Поняття часу і проблема континууму (до історії питання)

П.П. Гайденко

Категорія часу належить до числа тих, які грають ключову роль не тільки в філософії, теології, математики та астрономії, а й в геології, біології, психології, в гуманітарних та історичних науках. Жодна сфера людської діяльності не обходиться без дотику з реальністю часу: все, що рухається, змінюється, живе, діє і мислить, - все це в тій чи іншій формі пов'язано з часом. Однак дивним чином саме поняття часу представляє великі труднощі для всякого, хто намагається осягнути його природу. Не випадково про час написані гори літератури, особливо в останнє сторіччя, але число нерозв'язних питань, як здається, не тільки не зменшується, а з кожним десятиліттям, мабуть, тільки зростає.

Ми спробуємо розглянути лише деякі аспекти проблеми часу. Час безперервно (або дискретно, як вважають деякі). Тому для розуміння його необхідно розібратися в природі континууму. У своїй роботі, присвяченій аналізу математичного континууму, Георг Кантор підкреслював, що неможливо визначити континуум, якщо виходити з уявлень про часі чи просторі, тому що самі ці уявлення можуть бути пояснені тільки за допомогою поняття континууму, яке повинно бути вихідним і простим і не повинно залежати в своєму змісті від інших понять [1]. Це твердження Кантора пов'язано з його розумінням теорії множин як загального фундаменту і математики в цілому, і теорії континууму особливо.

Треба сказати, що роздуми про природу часу з перших кроків наукової і філософської думки в Древній Греції були нерозривно пов'язані зі спробами вирішити проблему континууму. Адже час, так само як і простір, і рух являє собою континуум, який можна мислити або як що складається з неподільних елементів (моментів-«Мигово» - часу, неподільних частин - точок - простору або «частин» руху), або ж як нескінченно подільну - в точному сенсі безперервну - величину. Ось що пише в зв'язку з цим Герман Вейль, чиї роботи по філософії математики можна віднести до класичних: «З давніх-давен протистоять один одному атомістична концепція, згідно з якою континуум складається з окремих точок, і протилежна точка зору, яка вважає неможливим зрозуміти таким чином безперервний перебіг. Перша концепція дає нам побудовану логічно систему нерухомо сущих елементів, але вона не в змозі пояснити рух і дію; всяка зміна зводиться для неї до ілюзії. Другий же концепції не вдалося ні за часів античного світу, ні пізніше, аж до Галілея, вирватися зі сфери туманною інтуїції, щоб проникнути в область абстрактних понять, необхідних для раціонального аналізу дійсності. Досягнуте врешті-решт рішення - це те, математично-систематичним зразком якого служить диференціальне та інтегральне числення. Але сучасна критика аналізу знову руйнує зсередини це рішення, хоча, правда, вона і не дає собі ясного звіту у всьому значенні старої філософської проблеми і приходить в результаті до хаосу і нісенітниці »[2, c. 102].

Протистояння двох точок зору на природу континууму - атомістичної, представники якої мислять безперервне складається з неподільних елементів, і антіатомістіческой, захисники якої заперечують можливість скласти континуум з неподільних як їх суми, в основі своїй має онтологічну дилему, сформульовану ще древніми філософами, обговорювалася протягом багатьох століть і не втратила своєї актуальності і сьогодні: що є реально існуючим і становить справжній предмет наукового знання: буття або становл ення? З V ст. до н.е., перш за все в навчаннях елеатів, а потім Платона одержує своє перше і досить глибоке обгрунтування точка зору, що реально існує лише те, що незмінно і самототожності; воно і отримує назву буття. В силу саме своєї незмінності і тотожності самому собі буття тільки і може бути осягнуте розумом за допомогою понять і, таким чином, стати предметом суворого наукового знання. Що ж стосується навколишнього нас чуттєвого світу, в якому відбувається безперервна зміна, рух, все явища якого зазнають трансформації і ніколи не залишаються тотожними і рівними собі, то він являє собою не буття, а становлення і в цій іпостасі є предмет не знання, а лише мінливого і недостовірного думки.

Під час обговорення питання про природу континууму і особливо про природу часу як одновимірного і незворотного континууму ця антитеза буття і становлення відіграє важливу роль. Що стосується часу, то тут ситуація особливо наочна: ті, хто вважають предметом науки буття як початок стійкості і постійності, а тому шукають незмінну основу мінливих явищ, схильні усувати фактор часу при вивченні природи. Навпаки, ті, хто ототожнюють поняття «природа» і «становлення» і намагаються створити засоби для пізнання самого зміни і руху, переконані в тому, що час є ключовий фактор у житті природи і відповідно відіграє провідну роль в її пізнанні.

Джордж Уітроу, автор ґрунтовного дослідження «Природна філософія часу», пов'язує ці два підходи до вивчення природи з іменами найбільших вчених давнини - Архімеда і Аристотеля. «Архімед, - пише він, - лежить в основі тих, чия філософія фізики передбачає" елімінацію "часу, тобто тих, хто вважає, що часовий потік не є суттєвою особливістю першооснови речей. З іншого боку, Аристотель служить попередником тих, хто розглядає час як фундаментальне поняття, оскільки він стверджував, що є реальне "становлення" і що світ має в своїй основі тимчасову структуру »[3, c. 9]. Дійсно, Аристотель був одним з перших, хто піддав критиці як вчення елеатів про незмінному і нерухоме буття, по відношенню до якого будь-яке становлення є тільки ілюзія, так і платонівської вчення про ідеї як потойбічних чуттєвого світу позачасових незмінних «зразках» чуттєвих речей. З точки зору Платона, суворе наукове знання можна отримати лише за допомогою умогляду, бо лише розум в стані споглядати вічні ідеї, недоступні почуттям; їх він називає істинно сущим, протиставляючи всьому котра зводиться, що не володіє справжнім буттям. На відміну від Платона Аристотель прагне створити науку також і про рухомий і змінюється - про світ становлення. За його задумом, це має бути наука про природу як початку руху і зміни - фізика. І, як справедливо говорить Уітроу, Аристотель розглядає час як фундаментальне поняття фізики; не випадково його аналіз часу і безперервності не втратив свого значення по сьогоднішній день.

Однак при цьому у Аристотеля першорядну роль відіграє і категорія буття (сутність) як почала стійкого і постійного. Аналізу саме цього початку присвячена «перша філософія» Аристотеля - метафізика; йому ж приділяється і велика увага у фізиці, оскільки і в мінливому природному світі Аристотель намагається виявити якісь інваріанти - то міцне і стійке, що служить непорушним фундаментом як самого природного сущого, так і науки про природу. Вчення про субстанціях і вічний двигун як вищої серед них якраз і складає такий фундамент.

Необхідно відзначити, що крайні форми протиставлення буття і становлення як взаємовиключних реальностей в історії філософії порівняно рідкісні, хоча вони і виконують важливу евристичну функцію в розвитку теоретичного знання. Так, в античності представникам елейскої школи - Парменід і Зенону, доводили реальність і пізнаваність буття і ілюзорність і незбагненність становлення, вперше з усією гостротою вдалося поставити і обговорювану нами тут проблему континууму. Інший крайній полюс - визнання реальності тільки становлення - представлений в давнину Гераклітом, а в новітній час - Бергсоном. Між цими полюсами розташовується більшість мислителів, які намагаються уникнути крайніх позицій і визнають як початок стійкості і постійності (сверхчувственное буття), так і відомі права на існування мінливого і минущого - становлення.

Сьогодні полеміка між прихильниками «буття» і прихильниками «становлення» відтворюється в новій формі. При цьому по-новому загострюється і питання про те, наскільки істотним для пізнання природи, як і для самого її існування, є фактор часу з характерною для нього необоротністю. Про це добре говорить В.С. Стьопін в своєму фундаментальному дослідженні «Теоретичне знання». Порівнюючи принципову установку класичної науки (насамперед фізики) з наукою постнекласичної, він вказує на різне ставлення тієї та іншої перш за все до фактору часу. «Класична наука переважно приділяла увагу стійкості, рівноважної, однорідності і порядку. У числі її об'єктів були замкнуті системи. Як правило, це були прості об'єкти, знання законів розвитку яких дозволяло, виходячи з інформації про стан системи в сьогоденні, однозначно передбачити її майбутнє і відновити минуле. Для механічної картини світу характерний був позачасовий характер. Час було несуттєвим елементом, воно носило зворотній характер, тобто стану об'єктів в минулому, сьогоденні і майбутньому були практично неможливо розрізнити. Інакше кажучи, світ влаштований просто і підпорядковується оборотним в часі фундаментальним законам »[4, c. 651].

Інший підхід виявляє сучасна фізика, зокрема сінергетіка, що вивчає самоорганізуються складні системи різної природи. При цьому виникає питання про взаємовідносини неживої і живої природи, що веде до зміни парадигмальних принципів класичної (та й некласичної) фізики. Як зазначає В.С. Стьопін, в XX в. з'являється тенденція «усунути розриви між еволюційною парадигмою біології і традиційним абстрагуванням від еволюційних ідей при побудові фізичної картини світу» [4, c. 651]. Сінергетіка має справу не з замкнутими, а з відкритими системами, які обмінюються енергією, речовиною та інформацією з навколишнім світом. Стану таких відкритих систем стають нестійкими, нерівновагими. Процеси, що відбуваються в нерівноважних системах, мають незворотній характер, і зрозуміло, що незворотність часу - «стріла часу» - отримує в них вирішальну роль. Не випадково Ілля Пригожин підкреслює, що, на відміну від класичної фізики, синергетика повертає всі права становленню, в якому порядок виникає «з хаосу» - через флуктуації, тобто випадкові відхилення величин від їх середнього значенія1.

Якщо класична фізика відтворює, спрощено кажучи, «парадигму Архімеда», яка виключає «стрілу часу» 2, тобто яка розглядає час як оборотне, то сінергетіка повертається до Аристотеля, а якщо бути більш точним, - до Бергсону, у якого час саме як необоротне відіграє основну роль, стаючи принципом «творчої еволюції» - становлення, зведеного в ранг абсолютної реальності. На відміну від Аристотеля Бергсон не визнає ніякого буття як позачасовий і незмінною реальності, для нього немає нічого, крім текучої мінливості - становлення.

Звертаючись тепер до поняття континууму, ми можемо констатувати, що трактування цього поняття визначається тим, як той чи інший філософ, математик або фізик вирішує проблему буття і становлення: усуває він взагалі один з цих «полюсів», як це робили еліатів, з одного боку, і бергсоніанцем - з іншого, або ж прагне знайти спосіб опосередкування, встановити зв'язок цих «полюсів», як це, власне, і робить більшість філософів і натуралістів, починаючи з Аристотеля і закінчуючи Декартом, Ньютоном, Лейбніцем, Кантом, Махом, Пуанкаре , Гей нштейном. Зрозуміло, кожен з названих учених вирішує цю задачу по-своєму, створюючи свою систему понять, і по-різному ставить проблему континууму.

Відзначимо ще один важливий аспект даної проблеми, якого ми досі не стосувалися: цей аспект пов'язаний з поняттям нескінченності і з розрізненням актуальною і потенційної нескінченностей - розрізненням, з давніх-давен і по сьогоднішній день визначальним розуміння як природи безперервного взагалі, так і суті часу в зокрема.

