Математичне моделювання при активному експерименті
|
Скачати 59.5 Kb.
|
|
| Дата конвертації | 17.11.2018 |
| Розмір | 59.5 Kb. |
| Тип | реферат |
|
|
-
Навігація по даній сторінці:
- Неадекватність моделі не означає її неправильності!
- дробовим факторним експериментом
|
Волгоградський державний технічний університет Кафедра «САПР і ПК» Курсова робота з моделювання на тему: «Математичне моделювання при активному експерименті» Виконав: студент II-го курсу групи ІХТ-263 Б ******** Ю.В. Перевірив: Фоменков С.А. Волгоград 2001 Основні положення теорії планування експерименту. Розрізняють фізичне і математичне моделювання. При фізичному моделюванні дослідження об'єкта відбувається при його відтворенні в іншому масштабі. Тут можливий кількісний перенесення результатів експерименту з моделі на оригінал. Однак для аналізу складних об'єктів і процесів, якими є більшість електронних схем, конструкцій та технологічних процесів виробництва радіоелектронної техніки, приладобудування, машинобудування та інших промислових галузей, застосування фізичного моделювання важко, оскільки доводиться використовувати велику кількість критеріїв і обмежень, які можуть бути несумісні, а часто і нездійсненні. Математичне моделювання є методом якісного або кількісного опису об'єктів або процесів, при цьому реальний об'єкт, процес або явище спрощується, схематизируется і описується певним рівнянням. У більшості випадків математична модель являє собою рівняння регресії, тобто геометричне місце точок математичних очікувань умовних розподілів цільової функції. Найпростішим прикладом такої моделі є рівняння парної кореляції, де на цільову функцію впливає один чинник. На практиці в реальному виробництві на цільову функцію впливають багато чинників і шукане рівняння регресії стає багатовимірним. Існує багато методів відшукання рівняння регресії, які можна умовно розділити на два класи: методи активного і методи пасивного експерименту. Під активним експериментом будемо розуміти експеримент, попередній план якого складено так, щоб отримати максимальну інформацію про цільової функції при мінімальній її дисперсії і проведенні мінімального числа дослідів (ефективний план). Такий план (наприклад, повний факторний експеримент) вимагає штучного одночасного варіювання всіма факторами в досить широких межах. Методи активного експерименту досить добре розроблені в спеціальному розділі математичної статистики, який називається "Теорія планування експерименту". Під математичною теорією планування експерименту будемо розуміти науку про способи складання економних експериментальних планів, які дозволяють отримувати найбільшу кількість інформації про об'єкт, про способи проведення експерименту, про способи обробки експериментальних даних, про способи використання отриманих результатів для оптимізації досліджуваних об'єктів (наприклад, технологічних процесів виробництва масової продукції). Математичний апарат теорії планування експерименту побудовано на поєднанні методів математичної статистики і методів вирішення екстремальних задач. В даний час виділяють два основних напрямки теорії планування експерименту:
У цій роботі описуються в основному методи першого напряму. Будь-яке експериментальне дослідження містить три етапи:
