зусилля, в поняттях межі, безперервності і диференційованої залишалося багато неясного. Крім того, з'ясувалося, що властивості алгебраїчних функцій не можна перенести на всі інші функції. Майже всі математики XVIII в. і початку XIX ст. робили зусилля, щоб знайти сувору основу для математичного аналізу, і всі вони зазнали невдачі. Нарешті, в 1821, О. Коші (1789 - 1857), використовуючи поняття числа, підвів сувору базу під весь математичний аналіз. Однак пізніше математики виявили у Коші логіческіепробели. Бажана строгість була, нарешті, досягнута в 1859 К. Вейерштрассом (1815 - 1897).

Вейерштрасс спочатку вважав властивості дійсних і комплексних чисел самоочевидними. Пізніше він, як і Г. Кантор (1845 - 1918) і Р. Дедекинд (1831 - 1916), усвідомив необхідність побудови теорії ірраціональних чисел. Вони дали коректне визначення ірраціональних чисел і встановили їх властивості, однак властивості раціональних чисел як і раніше вважали самоочевидними. Нарешті, логічна структура теорії дійсних і комплексних чисел придбала свій закінчений вигляд в роботах Дедекинда і Дж. Пеано (1858 - 1932). Створення підстав числової системи дозволило також вирішити проблеми обгрунтування алгебри.

Завдання посилення суворості формулювань евклідової геометрії була порівняно простий і зводилася до перерахування визначаються термінів, уточнення визначень, введення відсутніх аксіом і заповненню прогалин в доказах. Це завдання виконав в 1899 Г.Д. Гільберт (1862 - 1943). Майже в той же час були закладені і основи інших геометрій. Гільберт сформулював концепцію формальної аксіоматики. Одна з особливостей запропонованого ним підходу - трактування невизначених термінів: під ними можна мати на увазі будь-які об'єкти, що задовольняють аксіомам. Наслідком цієї особливості з'явилася зростаюча абстрактність сучасної математики. Евклидова і неевклідова геометрії описують фізичний простір. Але в топології, що є узагальненням геометрії, невизначених термін "точка" може бути вільний від геометричних асоціацій. Для топології точкою може бути функція або послідовність чисел, так само як і будь-що інше. Абстрактне простір являє собою безліч таких "точок"

Аксіоматичний метод Гільберта увійшов майже в усі розділи математики XIX в. Однак незабаром стало ясно, що цього методу притаманні певні обмеження. У 1880-х Кантор спробував систематично класифікувати нескінченні безлічі (наприклад, безліч всіх раціональних чисел, множина дійсних чисел і т.д.) шляхом їх порівняльної кількісної оцінки, приписуючи їм т. Н. трансфінітні числа. При цьому він виявив в теорії множин протиріччя. Таким чином, до початку XX в. математикам довелося мати справу з проблемою їх дозволу, а також з іншими проблемами підстав їх науки, такими, як неявне використання т. зв. аксіоми вибору. І все ж ніщо не могло зрівнятися з руйнівним впливом теореми неповноти К. Геделя (1906 - 1978). Ця теорема стверджує, що будь-яка несуперечлива формальна система, досить багата, щоб утримувати теорію чисел, обов'язково містить нерозв'язне пропозицію, тобто твердження, яке неможливо ні довести, ні спростувати в її рамках. Тепер загальновизнано, що абсолютного докази в математиці не існує. Щодо того, що такий доказ, думки розходяться. Однак більшість математиків схильне вважати, що проблеми підстав математики є філософськими. І дійсно, жодна теорема не змінилася внаслідок знову знайдених логічно строгих структур; це показує, що в основі математики лежить не логіка, а здорова інтуїція.

Якщо математику, відому до 1600 р можна охарактеризувати як елементарну, то в порівнянні з тим, що було створено пізніше, ця елементарна математика нескінченно мала. Розширилися старі області і з'явилися нові, як чисті, так і прикладні галузі математичних знань. Виходять близько 500 математичних журналів. Величезна кількість публікованих результатів не дозволяє навіть фахівцеві ознайомитися з усім, що відбувається в тій області, в якій він працює, не кажучи вже про те, що багато результати доступні розумінню лише фахівця вузького профілю. Жоден математик сьогодні не може сподіватися знати більше того, що відбувається в дуже маленькому куточку науки.

бібліографічний список

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуджує наука. Математика Стародавнього Єгипту, Вавилона і Греціі.М., 1959.

2. Юшкевич А.П. Історія математики в середні века.М., 1961.

3. Даан-Дальмедіко А., Пейффер Ж. Шляхи і лабіринти. Нариси з історії математікі.М., 1986.

4. Клейн Ф. Лекції про розвиток математики в XIX столетіі.М., 1989.