Парадокси континууму Зенона і рішення їх Аристотелем

Історичний аналіз дозволяє по-новому побачити й глибше зрозуміти сенс сучасних дискусій, присвячених проблемі континууму і різних його видів.У своїй роботі ми торкнемося лише найбільш важливих, вузлових моментів в історії поняття безперервності, починаючи з античності і закінчуючи XVII-ХVIII ст. Як уже згадувалося, вперше проблема континууму була поставлена ​​Зеноном з Елеі, які виявили парадокси, що виникають при спробі мислити рух в поняттях. Коротко зміст цих парадоксів передає Аристотель: «Є чотири міркування Зенона про рух, що доставляють великі труднощі тим, які хочуть їх вирішити. Перше, про неіснування руху на тій підставі, що переміщається тіло повинно колись дійти до половини, ніж до кінця ... Друге, так званий Ахіллес. Воно полягає в тому, що істота більш повільне в бігу ніколи не буде наздогнати найшвидшим, бо переслідують необхідно раніше прийти в те місце, звідки вже вирушила убегающее, так що більш повільне завжди має деяку перевагу ... Третє ... полягає в тому , що летить стріла стоїть нерухомо; воно випливає з припущення, що час складається з окремих "тепер" ... Четверте міркування відноситься до двох різних мас. рухаються з однаковою швидкістю: одні - з кінця арени, інші - від середини, в результаті чого, на його думку, виходить, що половина часу дорівнює його подвійному кількості »[6, VI, 9].

Перша Апорія - «Дихотомія» - доводить неможливість руху, оскільки рух тіло, перш ніж подолати певну відстань, повинно спочатку пройти його половину, а для цього - половину цієї половини і т.д. до нескінченності. Справді, якщо просторовий континуум розглядати як актуально дане безліч елементів, то рух в такому континуумі неможливо мислити, бо зайняти нескінченну кількість послідовних положень в обмежений час неможливо: строго кажучи, рух тут не може навіть початися.

В основі апорії «Ахіллес» - те ж саме складне становище: поки Ахіллес долає відстань, яка відділяє його від черепахи, остання пройде ще один відрізок шляху і т.д. до нескінченності. Щоб наздогнати її, самий прудконогий бігун повинен послідовно зайняти безліч місць, які займала черепаха. В обох апориях Зенон передбачає континуум діленим до нескінченності, але цю нескінченність вважає актуально існуючої, тобто буттям в тому сенсі, про який ми говорили вище. У третій апорії - «Стріла» - філософ доводить, що летить стріла спочиває. Зенон тут виходить з розуміння часу як суми неподільних моментів «тепер», а простору - як суми неподільних точок. У кожен момент часу, міркує Зенон, стріла займає місце, рівне своєму об'ему3, а значить, рух можна мислити лише як суму «просунутої» - станів покоя4, бо при дійсному русі предмет повинен займати місце більше, ніж він сам. Атомістичний континуум, як доводить Зенон, не дозволяє руху ні існувати, ні бути мислимим.

Ми не будемо розглядати четверту апорію - «Стадій», за своїми передумов подібну зі «Стрілою». За допомогою цих апорії Зенона намагається довести, що, незалежно від того, чи розглядати континуум як подільний до нескінченності або ж як що складається з неподільних моментів, рух в рівній мірі виявиться неможливим. Сенс парадоксів Зенона - в прагненні довести, що множинний і мінливий чуттєвий світ становлення є світ ілюзорний і не допускає строго наукового пізнання; про це, як хоче довести Зенон, незаперечно свідчить те, що будь-яка спроба осягнути рух за допомогою суворого міркування веде до нерозв'язних протиріч.

У своєму прагненні створити фізику як науку про природу, тобто про світ становлення, Аристотель повинен довести можливість мислити рух без протиріччя, тобто дозволити апорії Зенона. Він робить це, створюючи свою теорію континууму, яка зіграла фундаментальну роль не тільки в античної та середньовічної науки, а й в класичній фізиці і по суті не втратила свого значення і донині. «Якраз вчення про континуумі, -пише німецький дослідник В. Віланд, - належить до тих частин арістотелівської фізики, які ніколи не оскаржувалися і навіть не ставилися під сумнів засновниками сучасного природознавства. Те, що Аристотель висловлює про континуумі, належить до підстав також і фізики Нового часу, в тому числі навіть і там, де вона працювала з атомістичні гіпотезами. До Планка ці підстави ніколи не продумувалися у всіх їх наслідки, виходячи з яких міг би бути підірваний принцип безперервності, фундаментальний для основних припущень Галілея і Ньютона. Тільки квантова гіпотеза Планка, логічні наслідки якої досі ще чекають свого аналізу, виводить за межі горизонту, окресленого арістотелівської теорією континууму »[9, S. 278-279].

Теорія континууму Аристотеля служить фундаментом не тільки фізики, а й математики, оскільки Аристотель запропонував нове обгрунтування математики в порівнянні з тим, яке давала піфагорійсько-платонівська школа. Аналізуючи поняття безперервності, як його обґрунтував Аристотель, можна бачити, як він розуміє зв'язок фізики з математикою. Отже, що ж таке безперервність? Це є, за Арістотелем, певний тип зв'язку елементів системи, що відрізняються від інших типів зв'язку - послідовності і суміжності. Послідовність, або проходження по порядку, - умова суміжності, а суміжність - умова безперервності. Важливо усвідомити різницю між суміжними і безперервним: якщо предмети стикаються, але при цьому зберігають кожен свої краю, так що дотичні кордону не зливаються в одну загальну, то ми маємо справу зі суміжністю; якщо ж межа двох предметів (відрізків лінії, «чистий» часу і т.д.) виявляється загальною, то тут мова йде про безперервність. «Я говорю про безперервне, - пише Аристотель, - коли межа, за якою стикаються обидва наступних один за одним предмета, стає для обох одній і тій же і, як показує назва, не переривається ...» [6, V, 226b- 227a].

Безперервними, за Арістотелем, можуть бути не тільки частини простору і часу, а й руху; більш того, справді безперервним він вважає те, що безперервно по руху [6, V, 4]. Щоб рух було безперервним, повинні бути виконані три умови: єдність (тотожність) виду руху, єдність рухомого предмета і єдність часу.

Безперервне, за Арістотелем, - це те, що ділиться на частини, завжди ділені. А це означає, що безперервне не може бути складено з неподільних. Таким чином, Аристотель знімає ті труднощі, які виникають у фізиці при допущенні, що простір і час складаються з неподільних, і отримує можливість мислити рух як безперервний процес, а не як суму «просунутої». Безперервність становить умова можливості руху і його мислимими. Залишаються, однак, дві перших апорії - «Дихотомія» та «Ахіллес», засновані на нескінченну подільність простору і часу. Тут для вирішення протиріччя Аристотель діє інакше. Якщо будь-який відрізок шляху в силу його безперервності ділимо до нескінченності, то рух виявиться неможливим тільки при забутті того, що і час, протягом якого тіло проходить цей шлях, теж безперервно, тобто ділимо до нескінченності. А якщо врахувати, що безперервності шляху відповідає безперервність часу, то парадокс знімається. «Тому помилково міркування Зенона, що неможливо пройти нескінченне, тобто торкнутися нескінченної кількості окремих частин в обмежений час. Адже довжина і час, як і взагалі все безперервне, називаються нескінченними в двоякому сенсі: чи щодо поділу, або щодо кордонів. І ось, нескінченного в кількісному відношенні не можна торкнутися в обмежений час, нескінченного згідно з розподілом - можливо, так як сам час в цьому сенсі нескінченно. Отже, доводиться проходити нескінченність в нескінченне, а не в обмежений час і стосуватися нескінченної кількості частин нескінченним, а не обмеженим безліччю »[6, VI, 2, 233a].

Арістотелево визначення безперервності по суті збігається з аксіомою Евдокса, що отримала назву також аксіоми Архімеда і сформульованої Евклідом в четвертому визначенні У книги «Начал»: «Кажуть, що величини мають відношення між собою, якщо вони, взяті кратно, можуть перевершити один одного» [10 , c. 142]. Ось як Аристотель формулює Євдоксію принцип відносин, показуючи, що його альтернативою буде парадокс «Дихотомія»: «Якщо, взявши від кінцевої величини певну частину, знову взяти її в тій же пропорції, тобто не ту ж саму величину, яка взята від цілого, то кінцеву величину не можна пройти до кінця; якщо ж настільки збільшувати пропорцію, щоб брати завжди одну і ту ж величину, то пройти можна, так як кінцеву величину завжди можна вичерпати будь-який певною величиною »[6, III, 206b]. Ймовірно, теорія відносин Евдокса була спробою вирішити питання про можливість встановлення відносини також і несумірних величин. Ще не була відкрита несумірність, відносини могли висловлюватися цілими числами, і для визначення відносини двох величин потрібно було меншу взяти стільки раз, скільки необхідно для того, щоб вона зрівнялася з більшою. Але відносини несумірних величин неможливо виразити у вигляді пропорції, члени якої будуть цілими числами. Щоб все ж мати можливість встановлювати відносини несумірних величин, Евдокс запропонував такий вихід: якщо для двох величин a і b, де a> b, можна підібрати таке число n, щоб менша величина, взята n раз, перевершила велику, тобто щоб було справедливо нерівність nb> a, то величини a і b знаходяться між собою в деякому відношенні. В іншому ж випадку вони не перебувають ні в якому відношенні, що дійсно має місце там, де доводиться мати справу з нескінченно малими величинами, які були відомі грекам у вигляді, наприклад, рогоподібних кутів: останні не мають відношення з прямолінійними кутами, бо роговідний кут завжди менше будь-якого прямолінійного кута. Як пише І.Г. Башнакова, «рогоподібні кути по відношенню до будь-якого прямолінійного є актуальними нескінченно малими, або неархімедовой величинами» [11, c. 311]. Саме ці величини, згідно Евдоксу, Архімеда і Арістотелем, не перебувають ні в якому відношенні з кінцевими.

Аристотель, як відомо, не приймає поняття актуальної нескінченності, і його позиція збігається з принципами античної математики. Він користується тільки поняттям потенційно нескінченного, тобто нескінченного діленого, яке, «будучи прохідним по природі, не має кінця проходження, або межі» [6, Ш, 6, 206b].

Сказати, що нескінченне існує тільки як потенційне, а не як актуальне - значить сказати, що воно стає, виникає, а не є щось закінчене, завершене, є буття. Приклад потенційно нескінченного - це безмежно зростаючий числовий ряд, ряд натуральних чисел, який, скільки б ми його не збільшували, залишається кінцевою величиною. Потенційно нескінченне завжди має справу з кінцівкою і є безмежне рух за кінцевим. Принцип безперервності, як його поставив Аристотель, базується на понятті потенційно нескінченного.