Головними труднощами на етапі постановки завдання є перехід з мови спеціальності на мову планування експерименту, на мову математики. Побудова математичної моделі технологічного процесу в залежності від поставленого завдання може переслідувати наступні цілі: мінімізувати витрату матеріалу на одиницю продукції, що випускається при збереженні якості, зробити заміну дорогих матеріалів на більш дешеві або дефіцитних на поширення; скоротити час обробки в цілому або на окремих операціях, перевести окремі режими в некритичні зони, знизити трудові витрати на одиницю продукції і т.п .; поліпшити приватні показники і загальна кількість готової продукції, підвищити однорідність продукції, поліпшити показники надійності і т.п .; збільшити надійність і швидкодію управління, збільшити ефективність контролю якості, створити умови для автоматизації процесу управління і т.п. Перш за все, необхідно вибрати залежну змінну Y, яку надалі будемо називати цільовою функцією або параметром оптимізації, за який приймають один з показників якості продукції або по кожній технологічній операції окремо, або по всьому технологічному процесу відразу. Параметр оптимізації повинен відповідати наступним вимогам:
За фактор приймають контрольовану величину об'єкта (вироби, процесу, операції), тобто величину, що характеризує ту чи іншу властивість об'єкта або режим технологічного обладнання. Ця величина, числове значення якої вимірюється в межах (кордонах) зміни, повинна впливати на параметр оптимізації. При визначенні величин кількісних оцінок до уваги повинні прийматися тільки ті фактори, які мають чіткий метрологічний сенс (можливість вимірювання фактора з певною точністю). Опис досліджуваного об'єкта можна отримати у вигляді точної формули функції, справедливої у всьому діапазоні існування аргументів. Воно може бути лише наближеним і на невеликій ділянці в околицях обраної базової точки. Апроксимація шуканої математичної залежності являє собою деякий поліном - відрізок ряду Тейлора, в який розкладається невідома залежність:
де:
В силу наявності некерованих і навіть неконтрольованих вхідних змінних Xi зміна величини Y носить випадковий характер, а тому рівняння (1) не дає нам точного зв'язку між входом і виходом об'єкта і є лише умовним математичним очікуванням випадкової величини Y, тобто рівнянням регресії. Щоб відшукати коефіцієнти рівняння регресії за результатами експериментів в N точках факторного простору (що є типовою завданням регресійного аналізу), необхідним є дотримання наступних передумов:
Тоді задача відшукання коефіцієнтів рівняння регресії зводиться до вирішення системи так званих нормальних рівнянь:
де Y g - експериментальні значення вихідного параметра, отримані в g-й точці факторного простору; Вираз (2) є основним критерієм перевірки правильності знайденого рівняння регресії. Щоб система нормальних рівнянь, яка може бути представлена у вигляді матриці, мала єдине рішення, необхідно, щоб матриця була невиродженою, тобто щоб вектор - стовпці були лінійно - незалежні. Щоб величини коефіцієнтів рівняння регресії не залежали від числа членів матриці, потрібно на неї накласти додаткову умову ортогональності вектор стовпців. 1. Повний факторний експеримент Повним факторним експериментом (ПФЕ) називається експеримент, який реалізує всі можливі повторювані комбінації рівнів незалежних змінних, кожна з яких примусово варіюється на двох рівнях (Рис 1)
Число цих комбінацій N = 2 n визначає тип планування. Для гарантованого отримання єдиного рішення системи нормальних рівнянь необхідно мати ортогональну матрицю планування, що неможливо забезпечити в абсолютній системі одиниць факторів X i, тобто тоді, коли фактори іменовані (наприклад, важко уявити 17 кілометрів ортогональними до 12 кілограмів). Тому необхідно провести попереднє перетворення кожного фактора - його переклад в систему відносних координат. Таке перетворення легко зробити за допомогою перенесення початку координат в базову точку X * і вибору одиниці відліку DX i по кожній координаті X i.