Нескінченне, таким чином, є, за Арістотелем, можливе, а не дійсне, матерія, а не форма: не випадково ж матерію Аристотель розуміє як можливість. Чи не допускаючи актуальної нескінченності, Аристотель визначає нескінченне як то, поза чого ще завжди щось є. А чи може існувати щось таке, поза чого більше нічого немає? І якщо так, то як його назвати? «Там, де поза нічого немає, - каже Аристотель, - це закінчений і ціле: це те, у якого ніщо не відсутній, наприклад, ціле являє собою людина або ящик ... Ціле і закінчене або зовсім одне і теж, чи сродственни по природі: закінченим не може бути ніщо, не має кінця, кінець же межа »[6, III, 6, 207b]. Нескінченне - це матерія, тобто в її аристотелевском розумінні щось цілком невизначене, яке не має в собі свій зв'язок і позбавлене будь-якої структури. Ціле ж - це матерія оформлена, і «кінець», «межа», структурує його і робить чимось актуально сущим, дійсним - це форма. Саме тому, що початком актуально сущого є форма, а форма є межа, початок мети (вона ж - «кінець», межа), він відкидає можливість актуально нескінченного: таке поняття є, за Арістотелем, як, втім, і за Платоном, самосуперечності .

Перегляд аристотелевского принципу безперервності і поняття нескінченно малого у Галілея і Кавальєрі

Незважаючи на напружені суперечки навколо понять нескінченного і безперервного, середньовічна фізика і математика визнавала як теорію відносин Евдокса, так і арістотелево поняття безперервного.Філософсько-теоретичного перегляду ці античні принципи були піддані в епоху Відродження - Микола Кузанський і Джордано Бруно. В рамках же власне фізики і математики вони були поставлені під сумнів і в суті відкинуті Галілеєм і його учнем Кавальєрі, які стояли біля витоків інфінітезимального ісчісленія5.

Проблема безперервності обговорюється Галілеєм в різних контекстах. Так, наприклад, розглядаючи питання про причини опору тел розриву або деформації і вважаючи причиною найдрібніші «порожнечі» або «пори» в тілах, Галілей стикається з таким аргументом: як пояснити велику силу опору деяких матеріалів, якщо при незначному розмірі «пустот» і опір їх повинно бути незначним? Відповідаючи на це питання, Галілей пише: «Хоча ці порожнечі мають незначну величину і, отже, опір кожної з них легко превозмогаемо, але численність їх кількості незліченно збільшує опірність» [12, c. 131]. Поняття мізерно-малих пустот характерно: мізерно-мале, по суті, не є кінцева величина, бо в цьому випадку число порожнеч в будь-якому тілі було б ісчісліми. Що Галілей добре розуміє яка полягає тут проблему і труднощі, свідчить наступна розмова Сагредо і Сальвиати: «Якщо спротив не нескінченно велика, - каже Сагредо, - то воно може бути подолано безліччю дуже малих сил, так що велика кількість мурах могло б витягнути на землю судно , навантажене зерном ... Звичайно, для того щоб це було можливо, необхідно, щоб і число їх було велике: мені здається, що так саме йде справа і з порожнечами, що тримають пов'язаними частки металу.

Сальвиати. Але якби знадобилося, щоб число їх було нескінченним, то вважали б ви це неможливим?

Сагредо. Ні, не вважав би, якби маса металу була нескінченною, в іншому випадку ... »[12, c. 131-132].

Думка Сагредо ясна: в іншому випадку ми опинимося перед парадоксом Зенона: як би малі не були складові елементи, але якщо вони мають кінцеву величину, то нескінченне їх число в сумі дасть величину нескінченну - неважливо, чи йде мова про масу металу, довжині лінії або величиною швидкості. На цьому принципі стояла як антична математика, так і антична фізика. Але саме цей принцип і хоче оскаржити Галілей. Ось відповідь Сальвиати на міркування Сагредо: «В іншому випадку - що ж? Раз ми вже дійшли до парадоксів, то спробуємо, чи не можна якимось чином довести, що в деякій кінцевої безперервної величиною може існувати безліч порожнеч »[12, c. 132]. Доказ Галілея полягає в допущенні тотожності кола і багатокутника з нескінченним числом сторін, тобто утворень, з точки зору античної математики, які не можуть мати між собою ніякого відношення. Саме граничний перехід від багатокутника до кола шляхом допущення багатокутника з актуально нескінченним числом сторін становить підставу вводиться Галілеєм методу інфінітееімального обчислення. Використання актуально нескінченного в математиці, на думку Галілея, розширює можливості останньої. Саме Галілей користується поняттям неподільного, на основі якого будує потім геометрію неподільних його учень Кавальері6. Ці неподільні Галілей іменує «неконечную частинами лінії», «неподільними порожнечами», «атомами». Природа їх парадоксальна, суперечлива: вони не є ні кінцевими величинами, ні «нулями». З них-то, по Галілею, і складається безперервна величина.

Характерно, що в XVIII в., Коли бурхливо обговорювалася природа цієї самої «нескінченно малої», Вольтер з властивим йому дотепністю визначив математичний аналіз як «мистецтво вважати і точно вимірювати те, існування чого незбагненно для розуму» (цит. За: [13, c. 176]).

Галілей, вводячи поняття «нескінченного числа нескінченно малих», приймає таким чином в якості передумови актуальну нескінченність, якою уникала антична математика, як і антична фізика.

Слідом за Галілеєм Кавальєрі, приймаючи ті ж передумови, запропонував метод складання безперервного з неподільних. При цьому характерно назва роботи Кавальєрі: «Геометрія, викладена новим способом за допомогою неподільних безперервного» (перше її видання вийшло у 1635 р). Назва полемічно по відношенню до принципу відносин Евдокса-Архімеда, як і до принципу безперервності Аристотеля, який в ХШ в. коротко сформулював Фома Аквінський: «Ніщо безперервне не може складатися з неподільних» (цит. за: [14, S. 191]). Яким чином безперервне складено з неподільних, Кавальєрі пояснює, зокрема, в реченні ХХХV другої книги «Геометрії»: «Побудований на будь-якому прямокутнику паралелепіпед, висотою якого служить деяка пряма лінія, дорівнює (сумі) паралелепіпедів, що мають підставами той же прямокутник, а висотами які завгодно частині, на які може бути розділена висота. Якщо ж уявімо собі, що прямокутник, який є підставою, розділений яким завгодно чином на яке завгодно число прямокутників, то, вказаний паралелепіпед буде дорівнює (сумі) паралелепіпедів, що мають висотами окремі частини висоти, а підставою - окремі частини підстави »[15, c. 277]. Плоска фігура мислиться, таким чином, як сукупність всіх ліній, а тіло - як сума всіх його площин.

Цікаво роз'яснення, яке дає Кавальєрі новому методу, прямо вказуючи на те, що йому незрозуміла природа «неподільного», за допомогою якого він «становить» геометричні об'єкти, а тому не ясна і сутність самого «складання»: «Я користувався тим же прийомом , яким користуються алгебраїсти для вирішення пропонованих їм завдань: хоча б коріння чисел були невизначні, незбагненні і невідомі, вони їх проте складають разом, віднімають, множать і ділять і, якщо тільки вони опиняться в стані отримати в результаті цих маніпуляцій потрібне їм р ешеніем запропонованого завдання, вони вважають, що досягли мети. Якраз так само я оперую з сукупністю ліній або площин: нехай вони, оскільки мова йде про їх числі, визначити неможливо і невідомі; оскільки мова йде про їх величиною, вони обмежені всякому видними межами »[15, с. 89]. Кавальєрі усвідомлює, що поняття актуальної нескінченності, з яким оперує геометрія неподільних, породжує «сумніви, пов'язані з небезпекою плавання біля скель цієї нескінченності» [15, с. 91]. Це свідомість, як і та критика, якої зазнало поняття континууму як «сукупності неподільних» з боку сучасників Кавальері7, змусили його в сьомій книзі «Геометрії» уточнити метод, застосований ним в перших шести книгах. Якщо спочатку Кавальєрі порівнював між собою сукупність всіх ліній однієї плоскої фігури з сукупністю всіх ліній інший (аналогічно - і площин, з яких складені тіла), то в сьомій книзі він порівнював будь-яку лінію однієї фігури з відповідною лінією інший, або одну площину однієї фігури тіла з площиною іншого. Таким шляхом він уникав необхідності оперувати поняттями «все лінії» і «все площині». Пояснюючи своє обмеження, Кавальєрі писав: «Ми мали намір довести лише те, що відношення між континууму відповідає відношенню між неподільними і навпаки» [17, p. 2].

Найдивовижніше однак полягає в тому, що одним з критиків Кавальєрі виявився також і ... Галілей, сам, як ми знаємо, який пропонував складати безперервне з нескінченно великого числа неподільних! З листування Кавальєрі відомо, що Галілей не хотів визнати правомірність понять «все площині даного тіла» і «все лінії даної площині». Це здається несподіваним, якщо ми згадаємо, що Галілей допускав «будова континууму з абсолютно неподільних атомів» [12, с. 154], хоча і не міг роз'яснити природу цих неделімих8. Як ми вже вище могли бачити, Галілей міркував про неподільних не тільки з точки зору математичної, але і як фізик. Розмірковуючи про природу континууму в роботі «Різні думки», Галілей стверджує: «Нескінченність повинна бути зовсім виключена з математичних міркувань, так як при переході до нескінченності кількісне зміна переходить в якісне, подібно до того, як, якщо ми будемо найтоншої пилкою подрібнювати тіло, то як би крейда не були тирсу, кожна частка має відому величину, але при нескінченному роздрібненні вийде вже не порошок, а рідина, щось якісно нове, причому окремі частинки зовсім зникнуть »(цит. за: [18, с. 37]).

У чому тут справа? Чому Галілей то допускає поняття актуальної нескінченності, то забороняє його? Чому він критикує Кавальєрі за метод, яким користувався сам? Ось що думає з цього приводу С.Я. Лур'є, перекладач «Геометрії» Кавальєрі і автор передмови до перекладу: «Галілей взагалі не виставив жодної зв'язної математичної теорії неподільних: стоячи на атомістичної точці зору (безперервне складається з неподільних, лінія складається з точок), він в той же час бачив логічні невідповідності, до яких приводила ця теорія; компроміс Кавальєрі його не задовольняв, він не хотів зрозуміти Кавальєрі, відчував, що математичний атомізм необхідний для подальшого прогресу математики, але не знав, як зробити його теоретично прийнятним »[18, с. 39]. Ймовірно, С.Я. Лур'є тут недалекий від істини, хоча його твердження про те, що Галілей в своєму вченні про неподільних слід Демокриту, навряд чи можна прийняти без застережень. Галілей намагається знайти об'єднання фізичного атомізму Демокріта з математичним атомизмом, якого у Демокріта не було, а тому спирається скоріше на Архімеда9. Але позиція його в цьому питанні з психологічної точки зору дуже показовою є; то, що він дозволяє собі, хоча і не без деяких застережень, вкрай дратує його в іншого: тут з особливою ясністю йому видно логічні суперечності, пов'язані з поняттям актуальної нескінченності, зокрема - з нескінченно малим. Як би там не було, очевидно одне: Галілею не вдалося задовільно вирішити проблему континууму на шляху, відмінному від евклідовско-аристотелевского, і він, критикуючи Кавальєрі, змушений визнати, що разом з неподільним в математику входять нерозв'язні парадокси.