Це дає можливість легко побудувати ортогональну матрицю планування і значно полегшує подальші розрахунки, так як в цьому випадку верхні і нижні рівні варіювання X iв і X iн в відносних одиницях будуть рівні відповідно x iв = +1 і x iн = -1. Крок варіювання по кожній змінній вибирається таким, щоб приріст величини вихідного параметра Y до базового значення Y * при реалізації кроку можна було виділити на тлі "шуму" при невеликому числі паралельних дослідів. Якщо немає ніяких вказівок на величину кроку DX i, то в першому наближенні можна вибрати DX i = 0,15X * i, тобто прийняти за крок 15% -ве відхилення від базового рівня X * i. Такий крок дає достатню гарантію того, що фактор X i викличе помітну реакцію Y, якщо зв'язок між ними існує. Матриця планування повинна відповідати таким умовам: 1.ортогональность 2. Умова нормування 3. Симетричність щодо центру екстремуму 4. Ротатабельность, тобто координати точок факторного простору в матриці планування підлаштовуються так, що точність передбачення значення параметра оптимізації однакова на рівних відстанях від центру експерименту (базової точки) і не залежить від напрямку. Матриця планування складається з наступних правил: 1. Кожна g-й рядок матриці представляє собою набір координат точки 2. Оскільки змінні x gi приймають лише значення +1 і -1, то всі інші змінні можуть приймати ті ж значення, що дозволяє з метою спрощення записувати в таблицю замість +1 і -1 їх знаки + і -; 3. Перший рядок
Слід зазначити, що суть матриці не зміниться, якщо перший рядок Матриці планування будь-якого іншого типу, наприклад, 2 4, 2 5 і т.д. можуть бути отримані описаних вище способом. Оскільки зміна вихідної величини Y носить випадковий характер, необхідно в кожній точці
Величина m може бути будь-який, але не менше m = 3. Тоді експеримент ділиться на m серій дослідів, в кожній з яких повністю реалізується матриця планування (тобто експеримент проводиться в N = 2 n точках факторного простору). Одним з найважливіших положень сучасної теорії планування експерименту є рандомізація. План експерименту складається так, щоб рандомизировать, тобто зробити випадковими ті систематично діючі фактори, які важко піддаються обліку і контролю, для того, щоб розглядати їх як випадкові величини і враховувати статистично. Перед реалізацією плану на об'єкті необхідно зробити рандомізацію - за допомогою таблиці рівномірно розподілених випадкових чисел (табл.П.6) визначити послідовність реалізації матриці планування в кожній з m серій дослідів. Для цього в якості початку вибирається будь-яке число з табл.П.6 і записується в стовпець k 1 з табл.2 на місце g = 1. Решта місць цього шпальти заповнюють числа від 1 до N, такі по порядку з табл.П.6 за обраним початковим. Слід звертати увагу на те, щоб числа в стовпцях табл.2 не повторювалися двічі. Нехай, наприклад, при g = 4 k 14 = 8, це означає, що в першій серії випробувань точка Аналогічно рандомізують випробування в кожної з решти серій експериментів; порядок реалізації записується в шпальтах k 2, k 3, ..., km. Результати експерименту в кожній із серій випробувань записуються в шпальтах Y 1, Y 2, ..., Y m. Перевірка відтворюваності - це перевірка на виконання другої передумови регресійного аналізу про однорідність вибіркових дисперсій S 2 g. Завдання полягає в перевірці гіпотези про рівність дисперсій s 2 {Y 1} = s 2 {Y 2} = ... s 2 {YN} при експериментах відповідно в точках Оцінки дисперсій перебувають по формулі
Так як всі дисперсії отримані за вибірками однакового обсягу m, то число ступенів свободи для всіх дисперсій однаково одно
Для перевірки гіпотези про однорідність оцінок дисперсій слід користуватися критерієм Кохрена, який заснований на законі розподілу відносини максимальної емперіческіх дисперсії до суми всіх дисперсій, тобто
Якщо обчислене значення критерію G виявиться менше табличного значення G кр, знайденого для q% -ного рівня значимості, v зн = v 2 = N - числа ступенів свободи знаменника (наприклад для q = 5%; v числ = 3 - 1 = 2; v зн = 8, G кр = 0,5157, см. табл.П.5), то гіпотеза про однорідність дисперсій приймається. При цьому всю групу дисперсій S 2 g можна вважати оцінкою S 2 {Y} однієї і тієї ж генеральної дисперсії відтворюваності s 2 {Y}, звідки
Якщо перевірка на відтворюваність дала негативний результат, то залишається визнати або невоспроизводимость експерименту щодо керованих змінних внаслідок наявності флуктуацій некерованих і неконтрольованих змінних, що створюють на виході великий рівень "шуму", або наявність грубого промаху в рядку, звідки взята дисперсія max {S 2 g} . У першому випадку слід збільшити число паралельних дослідів, у другому - знайти грубий промах і замінити його на результат доброякісного виміру при відповідній комбінації чинників. Якщо це з якихось причин неможливо, то, щоб не порушувати передумови використання критерію Кохрена, на місце грубого промаху слід помістити середню арифметичну величину Слід також зазначити, що критерій Кохрена можна застосовувати не до будь-якої групі вибірок, а тільки до групи вибірок однакового обсягу, що як раз і має місце при повному факторному експерименті. Легко помітити, що вихідний план (табл.1) містить багато більше рядків, ніж стовпців і, отже, з результатів експерименту згідно з умовою рішення нормальних рівнянь (2) можна отримати додаткову інформацію, тобто розширити модель. Безумовно, це відноситься до середньої арифметичної всього експерименту, тобто до відгуку в базовій точці b 0, для розрахунку якого можна ввести фіктивну змінну x од = +1 для всіх рядків. Решта вільними стовпчики можна використовувати для знаходження оцінок коефіцієнтів при парних взаємодіях і т.п. При цьому відповідні величини xixj, xixjxl виходять простим перемножением відповідних стовпців вихідного плану. Тоді математична модель об'єкта, що виходить в результаті ПФЕ може бути представлена у вигляді
Однак внаслідок того, що з обмеженої кількості дослідів не можна отримати точні значення коефіцієнтів bi, а тільки їх незалежні оцінки bi, вся математична модель стає оціночної
Приклад матриці планування, принципа її реалізації і подальшої обробки експериментальних даних наведено в табл.2 на базі трехфакторной експерименту. У розділі "Матриця планування експерименту" включені не тільки відносні змінні xi, поєднання яких і є власне справжньою матрицею планування, ні і їх парні і потрійні взаємодії, знання яких необхідно лише на етапі обробки експериментальних даних.
Для зручності розрахунків та подання формул кожен стовпець може бути представлений у вигляді нової змінної Z ig. Тоді оцінки коефіцієнтів рівняння регресії легко знайти за формулою
Легко помітити, що матриця планування Необхідно відзначити, що отримується модель не дає членів типу x 2 ii і, таким чином, є неповною. У більшості випадків це не відбивається на якості моделі, так як найчастіше b ii = 0. Однак у випадках, коли b ii ¹ 0, модель стає неточною (неадекватною), тоді слід від ПФЕ переходити до інших принципів планування (як правило, це трапляється в околицях приватного або глобального екстремуму цільової функції). Після визначення оцінок коефіцієнтів регресії необхідно перевірити гіпотезу про значущість коефіцієнтів bi. Найкраще це зробити у вигляді нуль-гіпотези, тобто гіпотези про рівність bi = 0. Якщо вона підтвердилася, то коефіцієнт bi слід визнати статистично незначущим і відкинути з певної моделі; якщо гіпотеза не підтвердилася, то відповідний коефіцієнт bi слід визнати значущим і включити в модель. Перевірка гіпотези проводиться за допомогою t - критерію Ст'юдента, який при перевірка нуль-гіпотези формується у вигляді
де S 2 {bi} - дисперсія помилки визначення коефіцієнта bi. При повному і дробовому факторному плануванні для всіх i
Якщо обчислена величина параметра ti перевищує табличне значення t кр, знайдене для q% -ного рівня значимості і v з = N (m-1) числа ступенів свободи (наприклад для q = 5%; v з = 16; t кр = 2,199, см.табл.П.2) то нуль-гіпотеза відкидається і коефіцієнт вважається незначним і його слід відкинути, не включаючи до шукану модель. Статистична незначимість коефіцієнта bi може бути обумовлена наступними причинами:
Оскільки ортогональное планування дозволяє визначати довірчі кордону для кожного з коефіцієнтів регресії в окремо, то, якщо який-небудь з коефіцієнтів виявиться незначним, він може бути відкинутий без перерахунку всіх інших. Після цього математична модель об'єкта складається у вигляді рівняння зв'язку вихідного параметра Y і змінних xi, що включає тільки значущі коефіцієнти. Щоб перевірити гіпотезу про адекватність представлення результатів експерименту знайденому рівнянню зв'язку (іншими словами, щоб перевірити, наскільки знайдене рівняння відповідає експериментальним результатам), досить оцінити відхилення вихідної величини Y g, передбачене рівнянням регресії, від результатів експериментів Розсіювання результатів експерименту поблизу рівняння зв'язку, аппроксимирующего шукану функціональну залежність, можна охарактеризувати за допомогою дисперсії неадекватності s 2 пекло, оцінка якої S 2 пекло знаходиться за формулою
з числом ступенів свободи v пекло = Nd, де d - число членів аппроксимирующего полінома. Перевірка адекватності полягає у з'ясуванні співвідношення між дисперсією неадекватності s 2 пекло і дисперсією відтворюваності s 2 {Y}. Якщо s 2 пекло не перевищує дисперсії досвіду, то отримана математична модель адекватно представляє результати експерименту, якщо ж s 2 ад> s 2 {Y}, то опис вважається неадекватним об'єкту. Перевірка гіпотези про адекватність проводиться з використанням F-критерію Фішера. Критерій Фішера дозволяє перевірити нуль-гіпотезу про рівність двох генеральних дисперсій s 2 пекло і s 2 {Y}. У зв'язку з тим, що самих генеральних дисперсій ми не знаємо, F-критерій формується як відношення
Якщо обчислене за формулою (15) значення критерію F менше табличного F кр, знайденого для q% -ного рівня значимості, v числ = v пекло = v 4 = Nd числа ступенів свободи чисельника і v зн = v з = N (m-1 ) числа ступенів свободи знаменника, то нуль-гіпотеза приймається. В іншому випадку вона відкидається і опис (модель) визнається неадекватним об'єкту. Деякі значення F кр (q = 5%; v 4; v з) наведені в табл.П.4 В ході роботи може виникнути ситуація, коли вибіркова дисперсія неадекватності S 2 пекло не перевищує оцінки дисперсії відтворюваності S 2 {Y} (тобто коли S 2 пекло £ S 2 {Y}). Тоді співвідношення (15) дорівнюватиме F £ 1 і нерівність F Перевірка адекватності можлива тільки при v пекло = v 4> 0. Число варіантів варіювання плану ПФЕ дорівнює числу оцінюваних коефіцієнтів регресії рівняння зв'язку (N = d). Отже, не залишається ступенів свободи (v пекло = 0) для перевірки нуль-гіпотези про адекватність уявлення експериментальних даних обраної формою аппроксимирующего полінома. Якщо ж деякі коефіцієнти регресії виявилися незначними або ними можна знехтувати в силу їх малості, то число членів перевіряється рівняння в цьому випадку буде менше числа варіантів варіювання (d 0) залишиться для перевірки гіпотези адекватності. Якщо гіпотеза адекватності відкидається, то модель визнається неадекватною експериментальним даними. Неадекватність моделі не означає її неправильності! Неадекватність моделі може означати, що не весь перелік факторів, що впливають був прийнятий до уваги, або що необхідно перейти до більш складній формі рівняння зв'язку, або вибрати інший крок варіювання по одному або декільком факторам і т.п. Однак все досягнення неадекватною моделі: відсів незначущих факторів, оцінка дисперсії експерименту і ін. Залишаються в силі. Приклад 1. Методом ПФЕ знайти математичну модель процесу напилення резисторів. Після консультації з експертами та деяких попередніх досліджень було визначено, що на величину опору напилюваної резисторів можуть впливати наступні фактори:
План експерименту, його п'ятиразова реалізація з урахуванням рандомізації і первинна обробка результатів представлена в таблиці.