Спроби подолати парадокси нескінченного: Декарт, Ньютон, Лейбніц

Тож не дивно, що Декарт, визнаючи принцип безперервності не тільки в математиці, але і у фізиці, повертається в цьому пункті до Аристотеля. «Неможливо, - пише Декарт, - існування будь-яких атомів, тобто частин матерії, неподільних за своєю природою, як це уявили деякі філософи »[19, с. 475]. Відповідно Декарт не допускає в науковий обіг і поняття актуально нескінченного. Актуально нескінченний, по Декарту, лише Бог, але саме тому він і непізнаваний. Адже пізнання, говорить Декарт, слідуючи тут античної традиції, є полагание межі, кордону. «Ми ніколи не станемо вступати в суперечки про нескінченному, тим більше що безглуздо було б нам, істотам кінцевим, намагатися визначити що-небудь щодо нескінченного і думати йому кордону, намагаючись осягнути його. Ось чому ми не вважатимемо за потрібне відповідати тому, хто запитує, нескінченна чи половина нескінченної лінії, або нескінченне число парне або непарне і т.д. Про подібні труднощі, мабуть, не слід думати нікому, крім тих, хто вважає свій розум нескінченним. Ми ж щодо того, чому в даному разі не бачимо меж, кордонів, не станемо стверджувати, що ці кордони нескінченні, але будемо лише вважати їх невизначеними. Так, не будучи в змозі уявити такого обширного протягу, щоб в той же самий час не думати можливості ще більшого, ми скажемо, що розміри можливих речей невизначені. А так як ніяке тіло не можна розділити на такі малі частини, щоб кожна з них не могла бути розділена на ще дрібні, то ми будемо вважати, що кількість ділимо на частини, число яких невизначено »[19, с. 437-438].

З цього уривка видно, що в якості поняття, доступного людському розуму, Декарт визнає тільки потенційну нескінченність. Як і Аристотель, він мислить континуум як безмежно ділене.

Правда, на відміну від Арістотеля, Декарт не вважає всесвіт кінцевої. Але характерно, що він називає її не нескінченні (infinite), а тільки невизначеною (indefinite), тобто нескінченної потенційно, яка не має меж. Атомізм ж Декарт не визнає ні в математиці, ні у фізиці: картезіанські корпускули відрізняються від Демокрітовская атомів тим, що вони нескінченно подільні. У цьому сенсі картезіанська програма є контінуалістской, як і Періпатетічеськая. Відкидаючи арістотеліанскую фізику і космологію по цілому ряду параметрів, Декарт проте повністю розділяє аристотелевский принцип безперервності.

Таким чином, перегляд понять античної науки і філософії в ХVII ст.аж ніяк не був універсальним: найважливіше положення античної математики і фізики, спочатку поколебленная вченням про неподільних Галілея, Кавальєрі, Торрічеллі було відновлено в правах Декартом. Та й Галілей, як ми бачили, в питанні про безперервність так і не прийшов до певного рішення: критикуючи Кавальєрі, він по суті відмовлявся від свого революційного перевороту.

Суперечки навколо принципу безперервності і природи нескінченно малого не вщухали протягом ХVII і ХVIII ст., Що, втім, не заважало подальшій розробці та використанню математичного аналізу. Характерна спроба Ньютона знайти вихід зі скрути, пов'язаних з поняттям актуально нескінченно малого. Спочатку англійський учений вживав нескінченно малі величини і користувався ними, як і його попередники (зокрема, Дж. Валліс10), тобто відкидав їх на тій же підставі, що і інші математики: оскільки значення їх зникаюче мало в порівнянні з кінцевими величинами. Однак потім Ньютон створює так звану теорію флюксий. «Головна відмінність теорії флюксий в її закінченому вигляді від сучасного їй диференціального обчислення, - пише А.П. Юшкевич, - полягає в прагненні вигнати з математики нескінченне за допомогою методу перших і останніх відносин, тобто меж »[21, с. 26]. Метод флюксий, що містить в самій первісної формулюванні принцип меж, був з боку Ньютона спробою уникнути актуально нескінченного і обгрунтувати практично вже увійшло в побут математиків відкидання нескінченно малих доданків. Метод флюксий наступним чином вводиться в «Математичних засадах натуральної філософії»: «Кількості, а також відносини кількостей, які протягом будь-якого кінцевого часу постійно прагнуть до рівності і раніше кінця цього часу наблизяться один до одного ближче, ніж на будь-яку задану різницю, будуть наостанок рівні »[22, VII, с. 57] 11.

Це - перша лема I книги «Начал». Аналізуючи математичні роботи Ньютона, зокрема його «Аналіз за допомогою рівнянь з нескінченним числом членів», Д.Д. Мордухай-Болтовской зауважує, що Ньютон стояв як би на роздоріжжі - між створеним ним методом флюксий і виникли пізніше у Даламбера поняттям межі; проте створити теорію межі Ньютону не вдалося [24, с. 289], хоча саме поняття «межі» і з'являється у Ньютона в «Засадах».

Ми не можемо скільки-небудь докладно зупинятися на методі флюксий Ньютона: для нашої мети досить показати, що Ньютон шукав способу уникнути поняття нескінченно малої величини, тобто актуально нескінченного, і його метод перших і останніх відносин є спроба наблизитися до методу вичерпування древніх, цілком строгому і будується на визнанні лише потенційною бесконечності12.

Аналогічні труднощі з поняттям нескінченно малого відчував Лейбніц, чиє ставлення до принципу безперервності вельми показово для науково-філософської думки XVII-XVIII ст. На теорії нескінченно малих Лейбніца ми зупинимося докладніше, оскільки німецький вчений не тільки розробив метод диференціального обчислення, а й багаторазово обговорював ті труднощі, які пов'язані з його обґрунтуванням. Позиція Лейбніца в питанні про нескінченно малих настільки ж непослідовна, як і позиція його попередника Галілея: як і Галілей, Лейбніц, з одного боку, оперує цим поняттям і сам розробляє метод математичного аналізу, а, з іншого, він цілком поділяє критичне ставлення інших математиків і особливо філософів до цього поняття-парадоксу. Така подвійна позиція у Лейбніца по суті зберігається протягом усього його життя. У цьому відношенні показовим є лист Лейбніца до Фуше від січня 1692 р Фуше в листі до Лейбніца доводив неможливість оперування з неподільними в математиці і наполягав на необхідності визнати принцип безперервності в його аристотелевской формулюванні. Відповідаючи Фуше, Лейбніц пише: «Ви маєте рацію, кажучи, що якщо всі величини можуть ділитися до нескінченності, не існує такої величини, як завгодно малої, яка в свою чергу не могла б бути розділена на ще менші частини, число яких нескінченно» [ 26, 3, с. 287]. Однак, визнавши нескінченнуподільність будь-якої величини, Лейбніц тут же додає: «Втім, я не знаходжу нічого поганого і в припущенні, що ця подільність може бути в кінці кінців вичерпана, хоча і не бачу в цьому ніякої потреби» [26, 3, с . 287]. Це зауваження варто в прямому протиріччі з визнаним тільки що принципом безперервності: справді, якщо подільність може бути вичерпана, значить, можуть бути отримані останні неподільні елементи, - а це означає, що величина не будуть ділені нескінченно. І тут справі не може допомогти застереження Лейбніца: «Хоча і не бачу в цьому ніякої потреби».

Точно так же «вібрує» думка Лейбніца в питанні про нескінченному в його «Нових дослідах про людське розуміння», написаних в 1703-1704 рр. З одного боку, Лейбніц визнає, що математики не можна оперувати з поняттям актуальної нескінченності. «Не існує нескінченного числа, або нескінченної лінії, або якого-небудь іншого нескінченної кількості, якщо брати їх як справжні цілі ... Справжня нескінченність ... полягає лише в абсолютному, яке передує всякому з'єднанню і не утворено шляхом додавання частин» [26 , 2, с. 157]. В даному випадку мова йде про неможливість актуально існуючої нескінченно великої величини. Однак і по відношенню до актуально існуючої нескінченно малій величині Лейбніц тут висловлюється теж однозначно: «Ми помиляємося, намагаючись уявити собі абсолютний простір, яке було б нескінченним цілим, складеним з частин. Нічого подібного не існує. Таке поняття внутрішньо суперечливе, і всі ці нескінченні цілі, так само як і їх антиподи, нескінченно малі, застосовні лише для математичних викладок, подібно уявним коріння в алгебрі »[26, 2, с. 158]. Однак, з іншого боку, Лейбніц в тій же роботі визнає актуально безліч сприйнятті, наявних в нас в кожен момент, але не усвідомлювати нами, а також актуально безліч субстанцій-монад, або, як він їх називає, «метафізичних точок». Таким чином, причина «вібрації» Лейбніца - в неможливості визнати актуальну нескінченність в математиці і в той же час в неможливості відкинути актуальну нескінченність в фізиці і метафізиці; останні мають справу з реально сущим, з буттям, тоді як математика - лише з можливим, конструкцією уяви »13.

Ось що в зв'язку з цим пише Лейбніц Фуше в 1693 р .: «Я настільки переконаний в існуванні актуальної нескінченності, що не тільки не допускаю думки про те, що природа не терпить нескінченного .., а, навпаки, вважаю, що вона всюди виявляє любов до нього, щоб тим наочніше продемонструвати досконалість творця. Отже, я вважаю, що немає жодної частини матерії, яка була б не скажу тільки неподільної, але навіть не розділеної актуально і, отже, будь-яка дрібна частка матерії повинна розглядатися як світ, наповнений безліччю різноманітних створінь »[26, 3, с . 294] 14.

Заперечуючи Декарту і його послідовникам, не припускав можливості для кінцевого істоти мислити актуально нескінченне, Лейбніц в листі до Мальбраншем зауважує: «Відповідь, що наш розум, будучи кінцевим, не розуміє нескінченного, неправильний, тому що ми можемо довести і те, чого ми не розуміємо »[26, 3, с. 316]. Чи не правда, ця думка Лейбніца в точності повторює висловлену Кавальєрі: хоча б ми не розуміли суті тих прийомів, якими ми користуємося, ми тим не менше можемо отримувати з їх допомогою потрібне рішення задачі; саме так, справедливо говорить Кавальєрі, надходять алгебраїсти, і математичний аналіз за своїм методом схожий з алгеброю, що оперує з незбагненними корінням чисел. Це - цілий переворот в порівнянні з античною математикою, переворот, заснований на зближенні техніки обчислення (логістики) і точної науки, наближеного методу обчислення (так розумів метод нескінченно-малих Кеплер) і строго математичного докази.