При первинній обробці результатів експериментів користуємося формулами (4) і (5), а потім перевіряємо відтворюваність дослідів по (7)
Таким чином, підтверджена відтворюваність дослідів (відсутність в даних грубих промахів), що дозволяє, в свою чергу, знайти середню дисперсію малих вибірок (дисперсію дослідів) по (8)
Оцінки коефіцієнтів рівняння регресії шукаються за формулою (11)
і т.д. Аналогічно знаходимо b 3 = -0,55; b 12 = +0,61; b 13 = -2,30; b 23 = +0,26; b 123 = -0,81 Перевіряємо значимість оцінок коефіцієнтів за критерієм Стьюдента за формулою (12), попередньо знайшовши дисперсію оцінок за формулою (13)
Табличне значення критерію ti (табл.П.2) t кр (5%; v 3 = 32) = 2,046, тому всі знайдені оцінки коефіцієнтів, крім b 23, визнаються значущими і повинні увійти в модель
Для визначення дисперсії адекватності за формулою (14) необхідно спочатку знайти числові значення моделі
Тоді критерій Фішера (15) дає
що доводить адекватність знайденої моделі. Її можна використовувати для управління технологічним процесом випробування резисторів 2. Дробний факторний експеримент Повний факторний експеримент доцільно використовувати при порівняно невеликому числі незалежних факторів (зазвичай не більше 5), в іншому випадку число варіантів варіювання N = 2 n стає непомірно великим і реалізація експерименту ускладнюється. У той же час в більшості практичних завдань взаємодії зовнішніх порядків, починаючи з третього (а то і другого), відсутні або нехтує малі, внаслідок чого зайво багато ступенів свободи залишається на перевірку гіпотези адекватності. Якщо заздалегідь знехтувати взаємодіями вищих порядків, то є можливість отримати математичну модель при меншому числу дослідів, реалізувавши не весь план ДФЕ, а тільки його частину (дробову репліку). Експеримент, який реалізує частину (дробову репліку) повного факторного експерименту, називається дробовим факторним експериментом (ДФЕ). ДФЕ дозволяє отримати наближення шуканої функціональної залежності Y = f (X 1, ..., X n) в деякій невеликій околиці точки базового режиму при мінімумі дослідів. Так, для вирішення трехфакторной завдання можна обмежитися чотирма варіантами (N = 4), якщо в плануванні ПФЕ типу 2 2 твір x 1 x 2 прирівняти до третьої незалежної змінної x 3. Таке планування, представлене матрицею табл 3, дозволяє оцінити вільний член b 0 і три коефіцієнта регресії при лінійних членах b 1, b 2, b 3 (з чотирьох дослідів не можна отримати більше чотирьох коефіцієнтів).
Застосування ДФЕ завжди пов'язане зі змішуванням, тобто спільною оцінкою кількох коефіцієнтів рівняння зв'язку. У нашому прикладі, якщо коефіцієнти регресії b ij при парних творах відмінні від нуля, то кожен із знайдених коефіцієнтів буде оцінкою двох теоретичних коефіцієнтів: b 0 ® b 0 + b 123; b 2 ® b 2 + b 13; b 1 ® b 1 + b 23; b 3 ® b 3 + b 12. Дійсно, зазначені коефіцієнти в такому плануванні не можуть бути знайдені окремо, оскільки стовпці матриці для лінійних членів і парних творів збігаються (повністю скорреліровани). Розглянутий план ДФЕ представляє половину плану ДФЕ типу 2, 3 і називається "напіврепліки" від ПФЕ типу 2 3 або плануванням типу N = 2 3-1. При великому числі змінних можна побудувати дробові репліки високого ступеня дробности (1/4, 1/8, 1/16 і т.д.). Дробная репліка позначається через 2 np, якщо p змінних прирівняні до відповідних творів змінних. Для правильного планування ДФЕ необхідно використовувати всі отримані раніше відомості про об'єкт теоретичного і інтуїтивного характеру і виділити з них ті змінні і твори змінних, вплив яких на процес мінімально. При цьому змішування потрібно виробляти так, щоб основні оцінки b 0, b 1, ..., bn були змішані з взаємодіями, про які заздалегідь відомо, що вони не впливають на об'єкт. Отже, довільне розбиття матриці планування 2 3 на дві частини виділення напіврепліки типу 2 3-1 неприпустимо. Генерує співвідношення служить для побудови дробової репліки. Так, в розглянутому плануванні 2 3-1 ми задавали напіврепліки типу 2 3 за допомогою генеруючого співвідношення x 3 = x 1 x 2. Визначальним контрастом (ОК) називається співвідношення, що задає елемент першого стовпця матриці планування для фіктивної змінної (всі вони рівні 1). Вираз ОК в нашому прикладі виходить множенням лівої і правої частин наведеного генеруючого співвідношення на його ліву частину x 3 1 = x 1 x 2 x 3, так як завжди x 2 ig = 1. Знання ОК дозволяє визначити всю систему спільних оцінок не вивчаючи матрицю планування ДФЕ. Співвідношення, які визначають ці оцінки, можна знайти, послідовно перемноживши незалежні змінні на ОК x 1 = x 2 x 3; x 2 = x 1 x 3; x 3 = x 1 x 2. Звідси легко знаходимо змішуються теоретичні коефіцієнти регресії і їх оцінки b 1 ® b 1 + b 23; b 2 ® b 2 + b 13; b 3 ® b 3 + b 12. Роздільна здатність дрібних реплік визначається генеруючими співвідношеннями. Вона тим вище, чим вище порядок взаємодій, з якими змішані лінійні коефіцієнти, і збільшується з ростом числа незалежних змінних. Для чверті репліки в п'ятифакторна плануванні типу 25-2 можуть бути задані, наприклад генерує співвідношення x 4 = x 1 x 2 x 3; x 5 = x 1 x 2 заздалегідь вважаючи, що b 123 = b 12 = 0, тобто що пара x 1 x 2 і трійка x 1 x 2 x 3 не дає значимого ефекту взаємодії. Визначальними контрастами для цієї чверть-репліки згідно з вищенаведеними правилами будуть співвідношення 1 = x 1 x 2 x 3 x 4; 1 = x 1 x 2 x 5. Якщо у дробової репліки є два і більше визначають контрасту, їх необхідно перемножити між собою, використовуючи всі можливі комбінації. У разі четвертьреплікі виходить одна комбінація 1 = x 3 x 4 x 5 Узагальнюючий визначальний контраст, побудований на основі всіх отриманих визначають контрастів, повністю характеризує роздільну здатність реплік високого ступеня дробности 1 = x 1 x 2 x 3 x 4 = x 1 x 2 x 5 = x 3 x 4 x 5. Спільні оцінки тут будуть визначатися відповідниками x 0 = x 1 x 2 x 3 x 4 = x 1 x 2 x 5 = x 3 x 4 x 5; Ці співвідношення дозволяють встановити, оцінкою яких теоретичних коефіцієнтів є той чи інший коефіцієнт регресії, отриманий при обробці результатів експерименту b 0 = b 0 + b 1234 + b 125 + b 345; Роздільна здатність цієї чверті репліки невисока, так як всі лінійні коефіцієнти змішані з парними взаємодіями. Матриця планування такої чверті репліки представлена в табл.4. Слід мати на увазі, що ДФЕ завжди можна доповнити до ПФЕ, реалізувавши відсутні дробові репліки. Вся подальша робота по реалізації матриці планування ДФЕ, перевірці відтворюваності отриманих результатів, визначення оцінок коефіцієнтів регресії і їх значимості, перевірці адекватності отриманої математичної моделі не відрізняється від відповідних процедур в ПФЕ. Таблиця 4 Чверть репліки від ПФЕ типу 2 5 (планування типу 2 5-2)