Лейбніц, таким чином, допускає актуально нескінченне в тварному світі, а не тільки в Бога; то, що ділимо до нескінченності, має бути вже актуально розділене на нескінченне числі нескінченно малих одиниць, бо, згідно з Лейбніца, можливе повинно мати свою основу в дійсному, потенційне - в актуальному. Тут Лейбніц займає позицію, відмінну як від античної - аристотелевско-евклідовской, так і від картезіанської. В цьому відношенні цікаво проаналізувати діалог 1776 г. «Пацідій-Філалета», в якому намічені всі ходи думки, відтворені потім Лейбніцем протягом наступних сорока років. Діалог присвячений труднощам, пов'язаним з проблемою континууму, яка, по Лейбніца, є вузол, ще ніким не розв'язаний. «Ні Аристотель, ні Галілей, ні Декарт не могли обійти цей вузол: один його приховав, інший залишив нерозв'язаним, третій розрубав» [26, 3, с. 246]. Діалог побудований за класичними канонами жанру: приймається допущення, потім обговорюються його слідства, і воно відкидається на користь іншого, яке потім обговорюється таким же чином. Перше припущення, яке приймає Лейбніц, належить прихильникам складання безперервного з неподільних. До них спочатку, до свого приїзду в Париж, належав і сам Лейбніц. Ось це припущення: простір складається з точок, а час - з моментів «тепер». Оскільки складання лінії з кінцевого числа точок веде до очевидних несообразностям, наприклад, до неможливості розділити відрізок навпіл, то залишається припустити, що «лінії складаються з точок, але за кількістю нескінченних» [26, 3, с. 247]. Однак в цьому випадку довелося б погодитися, що діагональ і сторона квадрата рівні, а також що ціле одно частини. Оскільки це неможливо, робиться висновок: лінія не складається з точок, і приймається арістотелево визначення континууму як діленого до нескінченності. Актуально нескінченне в математиці, таким чином, відкидається. Цю позицію Лейбніц оцінює як «відповідь Галілею». Відповідь цей говорить: «До позначення немає ніяких точок ... Ні точок, ліній, поверхонь, тобто взагалі країв (границь, меж - П.Г.), крім тих, які виникають при розподілі: і в безперервності немає частин, поки вони не створені розподілом. Але ніколи не здійснюються всі ділення, які тільки здійсненні ... »[26, 3, с. 250]. Це - позиція Аристотеля, Евдокса, Декарта, яка припускає лише потенційну нескінченність.

Однак Лейбніц на цьому не зупиняється. Хоча, здавалося б, питання вирішене і протиріччя зняті, він ставить питання про континуумі в фізиці, розглядаючи структуру твердих тіл і рідин і бажаючи тепер заперечити Декарту, з яким він щойно солідаризувався. «Я не допускаю ні атомів (Гассенди), тобто абсолютно твердого тіла, і тонкої матерії Декарта, тобто абсолютно рідкого тіла »[26, 3, с. 252]. Модель фізичної безперервності, по Лейбніца - це тіло, всюди згинати. «Поділ безперервності треба уподібнити НЕ піску, розпадається на окремі піщинки, а папері або тканини, яка може утворити складки: хоча число складок нічим не обмежена і вони можуть бути все менше і менше одна інший, однак тіло ніколи не розпадається на точки або найменші частини »[26, 3, с. 252]. Для Лейбніца головне тут - що «складки» весь час залишаються протяжними величинами, а не перетворюються в «неподільні точки». Однак принципової відмінності від Декарта тут немає, бо в останнього теж частини матерії корпускули залишаються завжди ділимими.

Розглянувши безперервність простору, часу, а потім матерії Лейбніц ставить питання про безперервність по відношенню до руху і розглядає дві альтернативних точки зору. Якщо прийняти безперервний рух, то доведеться визнати, що безперервність складається з точок, бо «рух є зміна двох перебувань, якими тіло пов'язане з двома найближчими точками в два найближчих моменту ...» [26, 3, с. 253]. Оскільки ж складання лінії з точок вже була відкинута, то Лейбніц звертається до другої можливості - руху стрибками. «Між проміжками спокою відбуватиметься моментальне рух стрибком» [26, 3, с. 254]. Скачки ці можна мислити як свого роду «транскреаціі», тобто знищення тіла в одній точці і створення його заново в інший, як, мабуть, вирішували проблему руху мусульманські математики мутекалліми: «Рух тіло Е, пробувши деякий час в А, зникає і знищується, а в наступний момент знову виникає і відроджується в В »[26, 3, с. 255]. Характерно, що визнати першу з двох можливостей, а саме безперервність руху, Лейбніца заважає переконання в тому, що «рух є зміна двох перебувань», тобто що воно безперервно по своїй суті. І ця посилка видається Лейбніца настільки само собою зрозумілою, що він не приймає ідею безперервності руху Аристотеля, Лейбніца, середньовічних фізиків, Декарта. Але і «стрибки» теж не задовольняють Лейбніца, представляються йому таким же «чудом», що і «досконала твердість атомів, яка приймається Гюйгенсом» [26, 3, с. 256].

Який же вихід бачиться тут німецькому філософу? Як не несподівано це для читача, тільки що прийняв до відома пасаж про неможливість актуально нескінченного в математичних і фізичних об'єктах, але Лейбніц знову повертається до актуально нескінченного, відкинутого в суперечці з Галілеєм: «Я думаю так: немає такої частини матерії, яка не була б актуально розділена на безліч частин, і, отже, немає настільки малого тіла, в якому не утримувався б світ незліченних творінь... Таким чином, і тіло, і простір, і час актуально поділені до нескінченності »[26, 3, с. 256]. Відповідно тепер відкидається безперервність руху і визнаються вже було відкинуті «стрибки», але, правда, з одним застереженням: ці скачки повинні бути «нескінченно малими», а значить «проскакує» відстань повинна бути менше будь-якої кінцевої величини [26, 3, с. 263].

Такий підсумок роздумів Лейбніца: можна було б сказати, що буття у нього торжествує над становленням, якби не цілий ряд парадоксів, які йому важко вирішити.

З певною застереженням він врешті-решт знову визнає і нескінченно малу величину, а саме як «уявну»: «В геометрії я допустив би з евристичної метою нескінченно малі величини простору і часу, розглядаючи їх як уявні» [26, 3, с. 260].

Можна було б сказати, що діалог, написаний в 1676 р, ще не цілком зріле твір Лейбніца, якби ті ж самі ходи думки не були відтворені їм майже двадцять років по тому в листуванні з Фуше, а потім і в більш пізніх роботах - аж до 1716 г. Тому не можна не погодитися з А.П. Юшкевич, які відзначали в одній зі своїх статей непослідовність Лейбніца: «Великий філософ і математик висловлював у різний час різні думки про сутність обчислення нескінченно малих. Іноді, наприклад, він розглядав диференціал dx як кінцевий, але вкрай малий відрізок, по крайней мере, пропорційний кінцевому відрізку. Дуже часто, особливо в більш пізні роки життя, він відгукувався про нескінченно малих як про ідеальні речі і поняттях, як про зручні в евристичному відношенні фікція, результати застосування яких можна, якщо завгодно, отримати за допомогою суворого докази вичерпання. Нарешті, у нього є і та думка, що нескінченно малі суть величини, менше всякої кінцевої величини, хоча і не нульові, величини "незрівнянні" в тому сенсі, що на яку б кінцеву величину їх ні помножити, результат не буде кінцевою величиною »[ 21, с. 14-15]. І дійсно, точка зору Лейбніца на нескінченно малу весь час нестійка, тому що він у своїй фізики і метафізики приймає актуальну нескінченність, що не може не відбиватися і на його розумінні нескінченного в математиці.

У той же час в філософії Лейбніца ідея безперервності грає істотну роль: актуально існуючі метафізичні та фізичні «точки», одиниці (монади) складають свого роду безперервний ланцюг, позбавлену «проміжків», «розривів», «стрибків». Характерно, що П.А. Флоренський, відкидаючи ідею безперервності, яка, на його думку, панувала в науці і філософії XIX ст., Зводить цю ідею насамперед до Лейбніцу15.

Однак лейбніцево розуміння безперервності, як ми бачили, суттєво відрізняється від традиційного, до якого тяжів Декарт, а згодом - Кант: у Лейбніца ідея безперервності має передумовою прийняття актуально нескінченного. Так, вводячи поняття «непомітних», «нескінченно малих сприйнять», що виникло у нього за аналогією з математичної нескінченно малої, Лейбніц пише: «Непомітні сприйняття мають таке ж велике значення в пневматику, яке непомітні корпускули мають у фізиці ... Ніщо не відбувається відразу, і одне з моїх основних і достовірних положень - це те, що природа ніколи не робить стрибків ... значення цього закону в фізиці дуже велике: в силу цього закону всякий перехід від малого до великого і навпаки відбувається через проміжні величини ... точно т до ж ніколи рух не виникає безпосередньо з спокою, і воно переходить в стан спокою лише шляхом меншого руху ... Дотримуватися іншого погляду - значить не розуміти безмежної тонкощі речей, що вбирає в себе завжди і всюди актуальну нескінченність [26, 2, с. 56]. Ці останні слова про актуальну нескінченності кладуть вододіл між традиційним принципом безперервності як нескінченності потенційної (нескінченної подільності) і лейбніцевим тлумаченням цього принципу.

Філософське обгрунтування по-новому витлумачене їм принципу безперервності Лейбніц пропонує в «Монадології». Тут на новому рівні відтворюється старий парадокс, що виникає при спробі складати безперервне з неподільних. З одного боку, Лейбніц визначає Монада як просту субстанцій, що не має частин, а значить, нематеріальну (все матеріальне має частині і ділимо). Він пояснює, що «де немає частин, там немає ні протяги, ні фігури і неможлива подільність» [26, 1, с. 143]. З іншого боку, Лейбніц говорить, що «складна субстанція є не що інше, як збори або агрегат простих» [26, 1, с. 143]. Виходить, що складне (тобто безперервне) ми отримуємо з суми нескінченного числа простих (неподільних), статус яких так само незрозумілий, як і статус математичної нескінченно-малої: це і не величини (бо монади, по Лейбніца, нематеріальні, які не мають протягу), і не «нулі» (бо, як пізніше ми дізнаємося, всяка монада володіє «тілом»).

Монада у Лейбніца мислиться по аналогії з душею: саме душі за визначенням неподільні. Але тоді виходить, що тіло як складна субстанція складається з нескінченного числа душ-субстанцій простих. Намагаючись вийти з цієї скрути, Лейбніц вдається до метафори: порівнює тіла з «ставком, повним риби» (де риби - це, треба думати, монади) 16. Але в такому випадку що таке та «вода», в якій мешкають «риби»? Якщо реальні тільки монади, як і заявляє Лейбніц, то «вода» теж складається з нових неподільних і так до нескінченності.

Суперечність не дозволяється. Для його дозволу Лейбніц вдається до ще одного засобу: розглядати матерію не як субстанцію, а як «субстанціат», подібний армії або війську. «У той час як її розглядають так; ніби вона є якась річ, насправді вона є феномен, але цілком щирий, з якого наше сприйняття створює єдність »[30, S. 624].

Розгляд матерії як «феномена», нехай навіть «добре обґрунтованого» (хоча самого цього обгрунтування Лейбніц так і не зміг пред'явити), означає - правда на іншій мові - повернення до передумов Аристотеля, трактував матерію як можливість, а не дійсність. Але для послідовного проведення такої точки зору необхідно відмовитися з від поняття актуальною нескінченності стосовно до кінцевого (створеного) світу: адже Арістотель свого часу тому і визначив матерію як нескінченно ділене, що вона належала у нього до сфери можливого. Лейбніц ж, оголошуючи матерію феноменом, в той же час зберігає в силі вищенаведені тези: 1) в кожній частині матерії «міститься» актуально нескінченне число монад і 2) кожна душа має тіло. Останнє твердження абсолютно позбавлене сенсу, якщо вважати, що тіло - це феномен; найперше, втім, теж, хоча, може бути, це і не так очевидно.

Як бачимо, навіть Лейбніца залишається невирішеним парадокси актуальної нескінченності і послідовно провести принцип безперервності в математиці. Питання залишилося відкритим і в філософії. До нього в другій половині XVIII ст. знову звернулися як математики, так і філософи.

Проблема континууму у Канта

У філософії проблему безперервності спробував вирішити Кант, зіткнувшись з труднощами, які ця проблема породила у Лейбніца, з одного боку, і у математиків, з іншого. Народження ідеалізму в чималому ступені було обумовлено необхідністю впоратися з парадоксами актуальної нескінченності. У своїй першій, ще студентській роботі «Думки про істинну оцінку живих сил» Кант зачіпає самий нерв питання, так і не вирішеного Лейбніцем: як пов'язати між собою метафізичні неподільні (буття) і фізичний світ, що розташовується в просторі (становлення). Світ буття Лейбніц часом характеризує як «внутрішнє», а чуттєвий світ - як «зовнішнє». Монада, по Лейбніца, «не мають вікон» і, таким чином, не мають «виходу» один до одного; їх діяльність узгоджена лише через божественну Монада - за допомогою встановленої гармонії. Не цілком ясно також, як розуміти співвіднесеність монад з «зовнішнім» по відношенню до них матеріальним світом; ми вже бачили, якими способами намагався Лейбніц розв'язати це питання, найважливішим аспектом якого є зв'язок душі з тілом.

Саме з цього питання починає молодий Кант: «... У метафізиці, - пише він в 1746 р, - важко уявити собі, яким чином матерія в стані породжувати в душі людини уявлення деяким воістину дієвим чином (тобто фізичним дією) ... Подібна ж труднощі виникає і тоді, коли стоїть питання про те, чи в змозі також і душа приводити в рух матерію ... питання про те, чи в змозі душа викликати руху, тобто чи володіє вона рушійною силою, набуває такого вигляду: чи може притаманна їй сила бути призначена до дії зовні, тобто чи здатна вона зовні себе впливати на інші істоти і викликати зміни? На це питання можна з повною визначеністю відповісти тим, що душа повинна бути в змозі діяти зовні на тій підставі, що сама вона знаходиться в певному місці. Бо якщо розберемо поняття того, що ми називаємо місцем, то знайдемо, що воно вказує на взаємні дії субстанцій »[31, 1, с. 66-67]. Питання поставлене точно. Справді, якщо «метафізична точка» має жорстку зв'язок з певним місцем, то вона вже тим самим не абсолютно самозамкнутая: в іншому випадку субстанція-монада існувала б поза всяким зв'язком з яким-небудь тілом (а що монади не можуть існувати без тіла, на цьому Лейбніц завжди наполягав) і, отже, за словами Канта, «ніде в усьому світі не може бути надана» [31, 1, с. 68]. Протяг, таким чином, на думку Канта, є продукт дії субстанції зовні; так молодий філософ інтерпретує Лейбніца. «Бо без цієї сили немає ніякого зв'язку, без зв'язку - ніякого порядку, без порядку немає ніякого простору» [31, 1, с. 69].

Як бачимо, в своєму міркуванні Кант спирається на лейбніцево визначення простору як порядку співіснування. Однак, постулюючи «вплив субстанцій зовні». Кант не пояснює, як слід розуміти цей вплив. Судячи з усього, це питання не переставав займати Канта протягом цілого десятиліття. У 1756 р він робить ще одну спробу його дозволу в магістерській дисертації «Застосування пов'язаної з геометрією метафізики у філософії природи». За рік до того, в 1755 році була опублікована робота Канта «Загальна природна історія і теорія неба», в якій він застосував ньютонова теорію тяжіння для пояснення генезису світобудови. Тепер за допомогою ньютонівської динаміки філософ приступив до вирішення давно мучила його антиномії неподільного (монади) і безперервного (протягу). Цього разу він розглядає співвідношення фізики (динаміки) і математики, залишаючи поза увагою метафізичну сутність монад. Завдання, яке при цьому ставить перед собою Кант, складається в доказі, що «існування фізичних монад згідно з геометрією» [31, 1, с. 319]. Альтернатива - метафізика або геометрія - загострена у Канта ще одним додатковим обставиною: він разом з Ньютоном визнає теорію тяжіння як дії на відстані, а тяжіння неможливо пояснити за допомогою однієї лише геометрії. Кант намагається грунтувати ньютонова теорію всесвітнього тяжіння з допомогою Лейбніцевой метафізики, хоча сам творець монадологію вважав ньютонову ідею абсолютно непріемлемой17. «Метафізика, - пише Кант, - без якої, на думку багатьох, цілком можна обійтися при вирішенні фізичних проблем, одна тільки і робить тут допомогу, запалюючи світло пізнання. Справді, тіла складаються з частин і ... важливо з'ясувати, як саме вони складені з цих частин: наповнюють вони простір одним лише співіснуванням цих первинних частин або через взаємне зіткнення сил. Але яким чином в цій справі можна зв'язати метафізику з геометрією, коли, по-видимому, легше грифів запрягти разом з кіньми, ніж трансцендентальну філософію18 поєднувати з геометрією? Бо якщо перша наполегливо заперечує, що простір ділимо до нескінченності, то друга стверджує це з такою ж упевненістю, з якою вона зазвичай відстоює інші свої положення. Перша наполягає на тому, що порожній простір необхідно для вільних рухів; друга ж, навпаки, рішуче його відкидає. Перша вказує на те, що тяжіння, або загальне тяжіння, чи можна пояснити одними лише механічними причинами, але що воно має свій початок у внутрішніх силах, властивих тіл в стані спокою і діючих на відстані; друга ж відносить всяке таке припущення до порожньої гри уяви »[31, 1, с. 318].

Ми привели цей уривок цілком зважаючи на його важливість для нашої теми: Кант тут розглядає проблему континууму, як вона ставиться в математиці, що має справу зі світом лише можливого (становлення), і в фізиці, насилу віддільною від метафізики, яка претендує на те, що саме вона розкриває закони самого буття.На рівні буття континуум мислиться як дискретний, на рівні становлення - як безперервний. Однак справа ускладнюється тим, що певна школа фізики - зокрема картезіанська - при поясненні природи допускала тільки принцип безперервності, не визнаючи ні атомів, ні порожнечі, ні сил тяжіння. Що ж стосується метафізики, то сюди Кант, як видно, відносить Ньютона і його послідовників, бо саме вони приймають порожній простір як умова можливості руху атомів, а також тяжіння як дія на відстані. Хоча Ньютон, як відомо, дистанціювався від метафізики (добре відомий його афоризм «гіпотез не винаходили»), проте Кант характеризує його підхід як метафізичний, маючи на увазі ту обставину, що Ньютон, як і Лейбніц, вводить в свою динаміку поняття сили і не обмежується лише встановленням механічних законів, як це робив Декарт. Але як примирити таким чином зрозумілу метафізіку19 з математикою, атомізм у фізиці з принципом безперервності в математиці?

Кант згоден з Декартом і більшістю математиків в тому, що простір ділимо до нескінченності і не перебуває з простих частин. Але в той же час він підкреслює, що «кожен простий елемент тіла, або монада, не тільки існує в просторі, але і наповнює простір, зберігаючи, однак, свою простоту» [31, 1, с. 323]. Як бачимо, на відміну від Декарта, Кант не визнає, що простір є субстанція. Тут він залишається послідовником Лейбніца і вважає субстанціями неподільні монади. Фізичні монади, по Канту, заповнюють простір не безліччю своїх частин (таких у неподільних почав немає), а сферою своєї діяльності, сутність якої - тяжіння і відштовхування: тяжіння створює єдність, зв'язок фізичних тіл, а відштовхування - їх роз'єднаність, відокремленість. Таким шляхом Кант шукає вихід з проблеми, що з проблемою безперервного і неподільного, тобто в даному випадку математичного і фізичного континуумов.

Ось запропонований ним вихід: з безперервності (нескінченну подільність) простору, займаного елементом, не випливає подільність самого елемента. «З доведеного вище, - підсумовує Кант, - з повною очевидністю випливає, що ні геометр не помиляється, ні то думка, якого дотримується метафізик, не ухиляється від істини, тому неминуче повинен бути помилковим погляд, який заперечує обидва ці думки і згідно з яким ні один елемент, оскільки він абсолютно проста субстанція, не може займати простору, не втрачаючи своєї простоти »[31, 1, с. 324]. Помиляється, по Канту, той, хто не може примирити між собою два твердження - метафізики: «Будь-яка складна субстанція складається з простих частин, і взагалі існує тільки просте і те, що складено з простого» - і математики: «Жодна складна річ у світі не складається з простих частин, і взагалі в світі немає нічого простого »[31, 3, с. 270-271].

Цей помиляється - сам Кант 25 років після написання роботи «Застосування пов'язаної з геометрією метафізики у філософії природи». Бо саме він і сформулював в «Критиці чистого розуму» ці два твердження як абсолютно непримиренні - як антиномію чистого розуму. І ось як він тепер, в 1781 р, оцінює свою колишню спробу примирення цих двох тверджень: «Втім, монадісти спритно намагаються обійти це утруднення, саме вони стверджують, що не простір становить умова можливості предметів зовнішнього наочного уявлення (тел), а, навпаки, предмети зовнішнього наочного уявлення і динамічне відношення між субстанціями взагалі складають умова можливості простору »[31, 3, с. 275]. Як приклад Кант міг би послатися на свою власну роботу 1756 р щойно розглянуту нами, бо там він, розмірковуючи як монадіст, як раз і визначав простір як «явище зовнішнього відносини субстанцій» [31, 1, с. 324], як «сферу діяльності монади» [31, 1, с. 325].

Роздуми над проблемою континууму, таким чином, зіграли першорядну роль в перегляді Кантом принципів раціоналізму XVII-XVIII ст. і створенні системи критичної філософії, де переосмислено центральне в метафізиці XVII в. поняття субстанції і фундаментом всієї системи знання стає чи не субстанція, а суб'єкт. Перехід від субстанції до суб'єкта зробив уже англійська емпіризм в особі Локка і особливо Юма; але вони мали на увазі психологічного, тобто емпіричного суб'єкта в його індивідуальності. Кант ставить в центр свого вчення поняття трансцендентального суб'єкта, звільняючись тим самим від психологізму в теорії пізнання. В результаті емпіричний світ, світ досвіду - як зовнішнього (природа як предмет природознавства), так і внутрішнього (душа як предмет емпіричної психології) існує у Канта лише в ставленні до трансцендентальної суб'єкту, конструює цей світ за допомогою апріорних форм чуттєвості (простору і часу) і апріорних форм розуму (категорій). Визначення, що приписувалися раніше матеріальної субстанції - просторова протяжність, фігура, тимчасова тривалість, рух - суть, по Канту, продукт діяльності трансцендентального суб'єкта. У світі природи немає місця тому, що існує в собі і через себе, тут все визначається зв'язком механічних причин, тобто іншим і через інше, оскільки і сам цей світ існує лише через відношення до трансцендентальної Я. Відкидаючи поняття субстанції стосовно також і до індивідуальної душі. Кант розглядає її в теоретичній філософії лише як явище, конструюються за допомогою внутрішнього почуття. Однак релікти субстанцій як самостійних сущих, що не залежать не тільки від індивідуального, але і від трансцендентального суб'єкта, зберігаються у Канта у вигляді непізнаваних речей в собі, аффіцірующіх нашу чуттєвість і таким чином породжують відчуття. Недоступні теоретичного пізнання, речі в собі належать до надчуттєвого світу - сфері свободи, тобто розуму практичного. Людина як істота моральне несе в собі ті риси, якими традиційно наділялися духовні субстанції - розумні душі, хоча онтологічний статус розумної душі у Канта зовсім інший.