Приклад 2.Методом ДФЕ знайти математичну модель процесу напилення резисторів. Скористаємося результатами Прикладу 1 і покладемо в якості генеруючого співвідношення равеніство x 1 = x 2 x 3 (тому що b 23 = 0). Тоді матриця планування і результати експерименту (опускаючи проміжні дані) будуть виглядати так
Перевіримо відтворюваність дослідів
звідки випливає, що результати дослідів отримані правильно, дисперсія малих вибірок дорівнює S 2 {y} = 8,792 / 4 = 2,198 з числом ступенів свободи v 3 = 4 · 4 = 16. Оцінки коефіцієнтів рівняння регресії
аналогічно b 2 = -1,44; b 3 = 0,05. Перевірка значущості отриманих оцінок починається з визначення їх СКО
звідки
Табличні значення критерію t кр (5%; 16) = 2,131, отже, модель знайдена у вигляді
Перевірка адекватності моделі дає
тобто модель визнається адекватною експериментальним даним. Порівняння моделей прикладу 1 і прикладу 2 показує, що вони мають абсолютно різний вигляд, а по деяких факторів - протилежні за змістом оцінки коефіцієнтів. Звідси можна зробити кілька загальних висновків та рекомендацій (без докладного обґрунтування), придатних для використання в рамках теорії планування експериментів:
Висновок. Застосування описаних вище методів математичного моделювання повністю виправдало себе в умовах з невеликим числом факторів. Але при дуже великому числі факторів і залучення їх до складання математичного опису досліджуваного об'єкта методами ПФЕ або ДФЕ може вимагати збільшення обсягу експериментальної роботи, що рідко може виконуватися через економічних, технологічних та інших обмежень. Таким чином, виникає необхідність в попередньому відсівання несуттєвих і виділення тих чинників процесу, які надають найбільш помітний вплив на цільову функцію. Іншим суттєвим ускладненням для застосування ПФЕ або ДФЕ в виробничих умовах є метод отримання оцінок коефіцієнтів регресії. Оцінки виду (11) вважаються оптимальними в сенсі ефективності (мінімуму дисперсії), оскільки їх обчислення базується на методі найменших квадратів, однак передумовою такої оптимальності є вимоги незалежності факторів, ортогональности і симетричності плану експерименту, а також вимога рівності дисперсій умовних розподілів щільності ймовірності f (y / xk). У свою чергу симетричність плану вимагає рівної кількості спостережень, відповідних позитивним і негативним значенням k-го фактора. На практиці в виробничих умовах вимоги симетричності плану і рівності дисперсій умовних розподілів щільності ймовірності f (y / xk) експерименту, як правило, порушуються, особливо у випадках, коли дослідник намагається побудувати модель за результатами, зафіксованими для випадкової системи комбінацій виробничих факторів. При цьому завжди є вибір: або порушити одне з вимог факторного аналізу, або втратити частину інформації, намагаючись вибрати з неї тільки те, що узгоджується з правилами ведення ПФЕ (ДФЕ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
однорідні, тобто статистично невиразні. Ця вимога означає незалежність вибіркової дисперсії від місця розташування точки факторного простору, в якій проводиться конкретний досвід (ротатабельность).
- значення вихідного параметра, знайдені по рівнянню регресії в тих же точках;
g, в якій проводиться експеримент;
g цього рядка.
= B 0 + b 1 x 1 + ... + bnxn + b 12 x 1 x 2 + b 1 ... nx 1 ... xn
є ортогональною з лінійно незалежними вектор-стовпцями; звідси випливає діагональні матриці нормальної системи рівнянь, а отже, і взаємна незалежність оцінок коефіцієнтів рівняння регресії.
факторного простору.
g) 2
= 14,09 + 1,88x 1 - 1,44x 2.