Подивимося тепер, як в цій новій системі вирішується питання про природу континууму, настільки хвилював Канта в докритичний період. У «Критиці чистого розуму» цьому питанню приділяється теж велика увага, але спосіб його розгляду істотно змінюється. Справжнім буттям, як тепер вважає Кант, мають лише речі в собі, які суть прості, неподільні єдності, позбавлені протягу. Від Лейбніцевих монад ці єдності однак відрізняються тим, що, по-перше, вони непізнавані, а, по-друге, з них неприпустимо «складати» матеріальні тіла, тобто розглядати складне як «агрегат» простого. Що ж стосується світу явищ, протяжного в просторі і що триває в часі, то він безперервний, тобто нескінченно ділимо. Саме жорстке розрізнення речей в собі і явище є основою кантівського вирішення проблеми континууму: безперервність просторово-часового, природного світу чи не суперечить «дискретності» світу надприродного. У «метафізичних засадах природознавства" (1786) Кант пише: «Наскільки далеко ... простягається математична подільність простору, наповненого тій чи іншій матерією, настільки ж далеко простирається і можливе фізичне поділ субстанції, його наповнює. Але математична подільність нескінченна, отже, і фізична, тобто всяка матерія до нескінченності ділена, і до того ж на частини, з яких кожна в свою чергу є матеріальна субстанція »[31, 6, с. 103]. Останнє зауваження має на меті підкреслити, що в матерії немає «останніх неподільних» елементів, немає лейбніцевих «фізичних монад», безліч яких становить як би «буттєвий» фундамент безперервності феноменального світу (назвемо його умовно «становленням»). По Канту, всяка частина матерії, як і простору, ділена до нескінченності. Тут Кант в розумінні континууму повертається до Аристотеля і слідував за ним Декарту, хоча чисто філософське обґрунтування такого трактування безперервності у Канта інше, ніж у цих його попередників.

Перед Кантом стояла альтернатива. Якщо прийняти матерію за субстанцію, і до того ж не тотожну простору (з простором матерію ототожнював Декарт), то теза про нескінченну подільність матерії вимагав би допустити, що вона складається з актуально нескінченного безлічі «останніх одиниць» - шлях, яким пішов Лейбніц, відкинувши фізичний атомізм в ім'я принципу нескінченну подільність, але поклавши в основу природи атомізм метафізичний - «монадізм». Але якщо вважати, як Аристотель, що матерія - це лише можливість, потенційність, то немає потреби в самій матерії шукати актуально нескінченного безлічі надалі не подільних «елементів» в якості умови її нескінченну подільність. Кант дійшов висновку, що матерія є тільки явище і завдяки цьому повернувся до принципу безперервності в його аристотелевско-евдоксовом варіанті. «Про явища, розподіл яких можна продовжити до безкінечності, можна лише сказати, що частин явища стільки, скільки їх буде дано нами, поки ми будемо в змозі продовжувати поділ. Адже частини, як відносяться до існування явищ, існують лише в думках, тобто в самому розподілі »[31, 6, с. 103]. Інакше кажучи, якщо матерія не є річ в собі, то немає потреби допускати, як це робив Лейбніц, актуальну нескінченність «частин» для обґрунтування потенційної нескінченності, тобто нескінченну подільність простору, часу і матерії. Таким чином, саме феноменалістской тлумачення матерії дозволяє Канту впоратися з парадоксами континууму.

Цікаво відзначити, що повернення до потенційної нескінченності при обгрунтуванні диференціального обчислення відбувається і в математиці другої половини XVIII ст., Хоча повністю елімінувати поняття актуально нескінченно малого і створити теорію меж, що спирається на методологічні принципи методу вичерпання древніх, вдалося лише пізніше, зусиллями К.Ф . Гаусса, О. Коші і особливо К. Вейерштрасса. Суперечливість поняття нескінченно малого, як ми вже відзначали, була очевидна з самого появи цього поняття; не випадково Ньютон створював теорію «перших і останніх відносин», прагнучи уникнути вживання «нескінченно малих». Це прагнення ще більше посилилося після критики інфінітезимального обчислення, здійсненої Дж. Берклі. Тож не дивно, що Даламбер в своїх статтях «Диференціал» (1754), «флюксіями» (1756), «Нескінченна мала» (1759) і «Межа» (1765), поміщених в знаменитій «Енциклопедії, або Словнику наук, мистецтв і ремесел », в якості обґрунтування аналізу запропонував теорію меж. При цьому він спирався на Ньютоновий принцип «перших і останніх відносин». Подальші кроки в цьому напрямку зробив Лагранж. У 1784 р з ініціативи Лагранжа Берлінська Академія наук призначила приз за найкраще вирішення проблеми нескінченного в математиці. Оголошення про умови конкурсу було записано:

«Загальним повагою і почесним титулом зразковою" точної науки "математика зобов'язана ясності своїх принципів, строгості своїх доказів і точності своїх теорем. Для забезпечення невпинного оновлення таких цінних переваг цієї витонченої області знання необхідна ясна і точна теорія того, що називається в математиці нескінченністю. Добре відомо, що сучасна геометрія (математика) систематично використовує нескінченно великі і нескінченно малі величини. Однак геометри античності і навіть стародавні аналітики всіляко прагнули уникати всього, що наближається до нескінченності, а деякі знамениті аналітики сучасності вбачають суперечність в самому терміні "нескінченна величина". З огляду на сказане, Академія бажає отримати пояснення, яким чином настільки багато правильні теореми були виведені з суперечливого припущення, разом з формулюванням точного, ясного .., істинно математичного принципу, який був би придатний для заміни принципу "нескінченного" і в той же час не робив б проведені на його основі дослідження надмірно складними або довгими »(цит. за: [13, с. 175]) 20.

Однак, як ми вже говорили, суворе рішення поставленої Берлінської Академією завдання було знайдено тільки в XIX в. Вирішальну роль тут зіграли роботи французького математика О. Коші. Метод, їм запропонований, виключає звернення до актуально нескінченного. Ось як визначає Коші вводиться ним поняття межі: «Якщо значення, послідовно приписувані однієї і тієї ж змінної, необмежено (indefiniment) наближаються до фіксованому значенню таким чином, щоб в кінці кінців відрізнятися від нього як завгодно мало, то останнім називають межею всіх інших» [32, с. 19]. Нескінченно мала визначається тут як змінна, послідовні значення якої стають менше будь-якого даного позитивного числа. Метод Коші виявився за своїми теоретичним передумовам подібний з античним методом вичерпування.

Філософія Канта, з одного боку, і створена в XIX в.теорія меж, з іншого, призвели до того, що поняття континууму, близьке до його античної трактуванні, тобто виключає принцип актуальної нескінченності, на деякий час отримало переважний вплив в науці. Однак не всі математики і філософи були задоволені таким рішенням проблеми. В кінці XIX ст. разом зі створенням теорії множин Георга Кантора полеміка навколо поняття континууму спалахнула з новою силою. І сьогодні це поняття як і раніше викликає суперечки серед математиків, природознавців і філософів.

Примітки

1 «Випадковість підштовхує те, що залишилося від системи, на новий шлях розвитку, а після вибору шляху знову в силу вступає детермінізм, і так до наступної біфуркації» [5, c. 28-29].

2 Класична фізика, правда, на відміну від Архімеда, не виключає час повністю, але робить його оборотним і тим самим несуттєвим.

3 Американський філософ Чарлз Пірс, переконаний в тому, що Апорія «Стріла» зачіпає дуже серйозні питання, пов'язані з природою руху, представив цю апорію у вигляді силогізму. Велика посилка його говорить: «Ніяке тіло, що не займає місця більше, ніж вона сама, чи не рухається». Менша посилка: «Ніяке тіло не займає місця більше, ніж вона сама». Висновок: «Отже, жодне тіло не рухається». На думку Пірса, помилка Зенона криється в меншій посилці: в найкоротший час рухається тіло займає місце, яке більше його самого на нескінченно малу величину. З апорії Зенона (як вважав Пірс, можна зробити лише висновок, що поза часом тіло не проходить ніякого відстані. В даному разі Пірс відтворив ту критику Зенона, яку, як ми нижче побачимо, задовго до нього зробив Аристотель, правда, на мові сучасної фізики : Аристотель не міг оперувати поняттям як завгодно малої величини (див. [7, 5, р. 334]).

4 Цікаво відзначити, що наш сучасник Бертран Рассел згоден з давнім філософом в тому, що рух можна скласти з суми нерухомостей. «Вейерштрасс, суворо заборонивши все нескінченно малі, - пише Рассел, маючи на увазі запропоновану Вейерштрассом арифметизации диференціального обчислення, - показав в кінцевому рахунку, що ми живемо в незмінному світі і що стріла в кожен момент свого польоту фактично спочиває. Єдиним пунктом, в якому Зенон, ймовірно, помилявся, був його висновок (якщо він дійсно його зробив) про те, що, оскільки не існує ніяких змін, світ весь час повинен знаходитися в одному і тому ж стані як в один час, так і в інше »[8, р. 347]. Рассел як логік, мабуть, тяжіє більше до початку буття, ніж становлення, тому йому співзвучні деякі мотиви елеатів. Однак, не будучи тут все ж настільки послідовним, як Зенон, англійський філософ не може прийняти позицію, що заперечує будь-яку реальність становлення, а значить, і реальність часу, оскільки час і є умова можливості становлення як такого. Але ж для Зенона визнати наявність «одного і іншого часу» вже означало б впустити «бацилу» становлення в вічне, нерухоме, незмінне, єдине буття!

5 Ще до Кавальєрі метод обчислення неподільних застосував Кеплер у своїй «стереометрії винних бочок». Однак, подібно античним математикам, він розглядав цей метод лише як техніку обчислення, а не як строго науковий, тобто математичний метод.

6 За допомогою поняття «неподільних» Галілей намагається вирішити задачу «колеса Аристотеля»: при спільному коченні двох концентричних кіл більший проходить ту ж відстань, що і менший. Як це можливо? «Поділяючи лінію на деякі кінцеві і тому піддаються рахунку частини, не можна отримати шляхом з'єднання цих частин лінії, що перевищує по довжині первісну, що не вставляючи порожніх просторів між її частинами; але уявляючи собі лінію, розділену на неконечную частини, тобто на нескінченно багато її неподільні, ми можемо мислити її колосально розтягнутої без вставки кінцевих порожніх просторів, а шляхом вставки нескінченно багатьох неподільних порожнеч »[12, с. 135].

7 Ось що говорить про це сам Кавальєрі: «Від мене не приховано, що про будову континууму і про нескінченному вельми багато сперечаються філософи, висуваючи такі положення, які знаходяться в суперечності з чималим числом, моїх принципів. Вони будуть коливатися або тому, що поняття всіх ліній або всіх площин здається їм незрозумілим і більш темним, ніж морок Кіммерійський, або тому, що мій погляд схиляється до будови континууму з неподільних, або, нарешті, тому, що я наважився визнати за міцну основу геометрії той факт, що одне нескінченне може бути більше іншого »(цит. за: [16, c. 223]).

8 Галілей називав їх іноді «невелічінамі», намагаючись уникнути парадоксів. «Сама можливість продовжувати поділ на частини призводить до необхідності складання з нескінченної кількості невелічін» [12, с. 142].

9 «Стверджували іноді, - пише з цього приводу В.П. Зубов, - що Галілей продовжив традицію Демокріта. З набагато більшою підставою можна говорити, однак, про традиції Архімеда. Адже ми знаємо, що, по Демокріту, континуум складався з елементів того ж роду (тіла з найдрібніших тіл і т.д.), тоді як у Архімеда йшлося про елементи nI порядку »[16, с. 215-216].

10 В «Трактаті про конічні перетини, викладених новим методом» (1655) Валліс, посилаючись на Кавальєрі, розглядає площі плоских фігур як складені з нескінченно багатьох паралельних ліній. При цьому, як пише А.П. Юшкевич, «нескінченно малу кількість то ототожнюється нульовим .., то паралелограми нескінченно малої висоти оголошуються навряд чи будь-чим іншим, ніж лінія ...» [20, c. 25]. Валліс, таким чином відтворює ті ж принципи, що ми бачили у Кавальєрі, і відповідно ті ж теоретичні труднощі.

11 Як вважають деякі історики, якби Ньютон поглибив далі свою ідею «остаточного відносини» «зникаючих збільшень», він передбачив би строгі методи, розроблені Коші в XIX в. [23, c. 196].

12 Цікаво, що відомий математик К. Маклоран, який намагався захистити ньютоновский метод флюксий від критики Дж. Берклі (в творі «аналітик», 1734 г.), в своєму «Трактаті про флюксій» зближує метод Ньютона з методом вичерпування Евкліда, і Архімеда. В основі методу вичерпання лежить як завгодно точне наближення до шуканої величиною з допомогою сходяться до неї зверху і знизу послідовностей відомих величин. Ось як формулює суть методу вичерпання Маклоран: якщо дві змінні величини AP і AQ, що знаходяться один до одного в незмінному відношенні, одночасно наближаються до двох певним величинам AB і AD так, що різниці між ними виявляються меншими будь-якої заданої величини, то ставлення меж буде тим ж, що і відношення змінних величин AP і AQ [25, p. 6].

13 «Я визнаю, - пише Лейбніц, - що час, протяжність, рух і безперервність в тому загальному сенсі, який надається їм в математиці, суть речі ідеальні, тобто виражають можливість абсолютно так само, як її висловлюють цифри. Гоббс навіть простір визначив як phantasma existentis. Але правильніше буде сказати, що протяжність - це порядок можливих співіснуванні, подібно до того як час - порядок можливостей не визначених, але тим не менш взаємозалежних »[26, т. 1, с. 341]. Визначаючи безперервність через поняття можливості, тобто як потенційно нескінченну, Лейбніц, як і Аристотель, не складає математичний континуум з актуально сущих неподільних. Однак не так йде справа в фізиці і метафізиці Лейбніца, де не протяг, а сила є справжнє визначення реально сущого, тобто субстанцій. Носії сил - це «формальні атоми», названі Лейбніцем так на відміну від атомів матеріальних: формальні атоми - монади - є метафізичними неподільними. «... Сила є щось цілком реальне також і в створених субстанціях; простір ж, час і рух мають щось від суті розуму і є істинними і реальними не самі по собі, а лише оскільки вони причетні до божественних атрибутів - нескінченності, вічності, творення або силі творяться субстанцій »[26, т. 1, с. 262]. Ті види континууму, які перераховує тут Лейбніц, він характеризує як такі, що щось від «сутності розуму», що, власне, і означає «ідеальність», а не реальність їх, бо розум Лейбніц трактує тут в дусі номіналізму. Ось визначення відмінності між ідеальним і реальним, дане Лейбніцем в листі до ремон: «В ідеальному ціле передує частинам, як арифметична одиниця передує дробям, на які вона ділиться і які можна в ній позначати довільно, так як частини тільки потенційні; але в реальному просте передує агрегатів, частини - дійсні, передують цілому »(цит. за: [27, c. 189-190]). Таким чином, в математиці ми, по Лейбніца, маємо справу з потенційно нескінченним (можливим), інакше кажучи, зі становленням, а в метафізиці - з актуально нескінченним, де ціле є сумою нескінченного числа буттєвих одиниць - надчуттєвих монад. Труднощі, пов'язані з поняттям континууму, викликані у Лейбніца необхідністю узгодити ці дві сфери - становлення і буття.

14 Тут в перекладі фраза кілька утяжелена, і думка Лейбніца зрозуміла не відразу. По суті філософ стверджує, що будь-яка частина матерії не тільки ділиться до нескінченності, але і актуально розділена на безліч фізичних точок ».

15 «Необхідно вказати на джерело, звідки витекла ця ідея в широку публіку і стала настільки поширеною. Немає ніякого сумніву, що таким першоджерелом є відкриття аналізу нескінченних, і, кажучи точніше, ми можемо стверджувати, що Лейбніц як математик і філософ ввів в суспільну свідомість ідею безперервності; ми можемо навіть сказати, що система Лейбніца є майже вся цілком корелят його робіт з аналізу, геніальна транспоніровка самим винахідником математичних даних на філософський мова »[28, с. 160].

16 «... Не існує частині речовини, в якій би не було нескінченної кількості органічних і живих тіл ... Однак звідси ще не випливає, що будь-яка частина речовини одухотворена, точно так само як ми не говоримо, що саджавка риби, одушевлений, хоча риби - одухотворені істоти »[29, с. 240].

17 Ось що писав Лейбніц з приводу теорії всесвітнього тяжіння Ньютона: «... Я не бажав би, щоб в природному ході природи вдавалися до чудес і допускали абсолютно незрозумілі сили і дії. В іншому випадку ми дамо в ім'я всемогутності Божого занадто багато волі поганим філософам, і раз ми допустимо ці доцентрові сили або ці діючі здалеку безпосередні тяжіння, не будучи проте в стані зробити їх зрозумілими, то я вже не бачу, що завадить нашим шкільним філософам стверджувати , що все відбувається просто в силу здібностей і підтримувати свої образи сутностей (species intentionales), які нібито походять від предметів до нас і знаходять засіб проникати до самої нашої душі »[29, с. 208].

18 Як бачимо, Кант іменує трансцендентальної не тільки створену ним згодом критичну філософію.

19 Кант з самого початку обумовлює, що під метафізикою він тут має на увазі вчення про фізичних монадах, але не про монадах метафізичних, які становлять, відповідно до Лейбніца, останній фундамент буття і повинні пояснювати природу також і фізичних монад. «Так як я маю намір тут міркувати тільки про те класі простих субстанцій, які суть первинні частини тіл, то заздалегідь заявляю, що в подальшому викладі я буду користуватися термінами прості субстанції, монади, елементи матерії, первинні частини тіла як синонімами» [31, т . 1, с. 319].

20 Характерно, що переможець конкурсу, швейцарський математик С. Люілье представив роботу під девізом: «Нескінченність - безодня, в якій тонуть наші думки» [13, c. 175].

Список літератури

1. Кантор Г. Основи загального вчення про многовидах // Нові ідеї в математиці. СПб, 1914. Вип. 6.

2. Вейль Г. Про філософію математики. М .; Л .: ??, 1934.

3.Уітроу Дж. Природна філософія часу. М .: ??, 1964.

4. Стьопін В.С. Теоретичне знання. М .: Наука, 2000..

5. Пригожин І., Стенгерс І. Порядок з хаосу. М .: ??, 1986.

6. Аристотель. Собр. соч. Т. ?? Фізика. М .: Наука, ??

7. Peirce CS Collected Papers. Cambridge, Mass., 1934. 5 ??.

8. Russell B. The Principles of the Mathematics. London, 1937.

9. Wieland W. Die aristotilische Phisik. Untersuchnungen uber die Grundlegung der Naturwissenschaft und die sprachlichen Bedingungen der Prinzipienforschung bei Aristoteles. Gottingen, 1962.

10. Евклід. Почала. Kн. I-VI.

11. Башмакова І.Г. Лекції з історії математики в стародавній Греції // Історико-математичні дослідження. ?? XI. М., 1958.

12. Галілей Г. Вибрані праці. У 2-х т. Т. 2. М., 1964.

13. Клайн М. Математика. Втрата визначеності. М., 1984.

14. Lasswitz K. Geschichte der Atomistik. ?? I. 1890.

15. Кавальєрі Б. Геометрія, викладена новим способом за допомогою неподільних безперервного. М .; Л., 1940.

16. Зубов В.П. Розвиток атомистических уявлень до початку XIX століття. ??

17. Cavalerius B. Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota. Bononial, 1635. Lib. VII.

18. Лур'є С.Я. Математичний епос Кавальєрі // Кавальєрі Б. Геометрія, викладена новим способом за допомогою неподільних безперервного. М .; Л., 1940. С. ??

19. Декарт Р. Вибрані твори. М .: Наука ?, 1950.

20. Юшкевич А.П. Розвиток поняття межі до К. Вейерштрасса // Історико-математичні дослідження. Вип. XXX. М .: ??, 1986. С. ??

21. Юшкевич А.П. Ідеї ​​обгрунтування математичного аналізу в XVIII в. // Історико-математичні дослідження. Вип. XXX. М .: ??, 1986. С. ??

22. Ньютон І. Математичні початки натуральної філософії; Крилов О.Н., ?? Собр. Праць. М .; Л., 1936. Т. VII.

23. Boyer CB The Concepts of the Calculus. New York, 1949.

24. Мордухай-Болтовской Д.Д. Коментарі до Ньютону // Ньютон І. Математичні роботи. М .; Л., 1937.

25. Maclaurin C. Treatise of Fluxions in two Books. 1742. T. 1.

26. Лейбніц Г.В. Твори. У 4-х т. М .: Наука ?, 1984.

27. Каринська В. Умоглядне знання у філософській системі Лейбніца. СПб., 1912.

28. Флоренський П.А. введення до дисертації «Ідея переривчастості як елемент світогляду» // Історико-математичні дослідження. Вип. XXX. М .: ??, 1986. С. ??

29. Лейбніц Г. Вибрані філософські твори. М .: ??, 1890.

30. Leibniz GW Die philosophische Schriften. (?? Місто) Hrsg. Von CIGerhardt. Bd. VI.

31. Кант І. Твори. У 6-ти т. Т. 1. М .: ??, 1963.

32 Коші О.Л. Алгебраїчний аналіз. ? Зб. ??, 1864.